1、第1页 金陵中学 2020 届高三数学检测卷(26) 校审:朱骏 一一、填空题填空题:本大题共本大题共 14 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 70 分分请把答案填写在请把答案填写在答题卡相应位置答题卡相应位置 上上 1设集合 M2，0，x，集合 N0，1若 NM，则实数 x 的值为 _ 2若复数 zai i (其中 i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数 a 的值为 _ 3某运动员 5 次射箭的环数依次是 9，10，9，7，10，则该组数据的方差是 _ 4甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为 0.2，甲、乙下和棋的概率为 0.5，则乙获 胜的概率为 _ 5在平面直角坐标系 xOy 中
2、，若双曲线 x2y2a2(a0)的右焦点与抛物线 y24x 的 焦点重合，则 a 的值为 _ 6运行如图所示的伪代码表示的算法，其输出值为 _ 7若变量 x，y 满足 2xy0， x2y30， x0， 则 2x y 的最大值为 _ 8若一个圆锥的底面半径为 1，侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥的体积为 _ 9在平面直角坐标系 xOy 中，若函数 f(x)sin(x 6)(0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为 2， 且该函数图象关于点(x0，0)中心对称，x00， 2 ，则 x0 的值为 _ 10若实数 x，y 满足 xy0，且 log2xlog2y1，则x 2y2 xy 的最小值为 _ 11
3、 在平面直角坐标系 xOy 中， 设向量 a(sin2， cos)， b(cos， 1)， 则“ab”是“tan1 2”的 _ 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 12在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 yx2 与圆 x2y2r2(r0)交于 A，B 两点，若圆上一点 C 满足OC 5 4OA 3 4OB ，则 r 的值为 _ 13设 f(x)是 定 义 在 区 间 2， 2上 的 奇 函 数 ， 当 x (0， 2时 ， f(x) 2x 1， 函 数 g(x) x2 2x m若对任意的 x12，2 ，都存在 x22，2 ，使得 g(x2)f(x1)，
4、 则实数 m 的取值范围是 _ 14已知数列an满足：a11，a2a1，|an1an|2n(nN*)若数列a2n1单调递减， 数列a2n单调递增，则数列an的通项公式为 an _ 二二、解答题解答题:本大题共本大题共 6 小题小题，共计共计 90 分分请在请在答题卡指定区域内答题卡指定区域内 作答作答，解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明证明证明 过程或演算步骤过程或演算步骤 15在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与 单位圆交于点 A(x1，y1)将射线 OA 绕原点 O 按逆时针方向旋转 2后，与单位圆 交于点 B(x2，y2)记 f()y1y2
5、(1)求函数 f()的值域； (2)设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c 若 f(C) 2，a 2，c1，求 b i1 S0 While i8 ii3 S2iS End While Print S (第 6 题图) x y A B O (第 15 题图) 第2页 16如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O，E 分别为线段 B1D，AB 的中点 (1)求证：OE平面 BCC1B1； (2)求证：平面 B1DC平面 B1DE 17如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的右准线方程为 x4，右顶点 为 A，上顶点为 B，
6、右焦点为 F，直线 l 经过点 A，且斜率为 2若点 F 到直线 l 的距离为 2 5 5 (1)求 a，b 的值； (2)将直线 l 绕点 A 旋转，与椭圆 C 相交于异于 A 的另一点 P 当 B，F，P 三点共线时，试确定直线 l 的斜率 18某地拟模仿图甲建造一座体育馆，设计方案中，体育馆侧面的外轮廊线是如图乙所示的封闭曲线 ABCD在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 AB 是以 点 E 为圆心的圆的一部分，其中 E(0，t)(0 t25， 单位：米)，曲线 BC 是抛物线 yax250(a0)的一部分，CDAD，且 CD 的长恰好等于 圆 E 的半径假定拟建体育馆的高 OB50 米
7、(1)若 CD30 米，AD24 5米，求 t 与 a 的值； (2)若要求拟建体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米，求 a 的取值范围； (3)若 a 1 25，求拟建体育馆侧面的地基长 AD 的最大值 (参考公式：函数 f(x) ax的导数 f(x) 1 2 ax) 19设数列an是各项均为正数的等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 a1a564，S5S348， (1)求数列an的通项公式； (2)对于正整数 k，m，l(kml)，求证：“mk1 且 lk3”是“5ak，am，al经适当排序后 能构成等差数列”的充要条件； (3)设数列bn满足：对任意 nN *，都有 a 1bna
8、2bn1a3bn2anb13 2n 14n6 若集合 Mn|bn an，nN *中有且仅有 3 个元素，试求实数 的取值范围 20设函数 f(x)ex，g(x)mxn，其中 e 是自然对数的底数，m，nR (1)记 h(x)f(x)g(x)， 在平面直角坐标系 xOy 中，若函数 h(x)的图象在 x0 处的切线过点(1，0)，求 mn 的值； 当 n0 时，若函数 h(x)在区间(1，)内没有零点，求 m 的取值范围； (2)设函数 r(x) 1 f（x） nx g（x），且 n4m(m0)，求证：当 x0 时，r(x)1 B A C D B1 A1 C1 D1 E (第16题图) O x
9、y O l A B F P (第 17 题图) (第 18 题甲) x y O A B C D (第 18 题乙) E F 第1页 金陵中学 2020 届高三数学检测卷（26） 一、填一、填空题空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定 位置上) 1设集合 M2，0，x，集合 N0，1若 NM，则实数 x 的值为 _1 2若复数 zai i (其中 i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数 a 的值为 _1 3某运动员 5 次射箭的环数依次是 9，10，9，7，10，则该组数据的方差是 _6 5 4 甲、 乙两位同学下棋， 若甲获胜的概率
10、为 0.2， 甲、 乙下和棋的概率为 0.5， 则乙获胜的概率为 _ 0.3 5在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2y2a2(a0)的右焦点 与抛物线 y24x 的焦点重合，则 a 的值为 _ 2 2 6运行如图所示的伪代码表示的算法，其输出值为 _42 解读：此题的答案容易错为 22 7若变量 x，y 满足 2xy0， x2y30， x0， 则 2x y 的最大值为 _8 8若一个圆锥的底面半径为 1，侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥的体积为 _ 3 3 9在平面直角坐标系 xOy 中，若函数 f(x)sin(x 6)(0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为 2，且 该函数图象关于点
11、(x0，0)中心对称，x00， 2 ，则 x0 的值为 _5 12 10若实数 x，y 满足 xy0，且 log2xlog2y1，则x 2y2 xy 的最小值为 _4 11在平面直角坐标系 xOy 中，设向量 a(sin2，cos)，b(cos，1)，则“ab”是“tan1 2”的 _条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)必要不充 分 12在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 yx2 与圆 x2y2r2(r0)交于 A，B 两点，若圆上一点 C 满足OC 5 4OA 3 4OB ，则 r 的值为 _ 10 解读：方法 1：(平面向量数量积入手)OC 2(5
12、4OA 3 4OB )225 16OA 225 4OA 3 4OB 9 16OB 2，即 r225 16r 2 15 8 r2cosAOB 9 16r 2，整理化简得 cosAOB3 5过点 O 作 AB 的垂线交 AB 于 D，则 cosAOB 2cos2AOD13 5，得 cos 2AOD1 5又圆心到直线的距离为 OD 2 2 2，所以 cos 2AOD1 5 OD 2 r2 2 r2，所以 r 210，r 10 i1 S0 While i8 ii3 S2iS End While Print S (第 6 题图) 第2页 方法 2：(平面向量坐标化入手)设 A(x1，y1)，B(x2，y
13、2)，C(x，y) 由OC 5 4OA 3 4OB ，得 x5 4x1 3 4x2，y 5 4y1 3 4y2， 则 x2y2(5 4x1 3 4x2) 2(5 4y1 3 4y2) 225 16x 2 125 16y 2 115 8 x1y125 16x 2 225 16y 2 215 8 x2y2， 由题意得，r225 16r 225 16r 215 8 (x1y1x2y2)，联立直线 yx2 与圆 x2y2r2(r0)的方程，由韦达定 理可解得 r 10 方法 3：(平面向量共线定理入手)由OC 5 4OA 3 4OB 得1 2OC 5 8OA 3 8OB ，设 OC 与 AB 交于点
14、M，则 AMB 三点共线由AMO 与BMO 互补结合余弦定理可求得 AB 4 5r，过点 O 作 AB 的垂线交 AB 于 D，根据圆心到直线的距离为 OD 2 2 2，得( 2 5r) 2( 2)2r2，解得 r210，r 10 13设 f(x)是 定 义 在 区 间 2，2上 的 奇 函 数 ，当 x (0，2时 ，f(x) 2x 1，函 数 g(x) x2 2x m若对任意的 x12，2 ， 都存在 x22，2 ，使得 g(x2)f(x1)，则实数 m 的取值范围是 _5，2 14已知数列an满足：a11，a2a1，|an1an|2n(nN*)若数列a2n1单调递减，数列 a2n单调递增
15、，则数列an的通项公式为 an _(2) n1 3 (写成 2 n1 3 ，n是正奇数， 2n1 3 ，n是正偶数 也可) 解读：|an1an|2n(nN*)这种模型 2011 年的北京卷用过，2014 年的湖南卷上又用了 方法一：先采用列举法得 a11，a21，a33，a45，a511，a421，然后从数字的变 化上找规律，得 an1an(1)n12n，再利用累加法即可； 方法二：先采用列举法得 a11，a212，a31222，a4122223，a512 222324，a61222232425，然后从数字的变化上找规律，得 an122223 2425(2)n11222232425(2)n11
16、(2) n 1(2) (2) n1 3 方法三： 因为 a2n1a2n2 2n ， a2na2n12 2n 1， 所以两式相加， 得 a2n1a2n12 2n 2 2n 1，而a2n1递减，所以 a2n1a2n10，故 a2n1a2n2 2n ；同理，由a2n递增，得 a2na2n 12 2n 1又 a2a1，所以 an1an(1)n12n，以下同上 二、解答题二、解答题(本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案 写在答题纸的指定区域内) 15(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角 的始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边与单
17、位圆交于点 A(x1，y1)将射线 OA 绕原点 O 按逆时针方向旋 转 2后，与单位圆交于点 B(x2，y2)记 f()y1y2 x y A B O (第 15 题图) 第3页 (1)求函数 f()的值域； (2)设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c若 f(C) 2，a 2，c1，求 b 解：(1)由题意，得 y1sin，y2sin( 2)cos， 4 分 所以 f()sincos 2sin( 4)， 6 分 因为 (0， 2)，所以 4( 4， 3 4 )，故 f()(1， 2 8 分 (2)因为 f(C) 2sin( 4C) 2，又 C(0， 2)，即 4C( 4
18、， 3 4 )， 所以 C 4 10 分 在 ABC 中，由余弦定理得 c2a2b22abcosC，即 12b22 2 2 2 b， 解得 b1 14 分 (说明：第(2)小题用正弦定理处理的，类似给分) 16(本小题满分 14 分) 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O，E 分别为线段 B1D，AB 的中点 (1)求证：OE平面 BCC1B1； (2)求证：平面 B1DC平面 B1DE (1)证明：连结 BC1设 BC1B1CF，连结 OF 2 分 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，因为四边形 BB1C1C 是正方形， 所以 F 是线段 B1C 的中点 又 O 为线段 B1D
19、的中点，所以 OF 1 2DC 又 E 为线段 AB 的中点，所以 EB 1 2DC 所以 OF EB 所以四边形 OEBF 是平行四边形 所以 OEBF 6 分 又 OE / 面 BCC1B1，BF面 BCC1B1，所以 OE面 BCC1B18 分 (2)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，因为 DC面 BCC1B1，BC1面 BCC1B1， 所以 BC1DC 10 分 由(1)知 BC1OE，所以 OEDC 又 BC1B1C，所以 OEB1C 因为 DC，B1C平面 B1DC，DCB1CC， 所以 BC1平面 B1DC 12 分 而 BC1OE，所以 OE平面 B1DC 又 OE平面 B
20、1DE，所以平面 B1DC平面 B1DE 14 分 B A C D B1 A1 C1 D1 E (第16题图) O B A C D B1 A1 C1 D1 E F O 第4页 17(本小题满分 14 分) 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0) 的右准线方程为 x4，右顶点为 A，上顶点为 B，右焦点为 F，直线 l 经 过点 A，且斜率为 2若点 F 到直线 l 的距离为2 5 5 (1)求 a，b 的值； (2)将直线 l 绕点 A 旋转，与椭圆 C 相交于异于 A 的另一点 P当 B， F，P 三点共线时，试确定直线 l 的斜率 解：(1)
21、由题意知，直线 l 的方程为 y2(xa)，即 2xy2a0， 2 分 所以右焦点 F 到直线 l 的距离为|2c2a| 5 2 5 5 ，所以 ac1. 4 分 又椭圆 C 的右准线为 x4，即a 2 c 4，所以 ca 2 4 ，将此代入上式解得 a2，c1，所以 b23， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31 6 分 (2)由(1)知 B(0， 3)，F(1，0)，所以直线 BF 的方程为 y 3(x1) 8 分 联立方程组 y 3(x1)， x2 4 y2 31， 解得 x 8 5， y3 3 5 ， 或 x0， y 3 (舍)，所以 P(8 5， 3 3 5 ) 12 分 所
22、以直线 l 的斜率 k 0(3 3 5 ) 28 5 3 3 2 14 分 其他方法： 方法二： 由(1)知 B(0， 3)，F(1，0)，所以直线 BF 的方程为 y 3(x1) 由题 A(2，0)，显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x2) 联立方程组 y 3(x1)， yk(x2)， 解得 x2k 3 k 3 ， y 3k k 3， 代入椭圆方程解得 k3 3 2 或 k 3 2 又由题意知 y 3k k 30，解得 k0 或 k 3，所以 k 3 3 2 方法三：由题 A(2，0)，显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x2) x y O l A B
23、F P (第 17 题图) 第5页 联立方程组 yk(x2)， x2 4 y2 31， 消去 y，得 (4k23)x216k2x16k2120(*) 设P(xP，yP)，则 2 与 xP都是方程(*)的解，所以 2xP 16k2 4k23， 即 xP 16k2 4k232 8k26 4k23， 所以 yP 12k 4k23 当 B，F，P 三点共线时有，直线 BP，BF 的斜率 kBP，kBF相等，即 12k 4k23 3 8k26 4k23 3 1 ， 解得 k3 3 2 或 k 3 2 又由题意知，y 3k k 30，解得 k0 或 k 3，所以 k 3 3 2 18(本小题满分 16 分
24、) 某地拟模仿图甲建造一座体育馆，设计方案中，体育馆侧面的外轮廊线是如图乙所示的封闭曲线 ABCD在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分，其中 E(0，t)(0t25，单 位：米)，曲线 BC 是抛物线 yax250(a0)的一部分，CDAD，且 CD 的长恰好等于圆 E 的半 径假定拟建体育馆的高 OB50 米 (1)若 CD30 米，AD24 5米，求 t 与 a 的值； (2)若要求拟建体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米，求 a 的取值范围； (3)若 a 1 25，求拟建体育馆侧面的地基长 AD 的最大值 (第 18 题甲) x y O A
25、B C D (第 18 题乙) E F 第6页 (参考公式：函数 f(x) ax的导数 f(x) 1 2 ax) 解：(1)因为 CD50t30，解得 t20 2 分 此时圆 E 的方程为 x2(y20)2302 令 y0，得 AO10 5， 所以 ODADAO24 510 514 5 将点 C(14 5，30)的坐标代入 yax250(a0)中，解得 a 1 49 4 分 (2)因为圆 E 的半径为 50t，所以 CD50t 在 yax250 中，令 y50t，得 x t a，即 OD t a 由题意知 FD50t t a75 对任意的 t(0，25都成立， 8 分 即 1 a t 25 t
26、对任意的 t(0，25都成立 而当 t25 t，即 t25 时， t 25 t取最小值 10， 所以 1 a10，解得 a 1 100 10 分 (3)当 a 1 25时，OD5 t，又圆 E 的方程为 x 2(yt)2(50t)2，令 y0，得 x10 25t， 所以 AO1025t， 从而 ADf(t)1025t5 t(0t25)， 12 分 又因为 f(t)5( 2 25t 1 t) 5(25t2 t) 25t t 令 f(t)0，得 t5 14 分 当 t(0，5)时，f(t)0，从而 f(t)单调递增；当 t(5，25)时，f(t)0，从而 f(t)单调递减， 所以，当 t5 时，f
27、(t)取最大值为 25 5 答：当 t5 时，AD 的最大值为 25 5 16 分 (说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分) (3)方法二：令 t25cos2，0， 2)，则 AD1025t5 t105sin55cos105sin55cos25 5sin()， 第7页 其中是锐角，且 tan1 2， 从而当 2时，AD 取得最大值为 25 5 方法三：令 x25t，y t，则本题等价于：已知 x2y225(x0，y0)，求 zAD5(2xy)的 最大值 根据线性规划知识， 当直线 y2xz 与圆弧 x2y225(x0， y0)相切时， z 取得最大值为 25 5. 19
28、(本小题满分 16 分) 设数列an是各项均为正数的等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 a1a564，S5S348， (1)求数列an的通项公式； (2)对于正整数 k，m，l(kml)，求证：“mk1 且 lk3”是“5ak，am，al经适当排序后能 构成等差数列”的充要条件； (3)设数列bn满足：对任意的正整数 n，都有 a1bna2bn1a3bn2anb132n 14n 6若集合 Mn|bn an，nN *中有且仅有 3 个元素，试求实数 的取值范围 解：(1)由数列an是各项均为正数的等比数列知，数列an的公比为 q0 又 a1a5a 2 364，且 a30，所以 a38 又因为
29、S5S348，所以 a4a58q28q48，解得 q2， 所以 an82n 32n 4 分 (2)()必要性：设 5ak，am，al经适当排序后能构成等差数列 若 25akamal，则 102k2m2l，所以 102m k2lk，所以 52mk12lk1 因为正整数 k，m，l 满足 kml，所以 lk1mk10，且 lk11， 所以 2l k12mk11，2lk12 所以 2mk11， 2l k14， 即 mk1， lk3 6 分 若 2am5akal，则 22m52k2l，所以 2m 1k2lk5(*) 因为 m1k2，lk2，所以 2m 1k与 2lk都为偶数，而 5 是奇数，所以，等式
30、(*)不成立，从 而等式 2am5akal不成立 若 2al5akam，则同可知，该等式也不成立 综合，得 mk1，lk3，即必要性成立 8 分 ()充分性：设 mk1，lk3，则 5ak，am，al为 5ak，ak1，ak3，即 5ak，2ak，8ak 调整顺序后易知 2ak，5ak，8ak成等差数列，所以充分性也成立 综合()()，原命题成立 10 分 (3)因为 a1bna2bn1a3bn2anb132n14n6， 即 21bn22bn123bn22nb132n14n6， 所以，当 n2 时， 21bn122bn223bn32n1b132n4n2， 第8页 则式两边同乘以 2，得 22b
31、n123bn224bn32nb132n18n4 由式减去式，得 2bn4n2，即 bn2n1(n2) 又当 n1 时，2b1322102，即 b11，适合 bn2n1， 所以 bn2n1 14 分 所以 bn an 2n1 2n ， 所以 bn an bn1 an1 2n1 2n 2n3 2n 152n 2n 所以当 n2 时，bn an bn1 an10，即 b2 a2 b1 a1； 当 n3 时，bn an bn1 an10，此时 bn an单调递减 又b1 a1 1 2， b2 a2 3 4， b3 a3 5 8， b4 a4 7 16，所以 7 16 1 2 所以，实数 的取值范围为区
32、间( 7 16， 1 2 16 分 20(本小题满分 16 分) 设函数 f(x)ex，g(x)mxn，其中 e 是自然对数的底数，m，nR (1)记 h(x)f(x)g(x)， 在平面直角坐标系 xOy 中，若函数 h(x)的图象在 x0 处的切线过点(1，0)，求 mn 的值； 当 n0 时，若函数 h(x)在区间(1，)内没有零点，求 m 的取值范围； (2)设函数 r(x) 1 f（x） nx g（x），且 n4m(m0)，求证：当 x0 时，r(x)1 解：(1)由题意，得 h(x)(f(x)g(x)(exmxn)exm， 所以函数 h(x)的图象在 x0 处切线的斜率 k1m 2
33、分 又 h(0)1n，所以函数 h(x)的图象在 x0 处切线的方程为 y(1n)(1m)x 将点(1，0)的坐标代入，得 mn2 4 分 (2)方法一：当 n0 时，可得 h(x)(exmx)exm 当 x1 时，有 ex1 e，所以 若 m1 e，则 h(x)e xm0，所以函数 h(x)在区间(1，)上单调递增 因为 h(0)1，所以只需 h(1)1 em0，解得 m 1 e，从而 1 em 1 e 6 分 若 m1 e，则由 h(x)e xm0，解得 xlnm(1，) 当 x(1，lnm)时，因为 h(x)0，所以函数 h(x)单调递减；当 x(lnm，)时，因为 h(x)0， 所以函
34、数 h(x)单调递增 第9页 所以函数 h(x)在区间(1，)上有最小值为 h(lnm)mmlnm 由 mmlnm0，解得 me，从而1 eme 综上所述，实数 m 的取值范围为区间1 e，e) 10 分 方法二：当 n0，exmx 当 x0 时，显然不成立； 当 x1 且 x0 时，me x x 令 ye x x ，则 ye xxex x2 e x(x1) x2 当1x0 时，y0，函数 ye x x 单调递减，0x1 时，y0，从而函数 ye x x 单调递减； 当 x1 时，y0，函数 ye x x 单调递增 又 y|x11 e，y|x1e，由题意知 m 的取值范围为区间 1 e，e)
35、(3)由题意 r(x) 1 f（x） nx g（x） 1 ex n mx xn m 1 ex 4x x4， 当 x0 时，不等式 r(x)1 ex 4x x41 等价于 e x(3x4)x40 令 F(x)ex(3x4)x4， 12 分 则 F(0)0，且 F(x)ex(3x1)1，从而 F(0)0 令 G(x)F(x)，则 G(x)ex(3x2) 当 x0 时，所以 G(x)0， 14 分 所以函数 F(x)在区间0，)上单调递增，于是 F(x)F(0)0， 从而函数 F(x)在区间0，)上单调递增，于是 F(x)F(0)0 因此，当 x0 时，r(x)1 16 分 第10页 南京市、盐城市
36、 2015 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分 (本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21 选做题选做题 (在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题纸 的指定区域内) A(选修 41：几何证明选讲) 如图，点 P 为 RtABC 的斜边 AB 的延长线上一点，且 PC 与 ABC 的外接圆 相切，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D若 PA18，PC6，求线段 CD 的长 解：由切割线定理，得 PC2PAPB，解得 PB2，所以 AB16 所以 RtABC 的外接圆半径 r8 5 分 记 RtABC 外接圆的圆心为 O，连
37、OC，则 OCPC 在 RtPOC 中，由面积法得 OCPCPOCD，解得 CD24 5 10 分 B(选修 42：矩阵与变换) 在平面直角坐标系 xOy 中， 求直线 xy10 在矩阵 M 2 2 2 2 2 2 2 2 表示的变换作用下所得曲线 的方程 解：设 P(x，y)是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为 Q(x，y)，则 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y ， 即 2 2 x 2 2 yx， 2 2 x 2 2 yy， 解得 x 2 2 (xy) y 2 2 (yx) 5 分 代入 xy10，得 2 2 (xy) 2 2 (yx)10，化简得 x 2 2 所以，
38、所求的曲线方程为 x 2 2 10 分 C A B D P (第 21-A 题图) 第11页 C(选修 44：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，求圆 2cos 的圆心到直线 2cos( 3)1 的距离 解：以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的正半轴，单位长不变，建立平面直角坐标系 xOy 在 2cos 中，当 2时，0，所以圆的极坐标方程 2cos 可化为 22cos 将 2x2y2，cosx 代入，得圆的直角坐标方程 x2y22x，即(x1)2y21， 所以，圆心的直角坐标为(1，0) 4 分 又直线的极坐标方程 2sin( 3)1 可化为 2( 1 2sin 3 2 cos)1 将 cos
39、x，siny 代入，得直线的直角坐标方程 3xy10 8 分 故所求的圆心到直线的距离 d| 3101| 2 31 2 10 分 D(选修 45：不等式选讲) 解不等式：|x1|x2|4 解：当 x1 时，不等式化可为x12x4，解得3 2x1； 3 分 当1x2 时，不等式化可为 x12x4，解得1x2； 6 分 当 x2 时，不等式化可为 x1x24，解得 2x5 2， 9 分 所以，原不等式的解集为区间(3 2， 5 2) 10 分 必做题必做题 (第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内) 22(本小题满分 10 分) 如图，在直三棱柱 ABCA
40、1B1C1中，ABAC，AB3，AC4， 动点 P 满足CP CC 1 (0)当 1 2时，AB1BP (1)求棱 CC1的长； (2)若二面角 B1ABP 的大小为 3，求 的值 解：(1)以点 A 为坐标原点，AB ，AC，AA 1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的方向向量，建立空间直角 坐标系 Axyz，如图所示设 CC1m，则 B1(3，0，m)，B(3，0，0)，P(0，4，m)， 所以AB1 (3，0，m)，PB(3，4，m)，AB(3，0，0)，2 分 当 1 2时，有AB1 PB0，即 91 2m 20，解得 m3 2 所以棱 CC1的长为 3 2 4 分 C A B P
41、 B1 C1 A1 (第 22 题图) C A B P B1 C1 A1 x y z 第12页 (2)设平面 PAB 的一个法向量为 n1(x，y，z)，则 由 AB n 10， PB n 10， 得 3x0， 3x4y3 2z0，即 x0， 4y3 2z0 取 z1，得 y3 2 4 ，所以平面 PAB 的一个法向量 n1(0，3 2 4 ，1) 6 分 又平面 ABB1与 y 轴垂直，所以平面 ABB1的一个法向量 n2(0，1，0) 因为二面角 B1ABP 的平面角的大小为 3，所以|cosn1，n2|cos 3，即 3 2 4 3 2 4 2 1 1 2 结合 0，解得 2 6 9 10 分 23(本小题满分 10 分) 设集合 S1，2，3，n(nN*，n2)，A，B 是 S 的两个非空子集，且满足集合 A 中的最大 数