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2019-2020学年浙江省宁波市鄞州中学高三(下)期初数学试卷(含详细解答)

1、已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,则“a10”是“S990”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 (4 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)的图象关于直线 x2 对称若当 0x2 时,f(x)x+1,则 f(2019)+f(2020)( ) A0 B1 C2 D4 7 (4 分)已知 A,B 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个A 盒中 第 2 页(共 22 页) 有 m 个红球与 10m 个白球, B 盒中有 10m 个红球与 m 个白球(0m10) ,若从 A, B 盒中各取一个球, 表示所取的 2

2、个球中红球的个数,则当 D 取到最大值时,m 的值 为( ) A3 B5 C7 D9 8 (4 分)在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 P 是正方体棱上的一点,若满足 |PB|+|PD1|m 的点 P 的个数大于 6 个,则 m 的取值范围是( ) A B C D 9 (4 分)已知函数 f(x)满足:对任意的实数 x,y,都有 f(x+y)f(x)+f(y)+4xy 成立,且 f(2) f(2)64,则( ) A B C D 10 (4 分)已知数列an满足 a11,则使得最小的 整数 m 是( ) A65 B64 C63 D62 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共

3、 7 小题,多空题每题小题,多空题每题 6 分,单空题每题分,单空题每题 4 分,共分,共 36 分分. 11 (6 分)设 i 为虚数单位,给定复数,则 z 的虚部为 ;模为 12 (6 分)二项式的展开式中常数项等于 ,有理项共有 项 13 (6 分)已知直线 l:2mx+(1m2)ym10,到当实数 m 变化时,原点 O 到直线 l 距离的最大值为 ; 平面内所有恒不在 l 上的点 (x, y) 所形成的图形面积为 14(6 分) 在ABC 中, AC4, D 为线段 BC 的中点, 则 BC , SABC 15 (6 分)已知抛物线 E:y24x 和直线 l:xy+40,P 是直线上

4、l 一点,过点 P 做抛物 线的两条切线,切点分别为 A,B,C 是抛物线上异于 A,B 的任一点,抛物线在 C 处的 切线与 PA,PB 分别交于 M,N,则PMN 外接圆面积的最小值为 16 (6 分)已知平面向量 , 满足,则的取值范围 是 17 (6 分)已知 m,nR,mn,函数 f(x)(x+t)2(xR) (其中表示 第 3 页(共 22 页) 对于 xR,当 tm,n时表达式(x+t)2的最大值) ,则 f(x)的最小值为 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

5、 18已知,令 ()求 f(x)的最小正周期及的解集; ()锐角ABC 中,边,求ABC 周长最大值 19如图,在四棱台 ABCDA1B1C1D1中,底面是正方形,且 AD2AA12A1D12DD1 2,点 E,F 分别为棱 BC,B1C1的中点,二面角 A1ADB 的平面角大小为 ()证明:ADEF; ()求直线 AA1与平面 BCC1B1所成角的正弦值 20已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn(n+2) (an1) ,nN* ()证明:为常数列,并求 an; ()令,求数列bn的前 n 项和 Tn 21已知 F1,F2分别为椭圆 E:的左、右焦点,离心率为,P 是 椭圆上异于

6、左右顶点的一动点,已知F1PF2的内切圆半径的最大值为 ()求椭圆 E 的方程; ()设直线 xm(0|m|a)与椭圆 E 交于 A,B 两点(不同于点 P) ,直线 AP,BP 分别与直线相交于点 M,N,证明: 22已知函数 ()讨论函数 f(x)的单调性; ()若 f(x)0 对任意的 x1 恒成立,求 a 的取值范围; 第 4 页(共 22 页) ()证明: 第 5 页(共 22 页) 2019-2020 学年浙江省宁波市鄞州中学高三(下)期初数学试卷学年浙江省宁波市鄞州中学高三(下)期初数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择一、选择题:本大题共题:本大题共 10 小

7、题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (4 分)已知全集 U2,1,0,1,2,3,集合 Ax|x2,xN,B1,2, 则U(AB)( ) A1,2 B0,1,2 C2,1,3 D2,1,0, 3 【分析】求出集合 A,再求出 AB,得出结论 【解答】解:全集 U2,1,0,1,2,3,集合 Ax|x2,xN0,1,2, B1,2, AB0,1,2, 则U(AB)2,1,3, 故选:C 【点评】考查集合的交并补运算,基础题 2 (4 分)已知双曲线1(a0,b0)的一

8、条渐近线方程为 yx,则该双曲 线的离心率为( ) A B C D2 【分析】利用双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程为 yx,可得 a 2b,即可求出双曲线的离心率 【解答】解:双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程为 yx, a2b, cb, 双曲线的离心率是 e 故选:A 第 6 页(共 22 页) 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,要熟练掌握 双曲线的简单性质 3 (4 分)已知实数 x,y 满足,则 zx2y 的最小值为( ) A4 B2 C0 D2 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可 【解答】解:由 zx2y

9、 得 yxz; 作出实数 x,y 对应的平面区域如图: (阴影部分 ABO) : 平移直线 yxz; 由图象可知当直线 yxz,过点 A(0,2)时, 直线 yxz 的截距最大,此时 z 最小, 代入目标函数 zx2y, 得 z0224, 目标函数 zx2y 的最小值是4; 故选:A 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关 键,利用数形结合是解决问题的基本方法 4 (4 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) 第 7 页(共 22 页) A2 B C D3 【分析】该几何体为三棱锥 PABC利用三棱锥体积公式求得几何体的体积 【解答】解

10、:如图,该几何体为三棱锥 PABC 则该几何体的体积是 V, 故选:B 【点评】本题考查了三视图还原几何体,属于基础题 5 (4 分)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,则“a10”是“S990”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】设等比数列an的公比为 q,分 q1 和 q1 两类分析得答案 【解答】解:设等比数列an的公比为 q, 若 q1,由 a10,得 S990,反之成立; 若 q1, 1q 与 1q99同号0,则 a10S990 第 8 页(共 22 页) “a10”是“S990”的充要条件 故选:C 【点评】本题考查等比数列

11、的前 n 项和,考查充分必要条件的判定,是中档题 6 (4 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)的图象关于直线 x2 对称若当 0x2 时,f(x)x+1,则 f(2019)+f(2020)( ) A0 B1 C2 D4 【分析】根据题意,分析可得 f(x+8)f(x+4)f(x) ,则 f(x)是周期为 8 的周 期函数;结合函数的解析式求出 f(2019)和 f(2020)的值,据此计算可得答案 【解答】解:根据题意,f(x)是 R 上的奇函数,则有 f(x)f(x) ,且 f(0)0, 又由 f(x)的图象关于直线 x2 对称,则有 f(x)f(4x) , 则有f(x

12、)f(x4) ,变形可得 f(x+4)f(x) ,则有 f(x+8)f(x+4) f(x) , 故 f(x)是周期为 8 的周期函数; 又由当 0x2 时,f(x)x+1, 则 f(2019)f(3+2528)f(3)f(1)1+12, f(2020)f(4+2528)f(4)f(0)0, 故有 f(2019)+f(2020)2+02; 故选:C 【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用,注意分析函数的周期性,属于基础题 7 (4 分)已知 A,B 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个A 盒中 有 m 个红球与 10m 个白球, B 盒中有 10m 个红球与 m 个白球(0m

13、10) ,若从 A, B 盒中各取一个球, 表示所取的 2 个球中红球的个数,则当 D 取到最大值时,m 的值 为( ) A3 B5 C7 D9 【分析】 由题意可得: 0, 1, 2 P (0) , P (1) +, P(2)可得分布列,可得 E 与 D 【解答】解:由题意可得:0,1,2 P(0),P(1)+, 第 9 页(共 22 页) P(2) 分布列为: 0 1 2 P E0+1+21 D(01) 2 +(11) 2 +(21) 2 当且仅当 m5 时取等号 故选:B 【点评】本题考查了相互独立、互斥事件的概率与数学期望计算公式,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题 8 (4 分)

14、在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 P 是正方体棱上的一点,若满足 |PB|+|PD1|m 的点 P 的个数大于 6 个,则 m 的取值范围是( ) A B C D 【分析】首先说明:满足条件|PB|+|PD1|2的点 P 有 12 个,符合题意再说明: 8 个顶点中,除了 B,D1两个以外的 6 个顶点满足|PB|+|PD1|2+2,且是正方体棱 上的所有点中的最大值,只有这 6 个顶点因此除了以上 6 个顶点以外的点满足: |PB|+|PD1|2+2,不难得出满足条件:2|PB|+|PD1|2+2的点 P 都满足 |PB|+|PD1|m 的点 P 的个数大于 6 个,结

15、合选择支即可得出结论 【解答】解:分类讨论:正方体的棱长为 2, BD12, 点 P 是正方体棱上的一点(不包括棱的端点) ,满足|PB|+|PD1|2, 点 P 是以 2c2为焦距,以 a为长半轴,以为短半轴的椭圆, P 在正方体的棱上,P 应是椭圆与正方体与棱的交点, 结合正方体的性质可知,满足条件的点应该在正方体的 12 条棱上各有一点满足条件 满足|PB|+|PD1|2的点 P 的个数为 12 个满足条件 8 个顶点中,除了 B,D1两个以外的 6 个顶点满足|PB|+|PD1|2+2,且是正方体棱 上的所有点中的最大值,只有这 6 个顶点 第 10 页(共 22 页) 因此除了以上

16、6 个顶点以外的点满足:|PB|+|PD1|2+2, 不难得出满足条件: 2|PB|+|PD1|2+2的点 P 都满足|PB|+|PD1|m 的点 P 的个数 大于 6 个, 由选择支可得只能选择 D 故选:D 【点评】本题考查了正方体的性质、椭圆的意义、数形结合方法、分类讨论方法,考查 了推理能力与计算能力,属于难题 9 (4 分)已知函数 f(x)满足:对任意的实数 x,y,都有 f(x+y)f(x)+f(y)+4xy 成立,且 f(2) f(2)64,则( ) A B C D 【分析】结合已知可对 x 进行合理的赋值,逐步推出 f()的值即可求解 【解答】解:因为 f(x+y)f(x)+

17、f(y)+4xy, 令 xy0 可得 f(0)2f(0)即 f(0)0, 令 x2,y2 可得 f(0)f(2)+f(2)160, 所以 f(2)16f(2) 因为 f(2) f(2)64, 联立可得,f(2)f(2)8, 又因为 f(1+1)2f(1)+48, 所以 f(1)2, 因为 f()2f()+42f()+, 所以 f(1)f()f()+f()+3f()+2, 第 11 页(共 22 页) 所以 f(), 故 f() 故选:A 【点评】本题主要考查了利用抽象函数求解函数值,解题的关键是进行合理的赋值 10 (4 分)已知数列an满足 a11,则使得最小的 整数 m 是( ) A65

18、B64 C63 D62 【分析】推导出 an+1,从而 an+1an+2,进而利用累 加法求出 a20204040,再由 an+1,得到 , n 2 , 利 用 累 加 法 求 出 2+64,由此能求出使得 最小的整数 m 【解答】解:数列an满足 a11, an+1, an+1an+2, an(anan1)+(an1an2)+(a2a1)+a1 2n1+()2n, (n2) , a20204040, an+1, ,n2, 第 12 页(共 22 页) 2+64, 最接近的整数是 64, 使得最小的整数 m 是 64 故选:B 【点评】本题考查满足条件的最小正整数的求法,考查累加求和法等基础知

19、识,考查推 理能力与计算能力,属于中档题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题小题,多空题每题 6 分,单空题每题分,单空题每题 4 分分,共,共 36 分分. 11 (6 分)设 i 为虚数单位,给定复数,则 z 的虚部为 ;模为 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义、模的计算公式即可得出 【解答】解:复数+i, 则 z 的虚部为 ;|z|, 故答案为:; 【点评】本题考查复数的运算法则、虚部的定义、模的计算公式,考查了推理能力与计 算能力,属于基础题 12 (6 分)二项式的展开式中常数项等于 15 ,有理项共有 4 项 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x

20、 的幂指数等于 0,求出 r 的值,即可求得常数 项再把 r 的所有取值分别代入幂指数即可求出其有理项的个数 【解答】 解: 二项式的展开式的通项公式为 Tr+1 x 令0,求得 r2,可得展开式中常数项为 15, 令 r0,1,2,3,4,5,6;可得3,0,3,6; 所以其有理项有 4 项 故答案为:15,4 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质, 属于基础题 第 13 页(共 22 页) 13 (6 分)已知直线 l:2mx+(1m2)ym10,到当实数 m 变化时,原点 O 到直线 l 距离的最大值为 22 ;平面内所有恒不在 l 上的点(x,y

21、)所形成的图形面积为 【分析】由点到直线的距离公式求出,再由均值不等式求出最大值,方程转化不在直线 上的点可得关于 m 的二次方程无解,可得曲线方程,进而求出面积 【 解 答 】 解 : O到 直 线 的 距 离d 22, 2mx+(1m2)ym10 转化为:ym2+(12x)my+10,不在直线上的点可得关 于 m 的方程无解,所以(12x)2+4y(y1)0,即(x)2+(y)2, 即不在直线上的点在以(,)为圆心,以为半径的圆上,所以圆的面积为 () 2 , 故答案为:22, 【点评】本题考查了点到直线的距离公式,考查了计算能力,属于基础题 14 (6 分) 在ABC 中, AC4, D

22、 为线段 BC 的中点, 则 BC 2 , SABC 【分析】如图所示,设ADB,则ADCADm在ABD,ACD 中, 分别利用余弦定理相加可得:c2+b22m2+代入可得 a由 AB2+BC2AC2,可得 ABC90即可得出 SABC 【解答】解:如图所示,在ABC 中, 设ADB,则ADC,令 ADm, 在ABD,ACD 中,分别利用余弦定理可得:c2m2+2mcos,b2m2+ 2mcos() , 相加可得:c2+b22m2+ 第 14 页(共 22 页) 代入可得:+422+,解得 a2 AB2+BC2AC2,ABC90, SABC2, 故答案为:2,2 【点评】本题考查了余弦定理勾股

23、定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题 15 (6 分)已知抛物线 E:y24x 和直线 l:xy+40,P 是直线上 l 一点,过点 P 做抛物 线的两条切线,切点分别为 A,B,C 是抛物线上异于 A,B 的任一点,抛物线在 C 处的 切线与 PA,PB 分别交于 M,N,则PMN 外接圆面积的最小值为 【分析】由抛物线的光学性质可知,P,M,F,N 四点共圆,则面积最小值为以|PF|为直 径的圆,而|PF|的最小值即为焦点 F 到直线 l 的距离,由此即可得解 【解答】解:由抛物线的光学性质可知,P,M,F,N 四点共圆, 则当点 P 确定时,选择恰当的 C,面

24、积最小值即为以|PF|为直径的圆, 而|PF|的最小值即为焦点 F 到直线 l 的距离, 即此时外接圆的半径为, 此时的面积为, 即PMN 外接圆面积的最小值为 故答案为: 第 15 页(共 22 页) 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线性质的运用,考查运算求解能 力,属于较难题目 16 (6 分)已知平面向量 , 满足,则的取值范围是 1,3 【 分 析 】 不 妨 设, 由 题 意 化 简 可 得, 则 表示椭圆上的动点 B(x,y)到定点 F(1,0) (椭 圆的左焦点)的距离,由椭圆性质即可得解 【解答】解:不妨设,则, 又, ,化简整理得, 则表示椭圆上的动点 B(x

25、,y)到定点 F(1,0) (椭圆的左焦点)的距离, 由椭圆性质可知,|BF|的最大值为 2+13,最小值为 211, 故答案为:1,3 【点评】本题考查平面向量模长范围的求解,涉及了平面向量的坐标运算以及椭圆的简 单几何性质,解题的关键是将纯平面向量问题坐标化,进而通过几何意义得解,考查化 归与转化思想,属于中档题 第 16 页(共 22 页) 17 (6 分)已知 m,nR,mn,函数 f(x)(x+t)2(xR) (其中表示 对于 xR,当 tm,n时表达式(x+t)2的最大值) ,则 f(x)的最小值为 【分析】设 h(t)(x+t) 2,tm,n的最大值为 f(x) ,由题意可得 ,

26、 两式相加后利用不等式即可求得,进而得解 【 解 答 】 解 : 不 妨 令 h ( t) ( x+t) 2 , tm , n 的 最 大 值 为 f( x ) , 则 , , , 当且仅当时取 等号, ,即 f(x)的最小值为 故答案为: 【点评】本题考查二次函数的性质以及基本不等式的运用,考查运算求解能力,属于中 档题 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18已知,令 ()求 f(x)的最小正周期及的解集; ()锐角ABC 中,边,求ABC 周长最大值 【分析】 ()先

27、根据数量积以及三角函数的有关知识整理解析式,进而求解结论即可 ()先根据条件求出角 A,根据正弦定理表示出周长,结合角的范围即可求解 【解答】 解:(), T, , 第 17 页(共 22 页) ,kZ, 的解集是 (), , , 锐角三角形且角, ,当时,a+b+c 最大为, ABC 周长最大值为 【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题 19如图,在四棱台 ABCDA1B1C1D1中,底面是正方形,且 AD2AA12A1D12DD1 2,点 E,F 分别为棱 BC,B1C1的中点,二面角 A1ADB 的平面角大小为 ()证明:ADEF; ()

28、求直线 AA1与平面 BCC1B1所成角的正弦值 【分析】 ()延长 AA1,BB1,CC1,DD1,EF 交于点 P,取 AD 中点 M,连接 PM,EM, 运用线面垂直的判定和性质,即可得证; () 连接 AC 交 ME 于 O 点, 连接 C1O, 运用中位线定理和线面角的定义可得直线 C1O 与平面 BCC1B1所成角和直线 AA1与平面 BCC1B1所成角相等, 由面面垂直的性质定理过 O 作 OHPE,连接 C1H,OC1H 是直线 C1O 与平面 BCC1B1所成角由()得 PME 是二面角 A1ADB 的平面角,由解三角形的知识可得 OH,再由直角三角形的正 弦函数的定义可得所

29、求值 【解答】解: ()证明:如图所示,延长 AA1,BB1,CC1,DD1,EF 交于点 P, 第 18 页(共 22 页) 由题意得 PAPD2,取 AD 中点 M,连接 PM,EM, 则 ADPM,ADME,又 PMMEM, 所以 AD平面 PME,又 EF平面 PME, 所以 ADEF; ()连接 AC 交 ME 于 O 点,连接 C1O, 则 C1OPA 且1, 所以直线 C1O 与平面 BCC1B1所成角和直线 AA1与平面 BCC1B1所成角相等, 由()得 AD平面 PME,又 BCAD,所以 BC平面 PME, 又 BC平面 BCC1B1,所以平面 BCC1B1平面 PME,

30、 又平面 BCC1B1平面 PMEPE, 过 O 作 OHPE,连接 C1H,则 OH平面 BCC1B1, 则OC1H 是直线 C1O 与平面 BCC1B1所成角 由()得PME 是二面角 A1ADB 的平面角, 所 以, 在 PME中 , PE , SPOESPME,即OH2, 计算得, 在直角OC1H 中, 所以直线 AA1与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系,主要是平行和垂直的判定和性质, 考查空间的二面角和线面角的求法,考查空间想象能力和推理能力,属于中档题 第 19 页(共 22 页) 20已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 2

31、Sn(n+2) (an1) ,nN* ()证明:为常数列,并求 an; ()令,求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 ()由 2Sn(n+2) (an1) ,当 n2 时,2Sn1(n+1) (an11)相减化 简可得:,所以为常数列即可得出 ()由()得22n+12n+1+1,可得 ,bn(1)n(2n+1+1) 通 过分类讨论求和即可得出 【解答】 ()证明:因为 2Sn(n+2) (an1), 当 n2 时,2Sn1(n+1) (an11), 得,2an(n+2)an(n+1)an11,即 nan(n+1)an11, 同除 n(n+1)得, 整理得,所以为常数列 因为 2S1(1+2

32、) (a11) ,所以 a13, 则,所以 an2n+1 ()解:由()得22n+12n+1+1, 所以, 则 bn(1)n(2n+1+1) 当 n2k,kN*时, 22+2324+25+2n+2n+1, 当 n2k1,kN*时, 综上,TnkN* 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、分类讨论方法,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题 第 20 页(共 22 页) 21已知 F1,F2分别为椭圆 E:的左、右焦点,离心率为,P 是 椭圆上异于左右顶点的一动点,已知F1PF2的内切圆半径的最大值为 ()求椭圆 E 的方程; ()设直线 xm(0|m|a)与椭圆 E 交于 A,B

33、 两点(不同于点 P) ,直线 AP,BP 分别与直线相交于点 M,N,证明: 【分析】 ()先求出 a2c,又当PF1F2面积最大时,r 最大,即 P 点位于 椭圆短轴顶点时,代入计算可得 a,b,c 的值,从而求出椭圆 E 的方程; ()先分别表达出点 M,N 的坐标,代入化简即可得到 【解答】解: ()由题意知:, a2c,b2a2c2, 设PF1F2的内切圆半径为 r,则 , 故当PF1F2面积最大时,r 最大,即 P 点位于椭圆短轴顶点时, 所以,把 a2c,代入,解得:a2, 所以椭圆方程为; ()设 A(m,y0) ,B(m,y0) ,P(x1,y1) ,则,(*) , ,令得,

34、 从而,同理, 第 21 页(共 22 页) 【点评】本题主要考查了椭圆方程,以及直线与椭圆的位置关系,是中档题 22已知函数 ()讨论函数 f(x)的单调性; ()若 f(x)0 对任意的 x1 恒成立,求 a 的取值范围; ()证明: 【分析】 ()函数的定义域为1,+) ,然后分 a0 和 a0 两个类别,讨论 f(x)的符号,从而确定函数 f(x)的单调性; ()先将函数的恒成立问题转化为函数的最值问题,然后结合()中函数的单调性, 求出函数的最大值,列出关于 a 的不等式,解之即可得解; ( ) 在 ( ) 的 基 础 上 , 取, 有 不 等 式成 立 , 再 取 ,则 , 然后结

35、合放缩法和等差数列的前 n 项和公式进行证明即可 【解答】解:函数的定义域为1,+) , ()当 a0 时,f(x)0,所以 f(x)在1,+)上单调递增; 当 a0 时,令 f(x)0,则,此时 f(x)单调递增; 令 f(x)0,则,此时 f(x)单调递减; 综上所述, 当 a0 时,f(x)在1,+)上单调递增; 第 22 页(共 22 页) 当 a0 时,f(x)在上单调递增;在上单调递减 ()当 a0 时,故不合题意; 当 a0 时,由()知,解得, 故 a 的取值范围为 ()证明:由()知,取,有不等式成立 当时, 得, 所以 【点评】本题考查导数的综合应用,涉及利用导数求含参函数的单调性和最值、函数的 恒成立问题,以及放缩法证明不等式、等差数列的前 n 项和公式等问题,考查学生转化 与回归的能力和运算能力,属于难题