1、双曲线的离心率等于（ ） A B C D 3 （4 分）已知非零向量 ， ，则“ 0”是“向量 ， 夹角为锐角”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （4 分）若实数 x，y 满足不等式组，则（ ） Ay1 Bx2 Cx+2y0 D2xy+10 5 （4 分）设正实数 x，y 满足 exey（ex）y，则当 x+y 取得最小值时，x（ ） A1 B2 C3 D4 6 （4 分）已知随机变量 的取值为 i（i0，1，2） 若，E（）1，则（ ） AP（1）D（） BP（1）D（） CP（1）D（） D 7 （4 分）下列不可能是函数 f（x）x
2、a（2x+2 x） （aZ）的图象的是（ ） A B C D 8 （4 分）若函数 yf（x） ，yg（x）定义域为 R，且都不恒为零，则（ ） 第 2 页（共 18 页） A若 yf（g（x） ）为周期函数，则 yg（x）为周期函数 B若 yf（g（x） ）为偶函数，则 yg（x）为偶函数 C若 yf（x） ，yg（x）均为单调递增函数，则 yf（x） g（x）为单调递增函数 D若 yf（x） ，yg（x）均为奇函数，则 yf（g（x） ）为奇函数 9 （4 分）已知椭圆（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，抛物线 y22px（p 0）的焦点为 F2设两曲线的一个交点为 P，若，则椭圆的离
3、心率 为（ ） A B C D 10 （4 分）已知非常数数列an满足（nN*， 为非零常数） 若 +0，则（ ） A存在 ，对任意 a1，a2，都有数列an为等比数列 B存在 ，对任意 a1，a2，都有数列an为等差数列 C存在 a1，a2，对任意 ，都有数列an为等差数列 D存在 a1，a2，对任意 ，都有数列an为等比数列 二、填空题：单空题每题二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）设复数 z 满足（1+i） z2i（i 为虚数单位） ，则 z ，|z| 12 （6 分） 已知二项式的展开式中含 x2的项的系数为 15，
4、则 a ， 展开式中各项系数和等于 13 （6 分） 在ABC 中， BAC 的平分线与 BC 边交于点 D， sinC2sinB， 则 ； 若 ADAC1，则 BC 14 （6 分）已知函数，则 ff（2019） ；若关于 x 的方程 f（x+a）0 在（，0）内有唯一实根，则实数 a 的取值范围是 15 （4 分）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等 5 人报名参加了 A，B，C 三个项目 的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需 1 名志愿者若甲不能参加 A，B 项目，乙不 能参加 B，C 项目，那么共有 种不同的选拔志愿者的方案 （用数字作答） 16 （4 分）已知函数 f（x）x39
5、x，g（x）3x2+a（aR） 若方程 f（x）g（x）有三 第 3 页（共 18 页） 个不同的实数解 x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则 a 17 （4 分） 在平面凸四边形 ABCD 中， AB2， 点 M， N 分别是边 AD， BC 的中点， 且， 若，则 三、解答题：三、解答题：5 小题，共小题，共 74 分分 18 （14 分）已知函数（xR） （1）求 f（x）的最小正周期； （2）求 f（x）在区间上的值域 19 （15 分）已知函数 f（x）x2+k|x1|2 （1）当 k1 时，求函数 f（x）的单调递增区间 （2）若 k2，试判断方程 f（x）1 的根的个数
6、20 （15 分）如图，在ABC 中，P 为 CD 上一点，且满足 ，若ABC 的面积为 （1）求 m 的值； （2）求的最小值 21 （15 分） 设公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn， 等比数列bn的前 n 项和为 Tn， 若 a2是 a1与 a4的等比中项，a612，a1b1a2b21 （1）求 an，Sn与 Tn； （2）若，求证： 22 （15 分）设函数 f（x）ex+ax，aR （1）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围； （2）若对任意 x0，+）均有 2f（x）+3x2+a2，求 a 的取值范围 第 4 页（共 18 页） 2019-2020 学年浙江省
7、杭州市高三（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 4 分，共分，共 40 分分 1 （4 分）设集合 Ax|x2，Bx|（x1） （x3）0，则 AB（ ） Ax|x1 Bx|2x3 Cx|1x3 Dx|x2 或 x1 【分析】化简集合 B，根据交集的定义写出 AB 【解答】解：集合 Ax|x2， Bx|（x1） （x3）0x|1x3， 则 ABx|2x3 故选：B 【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题 2 （4 分）双曲线的离心率等于（ ） A B C D 【分析】由双曲线1 可得 a2
8、4，b21，可得 a2，c，利用离心 率计算公式即可得出 【解答】解：由双曲线1 可得 a24，b21， a2，c 双曲线的离心率 e 故选：A 【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题 3 （4 分）已知非零向量 ， ，则“ 0”是“向量 ， 夹角为锐角”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 与 都是非零向量，则“向量 与 夹角为锐角”“” ，反之不成 立，即可判断出结论 第 5 页（共 18 页） 【解答】解： 与 都是非零向量，则“向量 与 夹角为锐角”“” ，反之 不成立，可能同向共线 因此“”是“向量 与 夹角为
9、锐角”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理 能力与计算能力，属于基础题 4 （4 分）若实数 x，y 满足不等式组，则（ ） Ay1 Bx2 Cx+2y0 D2xy+10 【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合图象即可求解 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： ； 由图可得 A，B 均不成立； 对于 C：因为直线 x+2y0 过平面区域，红线所表，故函数值有正有负，不成立 故只有答案 D 成立 故选：D 【点评】本题考查了简单的线性规划，体现了数形结合的数学思想方法及数学转化思想 方法，是中档题 5 （4 分）设正实
10、数 x，y 满足 exey（ex）y，则当 x+y 取得最小值时，x（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据 exey（ex）y，可得 x+yxy，再利用基本不等式可得，从而 第 6 页（共 18 页） 得到，然后确定当 x+y 取得最小值时 x 的值即可 【解答】解：正实数 x，y 满足 exey（ex）y，x+yxy， 又， xy4，x+y4，当且仅当 xy2 时取等号， 当 x+y 取得最小值时，x2 故选：B 【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了方程思想，属基础题 6 （4 分）已知随机变量 的取值为 i（i0，1，2） 若，E（）1，则（ ） AP（1）D（） BP（1
11、）D（） CP（1）D（） D 【分析】推导出 P（1）+2P（2）1，P（1）+P（2）从而 P（1） ，P（2），由此推导出 P（1）D（） 【解答】解：随机变量 的取值为 i（i0，1，2） ，E（）1， P（1）+2P（2）1， P（1）+P（2）， P（1），P（2）， D（）+ P（1）D（） 故选：C 【点评】本题考查 P（1）与 D（）大小关系的判断，考查离散型随机变量的分布列、 数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 7 （4 分）下列不可能是函数 f（x）xa（2x+2 x） （aZ）的图象的是（ ） A B 第 7 页（共 18 页） C D 【分析】
12、根据题意，分 a0、a0 和 a0 三种情况讨论，分析函数 f（x）的定义域、 奇偶性以及单调性，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）xa（2x+2 x） （aZ） ， 当 a0，f（x）（ex+e x） ， （x0）其定义域为x|x0，f（x）为偶函数，不经过原 点且在第一象限为增函数，A 选项符合； 当 a 为正整数时，f（x）xa（ex+e x） ，其定义域为 R，图象经过原点，没有选项符合； 当 a 为负整数时，f（x）xa（ex+e x） ，其定义域为x|x0，其导数 f（x）axa1 （ex+e x）+xa（exex） ， 当 x0 时，f（x）xa 1a（ex+e
13、x）+x（exex）xa1（a+x）ex+（ax）ex， 则 f（x）先负后正，故 f（x）不经过原点且在第一象限先减后增，BD 符合； 故选：C 【点评】本题考查函数图象分析，涉及函数的奇偶性与单调性的分析，属于基础题 8 （4 分）若函数 yf（x） ，yg（x）定义域为 R，且都不恒为零，则（ ） A若 yf（g（x） ）为周期函数，则 yg（x）为周期函数 B若 yf（g（x） ）为偶函数，则 yg（x）为偶函数 C若 yf（x） ，yg（x）均为单调递增函数，则 yf（x） g（x）为单调递增函数 D若 yf（x） ，yg（x）均为奇函数，则 yf（g（x） ）为奇函数 【分析】举例
14、说明 A，B，C 错误；利用函数奇偶性的定义证明 D 正确 【解答】解：令 f（x）sinx，g（x）2x，函数 sin2x 是周期函数，但 yg（x）不是周 期函数，故 A 错误； 令 f（x）x2+1，g（x）2x，则 f（g（x） ）4x2+1 为偶函数，但 yg（x）不是偶函 数，故 B 错误； 令 f（x）x，g（x）x3，yf（x） ，yg（x）均为 R 上的单调递增函数，但 yf（x） g（x）x4在 R 上不单调，故 C 错误； 由 yf（x） ，yg（x）均为奇函数，则 f（x）f（x） ，g（x）g（x） ，且两 函数定义域均关于原点对称， 第 8 页（共 18 页） 则
15、f（g（x） ）f（g（x） ）f（g（x） ） ，且定义域关于原点对称，函数 yf（g（x） ） 为奇函数，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的性质，是中档题 9 （4 分）已知椭圆（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，抛物线 y22px（p 0）的焦点为 F2设两曲线的一个交点为 P，若，则椭圆的离心率 为（ ） A B C D 【分析】设 P（x0，y0） ，由，p2c，可得 x0，由椭圆、抛物线 焦半径公式可得 aex0x，整理可得：aee即可 【解答】解：设 P（x0，y0） ， ， ，则 2c（cx0）， 抛物线 y22px（p0）的焦点为 F
16、2p2c， 由可得 x0， 由椭圆、抛物线焦半径公式可得 aex0x 整理可得：ae2e2+5e30 解得 e（负值舍） 故选：A 【点评】本题考查了椭圆、抛物线的性质，运用焦半径公式计算使得解题过程简化，属 第 9 页（共 18 页） 于中档题 10 （4 分）已知非常数数列an满足（nN*， 为非零常数） 若 +0，则（ ） A存在 ，对任意 a1，a2，都有数列an为等比数列 B存在 ，对任意 a1，a2，都有数列an为等差数列 C存在 a1，a2，对任意 ，都有数列an为等差数列 D存在 a1，a2，对任意 ，都有数列an为等比数列 【分析】 本题先将递推式进行变形， 然后令 t， 根
17、据题意有常数 t0， 且 t1 将 递推式通过换元法简化为 an+2tan+1+（1t）an两边同时减去 an+1，可得 an+2an+1 （t1） （an+1an） 根据此时逐步递推可得 an+1an（t1） （anan1）（t1） 2（an 1an2）（t1）n 1（a 2a1） 根据题意有 a2a10，则当 t11，即 t2，即2，即 +20 时，可得到数列an是一个等差数列由此可得正确选 项 【解答】解：由题意，得an+1+an 令 t，则1t， ， 为非零常数且 +0， t，1t 均为非零常数， 常数 t0，且 t1 故 an+2tan+1+（1t）an 两边同时减去 an+1，可得
18、 an+2an+1tan+1an+1+（1t）an （t1） （an+1an） 常数 t0，且 t1 t11，且 t10 an+1an（t1） （anan1）（t1）2（an1an2）（t1）n 1（a 2a1） 数列an是非常数数列， a2a10， 则当 t11，即 t2，即2，即 +20 时， 第 10 页（共 18 页） an+1ananan1an1an2a2a1 此时数列an很明显是一个等差数列 存在 ，只要满足 ， 为非零，且 +20 时，对任意 a1，a2，都有数列an为 等差数列 故选：B 【点评】本题主要考查递推式的基本知识，考查了等差数列和等比数列的基本性质，换 元法的应用，
19、逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 二、填空题：单空题每题二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）设复数 z 满足（1+i） z2i（i 为虚数单位） ，则 z 1+i ，|z| 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算 公式求解 【解答】解：由（1+i） z2i，得 z， |z| 故答案为：1+i； 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 12 （6 分）已知二项式的展开式中含 x2的项的系数为 15，则 a 1 ， 展开式中各项系数和等于 64 【分析】由题意
20、利用二项展开式的通项公式，求出 a 的值，再令 x1，可得展开式中各 项系数和 【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1arx6 2r，令 6 2r2 求得 r2， 故展开式中含 x2的项的系数为a215，则 a1 再令 x1，可得展开式中各项系数和等于（1+1）664， 故答案为：1；64 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 13 （6 分）在ABC 中，BAC 的平分线与 BC 边交于点 D，sinC2sinB，则 2 ； 第 11 页（共 18 页） 若 ADAC1，则 BC 【分析】根据三角形角平分线定理和正弦定理，即可求
21、出的值； 由余弦定理列出方程，即可求得 BD、CD 和 BC 的值 【解答】解：如图所示， ABC 中，BAC 的平分线与 BC 边交于点 D，sinC2sinB， 所以 c2b， 所以2； 由 ADAC1， 所以 AB2AC2，设 DCx，则 BD2x， 由余弦定理得 cosBAD， cosCAD， 又BADCAD， 所以，解得 x； 所以 BC3x 故答案为：2， 【点评】本题考查了角平分线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是中档题 14 （6 分）已知函数，则 ff（2019） 0 ；若关于 x 的方程 f （x+a）0 在（，0）内有唯一实根，则实数 a 的取值范围是 1， 【分析】推导
22、出 f（2019）cos2019cos1，从而 ff（2019）f（1）1（ 1）20作出函数的图象，结合图形，能求出实数 a 的取值范 围 第 12 页（共 18 页） 【解答】解：函数， f（2019）cos2019cos1， ff（2019）f（1）1（1）20 作出函数的图象，如下图： 设 f（x）与 x 轴从左到右的两个交点分别为 A（1，0） ，B（，0） ， f（x+a）与 f（x）的图象是平移关系， 关于 x 的方程 f（x+a）0 在（，0）内有唯一实根， 结合图形，得实数 a 的取值范围是（1， 故答案为：0， （1， 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，
23、考查运算求解能力，是中 档题 15 （4 分）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等 5 人报名参加了 A，B，C 三个项目 的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需 1 名志愿者若甲不能参加 A，B 项目，乙不 能参加 B，C 项目，那么共有 21 种不同的选拔志愿者的方案 （用数字作答） 【分析】由题意可以分为四类，每一类分别求解，再根据分类计数原理可得 【解答】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加 C 项目，乙只能参见 A 项目，B 项目有 3 种方法， 若甲参加，乙不参加，则甲只能参加 C 项目，A，B 项目，有 A326 种方法， 若甲参加，乙不参加，则乙只能参加 A 项目，B，C 项目，
24、有 A326 种方法， 若甲不参加，乙不参加，有 A336 种方法， 根据分类计数原理，共有 3+6+6+621 种 第 13 页（共 18 页） 故答案为：21 【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题 16 （4 分）已知函数 f（x）x39x，g（x）3x2+a（aR） 若方程 f（x）g（x）有三 个不同的实数解 x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则 a 11 【分析】问题等价为函数 h（x）x33x29x 与常函数 ya 由三个不同的实数根，依 题意，函数 h（x）关于（x2，h（x2） ）中心对称，而利用三次函数的性质可求得 x21， 进而求得 a 的值 【解
25、答】解：方程 f（x）g（x）即为 x33x29xa，依题意，函数 h（x）x33x2 9x 与常函数 ya 由三个不同的实数根 x1，x2，x3， 不妨设 x1x2x3，由 x1，x2，x3构成等差数列可知，函数 h（x）关于（x2，h（x2） ）中 心对称， 而三次函数的对称中心点就是二阶导函数的零点，且 h（x）3x26x9，h（x） 6x6， 令 h（x）6x60，解得 x1，即 x21，故函数 h（x）的对称中心即为（1，11） ， 则 a11 故答案为：11 【点评】本题考查导数的运用，考查逻辑推理能力及转化思想，解题的关键是分析出函 数 h（x）关于（x2，h（x2） ）中心对称
26、，且熟悉结论三次函数的对称中心点就是二阶导 函数的零点，属于中档题 17 （4 分） 在平面凸四边形 ABCD 中， AB2， 点 M， N 分别是边 AD， BC 的中点， 且， 若，则 2 【分析】取 BD 的中点 O，连接 OM，ON，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及 加减运算，计算可得所求值 【解答】解：取 BD 的中点 O，连接 OM，ON， 可得， 平方可得， 即有， 第 14 页（共 18 页） ，即有 （） （） （）（）（4）， 解得， 所以， 故答案为：2 【点评】本题考查向量数量积的性质和向量的中点表示，化简整理的运算能力，属于中 档题 三、解答题：三、解答题：5
27、小题，共小题，共 74 分分 18 （14 分）已知函数（xR） （1）求 f（x）的最小正周期； （2）求 f（x）在区间上的值域 【分析】 （1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性， 得出结论 （2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论 【解答】解： （1）函数sin2x sin2xcos2x+sinxcosx sin2xcos2xsin（2x） ， f（x）的最小正周期为 （2）在区间上，2x，故当 2x时，函数 第 15 页（共 18 页） f（x）取得最小值为， 当 2x时，函数 f（x）取得最大值为， 故 f（x）的值域为， 【点评】本题主要考查三
28、角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域， 属于中档题 19 （15 分）已知函数 f（x）x2+k|x1|2 （1）当 k1 时，求函数 f（x）的单调递增区间 （2）若 k2，试判断方程 f（x）1 的根的个数 【分析】 （1）写出 k1 时的函数解析式，分别讨论各段的单调增区间即可得 f（x）的单 调增区间； （2）解出各段上函数的解析式，再结合 k 的取值范围得到方程根的个数 【解答】解： （1）k1 时，f（x）x2+|x1|2， 当 x1 时，f（x）（x+）2，此时函数在1，+）上单调递增； 当 x1 时，f（x）（x）2，此时函数在（，1）上单调递增， 综上函数 f
29、（x）的单调递增区间是（，+） ； （2）当 x1 时，则 x2+k（x1）21，即（x1） （x+1+k）0，即 x1k， 或 x1； 当 x1 时，则 x2k（x1）21，即（x1） （x+1k）0，即 xk1， 故当 k2，1k1，k11，则方程有 3 个不等实数根； 当 k2 时，1k1，k13，则方程有 2 个不等实数根 【点评】本题考查函数单调区间的求法，考查方程根的个数，分类讨论是关键，属于中 档题 20 （15 分）如图，在ABC 中，P 为 CD 上一点，且满足 ，若ABC 的面积为 （1）求 m 的值； （2）求的最小值 第 16 页（共 18 页） 【分析】 （1）利用面
30、积可得 bc8，利用，可知 C、P、D 三点共线，即 可求出 m 的值； （2）由（1）可表示出|，利用机泵不等式可得最小值 【解答】解： （1）设|c，|b，所以 SABCbcsin2，解得 bc8， 由m+m+，且 C，P，D 三点共线， 所以 m+1，解得 m； （2）由（1）可知， 所以|2（）2 因为bccos4， 所以|22， 故|，当且仅当 b2，c时取得等号， 综上|的最小值为 【点评】本题考查平面向量基本定理，考查三角形面积公式，属于中档题 21 （15 分） 设公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn， 等比数列bn的前 n 项和为 Tn， 若 a2是 a1与 a
31、4的等比中项，a612，a1b1a2b21 （1）求 an，Sn与 Tn； （2）若，求证： 【分析】 （1）由题意得，代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差， 则等差数列的通项公式与前 n 项和可求； （2）由，结合 01 恒成立，即可得 第 17 页（共 18 页） 到 cn，结合等差数列的前 n 项和公式即可证明 【解答】 （1）解：由题意得，即，得 a1d（d 0） ， 由 a612，得 a1d2 ana1+（n1）d2+2（n1）2n， 由 a1b1a2b21，得， ； （2）证明：， 由 01 恒成立，cn， c1+c2+cn 【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性
32、质，训练了利用放缩法证明 数列不等式，是中档题 22 （15 分）设函数 f（x）ex+ax，aR （1）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围； （2）若对任意 x0，+）均有 2f（x）+3x2+a2，求 a 的取值范围 【分析】 （1）求出导数，分类讨论 a 的正负即可； （2）表示出 g（x）2f（x）+3x2a2，求出其导数，构造函数，再利用导数判断出 g （x）单调区间，进而求出 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）ex+a， 当 a0 时，f（x）0，则 f（x）在 R 上单调递增，不满足题意； 当 a0 时，令 f（x）0，解得 xln（a） ，则 f（x）在（，l
33、n（a） ）上单 调递减，在（ln（a） ，+）上单调递增，要使 f（x）有两个零点，只需 f（ln（a） ） 0，解得 ae； （2）令 g（x）2f（x）+3x2a22ex（xa）2+3，x0， 则 g（x）2（exx+a） ，又令 h（x）2（exx+a） ，则 h（x）2（ex1）0， 第 18 页（共 18 页） 所以 h（x）在0，+）上单调递增，且 h（0）2（a+1） ， 当 a1 时，g（x）0 恒成立，即函数 g（x）在0，+）上单调递增， 从而必须满足 g（0）5a20，解得a， 又因为 a1，所以1a； 当 a1 时，则存在 x00，使 h（x0）0 且 x（0，x0）时，h（x）0，即 g（x） 0，即 g（x）单调递减， x（x0，+）时，h（x）0，即 g（x）0，即 g（x）单调递增， 所以 g（x）最小值为 g（x0）0， 又 h（x0）2（）0， 从而0，解得 0x0ln3， 由x0a，则 ax0， 令 M（x）xex，0xln3，则 M（x）1ex0， 所以 M（x）在（0，ln3 上单调递减， 则 M（x）M（ln3）ln33，又 M（x）M（0）1， 故 ln33a1， 综上，ln33a 【点评】本题考查函数导数求单调区间，考查参数的取值范围，综合性较强，属于难题