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2019-2020学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、双曲线的离心率等于( ) A B C D 3 (4 分)已知非零向量 , ,则“ 0”是“向量 , 夹角为锐角”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 (4 分)若实数 x,y 满足不等式组,则( ) Ay1 Bx2 Cx+2y0 D2xy+10 5 (4 分)设正实数 x,y 满足 exey(ex)y,则当 x+y 取得最小值时,x( ) A1 B2 C3 D4 6 (4 分)已知随机变量 的取值为 i(i0,1,2) 若,E()1,则( ) AP(1)D() BP(1)D() CP(1)D() D 7 (4 分)下列不可能是函数 f(x)x

2、a(2x+2 x) (aZ)的图象的是( ) A B C D 8 (4 分)若函数 yf(x) ,yg(x)定义域为 R,且都不恒为零,则( ) 第 2 页(共 18 页) A若 yf(g(x) )为周期函数,则 yg(x)为周期函数 B若 yf(g(x) )为偶函数,则 yg(x)为偶函数 C若 yf(x) ,yg(x)均为单调递增函数,则 yf(x) g(x)为单调递增函数 D若 yf(x) ,yg(x)均为奇函数,则 yf(g(x) )为奇函数 9 (4 分)已知椭圆(ab0)的左右焦点分别为 F1,F2,抛物线 y22px(p 0)的焦点为 F2设两曲线的一个交点为 P,若,则椭圆的离

3、心率 为( ) A B C D 10 (4 分)已知非常数数列an满足(nN*, 为非零常数) 若 +0,则( ) A存在 ,对任意 a1,a2,都有数列an为等比数列 B存在 ,对任意 a1,a2,都有数列an为等差数列 C存在 a1,a2,对任意 ,都有数列an为等差数列 D存在 a1,a2,对任意 ,都有数列an为等比数列 二、填空题:单空题每题二、填空题:单空题每题 4 分,多空题每题分,多空题每题 6 分,共分,共 36 分分 11 (6 分)设复数 z 满足(1+i) z2i(i 为虚数单位) ,则 z ,|z| 12 (6 分) 已知二项式的展开式中含 x2的项的系数为 15,

4、则 a , 展开式中各项系数和等于 13 (6 分) 在ABC 中, BAC 的平分线与 BC 边交于点 D, sinC2sinB, 则 ; 若 ADAC1,则 BC 14 (6 分)已知函数,则 ff(2019) ;若关于 x 的方程 f(x+a)0 在(,0)内有唯一实根,则实数 a 的取值范围是 15 (4 分)杭州亚运会启动志愿者招募工作,甲、乙等 5 人报名参加了 A,B,C 三个项目 的志愿者工作,因工作需要,每个项目仅需 1 名志愿者若甲不能参加 A,B 项目,乙不 能参加 B,C 项目,那么共有 种不同的选拔志愿者的方案 (用数字作答) 16 (4 分)已知函数 f(x)x39

5、x,g(x)3x2+a(aR) 若方程 f(x)g(x)有三 第 3 页(共 18 页) 个不同的实数解 x1,x2,x3,且它们可以构成等差数列,则 a 17 (4 分) 在平面凸四边形 ABCD 中, AB2, 点 M, N 分别是边 AD, BC 的中点, 且, 若,则 三、解答题:三、解答题:5 小题,共小题,共 74 分分 18 (14 分)已知函数(xR) (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间上的值域 19 (15 分)已知函数 f(x)x2+k|x1|2 (1)当 k1 时,求函数 f(x)的单调递增区间 (2)若 k2,试判断方程 f(x)1 的根的个数

6、20 (15 分)如图,在ABC 中,P 为 CD 上一点,且满足 ,若ABC 的面积为 (1)求 m 的值; (2)求的最小值 21 (15 分) 设公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn, 等比数列bn的前 n 项和为 Tn, 若 a2是 a1与 a4的等比中项,a612,a1b1a2b21 (1)求 an,Sn与 Tn; (2)若,求证: 22 (15 分)设函数 f(x)ex+ax,aR (1)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围; (2)若对任意 x0,+)均有 2f(x)+3x2+a2,求 a 的取值范围 第 4 页(共 18 页) 2019-2020 学年浙江省

7、杭州市高三(上)期末数学试卷学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:每小题一、选择题:每小题 4 分,共分,共 40 分分 1 (4 分)设集合 Ax|x2,Bx|(x1) (x3)0,则 AB( ) Ax|x1 Bx|2x3 Cx|1x3 Dx|x2 或 x1 【分析】化简集合 B,根据交集的定义写出 AB 【解答】解:集合 Ax|x2, Bx|(x1) (x3)0x|1x3, 则 ABx|2x3 故选:B 【点评】本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题 2 (4 分)双曲线的离心率等于( ) A B C D 【分析】由双曲线1 可得 a2

8、4,b21,可得 a2,c,利用离心 率计算公式即可得出 【解答】解:由双曲线1 可得 a24,b21, a2,c 双曲线的离心率 e 故选:A 【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质,属于基础题 3 (4 分)已知非零向量 , ,则“ 0”是“向量 , 夹角为锐角”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 与 都是非零向量,则“向量 与 夹角为锐角”“” ,反之不成 立,即可判断出结论 第 5 页(共 18 页) 【解答】解: 与 都是非零向量,则“向量 与 夹角为锐角”“” ,反之 不成立,可能同向共线 因此“”是“向量 与 夹角为

9、锐角”的必要不充分条件 故选:B 【点评】本题考查了向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理 能力与计算能力,属于基础题 4 (4 分)若实数 x,y 满足不等式组,则( ) Ay1 Bx2 Cx+2y0 D2xy+10 【分析】作出不等式组对应的平面区域,结合图象即可求解 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: ; 由图可得 A,B 均不成立; 对于 C:因为直线 x+2y0 过平面区域,红线所表,故函数值有正有负,不成立 故只有答案 D 成立 故选:D 【点评】本题考查了简单的线性规划,体现了数形结合的数学思想方法及数学转化思想 方法,是中档题 5 (4 分)设正实

10、数 x,y 满足 exey(ex)y,则当 x+y 取得最小值时,x( ) A1 B2 C3 D4 【分析】根据 exey(ex)y,可得 x+yxy,再利用基本不等式可得,从而 第 6 页(共 18 页) 得到,然后确定当 x+y 取得最小值时 x 的值即可 【解答】解:正实数 x,y 满足 exey(ex)y,x+yxy, 又, xy4,x+y4,当且仅当 xy2 时取等号, 当 x+y 取得最小值时,x2 故选:B 【点评】本题考查了利用基本不等式求最值,考查了方程思想,属基础题 6 (4 分)已知随机变量 的取值为 i(i0,1,2) 若,E()1,则( ) AP(1)D() BP(1

11、)D() CP(1)D() D 【分析】推导出 P(1)+2P(2)1,P(1)+P(2)从而 P(1) ,P(2),由此推导出 P(1)D() 【解答】解:随机变量 的取值为 i(i0,1,2) ,E()1, P(1)+2P(2)1, P(1)+P(2), P(1),P(2), D()+ P(1)D() 故选:C 【点评】本题考查 P(1)与 D()大小关系的判断,考查离散型随机变量的分布列、 数学期望、方差的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 7 (4 分)下列不可能是函数 f(x)xa(2x+2 x) (aZ)的图象的是( ) A B 第 7 页(共 18 页) C D 【分析】

12、根据题意,分 a0、a0 和 a0 三种情况讨论,分析函数 f(x)的定义域、 奇偶性以及单调性,综合即可得答案 【解答】解:根据题意,函数 f(x)xa(2x+2 x) (aZ) , 当 a0,f(x)(ex+e x) , (x0)其定义域为x|x0,f(x)为偶函数,不经过原 点且在第一象限为增函数,A 选项符合; 当 a 为正整数时,f(x)xa(ex+e x) ,其定义域为 R,图象经过原点,没有选项符合; 当 a 为负整数时,f(x)xa(ex+e x) ,其定义域为x|x0,其导数 f(x)axa1 (ex+e x)+xa(exex) , 当 x0 时,f(x)xa 1a(ex+e

13、x)+x(exex)xa1(a+x)ex+(ax)ex, 则 f(x)先负后正,故 f(x)不经过原点且在第一象限先减后增,BD 符合; 故选:C 【点评】本题考查函数图象分析,涉及函数的奇偶性与单调性的分析,属于基础题 8 (4 分)若函数 yf(x) ,yg(x)定义域为 R,且都不恒为零,则( ) A若 yf(g(x) )为周期函数,则 yg(x)为周期函数 B若 yf(g(x) )为偶函数,则 yg(x)为偶函数 C若 yf(x) ,yg(x)均为单调递增函数,则 yf(x) g(x)为单调递增函数 D若 yf(x) ,yg(x)均为奇函数,则 yf(g(x) )为奇函数 【分析】举例

14、说明 A,B,C 错误;利用函数奇偶性的定义证明 D 正确 【解答】解:令 f(x)sinx,g(x)2x,函数 sin2x 是周期函数,但 yg(x)不是周 期函数,故 A 错误; 令 f(x)x2+1,g(x)2x,则 f(g(x) )4x2+1 为偶函数,但 yg(x)不是偶函 数,故 B 错误; 令 f(x)x,g(x)x3,yf(x) ,yg(x)均为 R 上的单调递增函数,但 yf(x) g(x)x4在 R 上不单调,故 C 错误; 由 yf(x) ,yg(x)均为奇函数,则 f(x)f(x) ,g(x)g(x) ,且两 函数定义域均关于原点对称, 第 8 页(共 18 页) 则

15、f(g(x) )f(g(x) )f(g(x) ) ,且定义域关于原点对称,函数 yf(g(x) ) 为奇函数,故 D 正确 故选:D 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查函数的性质,是中档题 9 (4 分)已知椭圆(ab0)的左右焦点分别为 F1,F2,抛物线 y22px(p 0)的焦点为 F2设两曲线的一个交点为 P,若,则椭圆的离心率 为( ) A B C D 【分析】设 P(x0,y0) ,由,p2c,可得 x0,由椭圆、抛物线 焦半径公式可得 aex0x,整理可得:aee即可 【解答】解:设 P(x0,y0) , , ,则 2c(cx0), 抛物线 y22px(p0)的焦点为 F

16、2p2c, 由可得 x0, 由椭圆、抛物线焦半径公式可得 aex0x 整理可得:ae2e2+5e30 解得 e(负值舍) 故选:A 【点评】本题考查了椭圆、抛物线的性质,运用焦半径公式计算使得解题过程简化,属 第 9 页(共 18 页) 于中档题 10 (4 分)已知非常数数列an满足(nN*, 为非零常数) 若 +0,则( ) A存在 ,对任意 a1,a2,都有数列an为等比数列 B存在 ,对任意 a1,a2,都有数列an为等差数列 C存在 a1,a2,对任意 ,都有数列an为等差数列 D存在 a1,a2,对任意 ,都有数列an为等比数列 【分析】 本题先将递推式进行变形, 然后令 t, 根

17、据题意有常数 t0, 且 t1 将 递推式通过换元法简化为 an+2tan+1+(1t)an两边同时减去 an+1,可得 an+2an+1 (t1) (an+1an) 根据此时逐步递推可得 an+1an(t1) (anan1)(t1) 2(an 1an2)(t1)n 1(a 2a1) 根据题意有 a2a10,则当 t11,即 t2,即2,即 +20 时,可得到数列an是一个等差数列由此可得正确选 项 【解答】解:由题意,得an+1+an 令 t,则1t, , 为非零常数且 +0, t,1t 均为非零常数, 常数 t0,且 t1 故 an+2tan+1+(1t)an 两边同时减去 an+1,可得

18、 an+2an+1tan+1an+1+(1t)an (t1) (an+1an) 常数 t0,且 t1 t11,且 t10 an+1an(t1) (anan1)(t1)2(an1an2)(t1)n 1(a 2a1) 数列an是非常数数列, a2a10, 则当 t11,即 t2,即2,即 +20 时, 第 10 页(共 18 页) an+1ananan1an1an2a2a1 此时数列an很明显是一个等差数列 存在 ,只要满足 , 为非零,且 +20 时,对任意 a1,a2,都有数列an为 等差数列 故选:B 【点评】本题主要考查递推式的基本知识,考查了等差数列和等比数列的基本性质,换 元法的应用,

19、逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 二、填空题:单空题每题二、填空题:单空题每题 4 分,多空题每题分,多空题每题 6 分,共分,共 36 分分 11 (6 分)设复数 z 满足(1+i) z2i(i 为虚数单位) ,则 z 1+i ,|z| 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,然后利用复数模的计算 公式求解 【解答】解:由(1+i) z2i,得 z, |z| 故答案为:1+i; 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题 12 (6 分)已知二项式的展开式中含 x2的项的系数为 15,则 a 1 , 展开式中各项系数和等于 64 【分析】由题意

20、利用二项展开式的通项公式,求出 a 的值,再令 x1,可得展开式中各 项系数和 【解答】解:二项式的展开式的通项公式为 Tr+1arx6 2r,令 6 2r2 求得 r2, 故展开式中含 x2的项的系数为a215,则 a1 再令 x1,可得展开式中各项系数和等于(1+1)664, 故答案为:1;64 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质, 属于基础题 13 (6 分)在ABC 中,BAC 的平分线与 BC 边交于点 D,sinC2sinB,则 2 ; 第 11 页(共 18 页) 若 ADAC1,则 BC 【分析】根据三角形角平分线定理和正弦定理,即可求

21、出的值; 由余弦定理列出方程,即可求得 BD、CD 和 BC 的值 【解答】解:如图所示, ABC 中,BAC 的平分线与 BC 边交于点 D,sinC2sinB, 所以 c2b, 所以2; 由 ADAC1, 所以 AB2AC2,设 DCx,则 BD2x, 由余弦定理得 cosBAD, cosCAD, 又BADCAD, 所以,解得 x; 所以 BC3x 故答案为:2, 【点评】本题考查了角平分线定理和正弦、余弦定理的应用问题,是中档题 14 (6 分)已知函数,则 ff(2019) 0 ;若关于 x 的方程 f (x+a)0 在(,0)内有唯一实根,则实数 a 的取值范围是 1, 【分析】推导

22、出 f(2019)cos2019cos1,从而 ff(2019)f(1)1( 1)20作出函数的图象,结合图形,能求出实数 a 的取值范 围 第 12 页(共 18 页) 【解答】解:函数, f(2019)cos2019cos1, ff(2019)f(1)1(1)20 作出函数的图象,如下图: 设 f(x)与 x 轴从左到右的两个交点分别为 A(1,0) ,B(,0) , f(x+a)与 f(x)的图象是平移关系, 关于 x 的方程 f(x+a)0 在(,0)内有唯一实根, 结合图形,得实数 a 的取值范围是(1, 故答案为:0, (1, 【点评】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,

23、考查运算求解能力,是中 档题 15 (4 分)杭州亚运会启动志愿者招募工作,甲、乙等 5 人报名参加了 A,B,C 三个项目 的志愿者工作,因工作需要,每个项目仅需 1 名志愿者若甲不能参加 A,B 项目,乙不 能参加 B,C 项目,那么共有 21 种不同的选拔志愿者的方案 (用数字作答) 【分析】由题意可以分为四类,每一类分别求解,再根据分类计数原理可得 【解答】解:若甲,乙都参加,则甲只能参加 C 项目,乙只能参见 A 项目,B 项目有 3 种方法, 若甲参加,乙不参加,则甲只能参加 C 项目,A,B 项目,有 A326 种方法, 若甲参加,乙不参加,则乙只能参加 A 项目,B,C 项目,

24、有 A326 种方法, 若甲不参加,乙不参加,有 A336 种方法, 根据分类计数原理,共有 3+6+6+621 种 第 13 页(共 18 页) 故答案为:21 【点评】本题考查了分类计数原理,关键是分类,属于中档题 16 (4 分)已知函数 f(x)x39x,g(x)3x2+a(aR) 若方程 f(x)g(x)有三 个不同的实数解 x1,x2,x3,且它们可以构成等差数列,则 a 11 【分析】问题等价为函数 h(x)x33x29x 与常函数 ya 由三个不同的实数根,依 题意,函数 h(x)关于(x2,h(x2) )中心对称,而利用三次函数的性质可求得 x21, 进而求得 a 的值 【解

25、答】解:方程 f(x)g(x)即为 x33x29xa,依题意,函数 h(x)x33x2 9x 与常函数 ya 由三个不同的实数根 x1,x2,x3, 不妨设 x1x2x3,由 x1,x2,x3构成等差数列可知,函数 h(x)关于(x2,h(x2) )中 心对称, 而三次函数的对称中心点就是二阶导函数的零点,且 h(x)3x26x9,h(x) 6x6, 令 h(x)6x60,解得 x1,即 x21,故函数 h(x)的对称中心即为(1,11) , 则 a11 故答案为:11 【点评】本题考查导数的运用,考查逻辑推理能力及转化思想,解题的关键是分析出函 数 h(x)关于(x2,h(x2) )中心对称

26、,且熟悉结论三次函数的对称中心点就是二阶导 函数的零点,属于中档题 17 (4 分) 在平面凸四边形 ABCD 中, AB2, 点 M, N 分别是边 AD, BC 的中点, 且, 若,则 2 【分析】取 BD 的中点 O,连接 OM,ON,运用向量的中点表示和数量积的性质,以及 加减运算,计算可得所求值 【解答】解:取 BD 的中点 O,连接 OM,ON, 可得, 平方可得, 即有, 第 14 页(共 18 页) ,即有 () () ()()(4), 解得, 所以, 故答案为:2 【点评】本题考查向量数量积的性质和向量的中点表示,化简整理的运算能力,属于中 档题 三、解答题:三、解答题:5

27、小题,共小题,共 74 分分 18 (14 分)已知函数(xR) (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间上的值域 【分析】 (1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式,再根据正弦函数的周期性, 得出结论 (2)由题意利用正弦函数的定义域和值域,得出结论 【解答】解: (1)函数sin2x sin2xcos2x+sinxcosx sin2xcos2xsin(2x) , f(x)的最小正周期为 (2)在区间上,2x,故当 2x时,函数 第 15 页(共 18 页) f(x)取得最小值为, 当 2x时,函数 f(x)取得最大值为, 故 f(x)的值域为, 【点评】本题主要考查三

28、角恒等变换,正弦函数的周期性,正弦函数的定义域和值域, 属于中档题 19 (15 分)已知函数 f(x)x2+k|x1|2 (1)当 k1 时,求函数 f(x)的单调递增区间 (2)若 k2,试判断方程 f(x)1 的根的个数 【分析】 (1)写出 k1 时的函数解析式,分别讨论各段的单调增区间即可得 f(x)的单 调增区间; (2)解出各段上函数的解析式,再结合 k 的取值范围得到方程根的个数 【解答】解: (1)k1 时,f(x)x2+|x1|2, 当 x1 时,f(x)(x+)2,此时函数在1,+)上单调递增; 当 x1 时,f(x)(x)2,此时函数在(,1)上单调递增, 综上函数 f

29、(x)的单调递增区间是(,+) ; (2)当 x1 时,则 x2+k(x1)21,即(x1) (x+1+k)0,即 x1k, 或 x1; 当 x1 时,则 x2k(x1)21,即(x1) (x+1k)0,即 xk1, 故当 k2,1k1,k11,则方程有 3 个不等实数根; 当 k2 时,1k1,k13,则方程有 2 个不等实数根 【点评】本题考查函数单调区间的求法,考查方程根的个数,分类讨论是关键,属于中 档题 20 (15 分)如图,在ABC 中,P 为 CD 上一点,且满足 ,若ABC 的面积为 (1)求 m 的值; (2)求的最小值 第 16 页(共 18 页) 【分析】 (1)利用面

30、积可得 bc8,利用,可知 C、P、D 三点共线,即 可求出 m 的值; (2)由(1)可表示出|,利用机泵不等式可得最小值 【解答】解: (1)设|c,|b,所以 SABCbcsin2,解得 bc8, 由m+m+,且 C,P,D 三点共线, 所以 m+1,解得 m; (2)由(1)可知, 所以|2()2 因为bccos4, 所以|22, 故|,当且仅当 b2,c时取得等号, 综上|的最小值为 【点评】本题考查平面向量基本定理,考查三角形面积公式,属于中档题 21 (15 分) 设公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn, 等比数列bn的前 n 项和为 Tn, 若 a2是 a1与 a

31、4的等比中项,a612,a1b1a2b21 (1)求 an,Sn与 Tn; (2)若,求证: 【分析】 (1)由题意得,代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差, 则等差数列的通项公式与前 n 项和可求; (2)由,结合 01 恒成立,即可得 第 17 页(共 18 页) 到 cn,结合等差数列的前 n 项和公式即可证明 【解答】 (1)解:由题意得,即,得 a1d(d 0) , 由 a612,得 a1d2 ana1+(n1)d2+2(n1)2n, 由 a1b1a2b21,得, ; (2)证明:, 由 01 恒成立,cn, c1+c2+cn 【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查等比数列的性

32、质,训练了利用放缩法证明 数列不等式,是中档题 22 (15 分)设函数 f(x)ex+ax,aR (1)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围; (2)若对任意 x0,+)均有 2f(x)+3x2+a2,求 a 的取值范围 【分析】 (1)求出导数,分类讨论 a 的正负即可; (2)表示出 g(x)2f(x)+3x2a2,求出其导数,构造函数,再利用导数判断出 g (x)单调区间,进而求出 a 的取值范围 【解答】解: (1)f(x)ex+a, 当 a0 时,f(x)0,则 f(x)在 R 上单调递增,不满足题意; 当 a0 时,令 f(x)0,解得 xln(a) ,则 f(x)在(,l

33、n(a) )上单 调递减,在(ln(a) ,+)上单调递增,要使 f(x)有两个零点,只需 f(ln(a) ) 0,解得 ae; (2)令 g(x)2f(x)+3x2a22ex(xa)2+3,x0, 则 g(x)2(exx+a) ,又令 h(x)2(exx+a) ,则 h(x)2(ex1)0, 第 18 页(共 18 页) 所以 h(x)在0,+)上单调递增,且 h(0)2(a+1) , 当 a1 时,g(x)0 恒成立,即函数 g(x)在0,+)上单调递增, 从而必须满足 g(0)5a20,解得a, 又因为 a1,所以1a; 当 a1 时,则存在 x00,使 h(x0)0 且 x(0,x0)时,h(x)0,即 g(x) 0,即 g(x)单调递减, x(x0,+)时,h(x)0,即 g(x)0,即 g(x)单调递增, 所以 g(x)最小值为 g(x0)0, 又 h(x0)2()0, 从而0,解得 0x0ln3, 由x0a,则 ax0, 令 M(x)xex,0xln3,则 M(x)1ex0, 所以 M(x)在(0,ln3 上单调递减, 则 M(x)M(ln3)ln33,又 M(x)M(0)1, 故 ln33a1, 综上,ln33a 【点评】本题考查函数导数求单调区间,考查参数的取值范围,综合性较强,属于难题