1、2020 届辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）届辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.每小题给出的四个选项中，只有一每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1设集合 Ax|2x3，B1，0，1，2，3，则集合 AB 为（ ） A2，1，0，1，2 B1，0，1，2 C1，0，1，2，3 D2，1，0，1，2，3 2若复数 z 满足（1+i）z2，则 z 的虚部为（ ） A1 Bi Ci D1 3下列函数中是偶函数，且在（0，+）是增函数的是（ ）
2、Ayln|x| Bycosx Cyx2 Dyx3 4设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a4+a512，则 S8的值为（ ） A14 B28 C36 D48 5PM2.5 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 PM2.5 日均 值在 35g/m3以下空气质量为一级，在 3575g/m3空气质量为二级，超过 75g/m3为超 标如图是某地 12 月 1 日至 10 日的 PM2.5（单位：g/m3）的日均值，则下列说法正确 的是（ ） A10 天中 PM2.5 日均值最低的是 1 月 3 日 B从 1 日到 6 日 PM2.5 日均值逐渐升高 C这 10 天中恰有
3、5 天空气质量不超标 D这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数是 43 6已知抛物线 y24x 上点 B（在第一象限）到焦点 F 距离为 5，则点 B 坐标为（ ） A （1，1） B （2，3） C （4，4） D(4，3) 7设 ， 是非零向量，则“ ”是“| +2 | 2 |的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件 8如图是函数 f（x）2sin（x+） （0，| 2）的部分图象，则 ， 的值分别为 （ ） A1， 3 B1， 6 C2， 6 D2， 6 9设数列an的前 n 项和为 Sn若 a11，an+12Sn+1，nN*，则 S5值为（
4、） A363 B121 C80 D40 10已知 a0，b0，1 + 1 = 1，则 a+b 的最小值为（ ） A1 4 B1 2 C2 D4 11已知 a，b 是两条直线， 是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A若 a，b，ab，则 B若 ，a，则 a C若 ，a，则 a D若 ，a，则 a 12某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，10，11，9已知这组数据 的平均数为 10，方差为 2，则|xy|的值为（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答卷纸的相应位
5、置上）分，把答案填在答卷纸的相应位置上） 13已知 x，y 满足约束条件 0， 0， 2 则 zx+y 的最大值为 14已知双曲线 2 2 2 2 =l（a0，b0）的渐近线方程为 yx，则该双曲线的离心率 为 15定义在（1，+）上的函数 f（x）满足下列两个条件： （1）对任意的 x（1，+）恒 有 f（2x）2f（x）成立； （2）当 x（1，2时，f（x）2x则 f（6）的值是 16已知矩形 ABCD 中，点 AB8，AD6，沿对角线 BD 折叠成空间四边形 ABCD，则空 间四边形 ABCD 的外接球的表面积为 三、解答题， （本大题共三、解答题， （本大题共 5 小题，共小题，共
6、70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设函数 f（x）2sinxcosx2cos2（x+ 4） （）求 f（x）的单调递增区间； （）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（ 2）0，a= 3，c 1，求 b 18某中学高三（3）班有学生 50 人，现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到 如图频率分布直方图，其中数据的分组区间为：0，2， （2，4， （4，6， （6，8， （8， 10， （10，12 （）从每周平均体育锻炼时间在0，4的学生中，随机抽取 2 人进行调查，求这 2 人的 每周平均
7、体育锻炼时间都超过 2 小时的概率； （）现全班学生中有 40%是女生，其中 3 个女生的每周平均体育锻炼时间不超过 4 小 时，若每周平均体育锻炼时间超过 4 小时称为经常锻炼，问：有没有 90%的把握说明， 经常锻炼与否与性别有关？ 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（X2X0） 0.100 0.050 0.010 0.001 X0 2.706 3.841 6.635 10.828 19如图所示，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，CBB160，A 在侧面 BB1C1C 上的投影恰为 B1C 的中点 O，E 为 AB 的中点 （1）证明：OE平面 ACC1
8、A1； （1）若 AC 与平面 BB1C1C 所成角为 45，且 BC2，求 E 到平面 ACC1A1的距离 20已知过点(1， 3 2)的曲线 C 的方程为( 1) 2+ 2+ ( + 1)2+ 2 = 2 （）求曲线 C 的标准方程： （） 已知点 F （1， 0） ， A 为直线 x4 上任意一点， 过 F 作 AF 的垂线交曲线 C 于点 B， D （i）证明：OA 平分线段 BD（其中 O 为坐标原点） ； （ii）求| |最大值 21已知函数 f（x）2sinxx2+2x，曲线 f（x）在函数零点处的切线方程为 ykx+b （）求 k，b 的值； （）当 k0 时，若有 kx1+b
9、f（x2）成立，求证：x2x10 请考生在请考生在 22，23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，0） ，B（1，0） ，动点 M（x，y）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为4记 M 的轨迹为曲线 C以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，直线 1 的极坐标方程为 2cos+3sin+110 （）求
10、 C 和 l 的直角坐标方程； （）求 C 上的点到 1 距离的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）m|x2|，mR，g（x）|x+3| （）当 xR 时，有 f（x）g（x） ，求实数 m 的取值范围 （）若不等式 f（x）0 的解集为1，3，正数 a，b 满足 ab2ab3m1，求 a+b 的最小值 答案解析答案解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.每小题给出的四个选项中，只有一每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1设集合 Ax|2x3，
11、B1，0，1，2，3，则集合 AB 为（ ） A2，1，0，1，2 B1，0，1，2 C1，0，1，2，3 D2，1，0，1，2，3 利用交集定义直接求解 集合 Ax|2x3，B1，0，1，2，3， 集合 AB1，0，1，2 故选：B 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2若复数 z 满足（1+i）z2，则 z 的虚部为（ ） A1 Bi Ci D1 利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出 复数 z 满足（1+i）z2，（1i） （1+i）z2（1i） ，2z2（1i） ， z1i， 则 z 的虚部为1 故选：A 本题考查了共轭复数的定义、复数的运算法则
12、，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 3下列函数中是偶函数，且在（0，+）是增函数的是（ ） Ayln|x| Bycosx Cyx2 Dyx3 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案 根据题意，依次分析选项： 对于 A，yln|x|，其定义域为x|x0，关于原点对称，有 f（x）ln|x|f（x） ，是偶 函数，且在（0，+）上，f（x）lnx，为增函数，符合题意， 对于 B，ycosx，是余弦函数，在（0，+）上不是单调函数，不符合题意； 对于 C，yx2，为二次函数，在（0，+）上是单调减函数，不符合题意； 对于 D，yx3，为奇函数，不符合题意； 故选：A 本题
13、考查函数的奇偶性与单调性的判断， 注意常见函数的奇偶性与单调性， 属于基础题 4设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a4+a512，则 S8的值为（ ） A14 B28 C36 D48 由等差数列的性质得 S8= 8 2 (1+ 8) = 8 2(4 + 5)，由此能求出结果 Sn为等差数列an的前 n 项和，a4+a512， S8= 8 2 (1+ 8) = 8 2(4 + 5) =41248 故选：D 本题考查直角三角形三边长的比的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 5PM2.5 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 PM2.5
14、日均 值在 35g/m3以下空气质量为一级，在 3575g/m3空气质量为二级，超过 75g/m3为超 标如图是某地 12 月 1 日至 10 日的 PM2.5（单位：g/m3）的日均值，则下列说法正确 的是（ ） A10 天中 PM2.5 日均值最低的是 1 月 3 日 B从 1 日到 6 日 PM2.5 日均值逐渐升高 C这 10 天中恰有 5 天空气质量不超标 D这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数是 43 由折线图逐一分析数据，找出特例可判断，找出结果 由折线图可知 A 错，因为 10 天中 PM2.5 日均值最低的是 12 月 1 日；B 错，因为 2 日到 3 日是下降的；
15、C 错，因为 10 天中有 8 天空气质量不超标；由数据分析可得日均值的中位数是 43， 故选：D 本题考查折线图，中位数，属于基础题 6已知抛物线 y24x 上点 B（在第一象限）到焦点 F 距离为 5，则点 B 坐标为（ ） A （1，1） B （2，3） C （4，4） D(4，3) 由抛物线的方程可得准线方程， 再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离， 可得 B 的横坐标，代入抛物线的方程可得纵坐标 设 B（x，y） ，由抛物线的方程可得准线方程为：x1， 由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离 x+15，所以 x4， 代入抛物线的方程可得 y4，由 B 在第一象限，所
16、以 y4，即 B 的坐标（4，4） ， 故选：C 本题考查抛物线的性质，属于基础题 7设 ， 是非零向量，则“ ”是“| +2 | 2 |的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件 根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 若“| +2 | 2 |， 则平方得| |2+4| |2+4 =| |2+4| |24 ， 即 4 = 4 ， 得 =0，即 ， 则“ ”是“| +2 | 2 |的充要条件， 故选：C 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的应用利用平方法是解决本 题的关键 8如图是函数 f（x）2sin（x+） （
17、0，| 2）的部分图象，则 ， 的值分别为 （ ） A1， 3 B1， 6 C2， 6 D2， 6 结合函数的图象，由周期求出 ，由特殊点的坐标求出 的值 由函数图象可知 T2（ 2 3 6）， 2， x= 6时，函数取得最大值 2， 可得：2sin（2 6 +）2，可得：2 6 +2k+ 2，即 2k+ 6，kZ， | 2， = 6 故选：D 本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，由周期求出 ，由特殊点 的坐标求出 的值，属于基础题 9设数列an的前 n 项和为 Sn若 a11，an+12Sn+1，nN*，则 S5值为（ ） A363 B121 C80 D40 通过数列的
18、递推关系式求出数列的前 5 项，然后求解数列的和即可 数列an的前 n 项和为 Sn若 a11，an+12sn+1，nN*， 可得 a23，a39，a427，a581， 则 S51+3+9+27+81121 故选：B 本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 10已知 a0，b0，1 + 1 = 1，则 a+b 的最小值为（ ） A1 4 B1 2 C2 D4 根据1 + 1 = 1，可以得到 a+b（a+b）（1 + 1 ） ，展开后再运用基本不等式可求得 最小值 1 + 1 = 1， a+b（a+b）（1 + 1 ）1+1+ + 2+21 =4， 当且仅当 = 时
19、等号成立， a+b 的最小值为 4 故选：D 本题主要考查基本不等式的应用在基本不等式中要注意 1 的灵活运用，属于基础题 11已知 a，b 是两条直线， 是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A若 a，b，ab，则 B若 ，a，则 a C若 ，a，则 a D若 ，a，则 a A由于 ，或相交，即可判断出正误； B由已知可得 a 或 a，即可判断出正误； C正确，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误； D由已知可得 a 或 a，即可判断出正误 A若 a，b，ab，则 ，不正确，可能相交； B若 ，a，则 a 或 a，因此不正确； C若 ，a，则 a，正确； 证明：设 b，c，取 P，
20、过点 P 分别作 mb，nc， 则 m，n，ma，na，又 mnP，a D若 ，a，则 a 或 a 故选：C 本题考查了直线面面面垂直与平行的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 12某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，10，11，9已知这组数据 的平均数为 10，方差为 2，则|xy|的值为（ ） A1 B2 C3 D4 由题意知这组数据的平均数为 10，方差为 2 可得到关于 x，y 的一个方程组，解这个方程 组需要用一些技巧，因为不要直接求出 x、y，只要求出|xy|，利用换元法来解出结果 由题意这组数据的平均数为 10，方差为 2 可得：x+y
21、20， （x10）2+（y10）28， 解这个方程组需要用一些技巧， 因为不要直接求出 x、y，只要求出|xy|， 设 x10+t，y10t，由（x10）2+（y10）28 得 t24； |xy|2|t|4， 故选：D 本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公式进行整 理，本题是一个基础题，可以作为选择和填空出现 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答卷纸的相应位置上）分，把答案填在答卷纸的相应位置上） 13已知 x，y 满足约束条件 0， 0， 2 则 zx+y 的最大值为 4 由约
22、束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数 zx+y 的最优解，代入坐标求得 z x+y 的最小值 由 x，y 满足约束条件 0， 0， 2 作出可行域如图，来源:学科网 联立 = 2 = ，解得 A（2，2） 由图可知，使目标函数 zx+y 取得最大值最大值的最优解为点 A 的坐标， zx+y 的最大值为：4 故答案为：4 本题考查了简单的线性规划，体现了数形结合的解题思想方法，解答的关键是正确作出 可行域，是中档题 14已知双曲线 2 2 2 2 =l（a0，b0）的渐近线方程为 yx，则该双曲线的离心率为 2 利用双曲线的渐近线方程，得到 a，b 的关系，然后求解双曲线的离心率即可 双曲线
23、 2 2 2 2 =l（a0，b0）的渐近线方程为 yx， 可得 ab，则 c= 2a， 所以双曲线的离心率为：e= = 2 故答案为：2 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 15定义在（1，+）上的函数 f（x）满足下列两个条件： （1）对任意的 x（1，+）恒 有 f（2x）2f（x）成立； （2）当 x（1，2时，f（x）2x则 f（6）的值是 2 直接根据定义把 f（6）转化到用 f（3 2）来表示即可求解 定义在（1，+）上的函数 f（x）满足下列两个条件： （1）对任意的 x（1，+）恒有 f（2x）2f（x）成立； （2）当 x（1，2时，f（x）2x f（
24、6）2f（3）4f（3 2）4（2 3 2）2 故答案为：2 本题主要考查抽象函数的求值，属于基础题 16已知矩形 ABCD 中，点 AB8，AD6，沿对角线 BD 折叠成空间四边形 ABCD，则空 间四边形 ABCD 的外接球的表面积为 100 因为折起来后，得到的空间四边形始终满足 ADAB，CDCB，且 BD 是公共斜边，所 以 BD 的中点 O 到 A，B，C，D 的距离相等，则 O 即为外接球的球心问题可解 因为将矩形 ABCD 中，沿对角线 BD 折叠成空间四边形 ABCD 后，始终满足： ADAB，CDCB，且 BD 是公共斜边，所以 BD 的中点 O 到 A，B，C，D 的距离
25、相等， 所以 O 就是外接球的球心，所以半径 R= 1 2BD= 82+62 2 = 5， 空间四边形 ABCD 的外接球的表面积 S4R2425100 故答案为：100 本题考查球的性质和球的表面积的计算抓住球心到球面上任意一点的距离相等，找到 球心 O 是本题的关键属于基础题 三、解答题， （本大题共三、解答题， （本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设函数 f（x）2sinxcosx2cos2（x+ 4） （）求 f（x）的单调递增区间； （）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a
26、，b，c，若 f（ 2）0，a= 3，c 1，求 b （I）利用倍角公式、诱导公式可得：f（x）2sin2x1再利用正弦函数的单调性可得： f（x）的单调递增区间 （）由 f（ 2）2sinB10，可得 sinB= 1 2，B 为锐角，可得 B 再利用余弦定理即可 得出 （I）f（x）2sinxcosx2cos2（x+ 4）sin2x1+cos（2x+ 2）2sin2x1 由 2k 2 2x2k+ 2（kZ） ，解得：k 4 xk+ 4， f（x）的单调递增区间为：k 4，k+ 4（kZ） （）由 f（ 2）2sinB10，可得 sinB= 1 2，B 为锐角， B= 6 又 a= 3，c1，
27、 由余弦定理可得：b23+123cos 6 =1，解得 b1 本题考查了倍角公式、诱导公式、正弦函数的单调性、余弦定理，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 18某中学高三（3）班有学生 50 人，现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到 如图频率分布直方图，其中数据的分组区间为：0，2， （2，4， （4，6， （6，8， （8， 10， （10，12 （）从每周平均体育锻炼时间在0，4的学生中，随机抽取 2 人进行调查，求这 2 人的 每周平均体育锻炼时间都超过 2 小时的概率； （）现全班学生中有 40%是女生，其中 3 个女生的每周平均体育锻炼时间不超过 4 小 时，若每周平均
28、体育锻炼时间超过 4 小时称为经常锻炼，问：有没有 90%的把握说明， 经常锻炼与否与性别有关？ 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（X2X0） 0.100 0.050 0.010 0.001 X0 2.706 3.841 6.635 10.828 （）由频率分布直方图中的数据先分别算出锻炼时间在0，2， （2，4中的人数，并分 别记为 a1，a2和 b1，b2，b3，然后用列举法得出随机抽取 2 人调查的所有基本事件空间 数，最后用古典概型求概率即可； （）不超过 4 小时的人数为 500.0525 人，其中女生有 3 人，男生有 2 人，所以 经常锻炼的女生有 5040%317
29、 人，男生有 30228 人，然后补充完整 22 列联 表，并根据 K2的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断 （）由已知，锻炼时间在0，2， （2，4中的人数分别是 500.0222 人，500.03 23 人， 分别记0，2中的 2 人为 a1，a2， （2，4中的 3 人为 b1，b2，b3，则随机抽取 2 人调查的 所有基本事件空间为： （a1，a2） ， （a1，b1） ， （a1，b2） ， （a1，b3） ， （a2，b1） ， （a2，b2） ， （a2，b3） ， （b1，b2） ， （b1，b3） ， （b2，b3），共 10 个， 这 2 人的每周平
30、均体育锻炼时间都超过 2 小时的概率为 3 10 （）由已知可知，不超过 4 小时的人数为 500.0525 人，其中女生有 3 人，男生 有 2 人， 经常锻炼的女生有 5040%317 人，男生有 30228 人， 补充完整的 22 列联表如下所示， 男生 女生 合计 经常锻炼 28 17 45 不经常锻炼 2 3 5 合计 30 20 50 2= 50(283217)2 3020455 = 25 27 2.706，来源:学*科*网 Z*X*X*K 故没有 90%的把握说明经常锻炼与否与性别有关 本题考查古典概型求概率、独立性检验，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于 基础题 19如图
31、所示，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，CBB160，A 在侧面 BB1C1C 上的投影恰为 B1C 的中点 O，E 为 AB 的中点 （1）证明：OE平面 ACC1A1； （1）若 AC 与平面 BB1C1C 所成角为 45，且 BC2，求 E 到平面 ACC1A1的距离来源:Z,xx,k.Com （1）根据中位线定理，只需证出 OE 与平面 ACC1A1内的直线平行即可； （2）等积法，利用1= 1将所求的距离转化为 O 到平面 ACC1的距离即可 （1）证明：连接 BC1，AC1，因为 O，E 分别是 BC1，AB 的中点，所以 OEAC1 因为 OE平面 ACC
32、1A1，AC1平面 ACC1A1，所以 OE平面 ACC1A1 （2）因为 AO平面 BB1C1C，所以ACO45 因为 BC2，CBB160，所以 AO1，AC= 2，AC12， 1= 7 2 设 O 到平面 ACC1的距离为 d， 因为1= 1，1 3 1= 1 3 1 1 3 7 2 = 1 3 1 3 2 ， = 21 7 OE平面 ACC1A1，E 到平面 ACC1A1的距离为 21 7 本题考查空间距离的计算和线面平行的判定，利用等积法求空间距离是考查此类问题的 常见思路同时强调转化思想在立体几何证明中的应用属于中档题 20已知过点(1， 3 2)的曲线 C 的方程为( 1) 2+
33、 2+ ( + 1)2+ 2 = 2 （）求曲线 C 的标准方程： （） 已知点 F （1， 0） ， A 为直线 x4 上任意一点， 过 F 作 AF 的垂线交曲线 C 于点 B， D （i）证明：OA 平分线段 BD（其中 O 为坐标原点） ； （ii）求| |最大值 （）将 P 的坐标代入可得 a 的值，由题意的定义可得曲线 C 的轨迹为椭圆，且可知焦 点坐标即长半轴长，进而求出曲线 C 的标准方程； （） （i）设 B，D 的坐标，由题意可得直线 BD 的斜率存在且不为 0，设直线 BD 的方 程，由题意可得直线 AF 的方程，将直线 BD 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之 积，进
34、而求出 BD 的中点 M 坐标，求出直线 OM 的斜率，及直线 OA 的斜率，可得两个 斜率相等可证得 OA 平分线段 BD； （ii）求出|AF|，|BD|，进而求出| |的表达式，换元由均值不等式可得其最大值 解（）将 P 的坐标代入方程可得：a2，所以由椭圆的定义可知，曲线 C 的轨迹为以 （1，0） ， （1，0）为焦点，以长半轴为 2 的椭圆， 所以曲线 C 的标准方程为： 2 4 + 2 3 =1； （） （i）设 B（x1，y1） ，D（x2，y2） ，BD 的中点坐标 M（x0，y0） ， 由题意可得直线 BD 的斜率存在且不为 0，所以设直线 BD 的方程为：xmy+1， 则
35、直线 AF 的方程为：ym（x1） ，A 在直线 x4 上，所以 yA3m，即 A（4， 3m） ， 将直线 BD 与椭圆联立 = + 1 2 4 + 2 3 = 1，整理可得（4+3m 2）y2+6my90， 所以 y1+y2= 6 4+32，y1y2= 9 4+32， 所以 x1+x2m（y1+y2）+2= 8 4+32， 所以中点 M（ 4 4+32， 3 4+32） ， 因为 kOA= 3 4 =kOM， 所以 OA 平分线段 BD； （ii）|AF|31 + 2，|BD|= 1 + 2(1+ 2)2 412= 12(1+2) 4+32 ， 所以| | = 41+2 4+32 ，令 t
36、= 1 + 21， 所以| | = 4 32+1 = 4 3+1 1，当且仅当 t1 时取等号， 所以| |最大值为 1 本题考查求轨迹方程及直线与椭圆的综合，及弦长公式和均值不等式的应用，属于中档 题 21已知函数 f（x）2sinxx2+2x，曲线 f（x）在函数零点处的切线方程为 ykx+b （）求 k，b 的值； （）当 k0 时，若有 kx1+bf（x2）成立，求证：x2x10 （）求导得 f（x）2cosx2x+2，f（x）2sinx20，进而可知存在 x0，使 得 f（x0）0，且 f（x）在 x（，x0）上单调递增，在 x（x0，+）上单调递减， 进一步可得 x0，x2 是 f
37、（x）的两个零点，再求得 f（0）2+2，f（2）2 2，由此求得所求切线方程； （）先构造函数 F（x）（2+2）x2sinx+x22x，F（x）22cosx+2x，F（x） 2sinx+20，可知（2+2）x2sinxx2+2x，可证 （）f（x）2sinxx2+2x，定义域为 R， 则 f（x）2cosx2x+2，f（x）2sinx20， yf（x）在 R 上为减函数， f（0）2+20，f（）20， 由零点存在性定理可知，f（x）在 x（0，）上必存在 x0，使得 f（x0）0， 且当 x（，x0）时，f（x）0，即 f（x）在 x（，x0）上单调递增， 当 x（x0，+）时，f（x）
38、0，即 f（x）在 x（x0，+）上单调递减， f（x）maxf（x0） ，故 f（x）至多有两个零点， 又f（0）0，f（2）0，故 x0，x2 是 f（x）的两个零点， 由 f（0）2+2，f（2）22，易得两切线方程为 y（2+2）x 或 y（2 2）x4+42， = 2 + 2 = 0 或 = 2 2 = 4 + 42 （）证明：由（）易知，x1x0x2， 设 F（x）（2+2）x2sinx+x22x，F（x）22cosx+2x，F（x）2sinx+20， 来源:学。科。网 yF（x）在 R 上为增函数， F（0）0， 当 x（，0）时，F（x）0，即 F（x）在（，0）上为减函数，
39、当 x（0，+）时，F（x）0，即 F（x）在（0，+）上为增函数， F（x）F（0）0，即（2+2）x2sinxx2+2x， （2+2）x22sinx2x22+2x2（2+2）x1， x2x1x2x10 得证 本题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值 及最值，考查转化思想，考查逻辑推理能力及运算能力，属于难题 请考生在请考生在 22，23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修选修
40、4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，0） ，B（1，0） ，动点 M（x，y）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为4记 M 的轨迹为曲线 C以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，直线 1 的极坐标方程为 2cos+3sin+110来源:学科网 ZXXK （）求 C 和 l 的直角坐标方程； （）求 C 上的点到 1 距离的最小值 （）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用 求出结果 （）已知点 A（1，0） ，B（1
41、，0） ，动点 M（x，y）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积 为4 整理得 +1 1 = 4，化简得：2+ 2 4 = 1（x1） 直线 1 的极坐标方程为 2cos+3sin+110 转换为直角坐标方程为2 + 3 + 11 = 0 （）把方程2+ 2 4 = 1（x1）转换为 = = 2 （ 为参数，且） 所以点 C（cos，2sin）到直线2 + 3 + 11 = 0的距离 d= |2+23+11| 7 = |4( 3)+11| 7 ， 当 = 2 3 ，所以= 7 7 = 7 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距 离公式的应用，三角函数关系式
42、的恒等变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的 运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）m|x2|，mR，g（x）|x+3| （）当 xR 时，有 f（x）g（x） ，求实数 m 的取值范围 （）若不等式 f（x）0 的解集为1，3，正数 a，b 满足 ab2ab3m1，求 a+b 的最小值 （1）利用绝对值三角不等式性质 （2）利用绝对值不等式解法求出 m，带入得到 a，b 等式，转化为只含有 a 的式子后利 用基本不等式可以求解 （1）由题意得：f（x）g（x）在 xR 上恒成立， m|x+3|+|x2|恒成立， 即 m（|x+3|+|x2|）min 又|x+3|+|x2|（x+3）（x2）|5 m5，即 m（，5 （2）令 f（x）0，m| 若 m0，则解集为，不合题意； 若 m0，则有mx2m，即 x2m，2+m 又解集为 x1，3，m1