1、设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a3+a623，S535，则an的公差为（ ） A2 B3 C6 D9 5 （5 分）PM2.5 是空气质量的一个重要指标，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限 值，即 PM2.5 日均值在 35g/m3下空气质量为一级，在 35g/m375g/m3之间空气质量 为二级，在 75g/m3以上空气质量为超标如图是某地 11 月 1 日到 10 日 PM2.5 日均值 （单位：g/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ） A这 10 天中有 4 天空气质量为一级 B这 10 天中 PM2.5 日均值最高的是 11 月 5 日 C从 5 日到
2、9 日，PM2.5 日均值逐渐降低 D这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是 45 第 2 页（共 23 页） 6 （5 分）若 sin（），（0，） ，则 tan2（ ） A B C D 7 （5 分）函数 f（x）（x+）ln|x|图象的大致形状为（ ） A B C D 8 （5 分）若 （k，1） ， （3，2） ，且 ， 共线，则（） （2）（ ） A13 B0 C12 D5 9 （5 分）如图，已知 O，F 分别为抛物线 C：y24x 的顶点和焦点，斜率为 1 的直线 l 经 过点 F 与抛物线 C 交于 A， B 两点， 连接 AO， BO 并延长分别交抛物线的准线于点 P，
3、 Q， 则|BP|+|AQ|（ ） A7 B8 C10 D12 10 （5 分）新定义运算，若 f（x），当 x（0， 第 3 页（共 23 页） ）时，f（x）的值域为（ ） A （0，） B0，） C （） D0， 11 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积是（ ） A36+6 B56+6 C36+10 D56+10 12（5 分） 已知 f （x） x， x （0， +） ， 且x1， x2 （0， +） ， 且 x1x2， 0 恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A （ B） C （，e2 D （e，+） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题
4、 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设实数 x，y 满足不等式组，则 zx+y 的最小值是 14 （5 分）如图所示，在一个边长为 1 的正方形中随机撒入 100 粒豆子，恰有 60 粒落在阴 影区域内，则该阴影部分的面积约为 15 （5 分）设函数 f（x），则函数 yf（x）与 y1 的交点个 数为 个 第 4 页（共 23 页） 16 （5 分） 在数列an中， a11， an+1ancos， 记 Sn为数列an的前 n 项和， 则 S2019 的值为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
5、 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （a，c2b） ， （cosC，cosA） ，且 （1）求角 A 的大小； （2）若 b+c5，ABC 的面积为，求 a 18 （12 分）为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学高一平行甲班采用“传统 教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教 学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计分析，结果 如表： （记成绩不低于 120 分者为“成绩优秀” ） 分数 80，90） 90，100） 100，110） 110，120） 120，130）
6、 130，140） 140，150 甲班频 数 1 1 4 5 4 3 2 乙班频 数 0 1 1 2 6 6 4 （1）由以上统计数据填写下面的 22 列联表，并判断是否有 95%以上的把握认为“成 绩优秀与教学方式有关”？ 甲班 乙班 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 （2）在上述样本中，学校从成绩为140，150的学生中随机抽取 2 人进行学习交流，求 这 2 人来自同一个班级的概率 参考公式：K2，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 第 5 页（共 23 页） k0 2.706 3.841 6.635 10.828 19
7、（12 分）如图，在底面为正方形的四棱锥 PABCD 中，M 是 PB 的中点，AB2，PA ，点 P 在底面 ABCD 的射影 O 恰是 AD 的中点 （1）证明：平面 PAB平面 PAD； （2）求三棱锥 MPDC 的体积 20 （12 分）已知 F1（1，0） ，F2（1，0）是椭圆 C：1（ab0）的左、右 焦点，椭圆 C 过点（2，） （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 F2的直线 l（不过坐标原点）与椭圆 C 交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上方， 点 B 在 x 轴下方，若2，求直线 l 的斜率 21 （12 分）已知函数 f（x）ax+lnx（aR） （1）讨论函数
8、 f（x）的单调性； （2）证明：如果函数 f（x）有极大值，则极大值小于 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答題卡选答区域指定位置答题，如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答題卡选答区域指定位置答题，如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 2x+3y60，以坐标原点为极点，
9、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 5232cos280 （1）求曲线 C2的直角坐标方程； （2）点 P 和点 Q 分别为曲线 C1和曲线 C2上的动点，求|PQ|的最小值，并写出当|PQ|取 到最小值时点 Q 的直角坐标 第 6 页（共 23 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|ax2| （1）当 a1 时，求 f（x）的最小值； （2）当 x3，4时，f（x）x 恒成立，求 a 的取值范围 第 7 页（共 23 页） 2018-2019 学年贵州省贵阳学年贵州省贵阳一中、云南师大附中、广西南宁三中一中、云南师大附中、广
10、西南宁三中 “3+3+3”高三（上）”高三（上）12 月联考数学试卷（文科）月联考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的) 1 （5 分）已知集合 Ax|3x0，B2，3，4，则 AB（ ） A2 B3 C2，3 D2，3，4 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|x3，B2，3，4， AB2，3 故选：C 【点评】考查描述法、列举法的定义，以及
11、交集的运算 2 （5 分） （1i） （3+i）（ ） A2+2i B22i C4+2i D42i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解： （1i） （3+i）3+i3ii242i 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 3 （5 分）设命题 p：x0R，2x02+x0+40，则p 为（ ） AxR，2x2+x+40 Bx0R，2x02+x0+40 CxR，2x2+x+40 Dx0R，2x02+x0+40 【分析】根据特称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案 【解答】解：命题 p：x0R，2x02+x0+40，则p 为x
12、R，2x2+x+40 故选：A 【点评】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全（特）称命题的否定 方法是解答的关键 4 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a3+a623，S535，则an的公差为（ ） A2 B3 C6 D9 第 8 页（共 23 页） 【分析】根据题意，由等差数列的前 n 项和公式可得 S55a335，解 可得 a37，进而可得 a616，结合等差数列的通项公式分析可得 d3；即可 得答案 【解答】解：根据题意，等差数列an中，S535， 则有 S55a335，解可得 a37， 又由 a3+a623，则 a616， 则公差 d3； 故选：B 【点
13、评】本题考查等差数列的性质以及应用，涉及等差数列的前 n 项和公式的应用，属 于基础题 5 （5 分）PM2.5 是空气质量的一个重要指标，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限 值，即 PM2.5 日均值在 35g/m3下空气质量为一级，在 35g/m375g/m3之间空气质量 为二级，在 75g/m3以上空气质量为超标如图是某地 11 月 1 日到 10 日 PM2.5 日均值 （单位：g/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ） A这 10 天中有 4 天空气质量为一级 B这 10 天中 PM2.5 日均值最高的是 11 月 5 日 C从 5 日到 9 日，PM2.5 日均值
14、逐渐降低 D这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是 45 【分析】先对图表信息进行分析，再由频率分布折线图逐一检验即可得解 【解答】解：由图表可知，选项 A，B，C 正确， 第 9 页（共 23 页） 对于选项 D，这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是47， 故 D 错误， 故选：D 【点评】本题考查了频率分布折线图，属中档题 6 （5 分）若 sin（），（0，） ，则 tan2（ ） A B C D 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，求得 tan2 的值 【解答】解：sin（）cos，（0，） ， sin，tan， 则 tan2， 故选：A 【点评】本题主
15、要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题 7 （5 分）函数 f（x）（x+）ln|x|图象的大致形状为（ ） A B C D 【分析】先判断函数的奇偶性，然后判断当 x2 时的符号是否对应进行判断即可 【解答】解：函数的定义域为（，0）（0，+） ， f（x）（x）ln|x|（x+）ln|x|f（x） ， 第 10 页（共 23 页） 则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除 A，B， 当 x2 时，f（2）ln20， 排除 C， 故选：D 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性和特征值的符号是否对应是 解决本题的关键 8 （5 分）若 （k，1） ， （3，2
16、） ，且 ， 共线，则（） （2）（ ） A13 B0 C12 D5 【分析】利用向量共线求出 k，然后表示向量，利用向量的数量积求解即可 【解答】解： （k，1） ， （3，2） ，且 ， 共线， 可得 2k3，k， （，1） ， （，1） ， 2（6，4） ， （） （2）9413 故选：A 【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的求法没看出转化思想以及计算能力 9 （5 分）如图，已知 O，F 分别为抛物线 C：y24x 的顶点和焦点，斜率为 1 的直线 l 经 过点 F 与抛物线 C 交于 A， B 两点， 连接 AO， BO 并延长分别交抛物线的准线于点 P， Q， 则|BP|
17、+|AQ|（ ） A7 B8 C10 D12 【分析】设出 A、B 坐标，利用抛物线的性质，以及直线与抛物线方程联立，结合韦达定 第 11 页（共 23 页） 理求解即可 【解答】解：A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由|AQ|AF|，可知|BP|+|AQ|AF|+|BF|x1+x2+p， 联立直线 l 与抛物线方程：， 消去 y 有 x26x+10，由韦达定理 x1+x26， 所以|BP|+|AQ|6+28 故选：B 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 10 （5 分）新定义运算，若 f（x），当 x（0， ）时，f（x）的值域为（ ） A （0，） B0，） C
18、 （） D0， 【分析】根据定义先求出函数 f（x）的解析式，结合一元二次函数的最值性质进行求解 即可 【解答】解：由题意得 f（x）， 即 f（x）， x（0，） ，f（x）的最大值为 f（）， 最小值为 f（3）0， 函数 f（x）的值域为0， 故选：D 第 12 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查函数值域的求解，结合新定义求出函数的解析式以及利用一元二 次函数的性质是解决本题的关键 11 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积是（ ） A36+6 B56+6 C36+10 D56+10 【分析】由三视图知该几何体是一个圆锥和一个长方体的组合体，结合图中数据计算该 几何体的表
19、面积 【解答】解：由三视图知，该几何体是一个圆锥和一个长方体的组合体， 如图所示； 第 13 页（共 23 页） 结合图中数据，计算几何体的表面积为 S表面积85+42+112+12236+6 故选：A 【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体的表面积应用问题，是基础题 12（5 分） 已知 f （x） x， x （0， +） ， 且x1， x2 （0， +） ， 且 x1x2， 0 恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A （ B） C （，e2 D （e，+） 【分析】根据条件将问题转化为 x1f（x1）x2f（x2）对x1，x2（0，+） ，且 x1x2 恒成立，构造函数 g（x）xf（x
20、） ，则函数 g（x）aex2x0，对x（0，+）恒成 立，然后用分离参数法求出 a 的范围即可 【解答】 解： x1， x2 （0， +） ， 且 x1x2， 0 恒成立， x1f（x1）x2f（x2）对x1，x2（0，+） ，且 x1x2恒成立， 令 g（x）xf（x）aexx2，则 g（x）aex2x0，对x（0，+）恒成立， 即，对x（0，+）恒成立，只需， 令，则， 当 0x1 时，t（x）0；当 x1 时，t（x）0， t（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， ， a 的取值范围为 故选：B 【点评】本题考查了函数恒成立问题和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了函
21、数 思想和转化思想，属难题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 第 14 页（共 23 页） 13 （5 分）设实数 x，y 满足不等式组，则 zx+y 的最小值是 2 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数 zx+y 对应的直线进行平移，可得当 xy1 时，zx+y 取得最小值 【解答】解：作出实数 x，y 满足不等式组表示的平面区域： 得到如图的阴影部分，由， 解得 A（1，1）设 zF（x，y）x+y，将直线 l：zx+y 进行平移， 当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最
22、小值， z最小值F（1，1）2 故答案为：2 【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等 式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题 14 （5 分）如图所示，在一个边长为 1 的正方形中随机撒入 100 粒豆子，恰有 60 粒落在阴 影区域内，则该阴影部分的面积约为 0.6 【分析】先求出正方形的面积，设阴影部分的面积为 x，由概率的几何概型知， 第 15 页（共 23 页） 由此能求出该阴影部分的面积 【解答】解：设阴影部分的面积为 x， 由概率的几何概型知， 解得 x0.6 故答案为：0.6 【点评】本题考查几何概型概率的求法，是基础的计算题
23、15 （5 分）设函数 f（x），则函数 yf（x）与 y1 的交点个 数为 4 个 【分析】直接利用分段函数列出方程求解函数的零点即可 【解答】解：函数 f（x）， 则函数 yf（x）与 y1 的交点个数就是：|x2|1，解得 x1 或 x3； 4|x2|1，解得 x5 或 x1， 所以函数的零点为：4 个 故答案为：4 【点评】本题考查函数的零点个数的求法，考查函数与方程的应用，是基本知识的考查 16 （5 分） 在数列an中， a11， an+1ancos， 记 Sn为数列an的前 n 项和， 则 S2019 的值为 1010 【分析】通过探索数列an的前几项，发现规律，进而求解 S20
24、19的值 【解答】解：a11； ； ； ； 如此继续，可知 an+4an； S2019504（a1+a2+a3+a4）+a1+a2+a35042+1+1+01010； 故答案为：1010 【点评】本题考查了根据递推公式探索数列的规律，并求数列前 n 项的和，结合了三角 第 16 页（共 23 页） 函数的变化规律，属中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （a，c2b） ， （cosC，cosA） ，且 （1）求角 A 的
25、大小； （2）若 b+c5，ABC 的面积为，求 a 【分析】 （1）根据平面向量的数量积和正弦定理、三角恒等变换，即可求出角 A 的值； （2）由题意利用三角形的面积和余弦定理，即可求出 a 的值 【解答】解： （1）ABC 中， （a，c2b） ， （cosC，cosA） ， 当时， acosC+（c2b）cosA0， 即 sinAcosC+（sinC2sinB）cosA0， sinAcosC+cosAsinC2sinBcosA0， 即 sin（A+C）2sinBcosA0， sinB2sinBcosA； 又 B（0，） ，sinB0， 解得 cosA； 又 A（0，） ，A； （2）由
26、b+c5，得 b2+c2+2bc25； 又ABC 的面积为： SbcsinAbcsinbc，解得 bc4； a2b2+c22bccosA（252bc）2bccos（2524）2413， 解得 a 【点评】本题考查了平面向量的数量积与三角恒等变换的应用问题，也考查了解三角形 的应用问题，是中档题 18 （12 分）为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学高一平行甲班采用“传统 教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教 学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计分析，结果 第 17 页（共 23 页） 如表： （记成绩不低于 1
27、20 分者为“成绩优秀” ） 分数 80，90） 90，100） 100，110） 110，120） 120，130） 130，140） 140，150 甲班频 数 1 1 4 5 4 3 2 乙班频 数 0 1 1 2 6 6 4 （1）由以上统计数据填写下面的 22 列联表，并判断是否有 95%以上的把握认为“成 绩优秀与教学方式有关”？ 甲班 乙班 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 （2）在上述样本中，学校从成绩为140，150的学生中随机抽取 2 人进行学习交流，求 这 2 人来自同一个班级的概率 参考公式：K2，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2k0） 0.100 0.05
28、0 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 【分析】 （1）由题意填写列联表，计算 K2，对照临界值得出结论； （2）利用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值 【解答】解： （1）由题意填写 22 列联表如下， 甲班 乙班 总计 成绩优秀 9 16 25 成绩不优秀 11 4 15 总计 20 20 40 由以上统计数据，计算 K25.2273.841， 所以有 95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关” ； 第 18 页（共 23 页） （2）设 A、B 为成绩在140，150的甲班学生，c、d、e、f 为成绩在140，150的乙班学 生， 从
29、这 6 名学生中随机抽取 2 人，基本事件为： AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef 共 15 种； 其中这 2 人来自同一个班级的基本事件为： AB、cd、ce、cf、de、df、ef 共有 7 种， 则所求的概率为 P 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概 率计算问题，是基础题 19 （12 分）如图，在底面为正方形的四棱锥 PABCD 中，M 是 PB 的中点，AB2，PA ，点 P 在底面 ABCD 的射影 O 恰是 AD 的中点 （1）证明：平面 PAB平面 PAD； （2）求三棱锥 MPDC
30、 的体积 【分析】 （1）利用 PO平面 ABCD，得出 POAB，从而证得 AB平面 PAD，平面 PAB 平面 PAD； （2）由题意得出PAD 为等腰三角形，再利用等积法求出三棱锥 MPDC 的体积 【解答】解： （1）证明：依题意，得 PO平面 ABCD， 又 AB平面 ABCD，所以 POAB， 又 ABAD，POADO，所以 AB平面 PAD； 又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD； （2）因为 PO平面 ABCD，O 为 AD 的中点，所以PAD 为等腰三角形， 又 AD2，PA，所以 PO1，PD，SBCD2； 因为点 M 是 PB 的中点， 所以点 M 到平面
31、PDC 的距离等于点 B 到平面 PDC 距离的一半， 第 19 页（共 23 页） 则三棱锥 MPDC 的体积为 VMPDCVBPDC VPBCD SBCDPO 21 【点评】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了三棱锥体积的计算问题，是 中档题 20 （12 分）已知 F1（1，0） ，F2（1，0）是椭圆 C：1（ab0）的左、右 焦点，椭圆 C 过点（2，） （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 F2的直线 l（不过坐标原点）与椭圆 C 交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上方， 点 B 在 x 轴下方，若2，求直线 l 的斜率 【分析】 （1）由条件可知，解得 a26，b
32、25，即可求出椭圆方程， （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 y10，y20，设直线 l 的方程为 xmy+1，根据 韦达定理，结合2，即可求出 m 的值，可得直线的斜率 【解答】解： （1）由条件可知，解得 a26，b25， 故椭圆 C 的方程为+1， （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 y10，y20， 设直线 l 的方程为 xmy+1， 代入椭圆 C 的方程消 x 可得（5m2+6）y2+10my250， 第 20 页（共 23 页） 则 y1+y2，y1y2， 由2，可知 y2+2y10，即 y22y1， 代入上式可得 y1，2y12， 2（）2，
33、解得 m， 结合图形可知 m， 故直线的斜率为 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可 得根与系数的关系、考查了推理能力和计算能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）ax+lnx（aR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）证明：如果函数 f（x）有极大值，则极大值小于 【分析】 （1）先对函数求导，然后讨论 a 的取值范围，进而确定原函数的单调区间； （2）由（1）知函数的极大值点，进而利用转化的思想，进一步利用函数的增减性，极 值点解决问题 【解答】解： （1）f（x）的定义域为（0，+） ， f（x）xa+， 当 a0 时，f（x
34、）0 恒成立，f（x）在（0，+）单调递增， 当 0a2 时，a240，f（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）单调递增， 第 21 页（共 23 页） a2 时，a240，方程 x2ax+10 有两根 x1，x2， 所以 f （x） 在 （，） 上单调递减， 在 （0，） ， （， +）上单调递增 （2）证明：由（1）知，如果 f（x）有极大值，则 a2，且 f（x1）为极大值， f（x1）0，即 x12ax1+10， x12ax11， f （x1） x12ax1+lnx1， a2，x10， x1，x1+lnx1， 令 g（x）x+lnx（x0） ，则 g（x）1+， g（x）在（0，1）上
35、单调递增，在（1，+）上单调递减， g（x）g（1）， 即 f（x1）得证 【点评】 （1）考查函数的求导，分类讨论思想； （2）考查函数的极值问题，转化思想，函数的增减性 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答題卡选答区域指定位置答题，如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答題卡选答区域指定位置答题，如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程
36、22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 2x+3y60，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 5232cos280 （1）求曲线 C2的直角坐标方程； （2）点 P 和点 Q 分别为曲线 C1和曲线 C2上的动点，求|PQ|的最小值，并写出当|PQ|取 到最小值时点 Q 的直角坐标 【分析】 （1）展开二倍角的余弦，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线 C2的直角 坐标方程； （2）设 Q（2cos，sin） ，由点到直线的距离公式得|PQ|，再由三角函数求最值，进一 步求得点 Q 的直角坐标 第 22 页（共 23 页） 【解
37、答】解： （1）由 5232cos280，得 5232（cos2sin2）80， 把代入，化简得曲线 C2的直角坐标方程为； （ 2 ） 设Q （ 2cos ， sin ）， 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 ： 其中 sin，cos 此时有 +，kZ coscos（+2k），sinsin（+） Q（） 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，训练了点到直线距离公式的应用，考查利用 三角函数求最值，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|ax2| （1）当 a1 时，求 f（x）的最小值； （2）当 x3，4时，f（x）x 恒成立，求 a
38、的取值范围 【分析】 （1）将 a1 代入 f（x）中，利用绝对值三角不等式可得 f（x）|（x1） （x2）|1，从而求出 f（x）的最小值； （2）由当 x3，4时，f（x）x 恒成立，可得|ax2|1 对x3，4恒成立，进一步 求出 a 的范围 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）|x1|+|x2|（x1）（x2）|1， 当且仅当（x1） （x2）0，即 1x2 时取等号， f（x）min1； （2）当 x3，4时，f（x）x 恒成立， 则|ax2|1 对x3，4恒成立， 对x3，4恒成立， 当 x3，4时， 第 23 页（共 23 页） ， a 的取值范围为 【点评】本题考查了利用绝对值三角不等式求最值和不等式恒成立问题，考查了转化思 想和计算能力，属中档题