1、复数 z 满足 z（1+2i）3+i，则 （ ） A B1i C D1+i 3 （5 分）下列各式中的值为的是（ ） A2sin2151 Bcos215sin215 C2sin15cos15 Dsin215+cos215 4 （5 分）设 P 是ABC 所在平面内的一点，则（ ） A B C D 5 （5 分）已知 a 为实数， “a1”是“a2a3”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）已知某一随机变量 的分布列如下，且 E6.3，则 a 的值为（ ） 4 a 9 P 0.5 0.1 b A5 B6 C7 D8 7 （5 分）函数 f
2、（x）cosxlnx2的部分图象大致是图中的（ ） 第 2 页（共 22 页） A B C D 8 （5 分）已知，则下列关系正确的是（ ） Azyx Bzxy Cxyz Dyzx 9 （5 分）三棱锥 PABC 中，ABC 为等边三角形，PAPBPC2，PAPB，三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为（ ） A48 B12 C4 D32 10 （5 分）已知函数 ya+2lnx（x，e）的图象上存在点 P，函数 yx22 的图象上 存在点 Q，且 P，Q 关于原点对称，则 a 的取值范围是（ ） A3，e2 Be2，+） C4+，e2 D3，4+ 11 （5 分）七巧板是我们祖先的一项创造，
3、被誉为“东方魔板” ，它是由五块等腰直角三角 形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形） 、一块正方形和一块平 行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点 取自阴影部分的概率是（ ） A B C D 12 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的离心率为 2，F1，F2分别是双曲线的 第 3 页（共 22 页） 左、右焦点，点 M（a，0） ，N（0，b） ，点 P 为线段 MN 上的动点，若取得 最小值和最大值时，PF1F2的面积分别为 S1，S2，则（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分
4、，共分，共 20 分分 13 （5 分）若实数 x，y 满足，则 2x+y 的最大值为 14 （5 分）若的展开式式中含 x3的项为 15 （5 分）直线 l 与抛物线 x28y 相交于 A、B 两点且 AB 的中点为 M（1、1） ，则 l 的方 程为 16 （5 分）ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， （a2b）cosCc（2cosB cosA） ，则角 A 的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生
5、都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）设正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 S22a2+2a3，a54 （）求数列an的通项公式； （）设数列 bnlog2an，求|bn|的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，平面 ABCD平面 ADEF，其中 ABCD 为矩形，ADEF 为梯形，AFDE， AFFE，AFAD2DE2 （）求证：EF平面 BAF； （）若二面角 ABFD 的平面角的余弦值为，求 AB 的长 19 （12 分）质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用
6、油中分划随机抽取 100 桶检测某项质 量 指 标 ， 由 检 测 结 果 得 到 如 图 的 频 率 分 布 直 方 图 ： 第 4 页（共 22 页） （I）写出频率分布直方图（甲）中 a 的值；记甲、乙两种食用油 100 桶样本的质量指标 的方差分别为 s12，s22，试比较 s12，s22的大小（只要求写出答案） ； （）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅，恰有一个桶的质量指标大于 20，且另 一个不大于 20 的概率； （）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值 Z 服从正态分布 N（， 2） 其中 近似为样本平均数 ，2 近似为样本方差 s22，设 X 表示从乙种食
7、用油中随 机抽取 lO 桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的桶数，求 X 的散学期望 注：同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得 s211.95； 若 ZN （， 2） ， 则 P （Z+） 0.6826， P （2Z+2） 0.9544 20 （12 分）已知椭圆的离心率为，左右端点为 A1，A2，其中 A2 的横坐标为 2过点 B（4，0）的直线交椭圆于 P，Q 两点，P 在 Q 的左侧，且 P，Q 不 与 A1，A2重合，点 Q 关于 x 轴的对称点为 R，射线 A1R 与 PA2交于点 M （1）求椭圆的方程； （2）求证：M 点在直线 x4 上 21 （12 分）设 y
8、f（x）是 g（x）ex在点（0，1）处的切线 （）求 yf（x）的解析式； （）求证：f（x）g（x） ； （）设 h（x）g（x）+lnf（x）ax，其中 aR若 h（x）1 对 x0，+）恒成 立，求 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任一题作答如果多做，则按所做的第题中任一题作答如果多做，则按所做的第 第 5 页（共 22 页） 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题（本小题 10 分）分） 22 （10 分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，在直角坐标系 xOy 中，以 O
9、 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的方程为 2（1+sin2）1 （1）求曲线 M 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 M 只有一个公共点，求倾斜角 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题（本小题 10 分）分） 23已知 a0，b0，且 a2+b21，证明： （1）4a2+b29a2b2； （2） （a3+b3）21 第 6 页（共 22 页） 2018-2019 学年广西南宁三中高三（上）学年广西南宁三中高三（上）10 月月考数学试卷（理月月考数学试卷（理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12
10、小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知全集 UR，集合 A1，2，3，4，5，B3，+） ，则图中阴影部分所 表示的集合为（ ） A0，1，2 B0，1 C1，2 D1 【分析】由已知中 U 为全集，A，B 是集合 U 的子集，及图中阴影，分析阴影部分元素 满足的性质，可得答案 【解答】解：由已知中阴影部分在集合 A 中，而不在集合 B 中， 故阴影部分所表示的元素属于 A，不属于 B（属于 B 的补集） 即（RB）A1，2 故选：C 【点评】题考查的知识点
11、是 Venn 图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素 满足的性质是解答本题的关键 2 （5 分）复数 z 满足 z（1+2i）3+i，则 （ ） A B1i C D1+i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z（1+2i）3+i， ， 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 第 7 页（共 22 页） 3 （5 分）下列各式中的值为的是（ ） A2sin2151 Bcos215sin215 C2sin15cos15 Dsin215+cos215 【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系化简各个选项中的
12、函数式值，可得 结论 【解答】解：2sin2151（12sin215）cos30，故排除 A； cos215sin215cos30，故排除 B； 2sin15cos15sin30，故 C 满足条件； sin215+cos2151，故排除 D， 故选：C 【点评】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题 4 （5 分）设 P 是ABC 所在平面内的一点，则（ ） A B C D 【分析】根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左 边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果 【解答】解：， ， 故选：B 【点评】本题考查了
13、向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答向量是数 形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向量的加减运算 5 （5 分）已知 a 为实数， “a1”是“a2a3”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 8 页（共 22 页） 【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式问题求出答案即可 【解答】解：a1 时，a2a3a2（1a）0， 即 a2a3，是充分条件， 若 a2a3， 则 a2（1a）0， 则 1a0，a1，是必要条件， 故， “a1”是“a2a3”的充要条件， 故选：C 【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等
14、式问题，是一道常规题 6 （5 分）已知某一随机变量 的分布列如下，且 E6.3，则 a 的值为（ ） 4 a 9 P 0.5 0.1 b A5 B6 C7 D8 【分析】估计分布列中，所有的概率之和是 1，得到关于 b 的方程，求出 b 的值，根据本 组数据的期望值和分布列列出关于 a，b 的方程，代入 b 的值，求出 a，得到结果 【解答】解：由题意和概率的性质得 0.5+0.1+b1， 且 E40.5+0.1a+9b6.3， b0.4，a7， 故选：C 【点评】本题考查离散型随机变量的期望公式的应用，考查分布列中概率的性质，考查 利用方程的思想解决实际问题，是一个好题，运算量不大，但考查
15、的内容比较全面 7 （5 分）函数 f（x）cosxlnx2的部分图象大致是图中的（ ） A B 第 9 页（共 22 页） C D 【分析】运用奇偶性和特殊值法可解决此问题 【解答】由题意，函数 f（x）cosxlnx2为偶函数，函数的图象关于 y 轴对称，故可以 排除 C，D 答案 又函数 f（x）cosxlnx2在区间（0，1）上为减函数，排除 B， 故选：B 【点评】本题考查函数的图象，函数的性质的知识 8 （5 分）已知，则下列关系正确的是（ ） Azyx Bzxy Cxyz Dyzx 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 【解答】解：，ylog531， ， ，即 yz，
16、zyx， 故选：A 【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 9 （5 分）三棱锥 PABC 中，ABC 为等边三角形，PAPBPC2，PAPB，三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为（ ） A48 B12 C4 D32 【分析】证明 PAPC，PBPC，以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体如 图，则长方体的外接球同时也是三棱锥 PABC 外接球算出长方体的对角线即为球直 径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥 PABC 外接球的表面积 【解答】解：三棱锥 PABC 中，ABC 为等边三角形，PAPBPC2， 第
17、10 页（共 22 页） PABPACPBC PAPB， PAPC，PBPC 以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体如图 则长方体的外接球同时也是三棱锥 PABC 外接球 长方体的对角线长为2， 球直径为 2，半径 R， 因此，三棱锥 PABC 外接球的表面积是 4R24（）212 故选：B 【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长 方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题 10 （5 分）已知函数 ya+2lnx（x，e）的图象上存在点 P，函数 yx22 的图象上 存在点 Q，且 P，Q 关于原点对称，则 a 的取值范围是（ ） A
18、3，e2 Be2，+） C4+，e2 D3，4+ 【分析】若函数 ya+2lnx（x，e）的图象上存在点 P，函数 yx22 的图象上存 在点 Q，且 P，Q 关于原点对称，则函数 ya+2lnx（x，e）的图象与函数 yx2+2 的图象有交点，即方程 a+2lnxx2+2（x，e）有解，即 ax2+22lnx（x，e） 有解，令 f（x）x2+22lnx，利用导数法求出函数的值域，可得答案 【解答】解：函数 yx22 的图象与函数 yx2+2 的图象关于原点对称， 若函数 ya+2lnx（x，e）的图象上存在点 P，函数 yx22 的图象上存在点 Q， 且 P，Q 关于原点对称， 则函数 y
19、a+2lnx（x，e）的图象与函数 yx2+2 的图象有交点， 第 11 页（共 22 页） 即方程 a+2lnxx2+2（x，e）有解， 即 ax2+22lnx（x，e）有解， 令 f（x）x2+22lnx，则 f（x）， 当 x，1）时，f（x）0，当 x（1，e时，f（x）0， 故当 x1 时，f（x）取最小值 3， 由 f（）+4，f（e）e2， 故当 xe 时，f（x）取最大值 e2， 故 a3，e2， 故选：A 【点评】本题考查的知识点是函数的零点存在性及个数判断，利用导数研究函数的最值， 难度中档 11 （5 分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板” ，它是由五块等腰直
20、角三角 形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形） 、一块正方形和一块平 行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点 取自阴影部分的概率是（ ） A B C D 【分析】求出阴影部分的面积，根据几何概型的定义求出满足条件的概率即可 【解答】解：设正方形的面积是 1， 结合图象，阴影部分是和大三角形的面积相等， 从而阴影部分占正方形的， 故满足条件的概率 p， 故选：C 第 12 页（共 22 页） 【点评】本题考查了几何概型问题，考查数形结合思想，是一道基础题 12 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的离心率为 2，F1，F2分别是双曲线的 左、
21、右焦点，点 M（a，0） ，N（0，b） ，点 P 为线段 MN 上的动点，若取得 最小值和最大值时，PF1F2的面积分别为 S1，S2，则（ ） A B C D 【分析】利用双曲线的离心率推出，线段 MN 所在直线的方程为， 点 P 在线段 MN 上，可设，其中 ma，0，由 F1（c，0） ，F2（c， 0） ，通过斜率的数量积求出的最值，然后求解结果 【解答】解：由已知得 c2a，故线段 MN 所在直线的方程为 ， 又点 P 在线段 MN 上，可设，其中 ma，0， 由 F1（c， 0） ， F2（c， 0） ， 得， 则， 由 ma，0，可知当时，取得最小值， 此时，当 m0 时，取得
22、 最大值，此时，所以 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，斜率的数量积的应用，考查转化思想以及 计算能力 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若实数 x，y 满足，则 2x+y 的最大值为 9 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分 ABC） 第 13 页（共 22 页） 由 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z， 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 B 时， 直线 y2x+z 的截距最大， 此时
23、z 最大 由 ，解得，即 B（3，3） 将 B（3，3）的坐标代入目标函数 z2x+y， 得 z23+39即 z2x+y 的最大值为 9 故答案为：9 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数 学思想是解决此类问题的基本方法 14 （5 分）若的展开式式中含 x3的项为 160x3 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 3，求出 r 的值，即可求得展开 式式中含 x3的项 【解答】解：的展开式中通项公式为 ， 令 52r3，求得 r1 时，故展开式中含 x3的项为， 故答案为：160x3 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通
24、项公式，二项式系数的性质， 第 14 页（共 22 页） 属于基础题 15 （5 分）直线 l 与抛物线 x28y 相交于 A、B 两点且 AB 的中点为 M（1、1） ，则 l 的方 程为 x4y+30 【分析】设 A（x1，y1） 、B（x2，y2）利用平方差法求出直线的斜率，然后利用点斜式求 解直线方程 【解答】解：A（x1，y1） 、B（x2，y2）则 相减可得： （x1+x2） （x1x2）8（y1y2）有， AB 中点为 M（1，1） x1+x22 故， L 的方程为：， 即 x4y+30 故答案为：x4y+30 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，平方差法的应用，考查转
25、化思想以 及计算能力 16 （5 分）ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， （a2b）cosCc（2cosB cosA） ，则角 A 的取值范围是 （0， 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知 等式可得 sinB2sinA，可得 b2a，由余弦定理，基本不等式可求 cosA，结合 A 为三角形的内角，且 ycosx 在（0，）上是减函数，可求角 A 的取值范围 【解答】解：由已知及正弦定理得：sinAcosC2sinBcosC2sinCcosBsinCcosA， 即 sinAcosC+sinCcosA2（sinBcosC+sinC
26、cosB） ， 可得：sin（A+C）2sin（B+C） ， sinB2sinA， b2a， 由余弦定理得：cosA， 第 15 页（共 22 页） 当且仅当 ca 时取等号， A 为三角形的内角，且 ycosx 在（0，）上是减函数， 0A，则角 A 的取值范围是（0， 故答案为： （0， 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导 公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想， 属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必
27、考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）设正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 S22a2+2a3，a54 （）求数列an的通项公式； （）设数列 bnlog2an，求|bn|的前 n 项和 Tn 【分析】 （） 设正项等比数列an的公比为 q，则 q0 且 q1，利用已知条件求出 q， 然后求解通项公式 （）由（）知：bn7n 故当 n7 时，bn0，然后通过当 n7 时，当 n7 时， 分别求解数列的和即可 【解答
28、】解： （） 设正项等比数列an的公比为 q，则 q0 且 q1， 由已知 S22a3+2a2有 2a3+a2a10， 即， 故或 q1（舍） （）由（）知：bn7n 故当 n7 时，bn0， 当 n7 时， 当 n7 时，Tnb1+b2+b7（b8+b9+bn） ， 第 16 页（共 22 页） 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查计算能力 18 （12 分）如图，平面 ABCD平面 ADEF，其中 ABCD 为矩形，ADEF 为梯形，AFDE， AFFE，AFAD2DE2 （）求证：EF平面 BAF； （）若二面角 ABFD 的平面角的余弦值为，求 AB 的长 【分
29、析】 （）由平面 ABCD平面 ADEF，且 ABCD 为矩形，可得 BA平面 ADEF，得 到 BAEF，又 AFEF，由线面垂直的判定可得 EF平面 BAF； （）设 ABt以 F 为原点，AF，FE 所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立空间直角坐标 系 Fzyz可得平面 ABF 的法向量可取 （0，1，0） 再求出平面 BFD 的法向量 （，1，） 结合二面角 ABFD 的平面角的余弦值为求 AB 的长 【解答】 （）证明：平面 ABCD平面 ADEF，且 ABCD 为矩形， BA平面 ADEF， 又 EF平面 ADEF，BAEF， 又 AFEF 且 AFBAA， EF平面 BAF； （
30、）解：设 ABt 以 F 为原点，AF，FE 所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立空间直角坐标系 Fzyz 则 F（0，0，0） ，A（2，0，0） ，E（0，0） ，D（1，0） ，B（2，0，t） ， （1，0） ，（2，0，t） EF平面 ABF，平面 ABF 的法向量可取 （0，1，0） 第 17 页（共 22 页） 设 （x，y，z）为平面 BFD 的法向量， 则，取 y1，可得 （，1，） cos，得 t， AB 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空间向量求解线面角，是中档题 19 （12 分）质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分划
31、随机抽取 100 桶检测某项质 量 指 标 ， 由 检 测 结 果 得 到 如 图 的 频 率 分 布 直 方 图 ： （I）写出频率分布直方图（甲）中 a 的值；记甲、乙两种食用油 100 桶样本的质量指标 的方差分别为 s12，s22，试比较 s12，s22的大小（只要求写出答案） ； （）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅，恰有一个桶的质量指标大于 20，且另 一个不大于 20 的概率； （）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值 Z 服从正态分布 N（， 第 18 页（共 22 页） 2） 其中 近似为样本平均数 ，2 近似为样本方差 s22，设 X 表示从乙种食用油中
32、随 机抽取 lO 桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的桶数，求 X 的散学期望 注：同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得 s211.95； 若 ZN （， 2） ， 则 P （Z+） 0.6826， P （2Z+2） 0.9544 【分析】 （）按照题目要求想结果即可 （）设事件 A，事件 B，事件 C，求出 P（A） ，P（B） ，P（C）即可； （）求出从乙种食用油中随机抽取 lO 桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的概率 是 0.6826，得到 XB（10，0.6826） ，求出 EX 即可 【解答】解： （）a0.015，s12s22； （）设事件 A：在甲
33、种食用油中随机抽取 1 捅，其质量指标不大于 20， 事件 B：在乙种食用油中随机抽取 1 捅，其质量指标不大于 20， 事件 C：在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅，恰有一个桶的质量指标大于 20，且另一 个不大于 20， 则 P（A）0.20+0.100.3，P（B）0.10+0.200.3， P（C）P（ ）P（B）+P（A）P（ ）0.42； （）计算得： 26.5，由条件得 ZN（26.5，142.75） ， 从而 P（26.511.95Z26.5+11.95）0.6826， 从乙种食用油中随机抽取 lO 桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的概率是 0.6826， 依题
34、意得 XB（10，0.6826） ， EX100.68266.826 【点评】本题考查离散型随机变量的期望的求法，独立重复试验概率的求法，考查计算 能力 20 （12 分）已知椭圆的离心率为，左右端点为 A1，A2，其中 A2 的横坐标为 2过点 B（4，0）的直线交椭圆于 P，Q 两点，P 在 Q 的左侧，且 P，Q 不 与 A1，A2重合，点 Q 关于 x 轴的对称点为 R，射线 A1R 与 PA2交于点 M （1）求椭圆的方程； （2）求证：M 点在直线 x4 上 【分析】 （1）利用椭圆的离心率以及顶点坐标求解 a，c，推出 B，即可顶点椭圆方程 （2）设 P（x1，y1） ，Q（x2
35、，y2） ，R（x2，y2）由 3x2+4y212 与 xmy+4 联立，利用 第 19 页（共 22 页） 韦达定理推出直线方程，求解 x 即可得到结果 【解答】解： （1）因为离心率为，所以， 因为 A2的横坐标为 2，所以， 因此椭圆的方程为； （2）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，R（x2，y2）由 3x2+4y212 与 xmy+4 联立， 得（3m2+4）y2+24my+360， 所以， 直线 A1R：，直线 A2P：， 联立解出 4 【点评】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应 用，考查转化思想以及计算能力 21 （12 分）设 yf（
36、x）是 g（x）ex在点（0，1）处的切线 （）求 yf（x）的解析式； （）求证：f（x）g（x） ； （）设 h（x）g（x）+lnf（x）ax，其中 aR若 h（x）1 对 x0，+）恒成 立，求 a 的取值范围 【分析】 （）根据导数的几何意义即可求出函数的解析式， （）构造函数 m（x）g（x）f（x） ，根据导数和函数的最值的关系即可证明， （）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的最值的关系即可求出 a 的范围 【解答】解： （）设 g（x）ex，则 g（x）ex，所以 g（0）1 所以 f（x）x+1 第 20 页（共 22 页） 证明（）令 m（x）g（x）f（x） m（x）满
37、足 m（0）0，且 m（x）g（x） 1ex1 当 x0 时，m（x）0，故 m（x）单调递减； 当 x0 时，m（x）0，故 m（x）单调递增 所以，m（x）m（0）0（xR） 所以 f（x）g（x） （8 分） 解（）h（x）的定义域是x|x1，且 当 a2 时，由（）得 exx+1， 所以 所以 h（x）在区间0，+）上单调递增， 所以 h（x）h（0）1 恒成立，符合题意 当 a2 时，由 x0，+） ， 且 h（x）的导数， 所以 h（x）在区间0，+）上单调递增 因为 h（0）2a0， 于是存在 x0（0，+） ，使得 h（x0）0 （12 分） 所以 h（x）在区间（0，x0）上
38、单调递减，在区间（x0，+）上单调递增， 所以 h（x0）h（0）1，此时 h（x）1 不会恒成立，不符合题意 综上，a 的取值范围是（，2 【点评】本题考查了曲线的切线方程，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用 以及分类讨论思想，属于难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任一题作答如果多做，则按所做的第题中任一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题（本小题 10 分）分） 22 （10 分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，在直角坐标系 xOy 中，以 O 为
39、极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的方程为 2（1+sin2）1 （1）求曲线 M 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 M 只有一个公共点，求倾斜角 的值 第 21 页（共 22 页） 【分析】 （1）利用 cosx，siny，2x2+y2，进行代换即可得出其直角坐标方程； （2）求出直线 l 的直角坐标方程，联立方程组，根据0，得到关于 tan 的方程，解 出即可 【解答】解： （1）曲线 M 的方程为 2（1+sin2）1， cosx，siny，2x2+y2， x2+2y21； （2）直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， ytan（x） ， 由，得：x2+2， 即
40、（1+2tan2）x22tan2x+5tan210， 若直线 l 与曲线 M 只有一个公共点， 则4（1+2tan2） （5tan21）0， 解得：tan， 或 【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决交点问 题利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 cosx，siny，2x2+y2，进行代 换即得 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题（本小题 10 分）分） 23已知 a0，b0，且 a2+b21，证明： （1）4a2+b29a2b2； （2） （a3+b3）21 【分析】 （1）利用乘“1”法，可得 4a2+b2（4a2+b2） （a2+b2）4a4+
41、b4+5a2b2，再利 用基本不等式即可证明； （2）先求出 a，b 的范围，可得 a3a2，b3b2，a3+b3a2+b2，问题得以证明 【解答】证明： （1）a2+b21， 4a2+b2（4a2+b2） （a2+b2）4a4+b4+5a2b24a2b2+5a2b29a2b2， 第 22 页（共 22 页） 当且仅当 b22a2时，取得等号 （2）a0，b0，且 a2+b21， a，b（0，1） ，a3a2，b3b2，a3+b3a2+b2， （a3+b3）2（a2+b2）21 【点评】本题考查基本不等式的运用：证明不等式，注意运用乘 1 法和函数的单调性， 考查化简变形能力和运算能力，属于中档题