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2018-2019学年广西南宁三中高三(上)10月月考数学试卷(理科)含详细解答

1、复数 z 满足 z(1+2i)3+i,则 ( ) A B1i C D1+i 3 (5 分)下列各式中的值为的是( ) A2sin2151 Bcos215sin215 C2sin15cos15 Dsin215+cos215 4 (5 分)设 P 是ABC 所在平面内的一点,则( ) A B C D 5 (5 分)已知 a 为实数, “a1”是“a2a3”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 (5 分)已知某一随机变量 的分布列如下,且 E6.3,则 a 的值为( ) 4 a 9 P 0.5 0.1 b A5 B6 C7 D8 7 (5 分)函数 f

2、(x)cosxlnx2的部分图象大致是图中的( ) 第 2 页(共 22 页) A B C D 8 (5 分)已知,则下列关系正确的是( ) Azyx Bzxy Cxyz Dyzx 9 (5 分)三棱锥 PABC 中,ABC 为等边三角形,PAPBPC2,PAPB,三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为( ) A48 B12 C4 D32 10 (5 分)已知函数 ya+2lnx(x,e)的图象上存在点 P,函数 yx22 的图象上 存在点 Q,且 P,Q 关于原点对称,则 a 的取值范围是( ) A3,e2 Be2,+) C4+,e2 D3,4+ 11 (5 分)七巧板是我们祖先的一项创造,

3、被誉为“东方魔板” ,它是由五块等腰直角三角 形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形) 、一块正方形和一块平 行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点 取自阴影部分的概率是( ) A B C D 12 (5 分)已知双曲线(a0,b0)的离心率为 2,F1,F2分别是双曲线的 第 3 页(共 22 页) 左、右焦点,点 M(a,0) ,N(0,b) ,点 P 为线段 MN 上的动点,若取得 最小值和最大值时,PF1F2的面积分别为 S1,S2,则( ) A B C D 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分

4、,共分,共 20 分分 13 (5 分)若实数 x,y 满足,则 2x+y 的最大值为 14 (5 分)若的展开式式中含 x3的项为 15 (5 分)直线 l 与抛物线 x28y 相交于 A、B 两点且 AB 的中点为 M(1、1) ,则 l 的方 程为 16 (5 分)ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, (a2b)cosCc(2cosB cosA) ,则角 A 的取值范围是 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生

5、都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题: 共共 60 分分 17 (12 分)设正项等比数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 S22a2+2a3,a54 ()求数列an的通项公式; ()设数列 bnlog2an,求|bn|的前 n 项和 Tn 18 (12 分)如图,平面 ABCD平面 ADEF,其中 ABCD 为矩形,ADEF 为梯形,AFDE, AFFE,AFAD2DE2 ()求证:EF平面 BAF; ()若二面角 ABFD 的平面角的余弦值为,求 AB 的长 19 (12 分)质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用

6、油中分划随机抽取 100 桶检测某项质 量 指 标 , 由 检 测 结 果 得 到 如 图 的 频 率 分 布 直 方 图 : 第 4 页(共 22 页) (I)写出频率分布直方图(甲)中 a 的值;记甲、乙两种食用油 100 桶样本的质量指标 的方差分别为 s12,s22,试比较 s12,s22的大小(只要求写出答案) ; ()估计在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅,恰有一个桶的质量指标大于 20,且另 一个不大于 20 的概率; ()由频率分布直方图可以认为,乙种食用油的质量指标值 Z 服从正态分布 N(, 2) 其中 近似为样本平均数 ,2 近似为样本方差 s22,设 X 表示从乙种食

7、用油中随 机抽取 lO 桶,其质量指标值位于(14.55,38.45)的桶数,求 X 的散学期望 注:同一组数据用该区问的中点值作代表,计算得 s211.95; 若 ZN (, 2) , 则 P (Z+) 0.6826, P (2Z+2) 0.9544 20 (12 分)已知椭圆的离心率为,左右端点为 A1,A2,其中 A2 的横坐标为 2过点 B(4,0)的直线交椭圆于 P,Q 两点,P 在 Q 的左侧,且 P,Q 不 与 A1,A2重合,点 Q 关于 x 轴的对称点为 R,射线 A1R 与 PA2交于点 M (1)求椭圆的方程; (2)求证:M 点在直线 x4 上 21 (12 分)设 y

8、f(x)是 g(x)ex在点(0,1)处的切线 ()求 yf(x)的解析式; ()求证:f(x)g(x) ; ()设 h(x)g(x)+lnf(x)ax,其中 aR若 h(x)1 对 x0,+)恒成 立,求 a 的取值范围 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任一题作答如果多做,则按所做的第题中任一题作答如果多做,则按所做的第 第 5 页(共 22 页) 一题计分一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程(本小题(本小题 10 分)分) 22 (10 分)已知直线 l 的参数方程为(t 为参数) ,在直角坐标系 xOy 中,以 O

9、 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 M 的方程为 2(1+sin2)1 (1)求曲线 M 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 M 只有一个公共点,求倾斜角 的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(本小题(本小题 10 分)分) 23已知 a0,b0,且 a2+b21,证明: (1)4a2+b29a2b2; (2) (a3+b3)21 第 6 页(共 22 页) 2018-2019 学年广西南宁三中高三(上)学年广西南宁三中高三(上)10 月月考数学试卷(理月月考数学试卷(理 科)科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12

10、小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知全集 UR,集合 A1,2,3,4,5,B3,+) ,则图中阴影部分所 表示的集合为( ) A0,1,2 B0,1 C1,2 D1 【分析】由已知中 U 为全集,A,B 是集合 U 的子集,及图中阴影,分析阴影部分元素 满足的性质,可得答案 【解答】解:由已知中阴影部分在集合 A 中,而不在集合 B 中, 故阴影部分所表示的元素属于 A,不属于 B(属于 B 的补集) 即(RB)A1,2 故选:C 【点评】题考查的知识点

11、是 Venn 图表达集合的关系及运算,其中正确理解阴影部分元素 满足的性质是解答本题的关键 2 (5 分)复数 z 满足 z(1+2i)3+i,则 ( ) A B1i C D1+i 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解:z(1+2i)3+i, , 故选:D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题 第 7 页(共 22 页) 3 (5 分)下列各式中的值为的是( ) A2sin2151 Bcos215sin215 C2sin15cos15 Dsin215+cos215 【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系化简各个选项中的

12、函数式值,可得 结论 【解答】解:2sin2151(12sin215)cos30,故排除 A; cos215sin215cos30,故排除 B; 2sin15cos15sin30,故 C 满足条件; sin215+cos2151,故排除 D, 故选:C 【点评】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系,属于基础题 4 (5 分)设 P 是ABC 所在平面内的一点,则( ) A B C D 【分析】根据所给的关于向量的等式,把等式右边二倍的向量拆开,一个移项一个和左 边移来的向量进行向量的加减运算,变形整理,得到与选项中一致的形式,得到结果 【解答】解:, , 故选:B 【点评】本题考查了

13、向量的加法运算和平行四边形法则,可以借助图形解答向量是数 形结合的典型例子,向量的加减运算是用向量解决问题的基础,要学好向量的加减运算 5 (5 分)已知 a 为实数, “a1”是“a2a3”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 8 页(共 22 页) 【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式问题求出答案即可 【解答】解:a1 时,a2a3a2(1a)0, 即 a2a3,是充分条件, 若 a2a3, 则 a2(1a)0, 则 1a0,a1,是必要条件, 故, “a1”是“a2a3”的充要条件, 故选:C 【点评】本题考查了充分必要条件,考查解不等

14、式问题,是一道常规题 6 (5 分)已知某一随机变量 的分布列如下,且 E6.3,则 a 的值为( ) 4 a 9 P 0.5 0.1 b A5 B6 C7 D8 【分析】估计分布列中,所有的概率之和是 1,得到关于 b 的方程,求出 b 的值,根据本 组数据的期望值和分布列列出关于 a,b 的方程,代入 b 的值,求出 a,得到结果 【解答】解:由题意和概率的性质得 0.5+0.1+b1, 且 E40.5+0.1a+9b6.3, b0.4,a7, 故选:C 【点评】本题考查离散型随机变量的期望公式的应用,考查分布列中概率的性质,考查 利用方程的思想解决实际问题,是一个好题,运算量不大,但考查

15、的内容比较全面 7 (5 分)函数 f(x)cosxlnx2的部分图象大致是图中的( ) A B 第 9 页(共 22 页) C D 【分析】运用奇偶性和特殊值法可解决此问题 【解答】由题意,函数 f(x)cosxlnx2为偶函数,函数的图象关于 y 轴对称,故可以 排除 C,D 答案 又函数 f(x)cosxlnx2在区间(0,1)上为减函数,排除 B, 故选:B 【点评】本题考查函数的图象,函数的性质的知识 8 (5 分)已知,则下列关系正确的是( ) Azyx Bzxy Cxyz Dyzx 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 【解答】解:,ylog531, , ,即 yz,

16、zyx, 故选:A 【点评】本题考查三个数的大小的判断,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识, 考查运算求解能力,是基础题 9 (5 分)三棱锥 PABC 中,ABC 为等边三角形,PAPBPC2,PAPB,三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为( ) A48 B12 C4 D32 【分析】证明 PAPC,PBPC,以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱,作长方体如 图,则长方体的外接球同时也是三棱锥 PABC 外接球算出长方体的对角线即为球直 径,结合球的表面积公式,可算出三棱锥 PABC 外接球的表面积 【解答】解:三棱锥 PABC 中,ABC 为等边三角形,PAPBPC2, 第

17、10 页(共 22 页) PABPACPBC PAPB, PAPC,PBPC 以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱,作长方体如图 则长方体的外接球同时也是三棱锥 PABC 外接球 长方体的对角线长为2, 球直径为 2,半径 R, 因此,三棱锥 PABC 外接球的表面积是 4R24()212 故选:B 【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直,求它的外接球的表面积,着重考查了长 方体对角线公式和球的表面积计算等知识,属于基础题 10 (5 分)已知函数 ya+2lnx(x,e)的图象上存在点 P,函数 yx22 的图象上 存在点 Q,且 P,Q 关于原点对称,则 a 的取值范围是( ) A

18、3,e2 Be2,+) C4+,e2 D3,4+ 【分析】若函数 ya+2lnx(x,e)的图象上存在点 P,函数 yx22 的图象上存 在点 Q,且 P,Q 关于原点对称,则函数 ya+2lnx(x,e)的图象与函数 yx2+2 的图象有交点,即方程 a+2lnxx2+2(x,e)有解,即 ax2+22lnx(x,e) 有解,令 f(x)x2+22lnx,利用导数法求出函数的值域,可得答案 【解答】解:函数 yx22 的图象与函数 yx2+2 的图象关于原点对称, 若函数 ya+2lnx(x,e)的图象上存在点 P,函数 yx22 的图象上存在点 Q, 且 P,Q 关于原点对称, 则函数 y

19、a+2lnx(x,e)的图象与函数 yx2+2 的图象有交点, 第 11 页(共 22 页) 即方程 a+2lnxx2+2(x,e)有解, 即 ax2+22lnx(x,e)有解, 令 f(x)x2+22lnx,则 f(x), 当 x,1)时,f(x)0,当 x(1,e时,f(x)0, 故当 x1 时,f(x)取最小值 3, 由 f()+4,f(e)e2, 故当 xe 时,f(x)取最大值 e2, 故 a3,e2, 故选:A 【点评】本题考查的知识点是函数的零点存在性及个数判断,利用导数研究函数的最值, 难度中档 11 (5 分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板” ,它是由五块等腰直

20、角三角 形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形) 、一块正方形和一块平 行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点 取自阴影部分的概率是( ) A B C D 【分析】求出阴影部分的面积,根据几何概型的定义求出满足条件的概率即可 【解答】解:设正方形的面积是 1, 结合图象,阴影部分是和大三角形的面积相等, 从而阴影部分占正方形的, 故满足条件的概率 p, 故选:C 第 12 页(共 22 页) 【点评】本题考查了几何概型问题,考查数形结合思想,是一道基础题 12 (5 分)已知双曲线(a0,b0)的离心率为 2,F1,F2分别是双曲线的 左、

21、右焦点,点 M(a,0) ,N(0,b) ,点 P 为线段 MN 上的动点,若取得 最小值和最大值时,PF1F2的面积分别为 S1,S2,则( ) A B C D 【分析】利用双曲线的离心率推出,线段 MN 所在直线的方程为, 点 P 在线段 MN 上,可设,其中 ma,0,由 F1(c,0) ,F2(c, 0) ,通过斜率的数量积求出的最值,然后求解结果 【解答】解:由已知得 c2a,故线段 MN 所在直线的方程为 , 又点 P 在线段 MN 上,可设,其中 ma,0, 由 F1(c, 0) , F2(c, 0) , 得, 则, 由 ma,0,可知当时,取得最小值, 此时,当 m0 时,取得

22、 最大值,此时,所以 故选:A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,斜率的数量积的应用,考查转化思想以及 计算能力 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)若实数 x,y 满足,则 2x+y 的最大值为 9 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义进行求解即可 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) 第 13 页(共 22 页) 由 z2x+y 得 y2x+z, 平移直线 y2x+z, 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 B 时, 直线 y2x+z 的截距最大, 此时

23、z 最大 由 ,解得,即 B(3,3) 将 B(3,3)的坐标代入目标函数 z2x+y, 得 z23+39即 z2x+y 的最大值为 9 故答案为:9 【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数 学思想是解决此类问题的基本方法 14 (5 分)若的展开式式中含 x3的项为 160x3 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 3,求出 r 的值,即可求得展开 式式中含 x3的项 【解答】解:的展开式中通项公式为 , 令 52r3,求得 r1 时,故展开式中含 x3的项为, 故答案为:160x3 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通

24、项公式,二项式系数的性质, 第 14 页(共 22 页) 属于基础题 15 (5 分)直线 l 与抛物线 x28y 相交于 A、B 两点且 AB 的中点为 M(1、1) ,则 l 的方 程为 x4y+30 【分析】设 A(x1,y1) 、B(x2,y2)利用平方差法求出直线的斜率,然后利用点斜式求 解直线方程 【解答】解:A(x1,y1) 、B(x2,y2)则 相减可得: (x1+x2) (x1x2)8(y1y2)有, AB 中点为 M(1,1) x1+x22 故, L 的方程为:, 即 x4y+30 故答案为:x4y+30 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,平方差法的应用,考查转

25、化思想以 及计算能力 16 (5 分)ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, (a2b)cosCc(2cosB cosA) ,则角 A 的取值范围是 (0, 【分析】由正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,诱导公式化简已知 等式可得 sinB2sinA,可得 b2a,由余弦定理,基本不等式可求 cosA,结合 A 为三角形的内角,且 ycosx 在(0,)上是减函数,可求角 A 的取值范围 【解答】解:由已知及正弦定理得:sinAcosC2sinBcosC2sinCcosBsinCcosA, 即 sinAcosC+sinCcosA2(sinBcosC+sinC

26、cosB) , 可得:sin(A+C)2sin(B+C) , sinB2sinA, b2a, 由余弦定理得:cosA, 第 15 页(共 22 页) 当且仅当 ca 时取等号, A 为三角形的内角,且 ycosx 在(0,)上是减函数, 0A,则角 A 的取值范围是(0, 故答案为: (0, 【点评】本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,诱导 公式,余弦定理,基本不等式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想, 属于中档题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必

27、考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题: 共共 60 分分 17 (12 分)设正项等比数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 S22a2+2a3,a54 ()求数列an的通项公式; ()设数列 bnlog2an,求|bn|的前 n 项和 Tn 【分析】 () 设正项等比数列an的公比为 q,则 q0 且 q1,利用已知条件求出 q, 然后求解通项公式 ()由()知:bn7n 故当 n7 时,bn0,然后通过当 n7 时,当 n7 时, 分别求解数列的和即可 【解答

28、】解: () 设正项等比数列an的公比为 q,则 q0 且 q1, 由已知 S22a3+2a2有 2a3+a2a10, 即, 故或 q1(舍) ()由()知:bn7n 故当 n7 时,bn0, 当 n7 时, 当 n7 时,Tnb1+b2+b7(b8+b9+bn) , 第 16 页(共 22 页) 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用,数列求和的方法,考查计算能力 18 (12 分)如图,平面 ABCD平面 ADEF,其中 ABCD 为矩形,ADEF 为梯形,AFDE, AFFE,AFAD2DE2 ()求证:EF平面 BAF; ()若二面角 ABFD 的平面角的余弦值为,求 AB 的长 【分

29、析】 ()由平面 ABCD平面 ADEF,且 ABCD 为矩形,可得 BA平面 ADEF,得 到 BAEF,又 AFEF,由线面垂直的判定可得 EF平面 BAF; ()设 ABt以 F 为原点,AF,FE 所在的直线分别为 x 轴,y 轴建立空间直角坐标 系 Fzyz可得平面 ABF 的法向量可取 (0,1,0) 再求出平面 BFD 的法向量 (,1,) 结合二面角 ABFD 的平面角的余弦值为求 AB 的长 【解答】 ()证明:平面 ABCD平面 ADEF,且 ABCD 为矩形, BA平面 ADEF, 又 EF平面 ADEF,BAEF, 又 AFEF 且 AFBAA, EF平面 BAF; (

30、)解:设 ABt 以 F 为原点,AF,FE 所在的直线分别为 x 轴,y 轴建立空间直角坐标系 Fzyz 则 F(0,0,0) ,A(2,0,0) ,E(0,0) ,D(1,0) ,B(2,0,t) , (1,0) ,(2,0,t) EF平面 ABF,平面 ABF 的法向量可取 (0,1,0) 第 17 页(共 22 页) 设 (x,y,z)为平面 BFD 的法向量, 则,取 y1,可得 (,1,) cos,得 t, AB 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用 空间向量求解线面角,是中档题 19 (12 分)质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分划

31、随机抽取 100 桶检测某项质 量 指 标 , 由 检 测 结 果 得 到 如 图 的 频 率 分 布 直 方 图 : (I)写出频率分布直方图(甲)中 a 的值;记甲、乙两种食用油 100 桶样本的质量指标 的方差分别为 s12,s22,试比较 s12,s22的大小(只要求写出答案) ; ()估计在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅,恰有一个桶的质量指标大于 20,且另 一个不大于 20 的概率; ()由频率分布直方图可以认为,乙种食用油的质量指标值 Z 服从正态分布 N(, 第 18 页(共 22 页) 2) 其中 近似为样本平均数 ,2 近似为样本方差 s22,设 X 表示从乙种食用油中

32、随 机抽取 lO 桶,其质量指标值位于(14.55,38.45)的桶数,求 X 的散学期望 注:同一组数据用该区问的中点值作代表,计算得 s211.95; 若 ZN (, 2) , 则 P (Z+) 0.6826, P (2Z+2) 0.9544 【分析】 ()按照题目要求想结果即可 ()设事件 A,事件 B,事件 C,求出 P(A) ,P(B) ,P(C)即可; ()求出从乙种食用油中随机抽取 lO 桶,其质量指标值位于(14.55,38.45)的概率 是 0.6826,得到 XB(10,0.6826) ,求出 EX 即可 【解答】解: ()a0.015,s12s22; ()设事件 A:在甲

33、种食用油中随机抽取 1 捅,其质量指标不大于 20, 事件 B:在乙种食用油中随机抽取 1 捅,其质量指标不大于 20, 事件 C:在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅,恰有一个桶的质量指标大于 20,且另一 个不大于 20, 则 P(A)0.20+0.100.3,P(B)0.10+0.200.3, P(C)P( )P(B)+P(A)P( )0.42; ()计算得: 26.5,由条件得 ZN(26.5,142.75) , 从而 P(26.511.95Z26.5+11.95)0.6826, 从乙种食用油中随机抽取 lO 桶,其质量指标值位于(14.55,38.45)的概率是 0.6826, 依题

34、意得 XB(10,0.6826) , EX100.68266.826 【点评】本题考查离散型随机变量的期望的求法,独立重复试验概率的求法,考查计算 能力 20 (12 分)已知椭圆的离心率为,左右端点为 A1,A2,其中 A2 的横坐标为 2过点 B(4,0)的直线交椭圆于 P,Q 两点,P 在 Q 的左侧,且 P,Q 不 与 A1,A2重合,点 Q 关于 x 轴的对称点为 R,射线 A1R 与 PA2交于点 M (1)求椭圆的方程; (2)求证:M 点在直线 x4 上 【分析】 (1)利用椭圆的离心率以及顶点坐标求解 a,c,推出 B,即可顶点椭圆方程 (2)设 P(x1,y1) ,Q(x2

35、,y2) ,R(x2,y2)由 3x2+4y212 与 xmy+4 联立,利用 第 19 页(共 22 页) 韦达定理推出直线方程,求解 x 即可得到结果 【解答】解: (1)因为离心率为,所以, 因为 A2的横坐标为 2,所以, 因此椭圆的方程为; (2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,R(x2,y2)由 3x2+4y212 与 xmy+4 联立, 得(3m2+4)y2+24my+360, 所以, 直线 A1R:,直线 A2P:, 联立解出 4 【点评】本题考查椭圆方程的求法,椭圆的简单性质,直线与椭圆的位置关系的综合应 用,考查转化思想以及计算能力 21 (12 分)设 yf(

36、x)是 g(x)ex在点(0,1)处的切线 ()求 yf(x)的解析式; ()求证:f(x)g(x) ; ()设 h(x)g(x)+lnf(x)ax,其中 aR若 h(x)1 对 x0,+)恒成 立,求 a 的取值范围 【分析】 ()根据导数的几何意义即可求出函数的解析式, ()构造函数 m(x)g(x)f(x) ,根据导数和函数的最值的关系即可证明, ()先求导,再分类讨论,根据导数和函数的最值的关系即可求出 a 的范围 【解答】解: ()设 g(x)ex,则 g(x)ex,所以 g(0)1 所以 f(x)x+1 第 20 页(共 22 页) 证明()令 m(x)g(x)f(x) m(x)满

37、足 m(0)0,且 m(x)g(x) 1ex1 当 x0 时,m(x)0,故 m(x)单调递减; 当 x0 时,m(x)0,故 m(x)单调递增 所以,m(x)m(0)0(xR) 所以 f(x)g(x) (8 分) 解()h(x)的定义域是x|x1,且 当 a2 时,由()得 exx+1, 所以 所以 h(x)在区间0,+)上单调递增, 所以 h(x)h(0)1 恒成立,符合题意 当 a2 时,由 x0,+) , 且 h(x)的导数, 所以 h(x)在区间0,+)上单调递增 因为 h(0)2a0, 于是存在 x0(0,+) ,使得 h(x0)0 (12 分) 所以 h(x)在区间(0,x0)上

38、单调递减,在区间(x0,+)上单调递增, 所以 h(x0)h(0)1,此时 h(x)1 不会恒成立,不符合题意 综上,a 的取值范围是(,2 【点评】本题考查了曲线的切线方程,考查函数的单调性、最值问题,考查导数的应用 以及分类讨论思想,属于难题 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任一题作答如果多做,则按所做的第题中任一题作答如果多做,则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程(本小题(本小题 10 分)分) 22 (10 分)已知直线 l 的参数方程为(t 为参数) ,在直角坐标系 xOy 中,以 O 为

39、极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 M 的方程为 2(1+sin2)1 (1)求曲线 M 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 M 只有一个公共点,求倾斜角 的值 第 21 页(共 22 页) 【分析】 (1)利用 cosx,siny,2x2+y2,进行代换即可得出其直角坐标方程; (2)求出直线 l 的直角坐标方程,联立方程组,根据0,得到关于 tan 的方程,解 出即可 【解答】解: (1)曲线 M 的方程为 2(1+sin2)1, cosx,siny,2x2+y2, x2+2y21; (2)直线 l 的参数方程为(t 为参数) , ytan(x) , 由,得:x2+2, 即

40、(1+2tan2)x22tan2x+5tan210, 若直线 l 与曲线 M 只有一个公共点, 则4(1+2tan2) (5tan21)0, 解得:tan, 或 【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及利用平面几何知识解决交点问 题利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 cosx,siny,2x2+y2,进行代 换即得 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(本小题(本小题 10 分)分) 23已知 a0,b0,且 a2+b21,证明: (1)4a2+b29a2b2; (2) (a3+b3)21 【分析】 (1)利用乘“1”法,可得 4a2+b2(4a2+b2) (a2+b2)4a4+

41、b4+5a2b2,再利 用基本不等式即可证明; (2)先求出 a,b 的范围,可得 a3a2,b3b2,a3+b3a2+b2,问题得以证明 【解答】证明: (1)a2+b21, 4a2+b2(4a2+b2) (a2+b2)4a4+b4+5a2b24a2b2+5a2b29a2b2, 第 22 页(共 22 页) 当且仅当 b22a2时,取得等号 (2)a0,b0,且 a2+b21, a,b(0,1) ,a3a2,b3b2,a3+b3a2+b2, (a3+b3)2(a2+b2)21 【点评】本题考查基本不等式的运用:证明不等式,注意运用乘 1 法和函数的单调性, 考查化简变形能力和运算能力,属于中档题