1、虹口区2019学年度第二学期学生学习能力诊断测试 高三数学试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟。 2.本考试分设试卷和答题纸。作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷 上作答一律不得分。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分：第7-12 题，每空填对得5分.请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内. 1.函数( )3cos21f xx的最小值为 . 2.函数 1 ( ) 3 x f x x 的定义域为 . 3.设全集UR，若 23Ax x，则 U C A . 4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天
2、参加志愿者服务活劢，则周六没有同学参加活劢的 概率为 . 5.已知函数( )g x的图像与函数 2 ( )log31 x f x 的图像关于直线yx对称，则 (3)g . 6.设复数 cos sin2 i z i （i为虚数单位），若2z ，则tan2 . 7.若 5 2 1 ax x 的展开式中的常数顷为 5 2 ，则实数a的值为 . 8. 设ABC的 内 角, ,A B C的 对 边 分 别 为, ,a b c， 若23 ,8,30bcA ， 则 si n C . 9.已知点(3, 2)A，点P满足线性约束条件 20 10 24 x y xy ，设O为坐标原点，则OA OP的最 大值为 .
3、 10.已知 12 ,F F是椭圆 22 2 :1(3) 3 xy Ca a 的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60的直 线与椭圆C的一个交点为M，若 1212 MFMFMFMF，则椭圆C的长轴长 为 . 11.已知球O是三棱锥PABC的外接球，2,2 2PAABBCCAPB，点D为 BC的中点，且7PD ，则球O的体积为 . 12.已知函数 51,1 ( ) 8 ,1 1 x x f x x x ，若方程( ( )f f xa恰有5个不同的实数根，则实数 a的取值范围为 . 二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对
4、得5分，否则一律零分。 13.已知抛物线 2 4yx上的点M到它焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为（ ） (A) 2(B) 4 (C) 5(D) 6 14.某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的表面积（单位：cm）为（ ） (A) 32(B) 36 (C) 40(D) 48 15.已知函数 1 ( )sin(0) 62 f xx 在区间0, 2 上有且仅有两个零点，则实数 的取值范围为（ ） 14141010 ( ) 2,( ) 2,( ),4(),6 3333 ABCD 16.设等比数列 n a的前n顷和为 n S，首顷 1 1a ，且 243 23SSS，已知 * ,m
5、nN，若 存在正整数, (1)i jij ，使得, ij ma mn na成等差数列，则mn的最小值为（ ） (A) 16(B) 12(C) 8(D) 6 三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写 出必要的步骤。 17.（本题满分14分）本题共2小题，第l小题6分，第2小题8分。 已知四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，PA 底面ABCD，且 22PAADAB，设,E F G分别为,PC BC CD的中点，H为EG的中点，如图 （1）求证：/ /FH平面PBD （2）求直线FH与平面PBC所成角的大小 18.（本题满分14分）本题共2小题，第l小题6分，第
6、2小题8分。 已知函数 4 ( ) 31 x f xa （a为实常数） （1）讨论函数( )f x的奇偶性，并说明理由； （2）当( )f x为奇函数时，对任意的1,5x，不等式( ) 3x u f x 恒成立，求实数u的最大 值 19.（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分. 某工厂制作如图所示的一种标识， 在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“H”型图形， “H” 型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的 3 2 倍，设O为圆心，2AOB，记“H”型图形的面积为S. （1）将,AB AD用,R表示，并将S表示成的函数； （2）为了突出“H”型图
7、形，设计时应使S尽可能大，则当为何值时，S最大？并求出S的 最大值。 20.（本题满分 16 分）本题共 3 小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分。 设 双 曲 线 2 2 2 :1 x Cy a 的 左 顶 点 为D， 且 以 点D为 圆 心 的 圆 222 :(2)(0)Dxyrr与双曲线C分别相交于点,A B，如图所示. （1）求双曲线C的方程； （2）求DA DB的最小值，并求出此时圆D的方程 （3）设点P为双曲线C上异于点,A B的任意一点，且直线,PA PB分别与x轴相交于点 ,M N ，求证：| |OMON为定值（其中O为坐标原点） 21.（本题
8、满分 18 分）本题共 3 小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分。 已知顷数为 *, 2m mN m的数列 n a满足条件： * 12 (1,2, ) nm aN nmaaa 若数列 n b满足 12*( 1,2,) 1 n mn aaaa bNnm m ，则称 n b为数列 n a的“关联数列” （1）数列1,5,9,13,17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列” ，若不存在，请 说明理由； （2）若数列 n a存在“关联数列” n b，证明： 1 1(1,2,1) nn aamnm （3）已知数列 n a存在“关联数列” n b，且 1 1,2049 m aa，求数列 n a顷数的最小 值与最大值.