1、2020 年高考数学二模试卷年高考数学二模试卷 一、选择题 1已知集合 Ax|3x2，B3，2，0，那么 AB（ ） A2 B0 C2，0 D2，0，2 2在复平面内，复数 zi（1+i）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+）上为减函数的是（ ） Ayx2 B Cycosx D 4抛物线 y24x 上的点与其焦点的距离的最小值为（ ） A4 B2 C1 D 5若角 的终边经过点 P（1，2），则 sin 的值为（ ） A B C D 6 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积
2、是 （ ） A6 B8 C12 D24 7若 为任意角，则满足 的一个 k 值为（ ） A2 B4 C6 D8 8已知 a，b，cR，在下列条件中，使得 ab 成立的一个充分而不必要条件是（ ） Aa3b3 Bac2bc2 C Da2b2 9设an是各项均为正数的等比数列，Sn为其前 n 项和已知 a1 a316，S314，若存在 n0使得 ， ， ， 的乘积最大，则 n0的一个可能值是（ ） A4 B5 C6 D7 10已知函数 ， ， ，若实数 m2，0，则|f（x）f（1）|在区间 m，m+2上的最大值的取值范围是（ ） A1，4 B2，4 C1，3 D1，2 二、填空题共 5 小题，每
3、小题 5 分，共 25 分 11已知向量 （1，2）， （m，1），若 ，则实数 m 12设an是等差数列，且 a12，a2+a48，则an的通项公式为 13若将函数 ysin2x 的图象向左平移 个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式 为 14若直线 l：yx+a 将圆 C：x2+y21 的圆周分成长度之比为 1：3 的两段弧，则实数 a 的所有可能取值是 15曲线 C 是平面内到定点 ， 和定直线 ： 的距离之和等于 5 的点的轨迹，给 出下列三个结论： 曲线 C 关于 y 轴对称； 若点 P（x，y）在曲线 C 上，则 y 满足|y|4； 若点 P（x，y）在曲线 C 上，则 1|P
4、F|5 其中，正确结论的序号是 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 16已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a+b5，c3，_是否存 在以 a，b，c 为边的三角形？如果存在，求出ABC 的面积；若不存在，说明理由 从 ； ； 这三个条件中任选一个，补充在上面问题 中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 17如图一所示，四边形 ABCD 是边长为 的正方形，沿 BD 将 C 点翻折到 C1点位置（如 图二所示），使得二面角 ABDC1成直二面角E，F 分别为 BC1，AC1的中点 （）求证：BDAC1； （）求平面
5、 DEF 与平面 ABD 所成的锐二面角的余弦值 18在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供 了多种网络课程资源以供选择使用活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的 甲、 乙两个班级进行网络问卷调查， 统计学生每天的学习时间， 将样本数据分成3， 4） ， 4，5），5，6），6，7），7，8五组，并整理得到如图频率分布直方图： （）已知该校高三年级共有 600 名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每 天学习时间达到 5 小时及以上的学生人数； （）已知这两个班级各有 40 名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足 4 小时的学 生中随机抽取
6、3 人，记从甲班抽到的学生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望； （）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为 D1，D2，试比较 D1与 D2的大 小（只需写出结论） 19已知函数 f（x）exax2，aR （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点 A（0，f（0）处的切线方程； （）若 f（x）在区间（0，+）上单调递增，求实数 a 的取值范围； （）当 a1 时，试写出方程 f（x）1 根的个数（只需写出结论） 20已知椭圆 ： 的焦距和长半轴长都为 2过椭圆 C 的右焦点 F 作 斜率为 k（k0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点 （）求椭圆 C 的方程； （） 设点
7、 A 是椭圆 C 的左顶点， 直线 AP， AQ 分别与直线 x4 相交于点 M， N 求证： 以 MN 为直径的圆恒过点 F 21给定数列 a1，a2，an对 i1，2，n1，该数列前 i 项 a1，a2，ai的最小 值记为 Ai，后 ni 项 ai+1，ai+2，an的最大值记为 Bi，令 diBiAi （）设数列an为 2，1，6，3，写出 d1，d2，d3的值； （） 设 a1， a2， ， an（n4） 是等比数列， 公比 0q1， 且 a10， 证明： d1， d2， ， dn1是等比数列； （）设 d1，d2，dn1是公差大于 0 的等差数列，且 d10，证明：a1，a2，an
8、1是等差数列 参考答案 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项 1已知集合 Ax|3x2，B3，2，0，那么 AB（ ） A2 B0 C2，0 D2，0，2 【分析】利用交集定义直接求解 解：集合 Ax|3x2，B3，2，0， AB2，0 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2在复平面内，复数 zi（1+i）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】 直接利用复数的乘法运算化简， 得到复数 z 在复平面内对应的点， 则答案可求 解：由 zi（
9、1+i）1+i 得复数 zi（1+i）对应的点为（1，1） 在复平面内，复数 zi（1+i）对应的点位于第二象限 故选：B 【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数的乘法运算，是基础题 3下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+）上为减函数的是（ ） Ayx2 B Cycosx D 【分析】由二次函数的图象及性质，直接可以判断选项 A 符合题意 解：二次函数 f（x）x2为开口向下的抛物线，且对称轴为 x0，由二次函数的性质 可知，其在（0，+）上为减函数， 又 f（x）（x）2x2f（x），故函数 f（x）x2为定义在 R 上的偶函数 故选：A 【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判
10、断，属于基础题 4抛物线 y24x 上的点与其焦点的距离的最小值为（ ） A4 B2 C1 D 【分析】求出欧文相等准线方程，焦点坐标，然后转化求解即可 解：抛物线 y24x 的焦点坐标（1，0），准线方程为：x1， 由抛物线的性质和对于可得：抛物线 y24x 上的点到其焦点的距离的最小值为：1 故选：C 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力 5若角 的终边经过点 P（1，2），则 sin 的值为（ ） A B C D 【分析】 由角 的终边经过点 P （1， 2） ， 利用任意角的三角函数定义求出 sin 即可 解：角 的终边经过点 P（1，2）， x1，y2，|OP| ，
11、因此，sin 故选：D 【点评】 此题考查了任意角的三角函数定义， 熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键 6 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积 是 （ ） A6 B8 C12 D24 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 所以 ，由于锥体的高为 4， 所以 故选：A 【点评】 本题考查的知识要点： 三视图和几何体之间的转换， 几何体的体积公式的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 7若 为任意角，则满足 的一个 k 值为（ ） A2 B4 C6 D
12、8 【分析】根据函数值相等，可得后面为 2 的整数倍，即可求解结论 解：因为 ； k 2n，nZ； k8n；nZ； 故选：D 【点评】本题主要考察诱导公式的应用，属于基础题目 8已知 a，b，cR，在下列条件中，使得 ab 成立的一个充分而不必要条件是（ ） Aa3b3 Bac2bc2 C Da2b2 【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 解：对于 A：a3b3ab 是充要条件； 对于 B：若 ac2bc2，得 c0，则 ab，反之不成立，即 B 是 ab 成立的充分不必要条 件，； 对于 C：ab 与 互相推不出是既不充分也不必要条件 对于 D：ab 与 a2b2
13、互相推不出是既不充分也不必要条件 故选：B 【点评】本题考查了不等式的基本性质和充分必要条件的定义属于基础题 9设an是各项均为正数的等比数列，Sn为其前 n 项和已知 a1 a316，S314，若存在 n0使得 ， ， ， 的乘积最大，则 n0的一个可能值是（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】 由已知利用等比数列的性质可求a24， 又S314， 可得 ， 解得 ， 或 ，分类讨论可求 q 的值，即可求解数列的各项，即可求解 解：等比数列an中，公比 q0； 由 a1 a316 ， 所以 a24， 又 S314， 所以 ，解得： ，或 ， 若 时，可得 q2，可得 ， ， ， 的值为 2，
14、4，8，16，不会存在 n0使 得 ， ， ， 的乘积最大（舍去）， 若 时，可得 q ，可得 ， ， ， 的值为 8，4，2，1， ， ，观察可知 存在 n04，使得 8421 的乘积最大， 综上，可得 n0的一个可能是 4 故选：A 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式以及等比数列的性质，考查了分类讨论思 想的应用，属于中档题 10已知函数 ， ， ，若实数 m2，0，则|f（x）f（1）|在区间 m，m+2上的最大值的取值范围是（ ） A1，4 B2，4 C1，3 D1，2 【分析】令 g（x）f（x）f（1），根据题设条件求出 g（x）的表达式，画出其图 象，再对 m 进行讨论，求
15、出|g（x）|的最大值的表达式，进而解决其范围问题 解：函数 ， ， ，f（x）f（1） ， ， ， ，令 g（x）f（x）f（1）， 其图象如下图所示：当 m2 时，g（x） ， ， ， ， ，此时|g（x）|max 1； m（2，1）时， |g（x）|maxg（m+2）（m+2）22（m+2）1m22m+1（1，2）； 当 m1 时，g（x） ， ， ， ， ，此时|g（x）| max2， 当 m（1，0）时，|g（x）|maxg（m+2）（m+2）22（m+2）1 m22m+1（1，2）； 当 m0 时，g（x）x22x1，x0，2，此时|g（x）|max1 综上，最大值的取值范围为1，
16、2 故选：D 【点评】本题主要考查分段函数的图象及解决含参数最值问题的能力，属于一道有难度 的题 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知向量 （1，2）， （m，1），若 ，则实数 m 2 【分析】利用向量的垂直，数量积为 0，求解即可 解：向量 ， ， ， ，向量 与 垂直， 可得m+20， 解得 m2 故答案为：2 【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量垂直条件的应用，考查计算能力 12设an是等差数列，且 a12，a2+a48，则an的通项公式为 ann+1 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出 解：设等差数列an的公差为 d，a12，a2+a48， 22+4
17、d8，解得 d1 则an的通项公式为 an2+n1n+1 故答案为：ann+1 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 13若将函数 ysin2x 的图象向左平移 个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为 ysin（2x ） 【分析】利用左加右减的原则，直接推出平移后的函数解析式即可 解：将函数 ysin2x 的图象向左平移 个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：y sin2（x ）sin（2x ） 故答案为：ysin（2x ） 【点评】 本题考查三角函数的图象变换， 注意平移变换中 x 的系数为 1， 否则容易出错误 14若直线 l：yx+a 将圆
18、C：x2+y21 的圆周分成长度之比为 1：3 的两段弧，则实数 a 的所有可能取值是 1 【分析】设直线和圆相交于 AB，则根据较短弧长与较长弧长之比为 1：3 得到对应三角 形为直角三角形，利用点与直线的距离建立条件关系即可 解：圆的标准方程为 x2+y21，圆心为（0，0），半径 R1， 设直线 yx+a 和圆相交于 AB， 若较短弧长与较长弧长之比为 1：3， 则AOB90， 则圆心到直线x+ya0 的距离 d ， 即 d ， 即|a|1， 解得 a1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据条件得到圆心到直线的距离是 解决本题的关键属于基础题 15曲线 C
19、是平面内到定点 ， 和定直线 ： 的距离之和等于 5 的点的轨迹，给 出下列三个结论： 曲线 C 关于 y 轴对称； 若点 P（x，y）在曲线 C 上，则 y 满足|y|4； 若点 P（x，y）在曲线 C 上，则 1|PF|5 其中，正确结论的序号是 【分析】设出曲线上的点的坐标，求出曲线方程，画出图象，即可判断选项的正误 解：设 P（x，y）是曲线 C 上的任意一点， 因为曲线 C 是平面内到定点 F （ ， 0） 和定直线 l： x 的距离之和等于 5 的点的轨迹， 所以|PF|+|x |5即 |x |5， 解得 x 时，y 24x+10， 当 x 时，y 216x+40； 显然曲线 C
20、关于 x 轴对称；错误 若点 P（x，y）在曲线 C 上，则|y| |y|4；正确 若点 P 在曲线 C 上，|PF|+|x |5，|x| ，则 1|PF|5正确 故答案为： 【点评】 本题考查曲线轨迹方程的求法， 曲线的基本性质的应用， 主要是对称性和范围， 考查计算能力 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 16已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a+b5，c3，_是否存 在以 a，b，c 为边的三角形？如果存在，求出ABC 的面积；若不存在，说明理由 从 ； ； 这三个条件中任选一个，补充在上面问题 中并作答 注：如果选择多个条
21、件分别解答，按第一个解答计分 【分析】不妨取 ，然后利用余弦定理结合 a+b5，c3 列方程组，即解出三角 形，面积可求 解：（1）取 cos ， ，结合 a+b5，c3 得： ，解得：a2，bc3 或 b2，ac3 显然两种情况下，三角形面积相等： 故 （2）取 cosC ， ，结合 a+b5，c3 得： ，可得：ab12，a+b5，消去 b 得 a25a+120，230， 无解 故 时，无解 （3） 时，cosC 或 cosC 当 cosC 时，由（1）可知， 当 cosC 时，由（2）可知，无解 【点评】本题考查正余弦定理及面积公式的应用，同时考查学生运用方程思想解决问题 的能力属于中档
22、题 17如图一所示，四边形 ABCD 是边长为 的正方形，沿 BD 将 C 点翻折到 C1点位置（如 图二所示），使得二面角 ABDC1成直二面角E，F 分别为 BC1，AC1的中点 （）求证：BDAC1； （）求平面 DEF 与平面 ABD 所成的锐二面角的余弦值 【分析】（）取 BD 中点 O，连结 AO，C1O，推导出 BDAO，BDC1O，从而 BD 平面 AC1O，由此能证明 BDAC1 （）推导出 OA，OB，OC1两两垂直，以 O 为原点，OA、OB、OC1分别为 x，y，z 轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 DEF 与平面 ABD 所成的锐二面角的余弦 值 解：（
23、）证明：取 BD 中点 O，连结 AO，C1O， ABADC1BC1D， BDAO，BDC1O， AO，C1O平面 AC1O，BD平面 AC1O， AC1平面 AC1O，BDAC1 （）解：二面角 ABDC1是直二面角， C1OA90，C1OAO，OA，OB，OC1两两垂直， 以 O 为原点，OA、OB、OC1分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，1，0），C1（0，0，1）， E，F 分别为 BC1，AC1的中点 E（0， ， ），F（ ， ， ）， （ ， ， ）， （0， ， ）， 设 （x，y，z）是平面 DEF
24、 的一个法向量， ，令 y1，得 （1，1，3）， OC1平面 ABD，平面 ABD 的一个法向量 （0，0，1）， 设平面 DEF 与平面 ABD 所成的锐二面角为 ， 则 cos 平面 DEF 与平面 ABD 所成的锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题 18在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供 了多种网络课程资源以供选择使用活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的 甲、 乙两个班级进行网络问卷调查， 统计学生每天的
25、学习时间， 将样本数据分成3， 4） ， 4，5），5，6），6，7），7，8五组，并整理得到如图频率分布直方图： （）已知该校高三年级共有 600 名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每 天学习时间达到 5 小时及以上的学生人数； （）已知这两个班级各有 40 名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足 4 小时的学 生中随机抽取 3 人，记从甲班抽到的学生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望； （）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为 D1，D2，试比较 D1与 D2的大 小（只需写出结论） 【分析】（）根据直方图计算出甲班学习时间在 5 小时及 5 小时以上的频率，再乘以
26、 600 即可； （）按照超几何分布的性质求解即可； （）根据直方图的集中与分散程度直接比较 D1，D2即可 解：（） 由题意知： 甲班每天学习时间达到 5 小时及以上的学生频率为 （0.5+0.250+0.05） 10.8 故该校高三年级每天学习时间达到 5 小时及以上的学生人数约为 0.8600480 人 （）甲班每天学习时间不超过 4 小时的人数为 400.0512 人，乙班每天学习时间 不超过 4 小时的人数为 400.114 人， 故两个班每天学习时间不超过 4 小时的共 6 人，由题意甲班抽到的学生人数 X 服从超几 何分布：且 ， ， ， X 的分布列为： X 0 1 2 P 故
27、 EX （）从直方图上来看，甲班的数据比较集中，乙班的数据相比甲班较为分散，故 D1 D2 【点评】本题考查频率分布直方图、超几何分布以及期望与方差的计算等知识点同时 考查学生分析和解决实际问题的能力属于中档题 19已知函数 f（x）exax2，aR （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点 A（0，f（0）处的切线方程； （）若 f（x）在区间（0，+）上单调递增，求实数 a 的取值范围； （）当 a1 时，试写出方程 f（x）1 根的个数（只需写出结论） 【分析】 （）当 a1 时，f（x）exx2，求其导函数，得到 f（1），再求出 f（0）， 利用直线方程斜截式得答案； （）f（x）e
28、x2ax，若 f（x）在区间（0，+）上单调递增，则 ex2ax0 在（0， +） 上恒成立， 分离参数 a， 再利用导数求函数 g （x） 的最小值即可求得 a 的范围； （）当 a1 时，f（x）ex+x2，f（x）1 即 ex+x21，作出两个函数 yex1 与 y x2的图象，由图可得方程 f（x）1 根的个数 解：（）当 a1 时，f（x）exx2，f（x）ex2x， 则 f（1）e2，又 f（0）1， 曲线 yf（x）在点 A（0，f（0）处的切线方程为 y（e2）x+1； （）f（x）ex2ax， 若 f（x）在区间（0，+）上单调递增，则 ex2ax0 在（0，+）上恒成立，
29、即 a 在（0，+）上恒成立， 令 g（x） ，g（x） ， 当 x（0，1）时，g（x）0，当 x（1，+）时，g（x）0， g（x）的最小值为 g（1） ， a ； （）当 a1 时，f（x）ex+x2，f（x）1 即 ex+x21， 也就是 ex1x2，作出两个函数 yex1 与 yx2的图象如图： 由图可知，方程 f（x）1 有 2 个根 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，考 查数学转化思想方法，是中档题 20已知椭圆 ： 的焦距和长半轴长都为 2过椭圆 C 的右焦点 F 作 斜率为 k（k0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点 （）求
30、椭圆 C 的方程； （） 设点 A 是椭圆 C 的左顶点， 直线 AP， AQ 分别与直线 x4 相交于点 M， N 求证： 以 MN 为直径的圆恒过点 F 【分析】（）求得 c，a，b，可得椭圆方程； （）直线 l 的方程为 yk（x1），联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的 坐标表示，化简整理，结合直径所对的圆周角为直角，即可得证 解：（）由焦距和长半轴长都为 2，可得 c1，a2，b ， 则椭圆方程为 1； （）证明：F（1，0），A（2，0），直线 l 的方程为 yk（x1）， 联立椭圆方程可得（3+4k2）x28k2x+4k2120， 直线 l 过椭圆的焦点，显然直线 l 与椭
31、圆相交设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则 x1+x2 ，x1x2 ，直线 AP 的方程为 y （x+2）， 可令 x4，得 yM ，即 M（4， ）， 同理可得 N（4， ），所以 （3， ）， （3， ）， 又 9 9 9 9 9 990 所以以 MN 为直径的圆恒过点 F 【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和 向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题 21给定数列 a1，a2，an对 i1，2，n1，该数列前 i 项 a1，a2，ai的最小 值记为 Ai，后 ni 项 ai+1，ai+2，an的最大值记为 Bi，令 diBiAi
32、 （）设数列an为 2，1，6，3，写出 d1，d2，d3的值； （） 设 a1， a2， ， an（n4） 是等比数列， 公比 0q1， 且 a10， 证明： d1， d2， ， dn1是等比数列； （）设 d1，d2，dn1是公差大于 0 的等差数列，且 d10，证明：a1，a2，an 1是等差数列 【分析】（）由新定义分别得到所求值； （）运用等比数列的定义和新定义，即可得证； （）设 d 为 d1，d2，dn1的公差，则 d0，由数列的单调性和新定义推得 anB1， 再由等差数列的定义，化简整理，推理即可得证 解：（）d1624，d2615，d3312； （）证明：由 a10，0q1，
33、 可得 a1，a2，an（n4）是递减的等比数列因此对 i1，2，n1，Aiai， Biai+1， 于是对 i1，2，n1，diBiAiai+1aia1（q1）qi1， 因此 di0，且 q（i1，2，n2）， 即 d1，d2，dn1是等比数列； （）证明：设 d 为 d1，d2，dn1的公差，则 d0， 对 1in2，因为 BiBi+1，所以 Ai+1Bi+1di+1Bidi+1BididBidiAi，即 Ai+1Ai， 又因为 Ai+1minAi，ai+1，所以 ai+1Ai+1Aiai 从而 a1，a2，an1是递减数列因此 Aiai（i1，2，n1）， 又因为 B1A1+d1a1+d1a1，所以 B1a1a2an1，因此 anB1， 所以 B1B2Bn1an，aiAiBidiandi， 因此对 i1，2，n2 都有 ai+1aididi+1d， 即 a1，a2，an1是等差数列 【点评】本题考查新定义的理解和运用考查等差数列和等比数列的定义和通项公式， 考查运算能力和推理能力，属于难题