1、 数学试题数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 AxZ|2x3，Bx|ylg（x1），则 AB（ ） Ax|1x3 Bx|x2 C1，2，3 D2，3 2已知 i 是虚数单位，复数 = 3+ ，则 z 的共轭复数 =（ ） A1 3 B1 + 3 C1 3 D1 + 3 3已知向量 与 的夹角为 3，| |2，| |1，则| 2 |（ ） A4 B3 C2 D1 4设 x，y 满足约束条件 + 1 0， 2
2、 + 4 0， 0， 0， 则 z2xy 的最大值为（ ） A1 B0 C4 D6 5如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的 表面积为（ ） A30 B24 C15 D9 6已知 （0，） ，2sin2cos21，则 cos（ ） A25 5 B 5 5 C 25 5 D 5 5 7干支是天干（甲、乙、癸）和地支（子、丑、亥）的合称， “干支纪年法”是我 国传统的纪年法如图是查找公历某年所对应干支的程序框图例如公元 1988 年，即输 入 N1988，执行该程序框图，运行相应的程序，输出 x5，从干支表中查出对应的干 支为戊辰 我国古代杰出数学家祖冲之出
3、生于公元429年， 则该年所对应的干支为 （ ） 六十干支表（部分） 5 6 7 戊辰 己巳 庚午 58 59 60 辛酉 戌壬 癸亥 A己巳 B庚午 C壬戌 D癸亥 8在四面体 SABC 中，SA平面 ABC，ABACBC3，SA2，则该四面体的外接球 的半径为（ ） A1 B3 C2 D4 9已知函数 f（x）e|x|， = (1 3 2)，bf（2） ，cf（log23） ，则（ ） Acab Bcba Cabc Dacb 10已知函数() = ( + )(0，| 2)的最小正周期为 ，且图象向右平移 12个 单位后得到的函数为偶函数，则 f（x）的图象（ ） A关于点(5 12 ，0)
4、对称 B关于直线 = 6对称 C在 12， 5 12单调递增 D在 12， 7 12单调递减 11已知可导函数 f（x）的定义域为 R，且满足 f（x+4）f（x） ， （x2）f（x）0，则 对任意的 x1x2， “f（x1）f（x2） ”是“x1+x24”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 12 已知双曲线C的两个顶点分别为A1， A2， 若C的渐近线上存在点P， 使得|1| = 2|2|， 则 C 的离心率的取值范围是（ ） A （1，3 B3，+） C （1，2 D2，+） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每
5、小题 5 分，共分，共 20 分分 13若抛物线经过点(1， 1 2)， （2，2） ，则该抛物线的标准方程为 14甲、乙两位同学玩“锤子、剪刀、布”游戏，两人各随机出锤子、剪刀、布中的一种若 出相同则为平局；若出不同，则锤子胜剪刀、剪刀胜布、布胜锤子玩一次该游戏，甲 同学不输的概率为 15在平面四边形 ABCD 中，BCCD，B135， = 32， = 35， = 5，则 AD 16已知函数() = 2，0， 2 2 + 1， ，若存在实数 m，使得方程 f（x）m0 有两个 不相等的实数根，则 a 的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第
6、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答 （一为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：）必考题： 共共 60 分分 17已知公差不为 0 的等差数列an中，a1，a3，a9成等比数列，且 2a5a82 （1）求数列an的通项公式； （2）设= 1 +1，求数列bn的前 n 项和 Sn 18A、B 两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了 8 次测验，成绩（单位：分） 记录如下： A 71 62 72 76 63 70 85 83 B 73 84 75 73 7
7、8 76 85 B 同学的成绩不慎被墨迹污染（，分别用 m，n 表示） （1）用茎叶图表示这两组数据，现从 A、B 两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为 选派谁更好？请说明理由（不用计算） ； （2）若 B 同学的平均分为 78，方差 s219，求 m，n 19如图，在四棱柱 ABCDABCD中，四边形 ABCD 为平行四边形，DDCD4，AD 2，BAD60，且点 D在底面上的投影 H 恰为 CD 的中点 （1）棱 BC 上存在一点 N，使得 AD平面 DHN，试确定点 N 的位置，说明理由； （2）求三棱锥 CAHC 的体积 20已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 2
8、 2 ，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点， 点 P 为椭圆 C 上的一动点，PF1F2面积的最大值为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 PF2与椭圆 C 的另一个交点为 Q，点(22，0)，证明：直线 PA 与直线 QA 关于 x 轴对称来源:学,科,网 Z,X,X,K 21已知 f（x）（ax+b） （ex+x+2）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 6xy0 （1）求实数 a，b 的值； （2）当 x0 时，证明：f（x）2lnx+2x+3 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一两题中任选一题作答如果多做，则
9、按所做的第一 个题目计分个题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线1： = ， = (为参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，点 A 的极坐标为(1， 2)，直线 l 的极坐标方程为 cos+2sin80 （1）求点 A 的直角坐标和直线 l 的直角坐标方程； （2）把曲线 C1上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲 线 C2，B 为 C2上动点，求 AB 中点 P 到直线 l 距离的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xm|+|x+1|，mN*
10、，若存在实数 x 使得 f（x）3 成立 （1）求 m 的值； （2）若 ，0， （41） （1）m，求 + 的最小值 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 AxZ|2x3，Bx|ylg（x1），则 AB（ ） Ax|1x3 Bx|x2 C1，2，3 D2，3 可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 集合 AxZ|2x32，1，0，1，2，3，Bx|ylg（x1）x|x1， AB2，3 故选：D 本题考查了描述
11、法、区间的定义，不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于 基础题 2已知 i 是虚数单位，复数 = 3+ ，则 z 的共轭复数 =（ ） A1 3 B1 + 3 C1 3 D1 + 3 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 = 3+ = (3+)() 2 = 1 3， = 1 + 3 故选：B 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3已知向量 与 的夹角为 3，| |2，| |1，则| 2 |（ ） A4 B3 C2 D1 由模长公式可得| 2 |= 2 4 + 4 2 ，代入已知数据计算可得 向量 与 的夹角为 3，| |2，| |1， |
12、2 |=( 2 )2= 2 4 + 4 2 =22 4 2 1 1 2 + 4 12=2 故选：C 本题考查向量的模长和夹角，属基础题 4设 x，y 满足约束条件 + 1 0， 2 + 4 0， 0， 0， 则 z2xy 的最大值为（ ） A1 B0 C4 D6 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 z2xy 过点（2， 0）时，z 最大值即可 x，y 满足约束条件 + 1 0， 2 + 4 0， 0， 0， 画出可行域如图， 做出基准线 02xy， 由图知，当直线 z2xy 过点 A（2，0）时，z 最大值为 4 故选：C 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意
13、义求最值，属于基础题 5如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的 表面积为（ ） A30 B24 C15 D9 由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径 r3，高 h4再由圆 锥的表面积公式求解 由三视图还原原几何体如图， 可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径 r3，高 h4 则圆锥的表面积为 S32+3524 故选：B 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 6已知 （0，） ，2sin2cos21，则 cos（ ） A25 5 B 5 5 C 25 5 D 5 5 由二倍角公式化简已知等式可得： 2sincos
14、sin2， 由 sin0， 可求 sin2cos， cos0，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解 cos 的值 （0，） ，2sin2cos21， 4sincos12sin21，可得：2sincossin2， sin0， 可得：sin2cos，cos0， sin2+cos24cos2+cos25cos21，可得 cos2= 1 5， cos= 5 5 故选：D 本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用， 考查了转化思想，属于基础题 7干支是天干（甲、乙、癸）和地支（子、丑、亥）的合称， “干支纪年法”是我 国传统的纪年法如图是查找公历某年所对应干支的程序框
15、图例如公元 1988 年，即输 入 N1988，执行该程序框图，运行相应的程序，输出 x5，从干支表中查出对应的干 支为戊辰 我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年， 则该年所对应的干支为 （ ） 六十干支表（部分） 5 6 7 戊辰 己巳 庚午 58 59 60 辛酉 戌壬 癸亥 A己巳 B庚午 C壬戌 D癸亥 根据程序框图一步一步进行运算，直到跳出循环 N429，i1； x429360366，i2； x4293120306，i3； x4293180246，x4； x4293240186，x5； x4293300126，x6； x429336066，x7； x42934206，x8； 对
16、应表格可知为己巳， 故选：A 本题考查程序框图，注意一步一步运算，属于基础题 8在四面体 SABC 中，SA平面 ABC，ABACBC3，SA2，则该四面体的外接球 的半径为（ ） A1 B3 C2 D4 由 SA平面 ABC，所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心 O垂直于底面 ABC 的直线 与中截面的交点 O，再由底面为等边三角形求出其外接圆的半径，所以可求出外接球的 半径 R 因为 SA平面 ABC，所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心 O垂直于底面 ABC 的直 线与中截面的交点 O， 由 ABACBC3，设三角形 ABC 的外接圆的半径为 r，则 2r= 3 60，所以 r= 3，
17、所以外接球的半径 R=( 2 )2+ 2= 1 + 3 =2， 故选：C 本题考查三棱锥外接球的半径与三棱锥棱长的关系，属于中档题 9已知函数 f（x）e|x|， = (1 3 2)，bf（2） ，cf（log23） ，则（ ） Acab Bcba Cabc Dacb 由题意可得函数 f（x）是偶函数，且在（0，+）上单调递增，再利用自变量的大小关 系即可得到函数值的大小关系 函数 f（x）e|x|，函数 f（x）是偶函数，且在（0，+）上单调递增， = (1 3 2) =f（log32）f（log32） ， 又 0log32log232， acb， 故选：D 本题主要考查了利用函数的奇偶性和
18、单调性比较函数值大小关系，是中档题 10已知函数() = ( + )(0，| 2)的最小正周期为 ，且图象向右平移 12个 单位后得到的函数为偶函数，则 f（x）的图象（ ） A关于点(5 12 ，0)对称 B关于直线 = 6对称 C在 12， 5 12单调递增 D在 12， 7 12单调递减 根据函数的周期求出 ，结合三角函数平移关系以及偶函数的性质求出 ，然后分别根 据对称性，单调性进行判断即可 f（x）的最小正周期为 ， T= 2 =，得 2， 此时 f（x）sin（2x+） ， 图象向右平移 12个单位后得到 ysin2（x 12）+sin（2x+ 6） ， 若函数为偶函数，则 6 =
19、k+ 2，kZ， 得 k+ 5 6 ， | 2，当 k1 时，= 6， 则 f（x）sin（2x 3） ， 则 f（5 12）sin（2 5 12 3）sin 2 0，故 f（x）关于点(5 12 ，0)不对称，故 A 错误， f（ 6）sin（2 6 3）sin01，故关于直线 = 6不对称，故 B 错误， 当 12 x 5 12时， 6 2x 5 6 ， 2 2x 3 2，此时函数 f（x）为增函数，故 C 正 确， 当 12 x 7 12时， 6 2x 7 6 ， 2 2x 3 5 6 ， 此时函数 f （x） 不单调， 故 D 错误， 故选：C 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条
20、件求出函数的解析式，利用三角函数的性 质是解决本题的关键难度不大 11已知可导函数 f（x）的定义域为 R，且满足 f（x+4）f（x） ， （x2）f（x）0，则 对任意的 x1x2， “f（x1）f（x2） ”是“x1+x24”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 f（x）满足 f（x+4）f（x） ，可得函数 f（x）关于直线 x2 对称由（x2）f（x） 0，可得 x2 时，f（x）0，函数 f（x）单调递减；x2 时，f（x）0，函数 f（x） 单调递增分类讨论：x1x22；x12x2，利用 f（x1）f（x2） ，即可判断出关系 f（x）
21、满足 f（x+4）f（x） ，函数 f（x）关于直线 x2 对称 （x2）f（x）0，x2 时，f（x）0，函数 f（x）单调递减；x2 时，f（x） 0，函数 f（x）单调递增 若 x1x22，f（x1）f（x2）f（4x2） ”x1+x24 若 x12x2， “f（x1）f（x2）f（4x2） ”x14x2x1+x24 对任意的 x1x2， “f（x1）f（x2） ”是“x1+x24”的充要条件 故选：C 本题考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题来源:学。科。网 12 已知双曲线C的两个顶点分别为A1， A2， 若C的渐近线上存
22、在点P， 使得|1| = 2|2|， 则 C 的离心率的取值范围是（ ） A （1，3 B3，+） C （1，2 D2，+） 设 P（x， ） ，然后利用两点间距离公式表示出|1|2= 2|2|2，得到关于 x 的一元二 次方程，有解，则判别式0，得到关于 a，b，c 的不等式，即可求出 e 的范围 由题意设一条渐进线为： = ，取点 P（， ） ，且 A1（a，0） ，A2（a，0） 因为|1| = 2|2|， （x+a）2+( ) 2 =2（xa）2+( ) 2， 整理得 2 2 2 6 + 2= 0，该方程有解时，存在符合题意的 P 点， 故= 362 42 2 2 0，化简得 2 2
23、9，即2 9，来源:学_科_网 Z_X_X_K 1e3 故选：A 本题考查双曲线的几何性质、离心率的求法构造关于 a，b，c 的不等式是此类问题的 基本思路属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13若抛物线经过点(1， 1 2)， （2，2） ，则该抛物线的标准方程为 x 22y 由抛物线过的定点可得抛物线的开口向上， 设抛物线的方程， 由点的坐标可得参数的值， 进而求出抛物线的方程 由抛物线过的点的坐标可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程为：x2my， 将（2，2）点代入可得 222m，可得 m2，及抛物线的方程为：
24、x22y， 显然（1，1 2）也在该抛物线上， 故答案为：x22y 本题考查抛物线的性质，属于基础题 14甲、乙两位同学玩“锤子、剪刀、布”游戏，两人各随机出锤子、剪刀、布中的一种若 出相同则为平局；若出不同，则锤子胜剪刀、剪刀胜布、布胜锤子玩一次该游戏，甲 同学不输的概率为 2 3 利用互斥事件概率计算公式能求出玩一次该游戏，甲同学不输的概率 甲、乙两位同学玩“锤子、剪刀、布”游戏，两人各随机出锤子、剪刀、布中的一种 若出相同则为平局；若出不同，则锤子胜剪刀、剪刀胜布、布胜锤子 玩一次该游戏，甲同学不输的概率：P1 1 3 = 2 3 故答案为：2 3 本题考查概率的求法，考查古典概型、互斥
25、事件概率计算公式等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 15在平面四边形 ABCD 中，BCCD，B135， = 32， = 35， = 5，则 AD 210 先利用正弦定理求出 sin，进而得到 cos，再利用余弦定理即可求解结论 如图设BCA，ACD， ； 在平面四边形 ABCD 中，BCCD，B135， = 32， = 35， = 5， 在ABC 中，由正弦定理可得： 135 = sin= 135 = 5 5 ； coscos（90）sin= 5 5 ； AD2AC2+CD22ACCDcos（35）2+52235 5 5 5 =40； AD210 故答案为：210 本题主要考查正余弦定
26、理在解三角形中的应用问题，属于基础题目 16已知函数() = 2，0， 2 2 + 1， ，若存在实数 m，使得方程 f（x）m0 有两个 不相等的实数根，则 a 的取值范围是 （0，1）（1，2） 先画出函数 ylog2x 和函数 yx22x+1 的图象，易求两个函数的交点坐标为（1，0） 和（2，1） ，利用数形结合法观察图象，即可求出 a 的取值范围 画出函数 ylog2x 和函数 yx22x+1 的图象，如图所示： ， 两个函数有两个交点，坐标为（1，0）和（2，1） ， 存在实数 m，使得方程 f（x）m0 有两个不相等的实数根， 观察图象可知，当 0a1 时符合题意当 1a2 时符
27、合题意， a 的取值范围是： （0，1）（1，2） ， 故答案为： （0，1）（1，2） 本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，利用数形结合法，作图是关键，是中档 题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17已知公差不为 0 的等差数列an中，a1，a3，a9成等比数列，且 2a5a82 （1）求数列an的
28、通项公式； （2）设= 1 +1，求数列bn的前 n 项和 Sn （1）先由 a1，a3，a9成等比数列，且 2a5a82 求出 a1，d，进而求出 an； （2）利用裂项相消法求 Sn （1）设等差数列an的公差为 d，且 d0， 因为 a1，a3，a9成等比数列， 所以 a32a1a9，即（a1+2d）2a1（a1+8d）a1d， 又 2a5a82， 所以 2（a1+4d）a1+7d2a1+d2， 由，解得 a1d1， 所以 ann； （2）由（1）知 ann，= 1 +1 = 1 (1) = 1 (+1) = 1 1 +1， Snb1+b2+bn（1 1 2）+（ 1 2 1 3）+（
29、1 3 1 4）+（ 1 1 :1）1 1 +1 = +1 本题主要考查等差等比数列的通项公式、裂项相消法求和等基础知识，属于基础题 18A、B 两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了 8 次测验，成绩（单位：分） 记录如下： A 71 62 72 76 63 70 85 83 B 73 84 75 73 78 76 85 B 同学的成绩不慎被墨迹污染（，分别用 m，n 表示） （1）用茎叶图表示这两组数据，现从 A、B 两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为 选派谁更好？请说明理由（不用计算） ； （2）若 B 同学的平均分为 78，方差 s219，求 m，n （1）利用 A，B 两
30、位同学 8 次测验，成绩能作出 A、B 两同学参加 8 次测验，成绩（单 位：分）茎叶图，由茎叶图可知，B 同学的平均成绩高于 A 同学的平均成绩，从而选派 B 同学参加数学竞赛更好 （2）由 B 同学的平均分为 78，方差 s219，列出方程组，能求出 m，n （1）A、B 两同学参加了 8 次测验，成绩（单位：分）茎叶图如下： 由茎叶图可知，B 同学的平均成绩高于 A 同学的平均成绩， 所以选派 B 同学参加数学竞赛更好 （2）因为 = 1 8（73+84+75+73+70+m+80+n+76+85）78， 所以 m+n8， 因为 S2= 1 85 2+62+32+（m8）2+（n+2）2
31、+22+7219， 所以（m8）2+（n+2）24， 联立解得，m8，n0 本小题主要考查了茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能 力，是基础题 19如图，在四棱柱 ABCDABCD中，四边形 ABCD 为平行四边形，DDCD4，AD 2，BAD60，且点 D在底面上的投影 H 恰为 CD 的中点 （1）棱 BC 上存在一点 N，使得 AD平面 DHN，试确定点 N 的位置，说明理由； （2）求三棱锥 CAHC 的体积 （1）分别连结 NH，ND，BH，由题意，DH平面 ABCD，可得 DHBC求解三角 形证明 NHBC，再由直线与平面垂直的判定可得 BC平面 DHN，进
32、一步得到 AD平 面 DHN，说明棱 BC 上存在一点 N，使得 AD平面 DHN （2）由平面 AABB平面 DDCC，可得 A到平面 DDCC 的距离即为 A 到 平面 DDCC 的距离过 A 作 AMCD 于点 M证明 AM平面 DDCC，再由 VCAHCVACHC求解三棱锥 CAHC 的体积 （1）当点 N 为棱 BC 的中点时，符合题目要求，下面给出证明 分别连结 NH，ND，BH D在底面上的投影 H 恰为 CD 的中点，DH平面 ABCD， 又 BC平面 ABCD，DHBC 在HBC 中， = = 2， = 3，故HBC 为等边三角形， 又点 N 为棱 BC 的中点，NHBC，
33、又 DHBC，DHNHH，DH，NH平面 DHN， BC平面 DHN， 又由平行四边形 ABCD 得 ADBC， AD平面 DHN，点 N 即为所求 （2）平面 AABB平面 DDCC， A到平面 DDCC 的距离即为 A 到平面 DDCC 的距离 过 A 作 AMCD 于点 M 又 DH平面 ABCD，DHAM， 又 CDDHH，AM平面 DDCC， | = | = 3 又= 1 2 | | = 1 2 2 23 = 23， 所以 VCAHCVACHC= 1 3SCCH|AM|= 1 3 23 3 = 2 本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体 的体积等
34、基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转 化思想等 20已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 2 2 ，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点， 点 P 为椭圆 C 上的一动点，PF1F2面积的最大值为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 PF2与椭圆 C 的另一个交点为 Q，点(22，0)，证明：直线 PA 与直线 QA 关于 x 轴对称 （1）根据 = = 2 2 ，结合 a2b2+c2，所以 bc，再根据面积最大值为1 2 2 = 2， 即可求出 a，b； （2）根据条件可得当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 = + 2，
35、设 P（x1， y1） ，Q（x2，y2） ，则 1+ 2= 22 2+2 12= 2 2+2 ，则 kPA+kQA0，得证 （1）因为椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 2 2 ， 所以 = = 2 2 ，即 2c2a2，又 a 2b2+c2，所以 bc， 因为MF1F2面积的最大值为 2，所以1 2 2 = 2，即 cb2， 又因为 bc，所以 = = 2，a24，来源:Zxxk.Com 故椭圆 C 的方程为 2 4 + 2 2 = 1 （2）由（1）得2(2，0)， 当直线 l 的斜率为 0 时，符合题意， 当直线 l 的斜率不为 0 时， 设直线 l 的方程为 = +
36、2，代入 2 4 + 2 2 = 1消去 x 整理得：(2+ 2)2+ 22 2 = 0， 易得= (22)2+ 8(2+ 2) = 162+ 160， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则 1+ 2= 22 2+2 12= 2 2+2 ， 记直线 PA，QA 的斜率分别为 kPA，kQA， 则 kPA+kQA= 1 122 + 2 222 = 1 12 + 2 22 = 2122(1+2) (12)(22) = 4 2+2( 4 2+2) (12)(22) =0 所以 kPAkQA，因此直线 PA 与直线 QA 关于 x 轴对称 本题主要考查直线椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识
37、，考查运算求解能力、推理 论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能 力，属于难题 21已知 f（x）（ax+b） （ex+x+2）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 6xy0 （1）求实数 a，b 的值； （2）当 x0 时，证明：f（x）2lnx+2x+3 （1）求导，利用导数的几何意义可得 f（0）0，f（0）6，进而建立关于 a，b 的方 程组，解出即可； （2）解法一：设 g（x）f（x）2lnx+2x+32x（ex+x+2）（2lnx+2x+3） ，求导可得 g （x） = 2( + 1)(+ 2 1 )(0)， 设() = + 2 1 (0)，
38、 利用导数可得 g （x） min= 202 20 20 1，再构造函数() = 22 2 2 1， (1 4 ， 1 3)，利 用导数可知()(1 3) = 23 13 9 0，进而得证； 解法二：分为两步，先证当 x0 时，f（x）6x 成立，这由 f（x）6x 与 0 的关系容易 证明；再证当 x0 时，6x2lnx+2x+3，构造函数 g（x）4x2lnx3，利用导数可知， 其大于 0 恒成立，综合即可得证 解法一： （1）f（x）a（ex+x+2）+（ax+b） （ex+1） ， 因为 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y6x，所以 f（0）0，f（0）6， 即3 = 0
39、 3 + 2 = 6，解得 a2，b0 （2）由（1）得 f（x）2x（ex+x+2） ， 设 g（x）2x（ex+x+2）（2lnx+2x+3） ，即 g（x）2xex+2x2+2x2lnx3， 则() = 2( + 1)+ 4 + 2 2 = 2( + 1)+ 42+22 = 2( + 1)(+ 2 1 )(0)， 设() = + 2 1 (0)，则 h（x）在（0，+）单调递增， 且(1 4) = 1 4 20，(1 3) = 1 3 10，所以存在唯一0 (1 4， 1 3)，使得(0) = 0 + 2 1 0 = 0，即0= 1 0 2， 当 0xx0时，h（x）0，g（x）0，g（
40、x）单调递减； 当 xx0时，h（x）0，g（x）0，g（x）单调递增； ()= (0) = 200+ 202+ 20 20 3 = 20( 1 0 2) + 202+ 20 20 3 = 202 20 20 1， 设() = 22 2 2 1， (1 4， 1 3)，则() = 4 2 2 = 2(1)(2+1) ， 当 (1 4， 1 3)时，（x）0，（x）单调递减， 所以()(1 3) = 23 13 9 0， 所以()= 202 20 20 10，即 g（x）0， 所以，当 x0 时，f（x）2lnx+2x+3 解法二： （1）同解法一 （2）由（1）得 f（x）2x（ex+x+2） ， 先证明：当 x0 时，f（x）6x 成立 因为 x0 时，f（x）6x2x（ex+x+2）6x2x（ex+x1）0 所以当 x0 时，f（x）6x 成立； 再证明：当 x0 时，6x2lnx+2x+3，即证 4x2lnx3