1、北京四中北京四中 20192019- -20202020 学年度第二学期高三统练数学试卷（二）学年度第二学期高三统练数学试卷（二） 试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 一一选择题选择题（共共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分） 1tan570 （A） 3 3 （B） 3 3 （C）3 （D） 3 2 2等比数列 n a满足 1 3a ， 135 21aaa，则 357 aaa （A）21 （B）42 （C）63 （D）84 3下列选项中，说法正确的是 （A）“ 2 000 ,0xxxR”的否定是“ 2 ,0xxx R” （B）若向量,a b满足0 a b，
2、则a与b的夹角为钝角 （C）若 22 ambm，则ab （D）“()xAB”是“()xAB”的必要条件 4已知0a，0b，1ab，若 1 a a ， 1 b b ，则的最小值是 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 5某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是 （A）8 （B） 8 3 （C）4 （D） 4 3 6函数tan() 42 yx 的部分图象如图所示，则()OAOBAB （A）6 （B）5 （C）4 （D）3 7 易 系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化， 阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、 八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳
3、数，黑点为阴数， 若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为 5 的概率为 （A） 1 5 （B） 6 25 （C） 8 25 （D） 2 5 8 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线与抛物线 2 2(0)ypx p的准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2， AOB 的面积为3, 则 p = （A）1 （B） 3 2 （C）2 （D）3 9ABC中，三边的长为, ,a b c，若函数 3222 1 ( )(+)1 3 f xxbxacac x有极值点，则B 的取值范围是 （A）(0,) 3 （B）(0, 3 （C）, 3 （D）
4、(, ) 3 10 1111 ABCDABC D单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱 称 为 “走 完 一段”白蚂蚁爬地的路线是 111 AAAD，黑蚂蚁爬行的路线是 1 ABBB，它们都遵循如下规则：所爬行的第2i段与第i段所在直线必须是异面直 线（ * Ni） 设白，黑蚂蚁都走完 2020 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白 两蚂蚁的距离是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）0 二填空题二填空题（共共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分） 11某中学数学竞赛培训班共有 10 人，分为甲、乙两个小组，在一次 阶段测试中两个小组成绩的
5、茎叶图如图所示，若甲组 5 名同学成绩的平均 数为 81，乙组 5 名同学成绩的中位数为 73，则xy的值为 12在 5 2 1 2x x 的二项展开式中，x的系数为 （用数值作答） 13直线 sin20xy 的倾斜角的取值范围是 14 已知0,0xy， 且 21 1 xy ， 若 2 22xymm恒成立， 则实数m的取值范围是 15 函数 2 ( )cos () 1f xAx（0,0,0 2 A ） 的最大值为 3， 若( )f x的图象与y轴 的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为 2，则(1)(2)(2015)fff 三、解答题共 6 小题，共 85 分. 解答应写出文字说明
6、，证明过程或演算步骤. 16 （本小题满分 14 分） 已知如图1，在Rt ABC中，30ACB，90ABC，D为AC中点，AEBD于E， 延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD 平面BCD，如图2所示 （）求证：AE 平面BCD； （）求二面角ADCB的余弦值； （）求三棱锥BAEF与四棱锥A FEDC的体积的比（只写出结果，不要求过程） 图 1 图 2 17 （本小题满分 14 分） 已知函数( )sin() (0,) 2 f xx 恰好满足下列三个条件中的两个条件： 函数( )f x的周期为； 6 x 是函数( )f x的对称轴； ()0 4 f 且在区间(,) 6 2 上
7、单调， （）请指出这两个条件，并说明理由，求出函数( )f x的解析式； （）若0, 3 x ，求函数( )f x的值域 18 （本小题满分 13 分） 某工厂的机器上有一种易损元件 A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维 修工厂规定当日损坏的元件 A 在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必 须完成所有损坏元件 A 的维修工作每个工人独立维修 A 元件需要时间相同维修处记录了 某月从 1 日到 20 日每天维修元件 A 的个数，具体数据如下表： 日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 元件A个数 9 15 12 1
8、8 12 18 9 9 24 12 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 元件A个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24 从这 20 天中随机选取一天，随机变量 X 表示在维修处该天元件 A 的维修个数 （）求X的分布列与数学期望； （）设X的可能取值集合为M，若, a bM，且6ba，求()P aXb最大值； （）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件 A 的个数的数 学期望不超过 4 个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论） 19 （本小题满分 14 分） 已知点1,2
9、P到抛物线C： 2 20ypx p准线的距离为 2 （）求 C 的方程及焦点 F 的坐标； （）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点,A B，直 线,PA PB分别交x轴于,M N两点，求MFNF的值 20已知设函数 2 ( )lnf xaxax， 1e ( ) ex g x x ，其中aR （）讨论( )f x的单调性； （）证明：当1x 时，( )0g x ； （）确定a的所有可能取值，使得( )( )f xg x在区间(1,)内恒成立 21 （本小题满分 14 分） 如图，设A是由n n个实数组成的n行n列的数表，其中 ij a( ,1,2,3, )i j
10、n表示位于第i 行第j列的实数，且1, 1 ij a .记( ,)S n n为所有这样的数表构成的集合 对于( ,)AS n n，记( ) i r A为A的第i行各数之积，( ) j cA为A的第j列各数之积令 11 ( )( )( ) nn ij ij l Ar AcA （）请写出一个(4, 4)AS，使得( )0l A ； （）是否存在(9,9)AS，使得( )0l A ？说明理由； （）给定正整数n，对于所有的( ,)AS n n，求( )l A的取值集合 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a 1n a 2n a nn a 参考答案参考答案 110：ABD CD A
11、A C D B 11.3 12. 40 13. 3 0, 44 14. 4,2 15.4030 16. （）证明：平面ABD 平面BCD，交线为BD， 又在ABD中，AEBD于E，AE 平面ABD，AE 平面BCD； -4 分 （）由（）结论AE 平面BCD可得AEEF. 由题意可知EFBD，又AE BD. 如图， 以E为坐标原点， 分别以,EF ED EA所在直线为x 轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Exyz -6 分 不妨设2ABBDDCAD，则1BEED， 由图 1 条件计算得，3AE ，2 3BC ， 3 3 EF 则 3 (0,0,0),(0,1,0), (0, 1,0), (0,
12、0, 3),(,0,0),( 3,2,0) 3 EDBAFC-7 分 ( 3,1,0),(0,1,3)DCAD. 由AE 平面BCD可知平面 DCB 的法向量为EA . -8 分 设平面ADC的法向量为( , , )x y zn，则 0, 0. DC AD n n 即 30, 30. xy yz 令1z ，则3,1yx，所以(1, 3, 1)n. -9 分 平面 DCB 的法向量为EA，所以 5 cos, 5| | EA EA EA n n n ， 由题，二面角ADCB的平面角为锐角， 所以二面角A DCB的余弦值为 5 5 -11 分 （）:1:5 B AEFA EFCD VV -14 分
13、y z x E BC A1 D F 17. 解： （）由可得， 2 2 1 分 由得：, 6226 kkkZ 2 分 由得， , 44 22 03 22633 mmmZ T 4 分 若成立，则2,( )sin(2) 66 f xx 5 分 若成立，则, 42 mmmZ ，不合题意7 分 若成立，则12()66, 264 kmmkm kZ 与中的03矛盾，所以不成立9 分 所以，只有成立，( )sin(2) 6 f xx 10 分 （）由题意得， 51 02( )1 36662 xxf x 13 分 所以，函数( )f x的值域为 1 ,1 2 14 分 18. 解： （）由题意可知， X 的所
14、有可能取值为 9,12,15,18,24， 且 3 (9) 20 P X ； 5 (12) 20 P X ； 7 (15) 20 P X ； 2 (18) 20 P X ； 3 (24) 20 P X . 所以X的分布列为： X 9 12 15 18 24 P 3 20 5 20 7 20 2 20 3 20 故X的数学期望 35723 ()9+12+15+18+24=15 2020202020 E X 6 分 （）当()P aXb取到最大值时， , a b的只可能为： 9, 15, a b 或 12, 18, a b 或 18, 24. a b 经计算 15 (915) 20 PX， 14
15、(1218) 20 PX， 5 (1824) 20 PX， 所以()P aXb的最大值为 153 = 204 . .11 分 （）至少增加 2 人 14 分 19. 解： （）由已知得12 2 p ，所以2.p 所以抛物线C的方程为 2 4yx，焦点F的坐标为1,0 . .4 分 （II）设点 11 (,)A xy, 22 (,)B xy，由已知得( 1,2)Q ， 由题意直线AB斜率存在且不为 0. 5 分 设直线AB的方程为12(0)yk xk . 由 2 4 12 yx yk x ， 得 2 4480kyyk ， 则 12 12 164 (48)0 4 , 8 4 kk yy k y y
16、 k . 8 分 因为点,A B在抛物线C上，所以 2 11 4yx， 2 22 4yx， 11 2 111 224 12 1 4 PA yy k xyy ， 2 22 24 . 12 PB y k xy 10 分 因为PF x轴， 所以 12 22 4 4 PAPBPAPB yyPFPF MFNF kkkk 1212 24 4 y yyy 88 44 2 4 kk . 所以MFNF的值为 2. 法二： （II）设点 11 (,)A xy, 22 (,)B xy，由已知得( 1,2)Q ， 由题意直线AB斜率存在且不为 0. 设直线AB的方程为12(0)yk xk . 由 2 4 12 yx
17、yk x ， 得 2 4480kyyk ， 则 12 12 164 (48)0 4 , 8 4 kk yy k y y k . 因为点,A B在抛物线C上，所以 2 11 4yx， 2 22 4yx， 11 2 111 224 12 1 4 PA yy k xyy ， 2 22 24 . 12 PB y k xy 于是 1 4 :2(1) 2 PA yx y ，令0y 有 11 2(2) 1 42 M yy x ， 2 4 :2(1) 2 PB yx y ，令0y 有 22 2(2) 1 42 N yy x ， 所以 12 | | |1| |1|11 22 MN yy MFNFxx 1212
18、22 1112 42 y yyy kk 所以MFNF的值为 2. 20. 解： （） 2 ( )lnf xaxax，定义域：(0,)， 2 121 ( )2 ax fxax xx ， 当0a时，( )0fx ，( )f x在0 +（ ， ）内单调递减， 当0a时，令( )0fx ，则 1 2 x a ， f x与 fx在区间, 上的情况如下： x 1 0, 2a 1 2a 1 , 2a fx 0 f x c 综上，0a时，( )f x的减区间为0 +（ ， ），无增区间 0a时,( )f x在的减区间为 1 0, 2a ，增区间为 1 , 2a ； （） 1eee ( ) ee x xx x
19、g x xx ，定义域：(1,)， 令( )ee x s xx，则( )ee x s x ， 当1x 时，( )0s x ，即( )s x在(1,)是增函数， 所以( )(1)s xs，即ee0 x x，从而 1 11 ( )0 x g x xe ，9 分 （）由（）知，当1x 时，( )0g x ， 当0a，1x 时，( )f x= 2 (1)ln0a xx， 故当( )( )f xg x在区间1+ )（，内恒成立时，必有0a， 当 1 0 2 a时， 1 2a 1， 由（I）有 1 ()(1)0 2 ff a ，从而 1 ()0 2 g a ， 所以此时( )f x( )g x在区间1+
20、)（，内不恒成立. 当 1 2 a 时，令( )h x=( )f x( )g x(1x). 当1x 时，( )h x= 1 22 11111 2e x axx xxxxx 32 22 2121 0 xxxx xx . 因此( )h x在区间1+ )（，单调递增. 又因为(1)h=0，所以当1x 时，( )h x=( )f x( )g x0，即( )f x( )g x恒成立. 综上，a 1 + ) 2 ，. 15 分 21.（）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 分 （）解：不存在(9,9)AS，使得( )0l A 4 分 证
21、明如下： 假设存在(9,9)AS，使得( )0l A 因为( )1, 1 i r A ，( )1, 1 j cA (19,19)ij ， 所以 1( ) r A， 2( ) r A， 9( ) r A， 1( ) c A， 2( ) c A， 9( ) c A这18个数中有9个1，9个1 令 129129 ( )( )( )( )( )( )Mr A r Ar A c A c Ac A 一方面，由于这18个数中有9个1，9个1，从而 9 ( 1)1M 另一方面， 129 ( )( )( )r A r Ar A表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m） ； 129 () ()()cA c
22、Ac A 也表示m， 从而 2 1Mm 、相矛盾，从而不存在(9,9)AS，使得( )0l A （）解：记这 2 n个实数之积为p 一方面，从“行”的角度看，有 12 ( )( )( ) n pr A r Ar A； 另一方面，从“列”的角度看，有 12 ( )( )( ) n pc A c Ac A 从而有 1212 ( )( )( )( )( )( ) nn r A r Ar Ac A c Ac A 注意到( )1, 1 i r A ，( )1, 1 j cA (1,1)injn 下面考虑 1( ) r A， 2( ) r A，( ) n r A， 1( ) c A， 2( ) c A，(
23、 ) n cA中1的个数： 由知，上述2n个实数中，1的个数一定为偶数，该偶数记为2 (0)kkn；则1的个 数为22nk， 所以( )( 1) 21 (22 )2(2 )l Aknknk 对数表 0 A：1 ij a ( ,1,2,3, )i jn，显然 0 ()2l An 将数表 0 A中的 11 a由1变为1，得到数表 1 A，显然 1 ()24l An 将数表 1 A中的 22 a由1变为1，得到数表 2 A，显然 2 ()28l An 依此类推，将数表 1k A 中的 kk a由1变为1，得到数表 k A 即数表 k A满足： 1122 1(1) kk aaakn，其余1 ij a 所以 12 ( )( )( )1 k r Ar Ar A ， 12 ( )( )( )1 k c Ac Ac A 所以()2( 1)()24 k l Aknknk 由k的任意性知，( )l A的取值集合为2(2 )|0,1,2, nkkn