1、2020 年高考数学模拟试卷（理科） （年高考数学模拟试卷（理科） （4 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 A（x，y）|y2x1，B（x，y）|yx2，则 AB（ ） A B1 C（1，1） D（1，1） 2已知复数 z ，则 （ ） Ai Bi C1+i D1i 3已知 alog89，b0.57，clog0.810，则（ ） Acab Bbac Cbca Dcba 4学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为 n 的样 本，并将得到的数据分成10，20），20，30），30，40），40，50四组，绘制成如图 所示的频率分布直方图，其中支出
2、在40，50的同学有 24 人，则 n（ ） A80 B60 C100 D50 5执行如图所示的程序框图，若输出的 y 的值为 4，则输入的 x 的可能值有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6十二生肖是十二地支的形象化代表，即子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰 （龙）、巳（蛇）、午（马）、未（羊）、申（猴）、酉（鸡）、戌（狗）、亥（猪）， 每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相现有印着十二生肖图 案的毛绒蛙娃各一个，小张同学的属相为马，小李同学的属相为羊，现在这两位同学从 这十二个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回），则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃 娃的
3、概率是（ ） A B C D 7圆 C：x2+y22x4y+30 被直线 l：ax+y1a0 截得的弦长的最小值为（ ） A1 B2 C D 8将函数 f（x）sin（3x+） （0）的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g（x） 的图象，若直线 x 是 g（x）的图象的一条对称轴，则（ ） Af（x）为奇函数 Bg（x）为偶函数 Cf（x）在 ， 上单调递减 Dg（x）在 ， 上单调递增 9已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面 积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（ ） A8：5 B4：5 C2 ：5 D4：11 10已知数列an的首项 a
4、12，an+1an+6 9，则 a27（ ） A7268 B5068 C6398 D4028 11已知双曲线 E： 1（a0，b0）与抛物线 C：y 216x 有相同的焦点 F， 抛物线 C：x212y 的焦点为 F，点 P 是双曲线 E 右支上的动点，且PFF的周长 的最小值为 14，则双曲线 E 的离心率为（ ） A B C3 D2 12在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为线段 A1B1，AB 的中点，O 为四棱锥 E C1D1DC 的外接球的球心，点 M，N 分别是直线 DD1，EF 上的动点，记直线 OC 与 MN 所成角为 ，则当 最小时，tan（ ） A B C D
5、 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上. 13已知向量 （1，2）， （2m，m3），若 ，则 m 14已知函数 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）xex+1，则 f（x）的图象在点（1，f （1）处的切线斜率为 15已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a33，S339，则 a7 16已知（ x ） n的展开式中第 9 项是常数项，则展开式中 x5的系数为 ；展 开式中系数的绝对值最大的项的系数为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必
6、须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作 答.（一）必考题：共 60 分 17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2bcosCsin（A ）cos （BC） （1）求 A； （2）若 a2 ，求ABC 的面积 18每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从 2018 年开始，我国关于延迟退休的话题一 直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取 100 人 进行调查，调查情况如表： 年龄段（单位：岁） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75 被调查的人数 10 15 20 m 25 5 赞成的
7、人数 6 12 n 20 12 2 （1）从赞成“延迟退休”的人中任选 1 人，此人年龄在35，45）的概率为 ，求出表格 中 m，n 的值； （2）若从年龄在45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽 样，从中抽取 10 人参与某项调查，然后再从这 10 人中随机抽取 4 人参加座谈会，记这 4 人中赞成“延迟退休”的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADC90，平 面 PAD底面 ABCD， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC 的中点， PAPD4， BC 2， CD （1）证明：平面
8、 BQM平面 PAD （2）求二面角 MBQA 的大小 20已知函数 f（x）（mxm1）lnx+x （1）当 m0 时，求 f（x）的最值； （2）当 m0 时，若 f（x）的两个零点分别为 x1，x2（x1x2），证明 x2x1e 21 已知 F1（1， 0） ， F2（1， 0） 点 D 是圆 O： x2+y24 上一动点， 动点 E 满足 2 ， 点 P 在 直线 EF1上，且 DPEF2 （1）求点 P 的轨迹 C 的标准方程； （2）已知点 Q 在直线 l：x40 上，过点 Q 作曲线 C 的两条切线，切点分别为 M，N， 记点 M，N 到直线 OQ 的距离分别为 d1，d2，求
9、的最大值，并求出此时 Q 点的坐 标 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 ，（t 为参数），以坐标原点为极 点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 （1）写出曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2） 若射线 ： ， 与曲线 C2相交于点 A， 将 OA 逆时针旋转 90 后，与曲线 C1相交于点 B，且|OB|2 |OA|，求 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2|
10、+|2x3| （1）求不等式 f（x）6 的解集； （2）若函数 f（x）的最小值为 m，正实数 a，b 满足 a2 m，证明： 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1已知集合 A（x，y）|y2x1，B（x，y）|yx2，则 AB（ ） A B1 C（1，1） D（1，1） 【分析】解方程组 ，即可求出 AB 中点的坐标，从而求出 AB 解：由 ，可得 ， AB（1，1）， 故选：C 2已知复数 z ，则 （ ） Ai Bi C1+i D1i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念
11、得答案 解：z ， 故选：A 3已知 alog89，b0.57，clog0.810，则（ ） Acab Bbac Cbca Dcba 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 解：因为 log89log881，00.570.501，log0.810log0.810， 所以 cba 故选：D 4学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为 n 的样 本，并将得到的数据分成10，20），20，30），30，40），40，50四组，绘制成如图 所示的频率分布直方图，其中支出在40，50的同学有 24 人，则 n（ ） A80 B60 C100 D50 【分析】根据频率
12、直方图求出40，50的频率，然后求出总人数 解：本题考查频率分布直方图，考查数据处理能力 由频率分布直方图可得，支出在40，50的频率为 1（0.01+0.024+0.036）100.3 根据题意得 ，解得 n80 故选：A 5执行如图所示的程序框图，若输出的 y 的值为 4，则输入的 x 的可能值有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由题意可得：y ， ， ， ，若输出的 y 的值为 4，则分类讨论可求 x 的值，即可得解 解：由题意可得：y ， ， ， ， 若输出的 y 的值为 4，则 ，或 ，或 ， 解得 x ，或 x2ln2，或 xe2， 所以输入的 x 的可能值有
13、 3 个 故选：C 6十二生肖是十二地支的形象化代表，即子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰 （龙）、巳（蛇）、午（马）、未（羊）、申（猴）、酉（鸡）、戌（狗）、亥（猪）， 每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相现有印着十二生肖图 案的毛绒蛙娃各一个，小张同学的属相为马，小李同学的属相为羊，现在这两位同学从 这十二个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回），则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃 娃的概率是（ ） A B C D 【分析】现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回），基本事件总 数 n1211132，这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃包含的基本事件个数
14、m1 11，由此能求出这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率 解：十二生肖是十二地支的形象化代表， 即子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰（龙）、巳（蛇）、午（马）、未（羊）、 申（猴）、酉（鸡）、戌（狗）、亥（猪）， 每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相 现有印着十二生肖图案的毛绒蛙娃各一个， 小张同学的属相为马， 小李同学的属相为羊， 现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回）， 基本事件总数 n1211132， 这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃包含的基本事件个数 m111， 则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率 p 故选：B 7圆 C：x
15、2+y22x4y+30 被直线 l：ax+y1a0 截得的弦长的最小值为（ ） A1 B2 C D 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再求出直线 l 所过定点，求出圆心到定点的 距离，利用垂径定理求最小弦长 解：由 x2+y22x4y+30，得（x1）2+（y2）22， 则圆心坐标为 C（1，2），半径为 直线 ax+y1a0 即 a（x1）+y10，过定点 P（1，1）， 当过圆心与定点的直线与直线 l 垂直时，弦长最短， 此时|CP| ，则弦长为 故选：B 8将函数 f（x）sin（3x+） （0）的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g（x） 的图象，若直线 x 是 g（x）的图象的
16、一条对称轴，则（ ） Af（x）为奇函数 Bg（x）为偶函数 Cf（x）在 ， 上单调递减 Dg（x）在 ， 上单调递增 【分析】直接利用三角函数关系式的平移变换的应用和三角函数关系式的恒等变换和正 弦型函数的性质的应用求出结果 解：函数 f（x）sin（3x+）（0）的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g （x）sin（3x ）的图象， 由于直线 x 是 g（x）的图象的一条对称轴， 故 （kZ），整理得 （kZ）， 当 k1 时， ， 所以 f（x）sin（3x ） g（x）sin（3x+）sin3x 故选项 A、B 错误 对于选项 C： （kZ） ， 解得： （kZ）， 当 k0 时，
17、函数的单调递减区间为 ， ， 由于 ， ， ，故选项 C 正确 对于选项 D：令 （kZ）， 当 k0 时，函数的单调增区间为： ， ，故选项 D 错误 故选：C 9已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面 积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（ ） A8：5 B4：5 C2 ：5 D4：11 【分析】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，求出 l2r，圆锥的高 h ，从而圆锥 的体积 V 由题意知圆柱的底面半径为 ，设圆柱的高为 h，由 圆锥和圆柱的表面积相等，解得 h ，求出圆柱体积 V ，由 此能求出此圆锥与圆柱的体积之比 解：设圆锥的底面
18、半径为 r，母线长为 l， 则 r2 ，解得 l2r， 圆锥的高 h ， 圆锥的体积 V 由题意知圆柱的底面半径为 ，设圆柱的高为 h， 圆锥和圆柱的表面积相等，3r22（ ） 2+2（ ）h，解得 h ， 圆柱体积 V ， 此圆锥与圆柱的体积之比为： 故选：A 10已知数列an的首项 a12，an+1an+6 9，则 a27（ ） A7268 B5068 C6398 D4028 【分析】首先利用递推关系式的应用求出新数列的通项公式，进一步求出结果 解：数列an的首项 a12，an+1an+6 9， 则 ，整理得 （常数）， 所以数列 是以 2 为首项，3 为公差的等差数列 所以 ， 整理得
19、， 所以 故选：C 11已知双曲线 E： 1（a0，b0）与抛物线 C：y 216x 有相同的焦点 F， 抛物线 C：x212y 的焦点为 F，点 P 是双曲线 E 右支上的动点，且PFF的周长 的最小值为 14，则双曲线 E 的离心率为（ ） A B C3 D2 【分析】先求出抛物线 C，C的焦点，然后将三角形 PFF的周长表示出来，根据最小 值为 14，构造出关于 a，b，c 的方程即可 解：由题意得抛物线 C 的焦点为 F（4，0），抛物线 C的焦点 F（0，3）， 设双曲线的右焦点为 F0，则三角形 PFF的周长 L|PF|+|PF|+|FF| |PF|+|PF0|+2a+5|FF0|
20、+2a+510+2a14，故 a2， 所以 e 故选：D 12在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为线段 A1B1，AB 的中点，O 为四棱锥 E C1D1DC 的外接球的球心，点 M，N 分别是直线 DD1，EF 上的动点，记直线 OC 与 MN 所成角为 ，则当 最小时，tan（ ） A B C D 【分析】设 P，Q 分别是棱 CD 和 C1D1的中点，则四棱锥 EC1D1DC 的外接球即三棱柱 DFCD1EC1的外接球，其外接球球心 O 为上、下底面三角形外心 G 和 H 连结的中点， 的最小值是直线 OC 与平面 DD1EF 所成角， 问题转化为求直线 OC 与平面 D
21、D1EF 所成 角的正切值 解：如图，设 P，Q 分别是棱 CD 和 C1D1的中点， 则四棱锥 EC1D1DC 的外接球即三棱柱 DFCD1EC1的外接球， 三棱柱 DFCD1EC1是直三棱柱， 其外接球球心 O 为上、下底面三角形外心 G 和 H 连结的中点， 由题意，MN 是平面 DD1EF 内的一条动直线， 记直线 OC 与 MN 所成角为 ， 则 的最小值是直线 OC 与平面 DD1EF 所成角， 即问题转化为求直线 OC 与平面 DD1EF 所成角的正切值， 不妨设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 2，则 EQ2，ED1 ， EC1D1为等腰三角形，EC1D1外接圆直径为
22、2GE ， 则 GE ，GQ2 PH， 如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），F（2，1，0），O（ ，1，1）， （0，0，2）， （2，1，0）， （ ， ， ）， 设平面 DD1EF 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 x1，得 （1，2，0）， 则 sin ，tan 故选：D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上. 13已知向量 （1，2）， （2m，m3），若 ，则 m 【分析】依题意，2m+2（m3）0，由此解得 解：因
23、为 ，所以 2m+2（m3）0，即 故答案为： 14已知函数 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）xex+1，则 f（x）的图象在点（1，f （1）处的切线斜率为 2e 【分析】根据条件求出 f（x）在 x0 时的解析式，然后求出其导数，再求出 f（x）的图 象在点（1，f（1）处的切线斜率 f（1） 解：函数 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）xex+1， 当 x0 时，x0，f（x）xex+1， f（x）xex1，f（x）（1x）ex， f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线斜率为 kf（1）2e 故答案为：2e 15已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a33，S3
24、39，则 a7 【分析】利用等比数列的通项公式、前 n 项和公式列方程组，求出首项和公比，由此能 求出 a7 解：正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，a33，S339， q1， ， 解得 a127，q ， a727（ ） 6 故答案为： 16已知（ x ） n 的展开式中第 9 项是常数项，则展开式中 x5的系数为 ；展 开式中系数的绝对值最大的项的系数为 15 【分析】先由题设条件求出 n，再根据二项式定理求出需要的结果 解：（1）由二项式定理可得（ x ） n 的展开式中第 r+1 项为 T （1）r（ ） nrC x ， 由题意：令 r8，则 2n 2n200，解得：n10， T （
25、1）r（ ） 10rC x ， 令 20 ，解得 r6，所以展开式中 x5的系数为（1）6（ ） 106C ； （2）设展开式中第 r+1 项系数的绝对值为 Pr+1|（1）r（ ） 10rC | ， 则 ，所以当 1r7 时， 1；当 8 r10 时， 1 所以 P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10，所以第 8 项的系数的绝对值最大， 该项的系数为（1）7（ ） 107C 15 故填： ，15 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作 答.（一）必
26、考题：共 60 分 17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2bcosCsin（A ）cos （BC） （1）求 A； （2）若 a2 ，求ABC 的面积 【分析】（1）根据已知条件以及两角和的正弦即可求得角 A； （2）先根据余弦定理求得 b，进而求得结论 解：（1）a2bcosCsinA2sinBcosCsin（B+C）2sinBcosC； 即 sinBcosC+sinCcosB2sinBcosCtanCtanBBC； 又 sin（A ）cos（BC）sin（A ）cos01 A 2k ，kZ； 取 k0，可得 A ； （2）a2b2+c22bccosA82b2
27、2b2 b2 4（ ）； ABC 的面积：S bc sinA b 2 2 18每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从 2018 年开始，我国关于延迟退休的话题一 直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取 100 人 进行调查，调查情况如表： 年龄段（单位：岁） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75 被调查的人数 10 15 20 m 25 5 赞成的人数 6 12 n 20 12 2 （1）从赞成“延迟退休”的人中任选 1 人，此人年龄在35，45）的概率为 ，求出表格 中 m，n 的值； （2）若从年龄在45，55）的
28、参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽 样，从中抽取 10 人参与某项调查，然后再从这 10 人中随机抽取 4 人参加座谈会，记这 4 人中赞成“延迟退休”的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 【分析】（1）通过抽取的人数求解 m，通过年龄在35，45）的被调查者中选取的 2 人 都是赞成的概率，求解 n； （2）由已知得 X 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变 量 X 的分布列和数学期望 解：（1）因为总共抽取 100 人进行调查，所以 m10010152025525， “延迟退休”的人中任选 1 人，此人年龄在35，45）的概率为 ，可得：
29、，所 以 n13 （2）从年龄在45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样， 从中抽取 10 人，赞成的抽取 8 人，不赞成的 2 人，在从这 10 人中抽取 4 人， 则随机变量 X 的可能取值为 2，3，4P（X2） ， P（X3） ， P（X4） ，X 的分布列为： X 2 3 4 P 所以 EX2 4 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADC90，平 面 PAD底面 ABCD， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC 的中点， PAPD4， BC 2， CD （1）证明：平面 BQM平面 PAD （2）求二面角 MBQA
30、的大小 【分析】（1）推导出四边形 BCDQ 为平行四边形，CDBQ，BQAD，从而 BQ平面 PAD，由此能证明平面 BQM平面 PAD （2）以 Q 为原点，QA，QB，QP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能 求出二面角 MBQA 的大小 解：（1）证明：ADBC，BC ，Q 为 AD 的中点， 四边形 BCDQ 为平行四边形，CDBQ， ADC90，AQB90，BQAD， 平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCDAD， BQ平面 ABCD，BQ平面 PAD， BQ平面 BQM，平面 BQM平面 PAD （2）解：由（1）知 QA，QB，QP 两两垂直
31、， 以 Q 为原点，QA，QB，QP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 Q （0， 0， 0） ， B （0， ， 0） ， C （2， ， 0） ， P （0， 0， 2 ） ， M （1， ， ） ， （0， ，0）， （1， ， ）， 设平面 BMQ 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 x ，得 （ ，0，1）， 平面 ABQ 的法向量 （0，0，1）， 设二面角 MBQA 的大小为 ，由图知 为钝角， 则 cos ， 二面角 MBQA 的大小为 20已知函数 f（x）（mxm1）lnx+x （1）当 m0 时，求 f（x）的最值； （2）当 m0 时，若 f（x）的两个
32、零点分别为 x1，x2（x1x2），证明 x2x1e 【分析】（1）把 m0 代入，对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的最 小值； （2）结合导数与单调性的关系及函数的性质及零点判定定理可证 解：（1）m0，f（x）lnx+x ，x0，f（x） ， 当 x1 时，f（x）0，函数单调递增，当 0x1 时，f（x）0，函数单调递减， 故当 x1 时，函数取得最小值 f（1）1 ； （2） ， 因为 m0 时，f（x）单调递增且 f（1）0， 所以 0x1 时，f（x）0，函数单调递减，当 x1 时，f（x）0，函数单调递 增， 故当 x1 时，函数取得最小值 f（1）1 0， 又 f
33、（ ）m（ ）+1 0， 所以 f（x）在（ ， ）上存在一个零点， 因此 x2x1 e 21 已知 F1（1， 0） ， F2（1， 0） 点 D 是圆 O： x2+y24 上一动点， 动点 E 满足 2 ， 点 P 在 直线 EF1上，且 DPEF2 （1）求点 P 的轨迹 C 的标准方程； （2）已知点 Q 在直线 l：x40 上，过点 Q 作曲线 C 的两条切线，切点分别为 M，N， 记点 M，N 到直线 OQ 的距离分别为 d1，d2，求 的最大值，并求出此时 Q 点的坐 标 【分析】（1） 根据已知条件可得 D 为线段 EF2的中点， 进而得出|PE|PF2|， 由此|PF1|+|
34、PF2| 42，根据椭圆的定义可得点 P 的轨迹是以 F1（1，0），F2（1，0）为焦点，以 4 为长轴长的椭圆，进而求得轨迹方程，同时注意 x2； （2） 设M （x1， y1） ， N （x2， y2） ， Q （4， t） ， 可得切线QM的方程为 ， 而切线QM过 点 Q（4，t），则 ，同理可得 ，故直线 MN 的方程为 ， 利用弦长公式可求得|MN|，直线 OQ 的方程为 tx4y0，利用点到直线的距离公式可得 d1，d2，进而表示出 d1+d2，再由此得出 ，通过换元后利用二次函数的性质即可得 解 解：（1）由 可知，D 为线段 EF2的中点， 又 PDEF2，故 PD 是线段
35、 EF2的垂直平分线，则|PE|PF2|， 点 P 在直线 EF1上， |PF1|+|PF2|PF1|+|PE|EF1|2|CD|42， 由椭圆定义可知，点 P 的轨迹是以 F1（1，0），F2（1，0）为焦点，以 4 为长轴长的 椭圆，即 2a4，c1， ， ， 另当点 D 坐标为（2，0）时，P 与 D 重合，不符合题意， 轨迹 C 的标准方程为 ； （2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），Q（4，t），则曲线 C 上点 M（x1，y1） 处的切线 QM 的方程为 ， 又切线 QM 过点 Q（4，t），所以 ， 同理可得 ，故直线 MN 的方程为 ， 由弦长公式可得 ， 直线 OQ
36、的方程为 tx4y0， ， ， 又M，N 在直线 OQ 两侧， ， ， 令 ， ，则 ， 当 ，即 时， 有最大值 ，此时点 Q 的坐标为 ， 一、选择题 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 ，（t 为参数），以坐标原点为极 点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 （1）写出曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2） 若射线 ： ， 与曲线 C2相交于点 A， 将 OA 逆时针旋转 90 后，与曲线 C1相交于点 B，且|OB|2 |OA|，求 的值 【分析】（1）由曲线 C1的参数方程为 ，（t 为参数），消去参数 t 可得其
37、直角 坐标方程，由 ，代入得曲线 C1 的极坐标方程. ： ，由 ，得曲线 C2 的直角坐标方程 （2）将 （0）代入 ，得 A将 OA 逆时针旋转 90，得 OB 的极坐标方程为 ，可得 B由 ，化简即可得出 解： （1）由曲线 C1的参数方程为 ， （t 为参数），可得其直角坐标方程 x 24y， 由 ，得曲线 C1 的极坐标方程 cos24sin. ： ， 由 ，得曲线 C2 的直角坐标方程 （2）将 （0）代入 ， 得 将 OA 逆时针旋转 90，得 OB 的极坐标方程为 ， 所以 由 ， 得 ， 即 ，解得 因为 ， ，所以 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2|
38、+|2x3| （1）求不等式 f（x）6 的解集； （2）若函数 f（x）的最小值为 m，正实数 a，b 满足 a2 m，证明： 【分析】（1）将函数 f（x）化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式组，最后将各部 分的解集取并集即可得到答案； （2）由（1）知 ，而 ，又 ， 再 利 用 基 本 不 等 式 可 得 ， ，继而得到 ，由此得证 解：（1）f（x）|x+2|+|2x3| ， ， ， 即 ，或 ，或 ， ， 解得 或 x1， 所以原不等式的解集为 或 （2）证明：由（1）知当 时，f（x）有最小值 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 因为 ， ，当且仅当 b3a 时取等号， 所以 ，当且仅当 b3a 时取等号， 所以 ，当且仅当 ， 时取等号