1、2020 年高考数学（年高考数学（4 月份）模拟试卷（文科）月份）模拟试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 U0，1，2，3，4，AxZ|x22x0，B1，2，3，则（UA）B （ ） A3 B0，1，2 C1，2，3 D1，2，3，4 2函数 f（x）cos2xsin2x 的最小正周期是（ ） A B C2 D4 3 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具， 顾名思义， 仅由七块板 （五个等腰直角三角形， 一个正方形，一个平行四边形）组成的如图，将七巧板拼成一个正方形 ABCD，在正 方形 ABCD 内任取一点 P，则该点落在正方形 EFGH 内的概率为（ ） A B C D
2、 4已知直线 m平面 ，直线 n平面 ，则“”是“mn”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条作 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5据记载，欧拉公式 eixcosx+isinx（xR）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉 为“数学中的天桥”特别是当 x 时，得到一个令人着迷的优美恒等式 ei+10，将 数学中五个重要的数（自然对数的底 e，圆周率 ，虚数单位 i，自然数的单位 1 和零元 0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数 的共轭复数为 ，则 （ ） A B C D 6若 a20.3，blog20.3，clog32，则实数 a，b，c 之间
3、的大小关系为（ ） Aabc Bacb Ccab Dbac 7 已知一块形状为正四棱柱 ABCDA1B1C1D1（底面是正方形， 侧棱与底面垂直的四棱柱） 的实心木材，AB2，AA13若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最 大值为（ ） A B C D 8函数 f（x）（2x2x）sinxcosx 的部分图象大致是（ ） A B C D 9设双曲线 ： ， 的右焦点为 F，过 F 作垂直于 x 轴的直线交 C 于 A， B 两点 若以线段 AB 为直径的圆与 C 的渐近线相切， 则双曲线 C 的离心率为 （ ） A B C D 10 某保险公司为客户定制了 5 个险种： 甲， 一年期
4、短险； 乙， 两全保险； 丙， 理财类保险； 丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔该保险公司 对 5 个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例： 以下四个选项错误的是（ ） A54 周岁以上参保人数最少 B1829 周岁人群参保总费用最少 C丁险种更受参保人青睐 D30 周岁以上的人群约占参保人群的 80% 11已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，其准线 l 与 x 轴相交于点 M，过点 M 作斜率为 k 的 直线与抛物线 C 相交于 A，B 两点，若AFB60，则 k（ ） A B C D 12已知函数 f（x）|x| 3，f（x）是 f（x）的导函数
5、f（x）在区间（0，+）是增函数；当 x（，0）时，函数 f（x）的最大值为 1； yf（x）f（x）有 2 个零点；f（x）f（x）2 则上述判断正确的序号是（ ） A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13 已知点 P （x， y） 满足约束条件 ， 则原点 O 到点 P 的距离的最小值为 14ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 bc16， （bcosC+ccosB）cosA asinA，则ABC 的面积为 15如程序框图所示，若输入 a1010，k8，n4，则输出 b 16 如图是由六个边长为 1 的正六边形组成的蜂巢图形， 定
6、点 A， B 是如图所示的两个顶点， 动点 P 在这些正六边形的边上运动，则 的最大值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每 个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 172019 年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者，为及时 有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地 患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅 行史（无接触史），无武汉旅行史（无接触史），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉 旅行史
7、（有接触史），统计得到以下相关数据 （1）请将列联表填写完整 有接触史 无接触史 总计 有武汉旅行史 27 无武汉旅行史 18 总计 27 54 （2）能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史 有关系？ 附： ，na+b+c+d P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 18已知an为等差数列，各项为正的等比数列bn的前 n 项和为 Sn，2a1b12，a2+a8 10，_ 在Snbn1；a4S32S2+S1；bn2 这三个条件中任选其中一个，补充在 上面的横线上，
8、并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则以选择第一个解答 记分） （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列an bn的前 n 项和 Tn 19图 1 是直角梯形 ABCD，ABDC，D90，AB2，DC3，AD ，点 E 在 DC 上，CE2ED， 以 BE 为折痕将BCE 折起，使点 C 到达 C1的位置，且 AC1 ，如图 2 （1）证明：平面 BC1E平面 ABED； （2）求点 B 到平面 AC1D 的距离 20设 F1，F2分别是椭圆 ： ， 的左，右焦点，A，B 两点分别是椭 圆 C 的上，下顶点，AF1F2是等腰直角三角形，延长 AF1交椭圆 C 于 D 点，且AD
9、F2 的周长为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 P 是椭圆 C 上异于 A，B 的动点，直线 AP，BP 与直线 l：y2 分别相交于 M，N 两点，点 Q（0，5），求证：MNQ 的外接圆恒过原点 O 21已知函数 f（x） （1）若直线 y2x+m 与曲线 yf（x）相切，求 m 的值； （2）对任意 x（0，+），alnxf（x）10 成立，求实数 a 的值 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题 计分.选修 44：坐标系与参数方程 22 如图， 在以 O 为极点， Ox 轴为极轴的极坐标系中， 圆 C1， C2， C3的方程
10、分别为 4sin， ，4sin（ ） （1）若 C1，C2相交于异于极点的点 M，求点 M 的极坐标（0，02）； （2）若直线 l：0（pR）与 C1，C3分别相交于异于极点的 A，B 两点，求|AB|的最大 值 选修 45：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+a+b|+|xc|的最小值为 6，a，b，cR+ （1）求 a+b+c 的值； （2）若不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知集合 U0，1，2，3，4，AxZ|x22x0，B1，2，3，则（UA）
11、B （ ） A3 B0，1，2 C1，2，3 D1，2，3，4 【分析】根据集合的基本运算即可求（UA）B； 解：U0，1，2，3，4，AxZ|x22x00，1，2，B1，2，3， 则（UA）B3，41，2，31，2，3，4 故选：D 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2函数 f（x）cos2xsin2x 的最小正周期是（ ） A B C2 D4 【分析】 利用二倍角的余弦公式求得 ycos2x， 再根据 yAcos （x+） 的周期等于 T ， 可得结论 解：函数 ycos2xsin2xcos2x，函数的周期为 T ， 故选：B 【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍
12、角的余弦公式，利用了 yAsin （x+）的周期等于 T ，属于基础题 3 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具， 顾名思义， 仅由七块板 （五个等腰直角三角形， 一个正方形，一个平行四边形）组成的如图，将七巧板拼成一个正方形 ABCD，在正 方形 ABCD 内任取一点 P，则该点落在正方形 EFGH 内的概率为（ ） A B C D 【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积，即可得到结论 解：设正方形的边长为 2，则阴影部分由 2 个小等腰直角三角形构成， 则正方形的对角线长为 2 ，则 EF ， 则正方形 EFGH 的面积为： ，正方形的面积为 4， 若在此正方形中任取一点，则此点取
13、自正方形 EFGH 的概率为： ， 故选：D 【点评】本题主要考查几何概型的应用，根据图形，求出对应区域的面积是解决本题的 关键 4已知直线 m平面 ，直线 n平面 ，则“”是“mn”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条作 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 解：直线 m平面 ，直线 n平面 ，若 可得 m，mn； 若 mn，则 m 不一定垂直 ， 与 不一定平行；“”是“mn”的充分不 必要条件 故选：A 【点评】本题主要借助于立体几何的知识来考查充分条件和必要条件的判断，掌握立体 几何的基础知识是解决本题的关键 5据记载，欧拉公式
14、 eixcosx+isinx（xR）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉 为“数学中的天桥”特别是当 x 时，得到一个令人着迷的优美恒等式 ei+10，将 数学中五个重要的数（自然对数的底 e，圆周率 ，虚数单位 i，自然数的单位 1 和零元 0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数 的共轭复数为 ，则 （ ） A B C D 【分析】复数 cos isin ，进而得出共轭复数为 解：复数 cos isin i， 则共轭复数为 i， 故选：D 【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6若 a20.3，blog20.3，cl
15、og32，则实数 a，b，c 之间的大小关系为（ ） Aabc Bacb Ccab Dbac 【分析】由已知，将 a、b、c 与 0 和 1 比较得出答案 解：由题意可知 a20.3201，blog20.3log2211，0clog32log331， acb 故选：B 【点评】本题考查对数比较大小，是基础题 7 已知一块形状为正四棱柱 ABCDA1B1C1D1（底面是正方形， 侧棱与底面垂直的四棱柱） 的实心木材，AB2，AA13若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最 大值为（ ） A B C D 【分析】若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最大值时，即与该四棱柱 的侧面相
16、切的球，结合球体积公式可求 解：因为 AB2，AA13 即 ABAA1， 若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最大值时，即与该四棱柱的侧面相 切的球， 从而 R1， 所以 V 故选：C 【点评】本题主要考查了球体积的求解，属于基础试题 8函数 f（x）（2x2x）sinxcosx 的部分图象大致是（ ） A B C D 【分析】由函数的奇偶性，函数的零点以及特殊点的函数值即可得出选项 解：f（x）（2x2x）sin（x）cos（x）（2x2x）sinxcosxf（x），则 f（x） 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，可排除 A； ， ， ， ，可排除 C，D； 故选：B 【点评】本题
17、考查利用函数性质确定函数图象，考查属数形结合思想，属于基础题 9设双曲线 ： ， 的右焦点为 F，过 F 作垂直于 x 轴的直线交 C 于 A， B 两点 若以线段 AB 为直径的圆与 C 的渐近线相切， 则双曲线 C 的离心率为 （ ） A B C D 【分析】根据条件可不妨 F（c，0）（c0），分别表示出 A，B，渐近线方程，根据条 件可得 ab，进而可求的离心率 解：根据条件不妨令 F（c，0）（c0），则 A（c， ），B（c， ），且 F 为圆心， 又渐近线方程为 y x， 则 F 到渐近线的距离 d b， 则 b ，所以 ab，故 c22a2， 所以 e ， 故选：C 【点评】本
18、题考查双曲线的定义，考查双曲线离心率的表示，整体思想，属于中档题 10 某保险公司为客户定制了 5 个险种： 甲， 一年期短险； 乙， 两全保险； 丙， 理财类保险； 丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔该保险公司 对 5 个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例： 以下四个选项错误的是（ ） A54 周岁以上参保人数最少 B1829 周岁人群参保总费用最少 C丁险种更受参保人青睐 D30 周岁以上的人群约占参保人群的 80% 【分析】根据选项逐一对应相应的统计图即可进行判断 解：由扇形图可得，54 周岁以上参保人数最少，30 周岁以上的人群约占参保人群的 3
19、9%+33%+880%，故 A、D 对； 由折现图可知，1829 周岁人群参保费用最少，但是因为参保人数并不是最少的，故其 总费用不是最少，故 B 错误； 由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故 C 正确； 故选：B 【点评】本题考查通过统计图进行合情推理，数形结合，属于基础题 11已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，其准线 l 与 x 轴相交于点 M，过点 M 作斜率为 k 的 直线与抛物线 C 相交于 A，B 两点，若AFB60，则 k（ ） A B C D 【分析】 求得抛物线的焦点和准线方程， 过点 M 作斜率为 k 的直线方程设为 yk （x+1） ， 联立抛物线方程，运用韦达定理
20、和弦长公式，以及余弦定理，化简整理，解方程可得斜 率 k 解：抛物线 y24x 的焦点为 F（1，0），准线方程为 x1，M（1，0）， 过点 M 作斜率为 k 的直线方程设为 yk（x+1），联立抛物线方程，可得 k2x2+（2k24）x+k20，k0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得|AF|x1+1，|BF|x2+1， 则（2k24）24k40，即1k1，且 k0， x1+x2 2，x1x2 1， 可得|AB| |x1x2| 4 ， 在AFB 中，由余弦定理可得|AB|2|AF|2+|BF|22|AF| |BF| cos60 （x1+1）2+（x2+1）22（x1+1）（x2
21、+1） （x 1+x2） 2+（x 1+x2）2（ 2） 2+（ 2）2 ， 解得 k ， 故选：D 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用 韦达定理和弦长公式，考查三角形的余弦定理，化简运算能力，属于中档题 12已知函数 f（x）|x| 3，f（x）是 f（x）的导函数 f（x）在区间（0，+）是增函数；当 x（，0）时，函数 f（x）的最大值为 1； yf（x）f（x）有 2 个零点；f（x）f（x）2 则上述判断正确的序号是（ ） A B C D 【分析】直接利用分类讨论思想的应用和函数的导数的应用求出函数的额单调区间和函 数的极值和最值，进一步求出
22、正确的结果 解：函数 f（x）|x| 3，f（x）是 f（x）的导函数 所以当 x（0，+）时，f（x）x ，所以 ，所以f（x） 在区间（0，+）是增函数；正确 当 x（，0）时，f（x）x ，所以 ，令 f（x） 0，解得 x1，由于 x（，0）， 所以 x（，1）为减函数，x（1，0）上为增函数，所以函数存在极小值即 f （1）1，即为最小值故错误 当 x0 时， ，所以所以 ，所以 f（x）在区间（0， +）是增函数；函数具有单调性 f（0） f（4）0，所以函数在（0，+）上存在一 个零点， 当 x0 时，当 x（，0）时，f（x）x ，所以 ，令 f（x）0，解得 x1，由于 x（
23、，0）， 所以 x（，1）为减函数，x（1，0）上为增函数，所以函数有 1 个零点，故 y f（x）f（x）有 2 个零点；故正确 当 x0 时， 2，故错误 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：函数的导数的应用，利用函数的导数的应用求出函数的 单调区间和函数的最值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题 型 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13 已知点 P （x， y） 满足约束条件 ， 则原点 O 到点 P 的距离的最小值为 2 【分析】由约束条件作出可行域，然后判断原点到点 P 的距离的最小值，求解即可 解：点 P（x，y）满足约束条件 ，
24、作出可行域如图， A（2，2）， 原点 O 到 P 的距离的最小值为：如图所示，可知 A 与 P 重合时，|OP|2 故答案为：2 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题 14ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 bc16， （bcosC+ccosB）cosA asinA，则ABC 的面积为 4 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求 A，然后结合三角形的面积公 式即可求解 解： （bcosC+ccosB）cosAasinA， （sinBcosC+sinCcosB）cosAsinAsinA， 所以 sin（B+C）cosA sinA
25、cosAsinAsinA， 因为 sinA0， 所以 tanA ， 所以 A ， SABC 4 故答案为：4 【点评】本题主要考查了和差角公式，同角基本关系及三角形的面积公式在求解三角形 中的应用，属于中档试题 15如程序框图所示，若输入 a1010，k8，n4，则输出 b 520 【分析】根据框图的算法功能，从 i2 开始确定 b 的值，一直到 i5 时结束，此时循环 体执行了四次！ 解：由题意得： i2 时，b0+08110， i3 时，b0+18218， i4 时，b8+08318， i5 时，b8+1841520 此时 i4，结束循环故输出 b 的值为 520 故答案为：520 【点评
26、】本题考查循环结构的当型循环，注意运行循环体时 i 的值比前面执行框中的 i 大 1本题同时考查了学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题 16 如图是由六个边长为 1 的正六边形组成的蜂巢图形， 定点 A， B 是如图所示的两个顶点， 动点 P 在这些正六边形的边上运动，则 的最大值为 【分析】观察图象可知点 P 在线段 MN 上运动时， 最有可能取到最大值，建立平 面直角坐标系，把向量数量积转化为坐标运算，结合函数单调性可求最值 解 ： 以A为 坐 标 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 如 图 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， 由图可知点 P 在线段 MN 上运动时，
27、最有可能取到最大值， 线段 MN： ， ， ， 设 P（x，y），则 ， ， ， ， ， 因为 ， ，且 为增函数， 所以 故答案为： 【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，平面向量问题优先利用坐标运算进行求 解，侧重考查数学运算的核心素养 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每 个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 172019 年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者，为及时 有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地 患者是
28、否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅 行史（无接触史），无武汉旅行史（无接触史），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉 旅行史（有接触史），统计得到以下相关数据 （1）请将列联表填写完整 有接触史 无接触史 总计 有武汉旅行史 27 无武汉旅行史 18 总计 27 54 （2）能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史 有关系？ 附： ，na+b+c+d P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【分析】根据题意填表，计算，判断 【解答】
29、解（1）填表如下： 有接触史 无接触史 总计 有武汉旅行史 9 18 27 无武汉旅行史 18 9 27 总计 27 27 54 （2） 65.024， 因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关 系 【点评】本题考查独立性检验，以及平均值，属于中档题 18已知an为等差数列，各项为正的等比数列bn的前 n 项和为 Sn，2a1b12，a2+a8 10，_ 在Snbn1；a4S32S2+S1；bn2 这三个条件中任选其中一个，补充在 上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则以选择第一个解答 记分） （1）求数列an和bn的通项公式；
30、 （2）求数列an bn的前 n 项和 Tn 【分析】选（1）设等差数列an的公差为 d，各项为正的等比数列bn的公比为 q 0，由 2a1b12，a2+a810，可得 a11，21+8d10，解得 d可得 an由 a4S3 2S2+S1，可得 2q22q4，解得 q （2）an bnn 2n利用错位相减法即可得出 解： 选解： （1） 设等差数列an的公差为 d， 各项为正的等比数列bn的公比为 q0， 2a1b12，a2+a810，a11，21+8d10，解得 d1 an1+n1na4S32S2+S1，a4b3+b2，2q22q4，解得 q2 bn2n （2）an bnn 2n 数列an
31、bn的前 n 项和 Tn2+222+323+n 2n 2Tn22+223+（n1） 2n+n 2n+1 Tn2+22+23+2nn 2n+1 n 2 n+1， 解得：Tn（n1） 2n+1+2 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 19图 1 是直角梯形 ABCD，ABDC，D90，AB2，DC3，AD ，点 E 在 DC 上，CE2ED， 以 BE 为折痕将BCE 折起，使点 C 到达 C1的位置，且 AC1 ，如图 2 （1）证明：平面 BC1E平面 ABED； （2）求点 B 到平面 AC1D 的距离 【分析】（1）在
32、图 1 中，连接 AE，由已知得四边形 ABCE 为菱形，连接 AC 交 BE 于点 F， 得 CFBE， 求解三角形证明 C1FAF， 再由线面垂直的判定可得 C1F平面 ABED， 从而得到平面 BC1E平面 ABED； （2）取 AD 的中点 N，连接 FN，C1N 和 BD，设 B 到平面 AC1D 的距离为 h，在三棱锥 C1ABD 中，利用 求解点 B 到平面 AC1D 的距离 【解答】（1）证明：在图 1 中，连接 AE，由已知得 AE2， CEBA，且 CEBAAE，四边形 ABCE 为菱形， 连接 AC 交 BE 于点 F，CFBE， 在 RtACD 中，AC AFCF 在图
33、 2 中， ， ，C1FAF 由题意知，C1FBE，且 AFBEF， C1F平面 ABED，又 C1F平面 BC1E， 平面 BC1E平面 ABED； （2）解：如图，取 AD 的中点 N，连接 FN，C1N 和 BD，设 B 到平面 AC1D 的距离为 h， 在直角梯形 ABED 中，FN 为中位线，则 FNAD，FN ， 由（1）得 C1F平面 ABED，AD平面 ABED， C1FAD，又 FNC1FF，得 AD平面 C1FN， 又 C1N平面 C1FN，C1NAD，且 在三棱锥 C1ABD 中， ， 即 ， 即点 B 到平面 AC1D 的距离为 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考
34、查空间想象能力与思维能力，训练了利用 等积法求多面体的体积，是中档题 20设 F1，F2分别是椭圆 ： ， 的左，右焦点，A，B 两点分别是椭 圆 C 的上，下顶点，AF1F2是等腰直角三角形，延长 AF1交椭圆 C 于 D 点，且ADF2 的周长为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 P 是椭圆 C 上异于 A，B 的动点，直线 AP，BP 与直线 l：y2 分别相交于 M，N 两点，点 Q（0，5），求证：MNQ 的外接圆恒过原点 O 【分析】 （1）由椭圆的定义可得 a ，结合 bc，且 a2b2+c2，即可求出 b，c 的值， 从而求出椭圆 C 的标准方程 （2）直线 AP 与 B
35、P 的斜率之积为 ，设直线 AP 的斜率为 k，则直线 AP：ykx+1，直 线 BP： y ， 可求 M （ ， 2） ， N （2k， 2） ， 进而求出点 E （k ， ） ， 从而得到 |OE|NE|，即点 O，M，Q，N 四点共圆，故MNQ 的外接圆恒过 y 轴上定点（0，0） 解：（1）ADF2的周长为 ，由椭圆的定义可知，|AF1|+|AF2|2a，|DF1|+|DF2 | 2a， 4a4 ，a ， 又AF1F2是等腰直角三角形，且 a2b2+c2，bc1， 椭圆 C 的方程为： ； （2）证明：设 P（x0，y0）（x00），则 ， 直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ， 设直
36、线 AP 的斜率为 k，则直线 AP：ykx+1，直线 BP：y ， 由 ，可得 M（ ，2）， 同理可得 N（2k，2）， 线段 MN 与 OQ 的中垂线交点 E 的坐标为 E（k ， ）， 又 ， ， |OE|NE|， 即点 O，M，Q，N 四点共圆， 故MNQ 的外接圆恒过 y 轴上定点（0，0） 【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆方程的位置关系，是中档题 21已知函数 f（x） （1）若直线 y2x+m 与曲线 yf（x）相切，求 m 的值； （2）对任意 x（0，+），alnxf（x）10 成立，求实数 a 的值 【分析】（1）设切点，根据切线性质，在切点的导数等于切线斜
37、率，列等式求参数 （2）对函数求导，讨论参数，求最值，求出解 解：（1）设直线 y2x+m 与曲线 yf（x）相切于点（x0，y0）， 因为 f（x） ， 则有 ，解得 ，所以 m3 （2）令 g（x）alnxf（x）1alnx 1，x（0，+）， 则 g（x） （i）当 a0 时，因为 x（0，+），所以 g（x）0，g（x）在 x（0，+）单调递 减， 由 g（1）0，但 x（0，+）时，g（x）0，不满足题意 （ii）当 a0 时，因为 x（0，+），令 g（x）0，解得 x ， 当 x（0， ）时，g（x）0，g（x）单调递减， 当 x（ ，+）时，g（x）0，g（x）单调递增， 所以
38、 g（x）ming（ ） ，由题意知 g（x）0，可得 g（x）min0， 所以 g（ ）0， 令 t ，（t0），则 ，即 lntt+10， 令 h（t）lntt+1，则 h（t） ， 当 t（0，1）时，h（x）0，h（x）在（0，1）单调递增；当 t（1，+）时，h（x） 0，h（x）单调递减； 所以 t1 时，h（t）maxh（1）0，即 lntt+10， 由可知，当且仅当 t1 时，lntt+10， 即 a2 时，g（x）0 在 x（0，+）上恒成立， 综上所述，a2 【点评】本题考查函数的综合应用，借助于导数求单调性，求最值，以及函数的切线的 性质，属于难题 （二）选考题：共 10
39、 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题 计分.选修 44：坐标系与参数方程 22 如图， 在以 O 为极点， Ox 轴为极轴的极坐标系中， 圆 C1， C2， C3的方程分别为 4sin， ，4sin（ ） （1）若 C1，C2相交于异于极点的点 M，求点 M 的极坐标（0，02）； （2）若直线 l：0（pR）与 C1，C3分别相交于异于极点的 A，B 两点，求|AB|的最大 值 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的 进行转换 （2） 利用点到直线的距离和极径的应用及三角函数关系式的变换的应用及正弦型函数的 性质的应用
40、求出结果 解：（1）圆 C1，C2的方程分别为 4sin， ，相交于点 M， 所以 ，由于 0，02， 所以 ， 所以 2， 故点 M（2， ） （2）设 A（1，），B（2，）， 所以|AB|12| 4 ， 所以|AB|的最大值为 4 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型 一、选择题 23已知函数 f（x）|x+a+b|+|xc|的最小值为 6，a，b，cR+ （1）求 a+b+c 的值； （2）若不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围 【分析】（
41、1）运用绝对值不等式的性质：|x+m|+|x+n|x+m（x+n|mn|，结合条件 可得所求值； （2）由题意可得|2m3|不大于 的最小值，由柯西不等式求得 的最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围 解：（1）由 f（x）|x+a+b|+|xc|x+a+b（xc）|a+b+c|，当（xc）（x+a+b） 0 时，取得等号， 又 a，b，cR+，可得 f（x）的最小值为 a+b+c， 则 a+b+c6； （2）由柯西不等式可得（ ）（a+1）+（b+2）+（c+3）（1+2+3） 236， 又 a+b+c6，可得 3， 当且仅当 a1，b2，c3 时取得等号 则|2m3|3，即32m33，解得 0m3， 故 m 的取值范围是0，3 【点评】本题考查绝对值不等式的性质和柯西不等式的运用：求最值，考查不等式恒成 立问题，注意运用转化思想，考查运算能力和推理能力，属于中档题