1、2020 年高考数学模拟试卷年高考数学模拟试卷 一、选择题. 1已知命题 p：xR，ex1，那么命题 p 的否定为（ ） Ax0R， BxR，ex1 Cx0R， DxR，ex1 2下列函数中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递减的是（ ） Af（x）x3+2 Bf（x）log |x| Cf（x）x33x Df（x）sinx 3设集合 AxZ|x23x40，Bx|ex21，则以下集合 P 中，满足 P（RA） B 的是（ ） A1，0，1，2 B1，2 C1 D2 4已知 alog 2，blog0.20.3，ctan ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Abac Bcba Ccab Dbca
2、 5若一个 n 面体有 m 个面是直角三角形，则称这个 n 面体的直度为 ，如图是某四面体的 三视图，则这个四面体的直度为（ ） A B C D1 6已知向量 （2，2 ），若（ 3 ） ，则 在 上的投影是（ ） A B C D 7已知ABC，则“sinAcosB”是“ABC 是直角三角形”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300 多年 如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 an为图中虚线上的数 1，3，6，10， 构成的数列an的第 n 项，则 a100的
3、值为（ ） A5049 B5050 C5051 D5101 9已知双曲线 x2 1 的渐近线与抛物线 M：y 22px（p0）交于点 A（2，a），直线 AB 过抛物线 M 的焦点，交抛物线 M 于另一点 B，则|AB|等于（ ） A3.5 B4 C4.5 D5 10关于函数 f（x）（x2+ax1）ex，有以下三个结论： 函数恒有两个零点，且两个零点之积为1； 函数的极值点不可能是1； 函数必有最小值 其中正确结论的个数有（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11在（ ） 5 的二项展开式中，x2的系数为 （用数字作答） 12
4、设复数 z在复平面内对应的点位于第一象限， 且满足|z|5， z 6， 则 z的虚部为 ， 13设无穷等比数列an的各项为整数，公比为 q，且|q|1，a1+a32a2，写出数列an的 一个通项公式 14在平面直角坐标系中，已知点 A（0，1），B（1，1），P 为直线 AB 上的动点，A 关于 直线 OP 的对称点记为 Q，则线段 BQ 的长度的最大值是 15关于曲线 C：x2xy+y24，给出下列四个结论： 曲线 C 关于原点对称，但不关于 x 轴、y 轴对称； 曲线 C 恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线 C 上任意一点都不在圆 x2+y23 的内部； 曲线 C上任
5、意一点到原点的距离都不大于 2 其中，正确结论的序号是 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16已知 f（x）2 sinxcosx2cos（x ）cos（x ） （）求 f（x）的最小正周期和单调递增区问； （）当 x0，时，若 f（x）（1，1，求 x 的取值范围 17体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度 T（单位：）平均在 36 C37C 之间即为正常体温，超过 37.1C 即为发热发热状态下，不同体温可分成以 下三种发热类型：低热：37.1T38；高热：38T40；超高热（有生命危险）：T 40 某位患者因患肺炎发热，于 12 日至
6、 26 日住院治疗医生根据病情变化，从 14 日开始， 以 3 天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热住院期间，患者 每天上午 8：00 服药，护士每天下午 16：00 为患者测量腋下体温记录如下： 抗生素使 用情况 没有使用 使用“抗生素 A”治疗 使用“抗生素 B”治疗 日期 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 体温 （） 38.7 39.4 39.7 40. 1 39. 9 39. 2 38. 9 39. 0 抗生素使 用情况 使用“抗生素 C”治疗 没有使用 日期 20 日 21 日 22 日 23 日 24 日 25 日
7、26 日 体温（） 38.4 38.0 37. 6 37. 1 36. 8 36. 6 36. 3 （）请你计算住院期间该患者体温不低于 39C 的各天体温平均值； （）在 19 日一 23 日期间，医生会随机选取 3 天在测量体温的同时为该患者进行某一 特殊项目“a 项目”的检查，记 X 为高热体温下做“a 项目”检查的天数，试求 X 的分 布列与数学期望； （）抗生素治疗一般在服药后 28 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌， 达到消炎退热效果 假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳， 并说明理由 18在四棱锥 PABCD 中，平面 ABCD平面
8、 PCD，底面 ABCD 为梯形，ABCD，AD DC，且 AB1，ADDCDP2，PDC120 （）求证：ADPC； （）求二面角 的余弦值； 从PABC，PBDC，PBCD 这三个条件中任选一个，补充在上面问题 中并作答 （）若 M 是棱 PA 的中点，求证：对于棱 BC上任意一点 F，MF 与 PC 都不平行 19已知椭圆 ： 的离心率为 ，过椭圆右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，当直线 l 与 x 轴垂直时，|AB|3 （）求椭圆 C 的标准方程； （）当直线 l 与 x 轴不垂直时，在 x 轴上是否存在一点 P（异于点 F），使 x 轴上任意 点到直线 PA，PB 的
9、距离均相等？若存在，求 P 点坐标；若不存在，请说明理由 20已知函数 f（x）exax2（aR） （）若山线 yf（x）在（1，f（1）处的切线与 x 轴平行，求 a； （）已知 f（x）在0，1上的最大值不小于 2，求 a 的取值范围； （）写出 f（x）所有可能的零点个数及相应的 a 的取值范围（请直接写出结论） 21已知集合 SnX|X（x1，x2，xn0，1，i1，2，n（n2），对于 A（a1， a2，an）Sn，B（b1，b2，bn）Sn，定义 A 与 B 的差为 AB（|a1b1|，|a2 b2|，|anbn|）；A 与 B 之间的距离为 d（A，B）|a 1b1|+|a2b2
10、|+|anbn| （）若 AB（0，1），试写出所有可能的 A，B； （）A，B，CSn，证明： （i）d（AC，BC）d（A，B）； （ii）d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数； （）设 PSn，P 中有 m（m2，且为奇数）个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均 值为 p，证明： p 参考答案 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 1已知命题 p：xR，ex1，那么命题 p 的否定为（ ） Ax0R， BxR，ex1 Cx0R， DxR，ex1 【分析】命题否定：否定条件，否定结论 解：命题
11、否定：否定条件，否定结论 命题 p：xR，ex1，那么命题 p 的否定为x0R， ， 故选：A 【点评】本题考查命题否定，属于基础题 2下列函数中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递减的是（ ） Af（x）x3+2 Bf（x）log |x| Cf（x）x33x Df（x）sinx 【分析】结合函数的单调性及奇偶性的定义分别检验各选项即可判断 解：A：f（x）x3+2 为非奇非偶函数，不符合题意； B：f（x） 为偶函数，不符合题意； C：f（x）x3+3xf（x）即 f（x）为奇函数， f（x）3x230 在（0，1）上恒成立，故 f（x）在（0，1）上单调递减，符合题 意， D：ysinx
12、 在（1，1）上单调递增，不符合题意 故选：C 【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的定义的简单应用，属于基础试题 3设集合 AxZ|x23x40，Bx|ex21，则以下集合 P 中，满足 P（RA） B 的是（ ） A1，0，1，2 B1，2 C1 D2 【分析】根据题意先求出 A，B，然后根据集合的基本运算及包含关系可求 解：由题意可得 AxZ|x4 或 x1，Bx|x2， （RA）B1，0，1，2，3，4x|x21，0，1 结合选项可知，满足 P（RA）B 时，选项 C 满足题意 故选：C 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 4已知 alog 2，blog0.20.3，ct
13、an ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Abac Bcba Ccab Dbca 【分析】容易得出 ， ， ，从而可得出 a，b，c 的大 小关系 解： ， 0log0.21log0.20.3log0.2 0.21， ， cba 故选：B 【点评】本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，正切函数的周期和在各象限 的符号，考查了计算能力，属于基础题 5若一个 n 面体有 m 个面是直角三角形，则称这个 n 面体的直度为 ，如图是某四面体的 三视图，则这个四面体的直度为（ ） A B C D1 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为四面体，其中 PA底面 ABC，且 AB BC，由此可
14、得该四面体的四个面都是直角三角形，则这个四面体的直度可求 解：由三视图还原原几何体如图， 可知该几何体为四面体，其中 PA底面 ABC，且 ABBC， 可得该四面体的四个面都是直角三角形，则这个四面体的直度为 故选：D 【点评】本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力与思维能力，是中档题 6已知向量 （2，2 ），若（ 3 ） ，则 在 上的投影是（ ） A B C D 【分析】可求出 ，根据 即可得出 ，进行数量积的运算 即可求出 ，然后根据投影的计算公式即可求出投影的值 解： ， ， ， ， 在 上的投影是 故选：D 【点评】本题考查了根据向量的坐标求向量长度的方法，向量垂直的充要条件
15、，向量数 量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题 7已知ABC，则“sinAcosB”是“ABC 是直角三角形”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据题意，前者推不出后者，后者推不出前者，从而得出答案 解：已知ABC，sinAcosB， 则 sinAsin（ ）， 故 A ，或 ， 所以 AB ，或 ，或 AB， 故前者推不出后者， 反之，比如 A90，显然不成立， 故后者推不出前者， 所以“sinAcosB”是“ABC 是直角三角形”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点评】本题考查了充分必要条件的判断，还考查
16、了解三角形问题，中档题 8“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300 多年 如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 an为图中虚线上的数 1，3，6，10， 构成的数列an的第 n 项，则 a100的值为（ ） A5049 B5050 C5051 D5101 【分析】设第 n 个数为 an，观察图中的数据可得 a11，a2a12，a3a23anan 1n，利用叠加法可求 an， 解：设第 n 个数为 an， 则 a11 a2a12 a3a23 a4a34 anan1n 叠加可得，ana12+3+4+n an1+2+3+n ， a1005050， 故选：B
17、 【点评】本题主要考查了归纳推理的应用，数列中叠加求解数列的通项公式，属于基础 题 9已知双曲线 x2 1 的渐近线与抛物线 M：y 22px（p0）交于点 A（2，a），直线 AB 过抛物线 M 的焦点，交抛物线 M 于另一点 B，则|AB|等于（ ） A3.5 B4 C4.5 D5 【分析】求出双曲线的渐近线方程，通过 A 的坐标求出 a，代入抛物线方程求解 p，然后 求解 AB 方程，利用抛物线的性质求解|AB|即可 解：不妨取双曲线 x2 1 的一条渐近线，y x， 双曲线 x2 1 的渐近线与抛物线 M：y 22px（p0）交于点 A（2，a）， 所以 a ，A（2，2 ），代入抛物
18、线方程，可得 P2， 抛物线方程为：y24x，焦点坐标（1，0）， 直线 AB 过抛物线 M 的焦点，交抛物线 M 于另一点 B，AB 的斜率为：2 ， AB 的方程为： ，代入抛物线方程可得：2x25x+20，xA+xB ， 则|AB|xA+xB+p4.5 故选：C 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，双曲线的简单性质，考查转化思想以及计 算能力，是中档题 10关于函数 f（x）（x2+ax1）ex，有以下三个结论： 函数恒有两个零点，且两个零点之积为1； 函数的极值点不可能是1； 函数必有最小值 其中正确结论的个数有（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 【分析】 把函数 f
19、（x） 的零点转化为函数 yx2+ax1 的零点， 即可判断； 求得 f （x） 后代入 x1，根据 f（x）是否为 0 即可判断；设 x2+（a+2）x+a10 的两个实 数根为 x3，x4且 x3x4，结合可得当 x（，x3）时，f（x）0，再证明 f（x4） 0 即可判断 解：函数 f（x）（x2+ax1）ex的零点，即为函数 yx2+ax1 的零点， 令 x2+ax10，则a2+40，方程必有两个不等实根 x 1，x2，设 x1x2， 由韦达定理可得 x1x21，故正确； f（x）（2x+a）ex+（x2+ax1）exx2+（a+2）x+a1ex， 当 x1 时，f（x）（1a2+a1
20、）e12e10，故1 不可能是函数 f（x）的 极值点，故正确； 令 f（x）0 即 x2+（a+2）x+a10，（a+2）24（a1）a2+80， 设 x2+（a+2）x+a10 的两个实数根为 x3，x4且 x3x4， 则当 x（，x3），x（x4，+）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增， 当 x（x3，x4）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减，f（x4）为函数极小值； 由知，当 x（，x1）时，函数 f（x）0，当 x（，x3）时，f（x）0， 又 f（0）ex0，0（x3，+），f（x4）f（0）0， f（x4）为函数的最小值，故正确 故选：A 【点评】本题考查了函数与导数的综
21、合问题，考查了转化思想和推理能力，属中档题 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11在（ ） 5 的二项展开式中，x2的系数为 80 （用数字作答） 【分析】写出通项公式，根据题意求出 r，代入即可 解：（ ） 5的二项展开式的通项公式为 ， 由 得，3r9，r3， 所以系数为 ， 故答案为：80 【点评】本题考查二项式定理的应用，基础题 12 设复数 z在复平面内对应的点位于第一象限， 且满足|z|5， z 6， 则 z的虚部为 4 ， i 【分析】设 za+bi（a，bR 且 a0，b0），由|z|5，z 6，得关于 a，b 的方程 组，求解可得 a，b 的值，再由复数代
22、数形式的乘除运算化简求得 解：设 za+bi（a，bR 且 a0，b0）， 由|z|5，z 6，得 ，解得 a3，b4 z 的虚部为 4； 故答案为：4； i 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算， 考查复数的基本概念， 考查复数模的求法， 是基础题 13设无穷等比数列an的各项为整数，公比为 q，且|q|1，a1+a32a2，写出数列an的 一个通项公式 an2n1（答案不唯一） 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得 a1+a1q22a1q，变形可得 a1（1q）2 0，分析可得 a10；故只需满足 a10 且 q 为整数的等比数列就满足条件，据此写出 一个等比数列的通项公式即可得
23、答案 解：根据题意，无穷等比数列an的各项为整数，则公比 q 必为整数， 又由 a1+a32a2，即 a1+a1q22a1q， 变形可得 a1（1q）20， 则 a10， 当 a11，q2 时，数列an的通项公式为 an2n1， 故答案为：an2n1，（答案不唯一） 【点评】本题考查等比数列的性质，注意分析首项的符号，属于基础题 14在平面直角坐标系中，已知点 A（0，1），B（1，1），P 为直线 AB 上的动点，A 关于 直线 OP 的对称点记为 Q，则线段 BQ 的长度的最大值是 1 【分析】根据题意，分析可得 Q 的轨迹为以（0，0）为圆心，半径 r|OA|1 的圆，连 接 OQ、QB
24、，据此分析可得当 O、Q、B 三点共线时，|BQ|最大，计算可得答案 解：根据题意，点 A（0，1），B（1，1）， 如图，A、Q 关于直线 OP 对称，则|OA|OQ|1， 则 Q 的轨迹为以（0，0）为圆心，半径 r|OA|1 的圆， 连接 OQ、QB， 分析可得：当 O、Q、B 三点共线时，|BQ|最大，此时|BQ|1 ， 故答案为： 1 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，关键是分析 Q 的轨迹，属于基础题 15关于曲线 C：x2xy+y24，给出下列四个结论： 曲线 C 关于原点对称，但不关于 x 轴、y 轴对称； 曲线 C 恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线
25、C 上任意一点都不在圆 x2+y23 的内部； 曲线 C上任意一点到原点的距离都不大于 2 其中，正确结论的序号是 【分析】替换 x，y，可以判断是否关于原点对称，x 轴、y 轴对称， 令 x0，1，2，3，可求出来所有整数点， 利用不等式，求出 x2+y2的取值范围，即可 可用不等式求 x2+y28，可求出距离 解：将x 替换 x，y 替换 y，代入得 x2xy+y24，则曲线 C 关于原点对称， 将x 替换 x，y 替换 y，代入得 x2+xy+y24，则曲线 C 不关于 x 轴对称， 将 x 替换 x，y 替换 y，代入得 x2+xy+y24，则曲线 C 不关于 y 轴对称，对； 曲线
26、C 恰好经过（0，2），（0，2），（2，0），（2，0），（2，2），（2，2） 共 6 个整点，错， 设 P（x，y）， ， 化简得 x2+y28， PO ，对， x2+y24+xy2xy，则 xy4， x2+y24+xy2xy，则 ， ，错； 故答案为： 【点评】本题考查简易逻辑，以及对称问题，属于中等题 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16已知 f（x）2 sinxcosx2cos（x ）cos（x ） （）求 f（x）的最小正周期和单调递增区问； （）当 x0，时，若 f（x）（1，1，求 x 的取值范围 【分析】（）首先通过三角函数关系式
27、的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函 数，进一步求出函数的周期和单调区间 （）利用（）的结论，根据 f（x）（1，1，利用正弦函数的图象和性质即可求 出 解：（）f（x）2 sinxcosx2cos（x ）cos（x ）， sin2x2cos（x ）cos（x ）， sin2x2sin（x ）cos（x ）， sin2xsin（2x ）， sin2xcos2x， 2（ sin2x cos2x）， 2sin（2x ）， T ， 由 2k2x 2k，kZ， 故函数 f（x）的单独递增区间为： k， k，kZ， （）f（x）（1，1， 12sin（2x ）1， sin（2x ） ， 2k2x +
28、2k， kx k， 当 k0 时，0x ，满足 x0， 当 k1 时，x ，不满足 x0， 综上所述 x 的范围为（0， 【点评】 本题考查的知识要点： 三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数的性质的应用， 17体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度 T（单位：）平均在 36 C37C 之间即为正常体温，超过 37.1C 即为发热发热状态下，不同体温可分成以 下三种发热类型：低热：37.1T38；高热：38T40；超高热（有生命危险）：T 40 某位患者因患肺炎发热，于 12 日至 26 日住院治疗医生根据病情变化，从 14 日开始， 以 3 天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素
29、为该患者进行消炎退热住院期间，患者 每天上午 8：00 服药，护士每天下午 16：00 为患者测量腋下体温记录如下： 抗生素使 用情况 没有使用 使用“抗生素 A”治疗 使用“抗生素 B”治疗 日期 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 体温 （） 38.7 39.4 39.7 40. 1 39. 9 39. 2 38. 9 39. 0 抗生素使 用情况 使用“抗生素 C”治疗 没有使用 日期 20 日 21 日 22 日 23 日 24 日 25 日 26 日 体温（） 38.4 38.0 37. 6 37. 1 36. 8 36. 6 36. 3
30、（）请你计算住院期间该患者体温不低于 39C 的各天体温平均值； （）在 19 日一 23 日期间，医生会随机选取 3 天在测量体温的同时为该患者进行某一 特殊项目“a 项目”的检查，记 X 为高热体温下做“a 项目”检查的天数，试求 X 的分 布列与数学期望； （）抗生素治疗一般在服药后 28 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌， 达到消炎退热效果 假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳， 并说明理由 【分析】（）由表知，该患者共 6 天的体温不低于 39C，由此能求出患者体温不低 于 39C 的各天体温平均值 （）X 的所有可能取值为 0，1，2
31、，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数 学期望 （）“抗生素 C”治疗效果最佳可使用的理由是“抗生素 B”使用期间先连续两天降 温 1.0，又升 1.0，“抗生素 C”使用期间持续降温共计 1.2，说明“抗生素 C”降 温效果好，故“抗生素 C”治疗效果最佳“抗生素 B”治疗期间平均体温 39.03，方 差约为 0.0156，“抗生素 C”治疗期间平均体温 38，方差约为 0.1067，“抗生素 C” 治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显；“抗生素 B”治疗效 果最佳可使用理由：自使用“抗生素 B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗 生素 B”治疗当天共
32、降温 0.7，是单日降温效果最好一天，故“抗生素 B”治疗效果最 佳 解：（）由表知，该患者共 6 天的体温不低于 39C，记平均体温为 ， （39.4+39.7+40.1+39.9+39.2+39.0）39.55C， 患者体温不低于 39C 的各天体温平均值为 39.55C （）X 的所有可能取值为 0，1，2， P（X0） ， P（X1） ， P（X2） ， X 的分布列为： X 0 1 2 P E（X） 1 2 （）“抗生素 C”治疗效果最佳可使用 理由如下： “抗生素 B”使用期间先连续两天降温 1.0，又升 1.0， “抗生素 C”使用期间持续降温共计 1.2， 说明“抗生素 C”降
33、温效果好，故“抗生素 C”治疗效果最佳 “抗生素 B”治疗期间平均体温 39.03，方差约为 0.0156， “抗生素 C”治疗期间平均体温 38，方差约为 0.1067， “抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显， 故“抗生素 C”治疗效果最佳 “抗生素 B”治疗效果最佳可使用理由： 自使用“抗生素 B”开始治疗后，体温才开始稳定下降， 且使用“抗生素 B”治疗当天共降温 0.7，是单日降温效果最好一天， 故“抗生素 B”治疗效果最佳 【点评】本题考查平均值、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、 排列组合性质，考查运算求解能力，是中档题 18在
34、四棱锥 PABCD 中，平面 ABCD平面 PCD，底面 ABCD 为梯形，ABCD，AD DC，且 AB1，ADDCDP2，PDC120 （）求证：ADPC； （）求二面角 （或，或） 的余弦值； 从PABC，PBDC，PBCD 这三个条件中任选一个，补充在上面问题 中并作答 （）若 M 是棱 PA 的中点，求证：对于棱 BC上任意一点 F，MF 与 PC 都不平行 【分析】（）由 ADDC，得 AD平面 PCD，由此能证明 ADPC （）在平面 PCD 内过点 D 作 DHDC，交 PC 于 H，以 D 为原点，DA，DC，DH 所 在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向
35、量法能求出二面角的余弦值 （）假设 BC 上存在点 F，MFPC，设 ，0，1，利用向量法推导出假设 不成立，由此能证明对于棱 BC上任意一点 F，MF 与 PC 都不平行 解：（）证明：平面 ABCD平面 PCD，平面 ABCD平面 PCDCD， AD平面 ABCD，ADDC， AD平面 PCD， PC平面 PCD，ADPC （）解：选择， 在平面 PCD 内过点 D 作 DHDC，交 PC 于 H， 由（）知，AD平面 PDC，ADDH， AD，CD，DH 两两垂直， 如图，以 D 为原点，DA，DC，DH 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（0，0，0），P（0
36、，1， ），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0）， DH平面 ABCD，平面 ABCD 的一个法向量为 （0，0，1）， （2，1， ）， （2，2， ）， 设平面 PAB 的一个法向量为 （x，y，z）， 由 ，取 z2，得 m（ ， ， ）， cos ， ， 由题知二面角 PABC 为锐角， 二面角 PABC 的余弦值为 选择，在平面 PCD 内过点 D 作 DHDC，交 PC 于 H， 由（）知，AD平面 PDC，ADDH， AD，CD，DH 两两垂直， 如图，以 D 为原点，DA，DC，DH 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， D（0，0，0），P（0
37、，1， ），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0）， 平面 ABCD 的一个法向量 （0，0，1）， 设平面 PBD 的一个法向量 （x2，y2，z2）， （2，1，0）， （0，1， ）， ，取 z2，得 （ ，2 ，2）， 设二面角 PBCD 的平面角为 ，由题意 是钝角， 二面角 PBCD 的余弦值为 cos 选， 在平面 PCD 内过点 D 作 DHDC，交 PC 于 H， 由（）知，AD平面 PDC，ADDH， AD，CD，DH 两两垂直， 如图，以 D 为原点，DA，DC，DH 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（0，0，0），P（0，1，
38、），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0）， 平面 ABCD 的法向量 （0，0，1）， （2，2， ）， （0，3， ）， 设平面 PBC 的法向量 （x4，y4，z4）， 则 ，取 x41，得 （1，2，2 ）， 设二面角 PBCD 的平面角为 ， 则二面角 PBCD 的余弦值为 cos （）证明：假设 BC 上存在点 F，MFPC，设 ，0，1， 依题意可知 M（1， ， ）， （2，1，0）， （2，0），F（22，1+，0）， （12， ， ）， （0，3， ）， 则 ，此方程组无解，故假设不成立， 对于棱 BC上任意一点 F，MF 与 PC 都不平行 【点评】本题考查
39、线线垂直、线线不平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空 间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力和推理论证能力，属于 中档题 19已知椭圆 ： 的离心率为 ，过椭圆右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，当直线 l 与 x 轴垂直时，|AB|3 （）求椭圆 C 的标准方程； （）当直线 l 与 x 轴不垂直时，在 x 轴上是否存在一点 P（异于点 F），使 x 轴上任意 点到直线 PA，PB 的距离均相等？若存在，求 P 点坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（）根据题意列出关于 a，b，c 的方程组，解出 a，b，c 的值，从而得到椭 圆 C 的标准方程； （
40、） 若直线 l 的斜率不为零， 可设直线 l： xmy+1 （m0） ， A （x1， y1） ， B （x2， y2） 设 P（x0，0），设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2， 则 ， ， 而 x 轴上任意点到直线 PA， PB 距离均相等价于 k1+k20 所 以 k1+k2 ，联立直线 l 与椭圆方程，利用韦达定理代入上式 化简，即可求出 x0的值，经验证当直线 l 的斜率为零时，P（4，0）也符合题意故存在 点 P（4，0），使得 x 轴上任意点到直线 PA，PB 距离均相等 解：（）由题意得： ， ， ， ， 解得： ， ， 所以椭圆的标准方程为： ； （ II）依题意，若
41、直线 l 的斜率不为零，可设直线 l：xmy+1（m0），A（x1，y1）， B（x2，y2） 假设存在点 P，设 P（x0，0），由题设，x01，且 x0x1，x0x2 设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2， 则 ， 因为 A（x1，y1），B（x2，y2）在 xmy+1 上， 故 x1my1+1，x2my2+1 而 x 轴上任意点到直线 PA，PB 距离均相等等价于“PF 平分APB”， 继而等价于 k1+k20 则 联立 ，消去 x，得：（3m2+4）y2+6my90， 有 ， 则 ， 即4m+mx00，故 x04 或 m0（舍） 当直线 l 的斜率为零时，P（4，0）也符合题意
42、 故存在点 P（4，0），使得 x 轴上任意点到直线 PA，PB 距离均相等 【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了直线的倾斜角 与斜率的关系，是中档题 20已知函数 f（x）exax2（a一、选择题） （）若山线 yf（x）在（1，f（1）处的切线与 x 轴平行，求 a； （）已知 f（x）在0，1上的最大值不小于 2，求 a 的取值范围； （）写出 f（x）所有可能的零点个数及相应的 a 的取值范围（请直接写出结论） 【分析】（I）先对函数求导，然后结合已知及导数的几何意义可求； （II）由已知不等式恒成立，分离参数后，通过构造函数，转化为求解函数的范围，结合 导
43、数可求 （III）转化为 a 的零点个数，结合函数的图象及性质可求 解：（I）f（x）exax2， 所以 f（x）ex2ax， 由题意可得，f（1）e2a0，则 a ， 又 f（1） 0，此时切线与 x 轴不重合，符合题意， （II）由题意可得，f（x）exax22 在0，1上有解，显然 x0 不是解， 故 a 在0，1上有解， 设 g（x） ，x0，1，则 ， 设 h（x）（x2）ex+4，则 h（x）（x1）ex0， 所以 h（x）在0，1上单调递减，h（x）h（1）4e0， 故 g（x）0，g（x）在（0，1上单调递增， 所以 g（x）maxg（1）e2， 故 ae2， 故 a 的范围为
44、（，e2 （3）当 a0 时，函数的零点个数为 0； 当 a 时，函数的零点个数为 1； 当 a 时，函数的零点个数为 0； 当 0a 时，函数的零点个数为 2； 【点评】本题主要考查了导数的几何意义及由不等式的恒成立求解参数范围问题，还考 查了函数的零点问题，属于中档试题 21已知集合 SnX|X（x1，x2，xn0，1，i1，2，n（n2），对于 A（a1， a2，an）Sn，B（b1，b2，bn）Sn，定义 A 与 B 的差为 AB（|a1b1|，|a2 b2|，|anbn|）；A 与 B 之间的距离为 d（A，B）|a 1b1|+|a2b2|+|anbn| （）若 AB（0，1），试写出所有可能的 A，B； （）A，B，CSn，证明： （i）d（AC，BC）d（A，B）； （ii）d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数； （）设 PSn，P 中有 m（m2，且为奇数）个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均 值为 p，证明： p 【分析】（）根据题目所给定义，依次写出所有可能的 A，B 即可； （）（i）根据题目所给出的条件和个关于 A，B 差的定义，采用直接证明的方法设 C（c1，c2，c3cn），证明 d（AC，BC）d（A，B），只