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山东省新高考2020届高三数学原创试卷(五)含答案解析

1、山东省新高考山东省新高考 2020 届高三数学原创试卷(五)届高三数学原创试卷(五) 一、单项选择题(本题共一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)一项是符合题目要求的) 1已知 Px|y= 1,Qx|x24x50,则 PQ( ) A (1,1) B (1,1 C (1,5) D1,5) 2已知复数 z1、z2在复平面内对应的点分别为 Z1(1,3) 、Z2(1,1) ,则1 2 =( ) A2+i B2i C12i D1+2i 3命题 p:已知 a1,x0,使得 x

2、+ 1,则该命题的否定为( ) A已知 a1,x0,使得 x+ 1 B已知 a1,x0,使得 x+ 1 C已知 a1,x0,使得 x+ 1 D已知 a1,x0,使得 x+ 1 4甲、乙两家企业 1 至 10 月份的收入情况统计如图所示,下列说法中错误的是( ) A甲企业的月收入比乙企业的月收入高 B甲、乙两企业月收入差距的最大值在 7 月份 C甲企业 4 月到 7 月份收入的平均变化量比乙企业 7 月到 10 月份收入的平均变化量低 D 甲企业 1 月到 10 月份收入的平均变化量比乙企业 1 月到 10 月份收入的平均变化量高 52019 年 9 月,中国女排在日本举行的女排世界杯中以十一场

3、全胜的战绩获得冠军,兑现 了她们“升国旗、奏国歌”的誓言,向新中国成立 70 周年献上了一份厚礼女排世界杯 的比赛采取单循环方式,五局三胜制,积分规则如表: 比赛结果 胜方得分 负方得分 3:0 3 0 3:1 3 0 3:2 2 1 根据中国队与甲队的比赛统计数据,中国队每局获胜的概率都为2 3,则中国队在与甲队的 比赛中积分得到 3 分的概率等于( ) A11 81 B 4 27 C 8 27 D16 27 6函数 f(x)cosx+sin2x 的图象大致为( ) A B C D 7 我国古代数学名著 九章算术商功 中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为 “堑堵” , 如图为一个堑堵 ABC

4、DFE,ABBC,AB6,其体积为 120,若将该“堑堵”放入一 个球形容器中,则该球形容器表面积的最小值为( )来源:学.科.网 A100 B108 C116 D120 8 若关于 x 的不等式 lnxax20 的解集中有唯一的整数解, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A (3 9 ,2 4 B3 9 ,2 4 ) C (,3 9 (2 4 ,+) D (,3 9 )2 4 ,+)来源:学|科|网 Z|X|X|K 二、多项选择题(本题共二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的选项中,有多项符在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求

5、合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分)分) 9下列说法正确的是( ) A “a3b3“是“ac2bc2“的充要条件 B若角 的终边经过点(1,2) ,则 tan(+ 4)3 C若直线 ax+2y10 与直线 2xy+30 垂直,则 a1 D已知随机变量 X 服从正态分布 N(4,2) ,若 P(X5)0.8,则 P(X3)0.2 10如图,已知双曲线 C: 2 2 2 2 =1(a0,b0)的左,右焦点分别为 F1,F2,左, 右顶点分别为 A, B, M 在双曲线 C 上, 且 MF1x 轴, 直线 MA, MB

6、 与 y 轴分别交于 P, Q 两点,若|OP|e|OQ|(e 为双曲线 C 的离心率) ,则下列说法正确的是( ) Ae= 2 +1 B| 1| | =3 C直线 OM 的斜率 k2 D直线 AM 的斜率 k3 11将函数 f(x)sin2x23cos2x+3图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 变) ,再向右平移 6个单位 得到函数 g(x)的图象,则下列说法中正确的是( ) Af(x)的最大值为 13 Bg(x)2cosx C函数 f(x)的图象关于直线 x= 5 12对称 D函数 g(x)的图象关于点( 2,0)对称 12在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,

7、PA底面 ABCD,PAAB,截面 BDE 与直线 PC 平行,与 PA 交于点 E,则下列判断正确的是( ) AE 为 PA 的中点 BPB 与 CD 所成的角为 3 CBD平面 PAC D三棱锥 CBDE 与四棱锥 PABCD 的体积之比等于 1:4 三、填空题(本题共三、填空题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 已知向量 = (2, m) , = (1, 3) , = (1, 3) , 若 ( + ) , 则实数 m 14曲线 f(x)(x2+1)lnx 在 P(1,f(1) )处的切线方程为 15已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F

8、(2,0) ,在抛物线 C 上任取一点 P,作圆 E:x2+y212x+340 的切线,切点分别为 M,N,则|PM|的最小值为 ;四边形 PMEN 的面积的最小值等于 16已知函数 f(x)xax(a0,a1)的图象经过点(3,3 8) ,点 O 为坐标原点,点 Pn (n, f (n) )(nN*) , 向量 = (1, 0) , n是向量 与 m 的夹角, 则使得 tan1+tan2+ +tann 127 128的 n 的最小值为 四、解答题(本题共四、解答题(本题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17

9、在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 cosB(3ca)bcosA (1)求 sinB 的值; (2)若 a= 3,b= 11,求ABC 的面积 18 已知数列an中, 对任意的 nN*, 都有 an0, an+1an3, a2与 a7的等比中项为 10, 数列bn为等比数列,b1a1,b4a61 (1)求数列an和bn的通项公式; (2)求数列 1 +1 +a 的前 n 项和 Tn 19在三棱柱 ABCA1B1C1中,侧面 BCC1B1为矩形,且与侧面 ABB1A1垂直,AB= 1 2AB1 1,BB1= 5 (1)求证:AB1A1C1; (2) 若直线 AC1与平面

10、ABB1A1所成角的正切值等于3 2, 求二面角 CABC1 的余弦值 20已知 f(x)exax2(a0) (1)若 a2,求函数 h(x)= () 2 (x(0,4)的最小值; (2)已知函数 f(x)有两个极值点 x1,x2 (i)求实数 a 的取值范围; (ii)证明:x1+x221n2a 21已知椭圆 C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的离心率 e= 6 3 ,且经过点 P(1 2, 3 2) (1)求椭圆 C 的方程; (2) 点 Q 是椭圆 C 与 x 轴正半轴的交点, 直线 l 与椭圆 C 交于异于点 Q 的不同两点 D, E,若 kQDkQE9,求证:直线 l 恒过定点

11、,并求出定点坐标 222019 年由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻 10 月 21 日至 22 日首次公开测产,经测产 专家组评定,最终亩产为 1046.3 公斤,第三代杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻 生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展某企业引进一条先进的食品生产线, 计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工,创建一个新产品,已知该产品的质量以某项 指标值 k(k70,100)为衡量标准,其质量指标的等级划分如表: 质量指标值 k 90k100 85k90 80k85 75k80 70k75 产品等级 废品 合格 良好 优秀 良好 为了解该产品的生产效益,该企业先进行试生产,从中随机

12、抽取了 1000 件产品,测量了 每件产品的指标值,得到产品质量指标值 k 的频率分布直方图如图 (1)若从质量指标值不小于 85 的产品中利用分层抽样的方法抽取 7 件产品,并采集相 关数据进行分析,然后从这 7 件产品中任取 3 件产品,求质量指标值 k90,95)的件数 X 的分布列及数学期望; (2)若将频率视为概率,从该产品中有放回地随机抽取 3 件产品,记“抽出的产品中至 少有 1 件为合格或合格以上等级“为事件 A,求事件 A 发生的概率; (3)若每件产品的质量指标值 k 与利润 y(单位:元)的关系如表所示(1t4) : 质量指标值 k 90k100 85k90 80k85

13、75k80 70k75 利润 y(元) et t 2t 4t 3t 请问生产该产品能否盈利?若不能,试说明理由;若能,试确定 t 为何值时,利润达到 最大(参考数值:ln20.7,ln31.1,ln51.6) 来源:学#科#网 一、单项选择题(本题共一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)一项是符合题目要求的) 1已知 Px|y= 1,Qx|x24x50,则 PQ( ) A (1,1) B (1,1 C (1,5) D1,5) 可以求出集合 P,Q,然后进行交集的运算

14、即可 Px|x1,Qx|1x5, PQ1,5) 故选:D 本题考查了描述法、区间的定义,一元二次不等式的解法,交集的运算,考查了计算能 力,属于基础题 2已知复数 z1、z2在复平面内对应的点分别为 Z1(1,3) 、Z2(1,1) ,则1 2 =( ) A2+i B2i C12i D1+2i 代入1 2 = 1:3 1: ,再利用复数除法的运算法则即可化简得出 1 2 = 1:3 1: = (1:3)(1;) (1:)(1;) = 4:2 2 =2+i 故选:A 本题考查了复数除法的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 3命题 p:已知 a1,x0,使得 x+ 1,则该命题的否定为

15、( ) A已知 a1,x0,使得 x+ 1 B已知 a1,x0,使得 x+ 1 C已知 a1,x0,使得 x+ 1 D已知 a1,x0,使得 x+ 1 根据含有量词的命题的否定即可得到结论(主要前提不动) 命题为特称命题,则命题的否定为:已知 a1,x0,使得 x+ 1; 故选:B 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础 4甲、乙两家企业 1 至 10 月份的收入情况统计如图所示,下列说法中错误的是( ) A甲企业的月收入比乙企业的月收入高 B甲、乙两企业月收入差距的最大值在 7 月份 C甲企业 4 月到 7 月份收入的平均变化量比乙企业 7 月到 10 月份收入的平均变化量低 D 甲企业

16、 1 月到 10 月份收入的平均变化量比乙企业 1 月到 10 月份收入的平均变化量高 在 A 中,由题图可知甲企业月收入数据比乙企业月收入数据高;在 B 中,列表求出甲、 乙两企业月收入差距,得到差距的最大值在 7 月份,为 600;在 C 中,分别求出甲、乙 两个企业 4 月到 7 月份收入的平均变化量,能判断正误;在 D 中,分别求出甲、乙企业 1 月到 10 月收放的平均变化量,能求出结果 在 A 中,由题图可知,甲企业月收入数据比乙企业月收入数据高,故 A 正确; 在 B 中,由题图知,甲、乙两企业月收入差距为: 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 差距 200 300

17、200 100 300 300 600 400 300 300 差距的最大值在 7 月份,为 600,故 B 正确; 在 C 中,甲企业 4 月到 7 月份收入的平均变化量为800;300 3 167, 乙企业 7 月到 10 月收入的平均变化量为500;200 3 = 100, 167100,故 C 错误; 在 D 中,甲企业 1 月到 10 月收入的平均变化量为800;400 9 44, 乙企业 1 月到 10 月收放的平均变化量为500;200 9 33, 4433,故 D 正确 故选:C 本题考查命题真假的判断,考查折线图、平均变化量等基础知识,考查运算求解能力, 是基础题 52019

18、 年 9 月,中国女排在日本举行的女排世界杯中以十一场全胜的战绩获得冠军,兑现 了她们“升国旗、奏国歌”的誓言,向新中国成立 70 周年献上了一份厚礼女排世界杯 的比赛采取单循环方式,五局三胜制,积分规则如表: 比赛结果 胜方得分 负方得分 3:0 3 0 3:1 3 0 3:2 2 1 根据中国队与甲队的比赛统计数据,中国队每局获胜的概率都为2 3,则中国队在与甲队的 比赛中积分得到 3 分的概率等于( ) A11 81 B 4 27 C 8 27 D16 27 由题意可知对应的比赛结果为 3:0 或者 3:1,利用二项分布分别算出概率,相加即可 由积分为 3 分,可知对应的比赛结果为 3:

19、0 或者 3:1, 中国队 3:0 获胜的概率 P1(2 3) 3=8 27, 中国队 3:1 的概率 P2C 3 2(2 3) 2(12 3) 2 3 = 8 27, 故所求事件的概率 P= 8 27 + 8 27 = 16 27, 故选:D 本题考查加法原理,乘法原理,二项分布,属于基础题 6函数 f(x)cosx+sin2x 的图象大致为( ) A B C D 显然函数既不是奇函数,也不是偶函数,故排除 A;由 f(0)1,f(1)0,可排除 CD,由此得出正确选项 由已知得 f(x)cos(x)+sin2(x)cosxsin2x, 显然该函数既不是奇函数,也不是偶函数,故排除选项 A;

20、 又 f(0)cos0sin01,故函数的图象经过点(0,1) ,故可排除选项 D; 又1 ( 4 , 3),则2 ( 2 , 2 3 ),故 cos10,sin20,于是 f(1)cos1+sin20,故 排除选项 C 故选:B 本题考查利用函数性质确定函数图象,考查数形结合思想,属于基础题 7 我国古代数学名著 九章算术商功 中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为 “堑堵” , 如图为一个堑堵 ABCDFE,ABBC,AB6,其体积为 120,若将该“堑堵”放入一 个球形容器中,则该球形容器表面积的最小值为( ) A100 B108 C116 D120 设 BCa,BFb,则该“堑堵”的体积

21、 VSABCBF= 1 2 6 =120,解得 ab40, 要使“堑堵”放入球形容器,则该球的半径不小于“堑堵”的外接球半径,设其外接球 的半径为 R,推导出堑堵 ABCDFE 外接球的一条直径是以 BA,BC,BF 为相邻三条棱 的长方体的体对角线,由此能求出球形容器的表面积最小值 设 BCa,BFb, 则该“堑堵”的体积 VSABCBF= 1 2 6 =120, 整理,得 ab40, 要使“堑堵”放入球形容器,则该球的半径不小于“堑堵”的外接球半径, 设其外接球的半径为 R, 在堑堵 ABCDFE 中,BA,BC,BF 两两垂直, 堑堵 ABCDFE 外接球的一条直径是以 BA,BC,BF

22、 为相邻三条棱的长方体的体对角 线, 即 2R= 2+ 2+ 2= 36 + 2+ 2, a2+b22ab80, (当且仅当 ab 时,取等号) , 外接球的表面积 S4R2116, 球形容器的表面积最小值为 116 故选:C 本题考查球形容器表面积的最小值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 8 若关于 x 的不等式 lnxax20 的解集中有唯一的整数解, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A (3 9 ,2 4 B3 9 ,2 4 ) C (,3 9 (2 4 ,+) D (,3 9 )2 4 ,+) 由题意可得, 2 a,构造函数 f(

23、x)= 2 ,x0,对其求导,然后结合导数分析函数 的性质,结合图象即可求解 由题意可得, 2 a, 令 f(x)= 2 ,x0,则() = 12 3 , 当 0时,f(x)0,函数单调递增,当 x时,f(x)0,函数单调递 减, 故当 x= 时,函数取得最大值 f()= 1 2, 因为 lnxax20 的解集中有唯一的整数解, 结合图象可知,只能是 x2, 故3 9 2 4 , 故选:B 本题主要考查了利用导数求解与零点有关的参数范围问题, 体现了数形结合思想的应用 二、多项选择题(本题共二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的选项中

24、,有多项符在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分)分) 9下列说法正确的是( ) A “a3b3“是“ac2bc2“的充要条件 B若角 的终边经过点(1,2) ,则 tan(+ 4)3 C若直线 ax+2y10 与直线 2xy+30 垂直,则 a1 D已知随机变量 X 服从正态分布 N(4,2) ,若 P(X5)0.8,则 P(X3)0.2 可知,由 a3b3可得出 ab,从而 c0 时,由 a3b3得不出 ac2bc2,从而可判断选 项 A 错误;可知 tan2,从而可求出

25、( + 4) = 3,从而判断选项 B 真确;根据直 线垂直时,两直线的斜率之积为1 即可判断选项 C 错误;可知正态分布的对称轴为 x 4,从而可得出 P(X4)0.5,P(3X4)P(4X5)0.3,从而可得出 P (X3)0.2,从而判断选项 D 正确 Aa3b3ab,且 c0 时得不出 ac2bc2,a3b3不是 ac2bc2的充要条件, 该说法错误; B 若角 的终边经过点 (1, 2) , 则 tan2, ( + 4) = + 4 1 4 = 2+1 121 = 3, 该说法正确; C由两直线互相垂直得, 2 2 = 1,解得 a1,该说法错误; D由随机变量 X 服从正态分布 N

26、(4,2) ,可得 4, P(X5)0.8,P(4X5)P(X5)P(X4)0.80.50.3, 由对称性可得,P(3X4)0.3,P(X3)P(X4)P(3X4)0.5 0.30.2,该说法正确 故选:BD 本题考查了充要条件的定义,根据直线上的点求斜率的方法,两角和的正切公式,直线 垂直时的斜率关系,正态分布的定义,考查了计算能力,属于中档题 10如图,已知双曲线 C: 2 2 2 2 =1(a0,b0)的左,右焦点分别为 F1,F2,左, 右顶点分别为 A, B, M 在双曲线 C 上, 且 MF1x 轴, 直线 MA, MB 与 y 轴分别交于 P, Q 两点,若|OP|e|OQ|(e

27、 为双曲线 C 的离心率) ,则下列说法正确的是( ) Ae= 2 +1 B| 1| | =3 C直线 OM 的斜率 k2 D直线 AM 的斜率 k3 根据条件以及图象,利用三角形相似性质得到 OQ= 2 +,OP= 2 ,结合 OPeOQ, 可求得 e= 2 +1,进而了逐一判断出 BCD 选项 根据题意得 A(a,0) ,B(a,0) ,F1(c,0) ,M(c, 2 ) , 根据BOQBF1M,则 1 = 1,所以 OQ= 2 +, 由AOPAF1M,可得 1 = 1,所以 OP= 2 , 根据 OPeOQ,即 2 ; =e 2 :, 整理可得 a+ce(ca) ,即 1+ee(e1)

28、, 即 e22e1,因为 e1,解得 e= 2 +1,故 A 正确 又 1 = ; =e1= 2,故 B 错误, 因为 MF1= 2 , 所以直线 OM 的斜率 k= 2 = 2 = 22 = 1 e2, 故 C 正确, 直线 AM 的斜率 k= 1 1 = 2 = + = (e+1)= 2 2,故 D 不正确 故选:AC 本题考查双曲线性质,三角形相似性质,数形结合思想,属于中档偏难题 11将函数 f(x)sin2x23cos2x+3图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 变) ,再向右平移 6个单位 得到函数 g(x)的图象,则下列说法中正确的是( ) Af(x)的最大值为 13

29、 Bg(x)2cosx C函数 f(x)的图象关于直线 x= 5 12对称 D函数 g(x)的图象关于点( 2,0)对称 将函数 f(x)sin2x23cos2x+3化简后,再进行伸缩,平移变换可得函数 g(x)h (x 6)2sin(x 6) 32cosx 的图象,进而研究三角函数的图象和性质 解;f(x)sin2x23cos2x+3 =sin2x3cos2x2sin(2x 3) , 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,可得函数 h(x)f(1 2x) 2sin(x 3)的图象, 再将函数图象向右平移 6个单位,可得函数 g(x)h(x 6)2sin(x 6) 3 2c

30、osx 的图象 A 选项,函数 f(x)的最大值为 2,故该项不正确;B 选项 g(x)2cosx,故该项不 正确; C 选项, 令 2x 3 =k+ 2, 解得 x= 2 + 5 12, 故该项正确; D 选项, 显然 g (x) 2cosx, 其图象的对称中心为(k+ 2,0) ,当 k1 时,图象的对称中心为( 2,0) ,故该项 正确 故选:CD 本题考查三角函数式的化简,函数图象的变换和性质,知识点多,但都比较基础 12在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA底面 ABCD,PAAB,截面 BDE 与直线 PC 平行,与 PA 交于点 E,则下列判断正确的是( ) A

31、E 为 PA 的中点 BPB 与 CD 所成的角为 3 CBD平面 PAC D三棱锥 CBDE 与四棱锥 PABCD 的体积之比等于 1:4 在 A 中,连结 AC,交 BD 于点 F,连结 EF,则平面 PAC平面 BDEEF,推导出 EF PC,由四边形 ABCD 是正方形,从而 AFFC,进而 AEEP;在 B 中,由 CDAB, 得PBA (或其补角) 为PB与 CD 所成角, 推导出PAAB, 从而PB与 CD 所成角为 4; 在C 中,推导出 ACBD,PABD,由此能证明 BD平面 PAC;在 D 中,设 ABPAx, 则;= 1 3 2 = 1 3 2 = 1 3 3,VCBD

32、EVEBCD= 1 3 = 1 3 1 2 2 1 2 = 1 12 3 由此能求出三棱锥 CBDE 与四棱锥 PABCD 的体积之比等于 1: 4 在 A 中,连结 AC,交 BD 于点 F,连结 EF,则平面 PAC平面 BDEEF, PC平面 BDE,EF平面 BDE,PC平面 PAC, EFPC, 四边形 ABCD 是正方形,AFFC,AEEP,故 A 正确; 在 B 中,CDAB,PBA(或其补角)为 PB 与 CD 所成角, PA平面 ABCD,AB平面 ABCD,PAAB, 在 RtPAB 中,PAAB,PAB= 4, PB 与 CD 所成角为 4,故 C 错误; 在 C 中,四

33、边形 ABCD 为正方形,ACBD, PA平面 ABCD,BD平面 ABCD,PABD, PAACA,BD平面 PAC,故 C 正确; 在 D 中,设 ABPAx,则;= 1 3 2 = 1 3 2 = 1 3 3, VCBDEVEBCD= 1 3 = 1 3 1 2 2 1 2 = 1 12 3 VCBDC:VPABCD= 1 12 3: 1 3 3=1:4故 D 正确 故选:ACD 本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考 查运算求解能力,是中档题 三、填空题(本题共三、填空题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13

34、已知向量 =(2,m) , =(1,3) , =(1,3) ,若( + ) ,则实数 m 12 根据题意, 求出向量 ( + ) 的坐标, 由向量平行的坐标表示方法可得若 ( + ) , 则 3 3(3+m)(1) ,解可得 m 的值,即可得答案 根据题意,向量 =(2,m) , =(1,3) ,则( + )(3,m+3) , 若( + ) ,则 33(3+m)(1) ,解可得 m12; 故答案为:12 本题考查向量的坐标计算,涉及向量平行的坐标表示,属于基础题 14曲线 f(x)(x2+1)lnx 在 P(1,f(1) )处的切线方程为 2xy20 对函数求导,然后分别求出切点处的导数和函数

35、值,再利用点斜式写出切线方程 () = 2 + 2+1 , f(1)2,f(1)0 所以切线方程为 y02(x1) 即 2xy20 故答案为:2xy20 本题考查了导数的几何意义以及利用导数求切线方程的基本思路,注意抓住切点是关 键属于基础题 15已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F(2,0) ,在抛物线 C 上任取一点 P,作圆 E:x2+y212x+340 的切线,切点分别为 M,N,则|PM|的最小值为 30 ;四边形 PMEN 的面积的最小值等于 215 先通过抛物线的焦点坐标求出抛物线的标准方程,然后将圆的一般方程化成标准方程, 得到圆心坐标和半径, 设点 P 的坐标为 (

36、x, y) , 利用勾股定理用 x 表示出切线|PM|的长, 进而求得其最小值;由对称性可知,四边形 PMEN 的面积 = 2= 2|,所以 当|PM|取得最小值时,S 也取得最小值 抛物线的焦点为 F(2,0) , 2 = 2,即 p4, 抛物线 C 的方程为 y28x 圆 E 的方程化成标准方程为(x6)2+y22,故其圆心为 E(6,0) ,半径 r= 2, 设 P(x,y) ,则切线长|PM|= |2 2= ( 6)2+ 2 2 = 2 4 + 34 = ( 2)2+ 30, 当 x2 时,切线长|PM|取得最小值,为30, 四边形 PMEN 的面积 S= + = 2= 2 1 2 |

37、 = 2|, 故当|PM|最小时,四边形 PMEN 的面积取得最小值,为2 30 = 215 故答案为:30;215 本题考查与圆有关的计算、抛物线的基本性质,考查学生数形结合的能力和运算能力, 属于基础题 16已知函数 f(x)xax(a0,a1)的图象经过点(3,3 8) ,点 O 为坐标原点,点 Pn (n, f (n) )(nN*) , 向量 = (1, 0) , n是向量 与 m 的夹角, 则使得 tan1+tan2+ +tann 127 128的 n 的最小值为 8 利用函数的图象经过的点,求解 a,得到函数的解析式,通过向量关系,求出 tann,利 用等比数列的前 n 项和,结合

38、不等式,求解 n 的最小值即可 函数 f(x)xax(a0,a1)的图象经过点(3,3 8) ,解得 a= 1 2, 所以 f(x)= 2,点 Pn(n,f(n) ) , 所以向量 = (, 2),所以 cosn= | | | = 2+( 2) 2, sinn= 1 2= 2 2+( 2) 2 , 所以= 1 2, 所以 tan1+tan2+tann= 1 2 + 1 22 + + 1 2 = 1 21( 1 2) 11 2 =1 1 2, 因为 tan1+tan2+tann 127 128,所以1 1 2 127 128, 解得 n7,因为 nN*,所以 n 的最小值为 8 故答案为:8 本

39、题考查数列与函数相结合, 向量的数量积的应用, 数列求和以及数列与不等式相结合, 考查转化思想以及计算能力,是中档题 四、解答题(本题共四、解答题(本题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 cosB(3ca)bcosA (1)求 sinB 的值; (2)若 a= 3,b= 11,求ABC 的面积 (1)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式,结合 sinC0,可得 cosB 的 值,进而根据同角三角函数基本关系式即可求解 sinB 的值 (2

40、)由余弦定理可得 c22c80,解方程可得 c 的值,进而根据三角形的面积公式即 可计算得解 (1)cosB(3ca)bcosA, 由正弦定理可得: cosB (3sinCsinA) sinBcosA, 即3cosBsinCcosBsinAsinBcosA , 3cosBsinCcosBsinA+sinBcosAsin(A+B)sinC, sinC0, 可得 cosB= 3 3 , sinB= 1 2 = 6 3 (2)由(1)可知 cosB= 3 3 , 由余弦定理 b2a2+c22accosB,可得(11)2(3)2+c22 3 3 3 , 整理可得 c22c80,解得 c4 或2(舍去)

41、 , SABC= 1 2acsinB= 1 2 3 4 6 3 =22 本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,余弦定理,三角形的面积公式在 解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 18 已知数列an中, 对任意的 nN*, 都有 an0, an+1an3, a2与 a7的等比中项为 10, 数列bn为等比数列,b1a1,b4a61 (1)求数列an和bn的通项公式; (2)求数列 1 +1 +a 的前 n 项和 Tn 本题第(1)题由 an+1an3 可知数列an是公差为 3 的等差数列,然后根据等比中项 的性质可列出关于 a2的一元二次方程,结合题干条件解出 a2的

42、值,即可计算出数列an 的通项公式,对于数列bn,可设等比数列bn的公比为 q,根据 q3= 4 1,结合数列an 的通项公式,可计算出 q3的值,即可计算出 q 的值,再算出 b1的值,即可得到数列bn 的通项公式; 第(2)题可先根据第(1)题的结果分别计算出数列 1 +1和的通项公式,进一 步分别用裂项相消法和分组求和法、等比数列的求和公式计算出数列 1 +1和 的前 n 项和, 最后将两个数列的前 n 项和相加即可得到数列 1 +1 +a 的前 n 项和 Tn (1)依题意,由 an+1an3,可知数列an是公差为 3 的等差数列, a2与 a7的等比中项为 10, a2a7102100,即 a2 (a2+53)100, 整理,得 a22+15a21000, 解得 a25,或 a220, an0,n