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浙江师大附中2020届高三数学模拟试卷(三)含答案解析

1、浙江师大附中浙江师大附中 2020 届高三数学模拟试卷(三)届高三数学模拟试卷(三) 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,共小题,共 40 分分 1已知 i 为虚数单位,则 = 1+2 =( ) A 2 5 1 5 B 2 5 + 1 5 C2 5 1 5 D2 5 + 1 5 2设集合 UxZ|1x6,A3,5,Bx|x23x40,U(AB)( ) A2,4 B2,4,5 C2,3,4,5 D2,3,4,6 3如图,在平行四边形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,F 是线段 AE 上靠近点 A 的三等分点, 则 =( ) A 1 3 + 2 3 B1 3 2 3 C1 3

2、 5 6 D1 3 3 4 4已知函数() = 2, 0 2,0,则下列结论中不正确的是( ) Af(2)4 B若 f(m)9,则 m3 Cf(x)是奇函数 Df(x)在 R 上单调函数 5已知函数() = (2 6),则“ 2”是“函数 f(x)在(a,b)上不单调”的 ( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6若(22 3 ) 5的展开式中不含 xa(aR)项,则 a 的值可能是( ) A5 B1 C2 D7 7某师范院校为响应国家教育脱贫攻坚号召,决定每年安排 5 名师范生到某贫困县的 3 所 学校进行支教,要求每所学校至少安排 1 名师范生,

3、且 1 名师范生只去一所学校,则不 同的安排方法有( ) A90 种 B120 种 C150 种 D180 种 8在正四面体 ABCD 中,已知 E,F 分别是 AB,CD 上的点(不含端点) ,则( ) A不存在 E,F,使得 EFCD B存在 E,使得 DECD C存在 E,使得 DE平面 ABC D存在 E,F,使得平面 CDE平面 ABF 9已知双曲线: 2 3 2= 1的左焦点为 F,过 F 的直线 l 交双曲线 C 的左、右两支分别 于点 Q,P,若|FQ|t|QP|,则实数 t 的取值范围是( ) A(0, 233 6 - B(2 33 6 ,1- C(, 233 6 - D(

4、23:3 6 ,2-,来源:学6 4 3, 又 t0,所以 0t 233 6 , 即实数 t 的取值范围是(0,23;3 6 ) , 故选:A来源:Zxxk.Com 本题考查双曲线的几何性质,直线与双曲线的位置关系,考查学生的逻辑推理能力和运 算求解能力 10已知函数() = |2()|,0 2|1 |, 0,若 f(x 1)f(x2)f(x3)f(x4) ,且 x1 x2x3x4,则下列结论:x1x21,x3+x41,0x1x2x41,x1+x2+x3+x4 0,其中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 由已知画出图象,求得 x1x21,x3+x42,再把 x1x2x4与 x1+x2+

5、x3+x4分别转化为 x4与 x2的关系式,进而判断出正确的个数,选出正确选项 函数 f(x)的图象如右图所示: 若 f(x1)f(x2)f(x3)f(x4) , 且 x1x2x3x4,则 x11x20x31x42 由 f(x1)f(x2)可得:log2(x1)log2(x2) , 即 log2(x1)+log2(x2)log2(x1x2)0,x1x21,故正确; 由 f(x3)f(x4)可得:log2(1x3)log2(x41) , 即 1x3x41,x3+x42,故错误; 又 x1x2x4(1,4) ,故错误; x11x20,x1x21,x3+x42,x1+x2+x3+x4= 1 2 +

6、2+2,x2(1,0) , x2+ 1 2 2, 1 2 + 22, x1+x2+x3+x42+20,故正确所以正确的个数为 2 故选:B 本题考查数形结合、对数运算及基本不等式的应用,属于中档题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 7 小题,共小题,共 36 分分 11 随机变量 的所有可能取值为 1, 2, 3 且 P (k) logak (k1, 2, 3) , 则 a 6 , E() 5log62 先根据分布列的性质,概率和为 1,可以得出 a 的值,再根据数学期望的算法即可得解 由随机变量分布列的性质可知,P(1)+P(2)+P(3)1, 即 loga1+loga2+loga3

7、1,解得 a6 E()1log61+2log62+3log63log6325log62 故答案为:6,5log62 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,考查学生的运算能力,属于基础题 12如图所示为某几何体的三视图,网格纸上小正方形的边长均为 1,则该几何体的体积为 4 ,表面积为 8+35 + 13 将这个几何体放在一个长方体中,容易找出它的直观图,是一个一个侧面水平放置的四 棱锥然后计算其体积与表面积即可 由正视图和俯视图均为三角形可知该几何体是锥体,再结合侧视图可以确定是一个四棱 锥如图所示: 可以将该四棱锥 OABCD(图中蓝线部分对应的四棱锥)置于长、宽都为 2,高为 3 的

8、长方体 ABCDMNPQ 中,其中 O 为 MN 的中点 故 = 1 3矩形 = 1 3 2 3 2 = 4 易知AOD,COB 是全等的直角三角形, = = 22+ 12= 5, = = 1 2 5 3 = 35 2 COD 底边 CD 上的高为 DM= 32+ 22= 13, = 1 2 = 1 2 2 13 = 13 = 1 2 = 1 2 2 2 = 2 底面矩形 ABCD 的面积为 ABAD236 故该四棱锥的表面积为 SAOB+SCOB+SCOD+SAOD+S矩形ABCD= 8 + 35 + 13 故答案为:4,8 + 35 + 13 本题考查了三视图的视图问题,以及空间四棱锥的体

9、积及表面积的计算问题同时考查 了学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算等数学核心素养 13已知直线 l:yx1 经过抛物线 C:y22px(p0)的焦点,且与抛物线 C 交于点 A, B 两点,则 p 2 ,|AB| 8 焦点为( 2,0) ,带入直线方程即可求出 p,联立直线与抛物线方程,结合抛物线的定义 可得|AB|x1+x2+p,并结合 x1+x26,即可得到弦长 AB 根据条件得到抛物线的焦点为( 2,0) , 故 0= 2 1,解得 p2, 所以抛物线方程为 y24x, 联立 2 = 4 = 1,整理可得 x 26x+10, 则 xA+xB6, 所以|AB|xA+xB+26+28, 故

10、答案为 2,8 本题考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识,属于中档题 14定义*,+ = , , ,已知实数 x,y 满足不等式组 | 2 | 2 *,+ 0 ,则目标 函数 zx+2y 的最大值为 6 先画出满足条件的平面区域,求出面积即可,再结合图象分别求出 3x+2y 和 x+3y 的最大 值,从而求出答案 画出满足条件的平面区域,如图示: A(2,2) 目标函数 zx+2y 过 A(2,2)时 z 取得最大值,最大值是 6, 故答案为:6 本题考察了简单的线性规划问题,考察数形结合思想,是一道基础题 15已知数列an,bn,且 a1b11,an+1an+1,bn+1bn+2

11、n,则 bn 2n1 ;设 cn= +1 2 ,则 cn的最小值为 8 9 根据递推关系式找到数列an,bn的规律,即可求其通项;进而得到数列cn的通项, 相邻项作差判断其单调性即可求解结论 因为 a1b11,an+1an+1,bn+1bn+2n, 所以:anan11; 所以:数列an是首项为 1,公差为 1 的等差数列; an1+(n1)n; bn+1bn+2nbn (bnbn1) + (bn1bn2) + (b2b1) +b12n 1+2n2+21+20= 1(12) 12 =2n1; 即 bn2n1; cn= +1 2 = 2 2; cn+1cn= 2+1 (+1)2 2 2 = 2(2

12、21) (+1)22 ; 因为:f(n)n22n1(n1)22; 对称轴为 n1,开口向上,其最小值为 f(1)2,且 f(2)1,f(3)0 即数列cn前三项递减,从第三项开始其递增; 故 cn的最小值为 c3= 23 32 = 8 9 故答案为:2n1;8 9 本题主要考查由数列的递推关系式求数列的通项公式,同时考查等比数列前 n 项和,考 查推理能力,属于中档题 16已知 f(x)的定义域为(,0)(0,+) ,f(x)是 f(x)的导函数,且满足 xf(x)2f(x)0,若 f(x)是偶函数,f(1)1,则不等式 f(x)x2的解集为 (,1)(1,+) 构造函数 g(x)= () 2

13、 (x0) ,依题意可知它是偶函数且在(0,+)上单调递增,于 是 f(x)x2等价转化为 g(x)g(1) ,即 g(|x|)g(|1|)|x|1,从而可得答案 令 g(x)= () 2 (x0) ,则 g(x)= 2()2() 4 = ()2() 3 , 因为足 xf(x)2f(x)0, 所以,当 x0 时,g(x)0, 所以 g(x) 在(0,+)上单调递增 又 f(x)是偶函数, 故 g(x)= () 2 (x0)也是偶函数, 而 f(1)1,故 g(1)= (1) 12 =f(1)1, 因此,f(x)x2() 2 1,即 g(x)g(1) ,即 g(|x|)g(|1|) 所以,|x|

14、1,解得:x1 或 x1 则不等式 f(x)x2的解集为(,1)(1,+) , 故答案为: (,1)(1,+) 本题考查利用导数研究函数的单调性,构造函数 g(x)= () 2 (x0) ,并判断它为偶函 数且在(0,+)上单调递增是关键,考查等价转化思想与逻辑思维能力及运算能力, 属于中档题 17 在ABC 中, = 3, = 3, 点 D 与点 B 分别在直线 AC 的两侧, 且 AD1, = 3,则 BD 的长度的最大值是 33 根据 = 3, = 3可分析出ABC 是直角三角形, 画出图形, 可设ACD, 借助于余弦定理在三角形 BCD 中表示出 BD2,然后再利用三角形 ACD 借助

15、于余弦定理 找到 x 与 角的关系,代入 BD2表达式,利用导数研究函数最值的方法求解 在三角形 ABC 中,设 ACx,则 BC= 3,且3 13 + 1 由正弦定理得 = 3 ,解得 = 1 2, 显然 B 为锐角,故 B= 6 = 2 设ACD, = 2 + 在BCD 中,2= (3)2+ 3 2 2 3 3( 2 + ) 3(x2+1)+6xsin 又在ACD 中, = 2+31 23 = 2+2 23 = 4+824 23 代入式得: BD2= 3(2+ 1) + 34+ 82 4 令 tx2+1, 则上式可化为 = 3 + 3 2+ 10 13, (5 235 + 23) = 3

16、+ 3(2+10) 22+1013 ,令 y0 得3 = 5 2+1013,可见 t5 即 t210t+160,t8 或 t2(舍) 将 t8 代入式得 BD227,故 = 33 (因为开区间内唯一的极值点即为该函数的 最值点) 故答案为:33 本题考查了利用正余弦定理解三角形的问题,同时也考查了导数在实际优化问题中的应 用还考查了学生的逻辑推理能力和数学运算能力难度较大, 三三.解答题:本大题共解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 74 分分 18已知函数() = (2 + 6) + 1 2 2( 6) (1)求 f(x)的最小正周期以及( 12)的值; (2)若() = ( 2 ),求

17、g(x)在区间, 4 , 6-的最值 (1)化函数 f(x)为正弦型函数,求出函数 f(x)的最小正周期和( 12)的值; (2)化简函数() = ( 2 ),再求 g(x)在区间, 4 , 6-的最小、最大值 (1)函数() = (2 + 6) + 1 2 2( 6) sin(2x+ 6)+ 1 2 1+(2 3) 2 ( 3 2 sin2x+ 1 2cos2x)+ 1 4( 1 2cos2x+ 3 2 sin2x)+ 1 4 = 53 8 sin2x+ 5 8cos2x+ 1 4 = 5 4sin(2x+ 6)+ 1 4; 所以 f(x)的最小正周期为 T= 2 2 =, ( 12) =

18、5 4sin(2 12 + 6)+ 1 4 = 5 4 3 2 + 1 4 = 53+2 8 ;来源:学科网 (2)由() = ( 2 ) = 5 4sin(2x)+ 6+ 1 4 = 5 4sin(2x 6)+ 1 4, 当 x 4, 6时,2x 6 2 3 , 6, 所以 sin(2x 6)1, 1 2, 所以5 4sin(2x 6)+ 1 41, 7 8, 所以 g(x)在区间, 4 , 6-的最小值为1,最大值为 7 8 本题考查了三角函数的化简与求值问题,也考查了运算求解能力,是中档题 19如图,ABC 为正三角形,半圆 O 以线段 BC 为直径,D 是圆弧 BC 上的动点(不包括

19、B,C 点)平面 ABC平面 BCD (1) 是否存在点 D, 使得 BDAC?若存在, 求出点 D 的位置, 若不存在, 请说明理由; (2)CBD30,求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值 (1)D 是圆弧 BC 上的动点(不包括 B,C 点) ,假设存在点 D,使得 BDAC过点 D 作 DEBC,利用面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理得出矛盾,即可判断出结 论 (2)设圆心为点 O,连接 OA,分别以 OC,OA,为 y 轴作空间直角坐标系设平面 ABD 的法向量为: =(x,y,z) ,则 = =0,可得 利用直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值|cos , |=

20、| | | | | 即可得出 (1)D 是圆弧 BC 上的动点(不包括 B,C 点) ,假设存在点 D,使得 BDAC 过点 D 作 DEBC,平面 ABC平面 BCD,平面 ABC平面 BCDBC DE平面 ACB,AC平面 ABC, DEAC,又 DEBDD, AC平面 BCD,而ACB60,得出矛盾 假设不正确因此不存在点 D,使得 BDAC (2)设圆心为点 O,连接 OA,分别以 OC,OA,为 y 轴作空间直角坐标系 设 OC1,O(0,0,0) ,A(0,0,3) ,B(0,1,0) ,D( 3 2 ,1 2,0) ,C(0,1, 0) =(0,1,3) , =( 3 2 ,3

21、2,0) , =(0,1,3) , 设平面 ABD 的法向量为: =(x,y,z) ,则 = =0, y+3z0, 3 2 x+ 3 2y0, 取 =(3,3,1) , 直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值|cos , |= | | | | | = 23 132 = 39 13 本题考查了线面面面垂直的性质定理、法向量的应用、数量积运算性质、圆的性质,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题 20 已知 Sn为数列an的前 n 项和, 且 a22, 2Snnan+n, 数列bn的通项公式为= 3, (1)证明:数列an为等差数列; (2)设数列bn前 n 项的和为 Tn,nN*,若n(1)

22、n+1 4:3 +1,且对于任意的正 整数 n,C1+C2+n 1 + 41 12恒成立,求实数 m 的取值范围 (1)可先求出数列的前几项,然后猜想出数列an的通项公式,借助于数学归纳法证明 猜想,再证明其为等差数列; (2) 先求出等比数列bn前 n 项的和为 Tn, 接着求出n, 利用裂项相消法求出 C1+C2+ +n,再求出其最大值,然后求解含 m 的不等式,解出 m 的取值范围 (1) 证明: 2Snnan+n, 当 n1 时, 2S1a1+1, 解得 a11 当 n3 时, 2S33a3+3 2(a1+a2+a3) ,又 a22,解得 a33所以猜想 ann下面用数学归纳法证明猜想

23、: 当 n1,2,3 时,通过前面运算有 ann: 假设当 nk(k3,且 kN) ,有 akk,2Snnan+n,2Skkak+kk2+k,解得 Sk= 2+ 2 又 2Sk+1(k+1)ak+1+(k+1)2(Sk+ak+1)k2+k+2ak+1,ak+1k+1这说明当 n k+1 时也成立 综合知:ann 又 an+1an1,故数列an为等差数列 (2)解:由(1)知:ann,又= 3,bn3n,Tn= 3(13) 13 = 3(31) 2 若n(1)n+1 4:3 +1,则n(1) n+14 3 231 (31)(3+11) =(1)n+1 2 3 ( 1 3;1 + 1 3+1;1)

24、 , C1+C2+n= 2 3 ( 1 31;1 + 1 32;1 )( 1 32;1 + 1 33;1 )+( 1 33;1 + 1 34;1 ) ( 1 34;1 + 1 35;1)+(1) n+1 1 3;1 + 1 3+1;1= 2 3 1 31;1 + (1)n+1 1 3+1;1= 2 3 1 2 + (1)n+1 1 3+1;1 当 n2k1(kN+)时,C1+C2+n= 2 3( 1 2 + 1 3+1;1)C1= 5 12; 当 n2k(kN+)时,C1+C2+n= 2 3( 1 2 1 3+1;1) 1 3; 故(C1+C2+n)max= 5 12 又对于任意的正整数 n,

25、C1+C2+n 1 + 41 12恒成立,所以 5 12 1 + 41 12解之得 1m5 所以 m 的取值范围为1,5) 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项相消法,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题 21在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2 2 +y21,C2: 2 4 + 2 2 =1,设直线 l 与椭 圆 C1切于点 M,交椭圆 C2于点 A,B,设直线 l1平行于 l,且与椭圆 C2切于点 N (1)求证:直线 MN 恒过原点 O; (2)若点 M 为线段 ON 上一点,求四边形 OANB 的面积 (1)可对直线 l 分以下两种情况进行证明:当直线

26、 l 的斜率不存在或为 0 时,显然有 直线; 当直线 l 的斜率存在且不为 0 时; (2)先由 = + 2 4 + 2 2 = 1联立得: (1+2k 2)x2+4ktx+2(t22)0,16k2t28(t22) (1+2k2)8(4k2+2t2)0,x1+x2= 4 1+22,x1x2= 2(22) 1+22 ,求出|AB|,再计算出点 O、N 到直线 AB 的距离为 d1与 d2,从而求出四边形 OANB 的面积 (1)证明:当直线 l 的斜率不存在或为 0 时,显然有直线; 当直线 l 的斜率存在且不为 0 时,设直线 l:ykx+t,直线 l1:ykx+m, 由 = + 2 2 +

27、 2= 1联立得: (1+2k2) x2+4ktx+2 (t21) 0, 又116k2t28 (t21)(1+2k2) 0,t21+2k2,xM= 2 1+22 = 2 M(;2 ,1 ) ; 由 = + 2 4 + 2 2 = 1联立得: (1+2k 2)x2+4kmx+2(m22)0,又216k2m28(m22) (1+2k2)0,m22+4k2, xN= 2 1+22 = 4 ,N(;4 , 2 ) , 直线 MN:y= 1 2 必恒过原点 O; 综合知直线 MN 恒过原点 O; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由 = + 2 4 + 2 2 = 1联立得: (1+2k

28、 2)x2+4ktx+2(t22) 0, 16k2t28(t22) (1+2k2)8(4k2+2t2)0, x1+x2= 4 1+22,x1x2= 2(22) 1+22 , |AB|= 1 + 2(1+ 2)2 412= 221+242+22 1+22 = 221+2 | , 又设点 O、N 到直线 AB 的距离为 d1与 d2,则 d1= | 1+2,d 2= | 1+2,又t 21+2k2, m22+4k2, m= 2t, 四边形 OANB 的面积为1 2|AB| (d1+d2)= 2(|+|) | =2 本题主要考查椭圆与直线的位置关系及利用弦长公式、点线距离公式求解面积问题,属 于一道

29、较难的题 22已知函数 f(x)xalnx(aR) (1)当 a1 时,若存在唯一的实数 x 使得 f(x)x32ex2+tx 成立,求 t 的值; (2)若函数 f(x)有 2 个零点 x1,x2(x1x2) ,求 a 的取值范围,并证明:1 1 + 1 2 1 (1)由 x+lnxx32ex2+tx,变形得 ( )2+ (1 + 2 ) = 0,令 g(x) = ( )2+ (1 + 2 ),利用导数求其最小值,结合已知可得 g(e)0,从而 得到 t= 1 + 2+ 1 ; (2)函数 f(x)的定义域为(0,+) ,求其导函数,可得当 a0 时,函数 f(x)在(0, +) 上单调递增

30、, 不存在 2 个零点; 当 a0 时, 利用导数求其最小值为 f (a) aalna, 可得要使函数 f(x)有两个零点,则必有 a0,且 f(a)alna0,解得 ae,再证 明 ae 是 f(x)有两个零点的充分条件;不妨设 x1x2,则 f(x)在(x2,+)上单调 递增,结合 f(x1)f(x2)0,可得 x1alnx1,x2alnx2,证明 x1x2(x1+x2)0, 即 x1+x2x1x2,从而得到 1 1 + 1 2 1 (1)由 x+lnxx32ex2+tx,得 = 2 2 + 1, 即 ( )2+ (1 + 2 ) = 0 令 g(x)= ( )2+ (1 + 2 ),g(

31、x)= 1 2 2( ) 当 x(0,e)时,g(x)0,g(x)单调递增, 当 x(e,+)时,g(x)0,g(x)单调递减, 若存在唯一的实数 x 使得 f(x)x32ex2+tx 成立,则 g(e)0, 即 t= 1 + 2+ 1 ; (2)证明:函数 f(x)的定义域为(0,+) ,f(x)1 = (x0) 当 a0 时,f(x)0 恒成立,函数 f(x)在(0,+)上单调递增,不存在 2 个零 点; 当 a0 时,由 f(x)0,解得 xa, 当 x(0,a)时,f(x)0,函数 f(x)在(0,a)上单调递减, 当 x(a,+)时,f(x)0,函数 f(x)在(a,+)上单调递增,

32、 从而 f(x)在 xa 处求得最小值且最小值为 f(a)aalna 要使函数 f(x)有两个零点,则必有 a0,且 f(a)alna0,解得 ae 下面证明 ae 是 f(x)有两个零点的充分条件来源:学。科。网 Z。X。X。K f(1)10,f(a)aalnaaalne0, 由函数零点存在定理可得,f(x)在(1,a)内有一个零点 取0= 2,则 f(n0)e2a2a2 1 2 (2)2 22= 0,且 e2a2a+1a 函数 f(x)在(a,n0)内有一个零点, 则当 ae 时,f(x)有两个零点 故 a 的取值范围为(e,+) ; 不妨设 x1x2,则 f(x)在(x2,+)上单调递增, 由 f(x1)f(x2)0,可得 x1alnx1,x2alnx2, 则 x1+x2aln(x1x2) ,易知 x11,则 x1x2x2 于是 x1x2(x1+x2)x1x2aln(x1x2)f(x1x2)f(x2)0 故 x1x2(x1+x2)0,即 x1+x2x1x2, 可得 1 1 + 1 2 1 本题考查利用导数求函数的最值,考查化归与转化思想方法,考查逻辑思维能力与推理 论证能力, 本题第二问考生容易漏掉检验 ae 是 f (x) 有两个零点的充分条件, 取0= 2, 证明函数 f(x)在(a,n0)内有一个零点是难点,该题是难题