1、设集合 Mx|x2x，Nx|lgx0，则 MN（ ） A0，1 B （0，1 C0，1） D （，1 2 （5 分）若复数 z 满足i，其中 i 为虚数单位，则 z（ ） A1i B1+i C1i D1+i 3 （5 分）为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进 行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有 较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的 抽样方法是（ ） A简单随机抽样 B按性别分层抽样 C按年龄段分层抽样 D系统抽样 4 （5 分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（
2、 ） A6 B12 C D 5 （5 分）已知 a0，b0，并且，成等差数列，则 a+4b 的最小值为（ ） A2 B4 C5 D9 6 （5 分）函数 f（x）x3ax2bx+a2在 x1 处有极值 10，则点（a，b）为（ ） A （3，3） B （4，11） C （3，3）或（4，11） D不存在 第 2 页（共 24 页） 7 （5 分）设 l、m、n 是三条不同的直线，、 是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 l，l，m，n，mn，则 ln； 若 ，则 ； 若 m，n 是两条异面直线，lm，ln，n，m 且 ，则 l； 若 l，m，n，lm，ln，则 ； 其中正确命题的序号是（
3、） A B C D 8 （5 分）某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据（单位：百万元） ，根 据下表求出 y 关于 x 的线性回归方程为，则表中 a 的值为（ ） x 2 4 5 6 8 y 30 40 57 a 69 A64 B56.5 C54 D50 9 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入 n3，则输出的 S（ ） A B C D 10 （5 分）设函数 f（x）sin（2x+）+cos（2x+） ，则（ ） Ayf（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线 x对称 第 3 页（共 24 页） Byf（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线 x对称 Cyf（x）
4、在（0，）单调递减，其图象关于直线 x对称 Dyf（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线 x对称 11 （5 分）若定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，且 x0，1时，f（x）x， 则函数 h（x）f（x）log5|x|的零点个数是（ ） A6 个 B8 个 C2 个 D4 个 12 （5 分）已知双曲线的右顶点为 A，抛物线 C：y28ax 的焦点为 F，若在 E 的渐近线上存在点 P，使得，则 E 的离心率的取值范围是 （ ） A （1，2） B C （2，+） D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分
5、 13 （5 分）已知 cos（），则 sin2 14 （5 分）一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 处；行驶 4h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15处这时船与灯塔的距离为 km 15 （5 分）已知圆 C 经过 A（5，1） ，B （1，3）两点， 圆心在 x 轴上 则 C 的方程为 16 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60，点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，则的值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、
6、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题每个题为必考题每个 试题考生都必须作答，第试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）设正项等比数列an，a481，且 a2，a3的等差中项为 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnlog3a2n1，数列bn的前 n 项和为 Sn，数列cn满足，Tn为数 列cn的前 n 项和，求 Tn 18 （12 分）目前，青蒿素作为一线抗疟药晶得到大力推广某农科所为了深入研究因素对青 蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了 100
7、株青蒿进行对比试验现在 第 4 页（共 24 页） 从山上和山下的试验田中各随机选取了 4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单 位：克）如表所示： 编号位置 山上 5.0 3.8 3.6 3.6 山下 3.6 4.4 4.4 3.6 （1）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量； （2） 记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为， 根据样本数据， 试估计的大小关系（只需写出结论） ； （3）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取 1 株，记这 2 株的产量总和为 n，求 n8 的概率 19 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是梯形，ABDC，ABC9
8、0， ADSD，BCCD，侧面 SAD底面 ABCD （1）求证：平面 SBD平面 SAD； （2）若SDA120，且三棱锥 SBCD 的体积为，求侧面SAB 的面积 20 （12 分）已知函数 f（x）x3ax2，aR， （1）当 a2 时，求曲线 yf（x）在点（3，f（3） ）处的切线方程； （2）设函数 g（x）f（x）+（xa）cosxsinx，讨论 g（x）的单调性并判断有无极值， 有极值时求出极值 21 （12 分）已知圆 E：x2+（y）2经过椭圆 C：+1（ab0）的左右焦 点 F1，F2，且与椭圆 C 在第一象限的交点为 A，且 F1，E，A 三点共线，直线 l 交椭圆 C
9、 于 M，N 两点，且（0） （1）求椭圆 C 的方程； 第 5 页（共 24 页） （2）当三角形 AMN 的面积取得最大值时，求直线 l 的方程 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：1，曲线 C2：（ 为参数） ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求 C1，C2的极坐标方程； （2）射线 l 的极坐标方程为 （0） ，若
10、 l 分别与 C1，C2交于异于极点的 A，B 两 点，求的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1|x2|，不等式 f（x）2 的解集为 M （1）求 M； （2） 记集合 M 的最大元素为 m， 若 a， b， c 都是正实数， 且 求证： a+2b+3c 9 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年广西柳州市高三（上）第一次模拟数学试卷（文学年广西柳州市高三（上）第一次模拟数学试卷（文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，
11、在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 Mx|x2x，Nx|lgx0，则 MN（ ） A0，1 B （0，1 C0，1） D （，1 【分析】求解一元二次方程化简 M，求解对数不等式化简 N，然后利用并集运算得答案 【解答】解：由 Mx|x2x0，1， Nx|lgx0（0，1， 得 MN0，1（0，10，1 故选：A 【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题 2 （5 分）若复数 z 满足i，其中 i 为虚数单位，则 z（ ） A1i B1+i C1i D1+i 【分析】直接利用复
12、数的乘除运算法则化简求解即可 【解答】解：i，则 i（1i）1+i， 可得 z1i 故选：A 【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查 3 （5 分）为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进 行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有 较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的 抽样方法是（ ） A简单随机抽样 B按性别分层抽样 C按年龄段分层抽样 D系统抽样 【分析】根据题意，结合分层抽样方法，即可得出结论 第 7 页（共 24 页） 【解答】解：根据该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健
13、步走”活动情况有较大 差异， 男女“微信健步走”活动情况差异不大； 在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是按年龄段分层抽样 故选：C 【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题 4 （5 分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A6 B12 C D 【分析】判断几何体的形状，求出外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可 【解答】解：由题意可知，几何体是四棱锥，是正方体的一部分，正方体的外接球与棱 锥的外接球相同，外接球的半径为 r，2r，可得 r， 该几何体的外接球的表面积为：4r212 故选：B 【点评】本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，判断几何体的形
14、状求解外接球 的半径是解题的关键，是中档题 第 8 页（共 24 页） 5 （5 分）已知 a0，b0，并且，成等差数列，则 a+4b 的最小值为（ ） A2 B4 C5 D9 【分析】根据等差数列的性质，得到+1，由乘“1”法，结合基本不等式的性质求 出 a+4b 的最小值即可 【解答】解：，成等差数列， +1， a+4b（a+4b） （+）5+5+29， 当且仅当 a2b 即 a3，b时“成立， 故选：D 【点评】本题考查了等差数列的性质，考查基本不等式的性质，是一道中档题 6 （5 分）函数 f（x）x3ax2bx+a2在 x1 处有极值 10，则点（a，b）为（ ） A （3，3） B
15、 （4，11） C （3，3）或（4，11） D不存在 【分析】首先对 f（x）求导，然后由题设在 x1 时有极值 10 可得 解之即 可求出 a 和 b 的值 【解答】解：对函数 f（x）求导得 f（x）3x22axb， 又在 x1 时 f（x）有极值 10， ， 解得 或 ， 验证知，当 a3，b3 时，在 x1 无极值， 故选：B 【点评】掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属 于中档题 7 （5 分）设 l、m、n 是三条不同的直线，、 是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 l，l，m，n，mn，则 ln； 若 ，则 ； 第 9 页（共 24 页） 若
16、 m，n 是两条异面直线，lm，ln，n，m 且 ，则 l； 若 l，m，n，lm，ln，则 ； 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【分析】利用线面平行、面面垂直以及线线关系的有关的性质定理和判定定理对四个命 题分别分析解答 【解答】解：对于，若 l，l，m，得到 lm，又 n，mn，则 ln； 故正确； 对于，若 ，则 ， 有可能相交；故错误； 对于，若 m，n 是两条异面直线，lm，ln，n，m 且 ，过 m 的平面与 相交于直线 a，则 am，则 la，所以 l；故正确； 对于，若 l，m，n，lm，ln，如果 mn，则 错误； 故正确的命题是； 故选：A 【点评】本题考查了线
17、面平行、面面垂直以及线线关系的有关的性质定理和判定定理的 运用；熟练的掌握、运用定理是解答此类问题的关键 8 （5 分）某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据（单位：百万元） ，根 据下表求出 y 关于 x 的线性回归方程为，则表中 a 的值为（ ） x 2 4 5 6 8 y 30 40 57 a 69 A64 B56.5 C54 D50 【分析】先计算出样本中心点（ ， ） ，再根据回归直线过样本中心点，代入可解得 a 54 【解答】解： 5，39.2+， 又因为回归直线 y6.5x+17.5 过（ ， ） ， 39.2+6.55+17.5，解得 a54 故选：C 【点
18、评】本题考查了线性回归方程，属中档题 第 10 页（共 24 页） 9 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入 n3，则输出的 S（ ） A B C D 【分析】列出循环过程中 S 与 i 的数值，满足判断框的条件即可结束循环 【解答】解：判断前 i1，n3，s0， 第 1 次循环，S，i2， 第 2 次循环，S，i3， 第 3 次循环，S，i4， 此时，in，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S 故选：B 【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力 10 （5 分）设函数 f（x）sin（2x+）+cos（2x+） ，则（ ） Ayf（x）在（0，）单调递增
19、，其图象关于直线 x对称 Byf（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线 x对称 Cyf（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线 x对称 第 11 页（共 24 页） Dyf（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线 x对称 【分析】 利用辅助角公式 （两角和的正弦函数） 化简函数 f （x） sin （2x+） +cos （2x+） ， 然后求出对称轴方程，判断 yf（x）在（0，）单调性，即可得到答案 【解答】解： 因为 f（x）sin（2x+）+cos（2x+）sin（2x+）cos2x 由 于 ycos2x 的对称轴为 xk（kZ） ，所以 ycos2x 的对称轴方程是：x （kZ） ，
20、所以 A，C 错误；ycos2x 的单调递减区间为 2k2x+2k（kZ） ，即 （kZ） ，函数 yf（x）在（0，）单调递减，所以 B 错误，D 正 确 故选：D 【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考 查计算能力，常考题型 11 （5 分）若定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，且 x0，1时，f（x）x， 则函数 h（x）f（x）log5|x|的零点个数是（ ） A6 个 B8 个 C2 个 D4 个 【分析】根据题意，由 f（x）的奇偶性和解析式可得当 x1，0时，f（x）x，进 而分析可得函数 f（x）是周期为 2 的周
21、期函数，据此可得 f（x）的图象，又由函数 yf （x） log5|x|的零点的个数等于函数 yf （x） 的图象与函数 ylog5|x|的图象的交点个数， 据此分析函数的图象分析可得答案 【解答】解：根据题意，当 x0，1时，f（x）x，且 f（x）为偶函数， 则当 x1，0时，f（x）x； 函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，即函数 f（x）是周期为 2 的周期函数， 其图象如图： 函数 yf（x）log5|x|的零点的个数等于函数 yf（x）的图象与函数 ylog5|x|的图象的 交点个数， 在同一个坐标系中画出函数 yf（x）的图象与函数 ylog5|x|的图象， 显然函数 y
22、f（x）的图象与函数 ylog5|x|的图象有 8 个交点， 故选：B 第 12 页（共 24 页） 【点评】本题考查方程根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键 是运用数形结合的思想，属于基础题 12 （5 分）已知双曲线的右顶点为 A，抛物线 C：y28ax 的焦点为 F，若在 E 的渐近线上存在点 P，使得，则 E 的离心率的取值范围是 （ ） A （1，2） B C （2，+） D 【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设 P（m，m） ，以 及向量的垂直的条件：数量积为 0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于 0，化 简整理，结合离心率公式
23、即可得到所求范围 【解答】解：双曲线的右顶点为 A（a，0） ， 抛物线 C：y28ax 的焦点为 F（2a，0） ， 双曲线的渐近线方程为 yx， 可设 P（m，m） ， 即有（am，m） ，（m2a，m） ， ，可得0， 即为（am） （m2a）m20， 化为（1+）m23ma+2a20， 由题意可得9a24（1+） 2a20， 第 13 页（共 24 页） 即有 a28b28（c2a2） ， 即 8c29a2， 则 e 由 e1，可得 1e， 故选：B 【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质， 注意运用二次方程有实根的条件：判别式大于等于 0，考查运算
24、能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 cos（），则 sin2 【分析】先利用差角的余弦公式展开，再两边平方，即可求得 sin2 的值 【解答】解：cos（） cos+sin 两边平方得：（1+2sincos） sin2 故答案为： 【点评】本题考查差角的余弦公式，考查二倍角的正弦公式，解题的关键是利用差角的 余弦公式展开，再两边平方 14 （5 分）一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 处；行驶 4h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 1
25、5处这时船与灯塔的距离为 30 km 【分析】根据题意画出相应的图形，求出B 与BAC 的度数，再由 AC 的长，利用正 弦定理即可求出 BC 的长 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，可得出B753045， 在ABC 中，根据正弦定理得：，即， BC30km， 则这时船与灯塔的距离为 30km 第 14 页（共 24 页） 故答案为：30 【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题 的关键 15 （5 分）已知圆 C 经过 A（5，1） ，B（1，3）两点，圆心在 x 轴上则 C 的方程为 （x 2）2+y210 【分析】根据题意可知线段 AB 为圆 C
26、 的一条弦，根据垂径定理得到 AB 的垂直平分线过 圆心 C，所以由 A 和 B 的坐标表示出直线 AB 的方程，然后根据两直线垂直时斜率乘积 为1 由直线 AB 的斜率求出 AB 垂直平分线的斜率，又根据中点坐标公式求出线段 AB 的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率写出 AB 的垂直平分线的方程，又因为圆心在 x 轴上，所以把求出 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点坐标即为圆心 C 的坐标，然后根据两 点间的距离公式求出线段 AC 的长度即为圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准 方程即可 【解答】解：由 A（5，1） ，B（1，3） ， 得到直线 AB 的方程为：y3（x1） ，即 x+
27、2y70， 则直线 AB 的斜率为，所以线段 AB 的垂直平分线的斜率为 2， 又设线段 AB 的中点为 D，则 D 的坐标为（，）即（3，2） ， 所以线段 AB 的垂直平分线的方程为：y22（x3）即 2xy40， 令 y0， 解得 x2， 所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点即圆心 C 的坐标为 （2， 0） ， 而圆的半径 r|AC|， 综上，圆 C 的方程为： （x2）2+y210 故答案为： （x2）2+y210 【点评】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的关系，灵活运用中点坐标公式及两 点间的距离公式化简求值，掌握垂径定理的灵活运用，会根据圆心和半径写出圆的标准 方程，
28、是一道中档题 第 15 页（共 24 页） 16 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60，点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，则的值为 【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可 【解答】解：AB2，BC1，ABC60， BG，CD211，BCD120， ， （+） （+）（+） （+） + 21cos60+21cos0+11cos60+11cos120 1+， 故答案为： 【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题 的关键 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演
29、算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题每个题为必考题每个 试题考生都必须作答，第试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）设正项等比数列an，a481，且 a2，a3的等差中项为 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnlog3a2n1，数列bn的前 n 项和为 Sn，数列cn满足，Tn为数 列cn的前 n 项和，求 Tn 【分析】 （1）利用已知条件列出方程，求出首项与公比，然后求解通项公式 （2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解
30、数列的和即可 【解答】解： （1）设等比数列an的公比为 q（q0） ， 第 16 页（共 24 页） 由题意，得 解得 所以 （2）由（1）得， ， ， 【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力 18 （12 分）目前，青蒿素作为一线抗疟药晶得到大力推广某农科所为了深入研究因素对青 蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了 100 株青蒿进行对比试验现在 从山上和山下的试验田中各随机选取了 4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单 位：克）如表所示： 编号位置 山上 5.0 3.8 3.6 3.6 山下 3.6 4.4 4.4 3.6 （1）根据样本
31、数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量； （2） 记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为， 根据样本数据， 试估计的大小关系（只需写出结论） ； （3）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取 1 株，记这 2 株的产量总和为 n，求 n8 的概率 【分析】 （1）由山下试验田 4 株青蒿样本青蒿素数据，求出样本平均数为 4，根据样 本数据能估计山下试验田青蒿素的总产量 （2）根据样本数据，估计的大小关系为 （3） 记 n8 为事件 A， 利用列举法能求出这 2 株的产量总和为 n， 则 n8 的概率 P （A） 第 17 页（共 24 页） 【解答】解： （1）由山下试验田 4 株青蒿样
32、本青蒿素数据，得样本平均数为： 4， 根据样本数据估计山下试验田青蒿素的总产量为： S100 400g （2）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为， 根据样本数据，估计的大小关系为 （3）记 n8 为事件 A， 列表： 5.0 3.8 3.6 3.6 3.6 8.6 7.4 7.2 7.2 4.4 9.4 8.2 8.0 8.0 4.4 9.4 8.2 8.0 8.0 3.6 8.6 7.4 7.2 7.2 由上表可以看出，这 2 株的产量总和的所有情况有 16 种， 其中 n8 的情况有 6 种， 这 2 株的产量总和为 n，则 n8 的概率 P（A） 【点评】本题考查平均数、方
33、差、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考 查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是梯形，ABDC，ABC90， ADSD，BCCD，侧面 SAD底面 ABCD （1）求证：平面 SBD平面 SAD； （2）若SDA120，且三棱锥 SBCD 的体积为，求侧面SAB 的面积 【分析】 （1）由梯形 ABCD，设 BCa，则 CDa，AB2a，运用勾股定理和余弦定理， 第 18 页（共 24 页） 可得 AD，由线面垂直的判定定理可得 BD平面 SAD，运用面面垂直的判定定理即可得 证； （2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积
34、公式，求得 BC1，运用勾股定理和 余弦定理，可得 SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值 【解答】 （1）证明：在梯形 ABCD 中，ABDC，ABC90，BCCD， 设 BCa，则 CDa，AB2a，在直角三角形 BCD 中，BCD90， 可得 BDa，CBD45，ABD45， 由余弦定理可得 ADa， 则 BDAD， 由面 SAD底面 ABCD可得 BD平面 SAD， 又 BD平面 SBD，可得平面 SBD平面 SAD； （2）解：SDA120，且三棱锥 SBCD 的体积为， 由 ADSDa， 在SAD 中，可得 SA2SDsin60a， SAD 的边 AD 上的高 SHSDs
35、in60a， 由 SH平面 BCD，可得 aa2， 解得 a1， 由 BD平面 SAD，可得 BDSD， SB2a， 又 AB2a， 在等腰三角形 SBA 中， 边 SA 上的高为a， 则SAB 的面积为SAaa 第 19 页（共 24 页） 【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积 公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）x3ax2，aR， （1）当 a2 时，求曲线 yf（x）在点（3，f（3） ）处的切线方程； （2）设函数 g（x）f（x）+（xa）cosxsinx，讨论 g（x）的单调性并判断有无极值
36、， 有极值时求出极值 【分析】 （1）根据导数的几何意义即可求出曲线 yf（x）在点（3，f（3） ）处的切线方 程， （2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值 【解答】解： （1）当 a2 时，f（x）x3x2， f（x）x22x， kf（3）963，f（3）2790， 曲线 yf（x）在点（3，f（3） ）处的切线方程 y3（x3） ，即 3xy90 （2）函数 g（x）f（x）+（xa）cosxsinxx3ax2+（xa）cosxsinx， g（x）（xa） （xsinx） ， 令 g（x）0，解得 xa，或 x0， 若 a0 时，当 x0 时，g（x）0 恒成立，故 g（x
37、）在（，0）上单调递增， 当 xa 时，g（x）0 恒成立，故 g（x）在（a，+）上单调递增， 当 0xa 时，g（x）0 恒成立，故 g（x）在（0，a）上单调递减， 当 xa 时，函数有极小值，极小值为 g（a）a3sina 当 x0 时，有极大值，极大值为 g（0）a， 若 a0 时，当 x0 时，g（x）0 恒成立，故 g（x）在（，0）上单调递增， 当 xa 时，g（x）0 恒成立，故 g（x）在（，a）上单调递增， 当 ax0 时，g（x）0 恒成立，故 g（x）在（a，0）上单调递减， 第 20 页（共 24 页） 当 xa 时，函数有极大值，极大值为 g（a）a3sina 当
38、 x0 时，有极小值，极小值为 g（0）a 当 a0 时，g（x）x（xsinx） ， 当 x0 时，g（x）0 恒成立，故 g（x）在（0，+）上单调递增， 当 x0 时，g（x）0 恒成立，故 g（x）在（，0）上单调递增， g（x）在 R 上单调递增，无极值 【点评】本题考查了导数的几何意义和导数和函数的单调性和极值的关系，关键是分类 讨论，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题 21 （12 分）已知圆 E：x2+（y）2经过椭圆 C：+1（ab0）的左右焦 点 F1，F2，且与椭圆 C 在第一象限的交点为 A，且 F1，E，A 三点共线，直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点，且（
39、0） （1）求椭圆 C 的方程； （2）当三角形 AMN 的面积取得最大值时，求直线 l 的方程 【分析】 （1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出 c，再由条件得 F1A 为圆 E 的直径求 出|AF1|3，根据勾股定理求出|AF2|，根据椭圆的定义和 a2b2+c2依次求出 a 和 b 的值， 代入椭圆方程即可； （2）由（1）求出 A 的坐标，根据向量共线的条件求出直线 OA 的斜率，设直线 l 的方程 和 M、N 的坐标，联立直线和椭圆方程消去 y，利用韦达定理和弦长公式求出|MN|，由点 到直线的距离公式求出点 A 到直线 l 的距离，代入三角形的面积公式求出AMN 的面积 S 的表达
40、式，化简后利用基本不等式求出面积的最大值以及对应的 m，代入直线 l 的方程 即可 【解答】解： （1）如图圆 E 经过椭圆 C 的左右焦点 F1，F2， 第 21 页（共 24 页） c2+（0）2，解得 c，（2 分） F1，E，A 三点共线，F1A 为圆 E 的直径，则|AF1|3， AF2F1F2，981， 2a|AF1|+|AF2|3+14，a2 由 a2b2+c2得，b，（4 分） 椭圆 C 的方程是；（5 分） （2）由（1）得点 A 的坐标（，1） ， （0） ，直线 l 的斜率为 kOA，（6 分） 则设直线 l 的方程为 yx+m，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2）
41、， 由得， x1+x2，x1x2m22， 且2m24m2+80，解得2m2，（8 分） |MN|x2x1| ， 点 A 到直线 l 的距离 d， AMN 的面积 S ，（10 分） 当且仅当 4m2m2，即 m，直线 l 的方程为（12 分） 第 22 页（共 24 页） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，韦达定理和弦长公式，向量共线条件，以及直线、 圆与椭圆的位置关系等，考查的知识多，综合性强，考查化简计算能力，属于中档题 （二（二）选考题：共）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分题计分
42、选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：1，曲线 C2：（ 为参数） ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求 C1，C2的极坐标方程； （2）射线 l 的极坐标方程为 （0） ，若 l 分别与 C1，C2交于异于极点的 A，B 两 点，求的最大值 【分析】 （1）曲线 C1：1，即 x2+4y24，由 xcos，ysin，能求出 C1 的极坐标方程；曲线 C2的参数方程消去参数，得到 C2的普通方程，再由 xcos，y sin，能求出 C2的极坐标方程 （2）由，得|OA|2，由，得|OB|2 1
43、6cos2，由此能求出的最大值 【解答】解： （1）曲线 C1：1，即 x2+4y24， xcos，ysin， C1的极坐标方程为 2（3sin2+1）4， 曲线 C2：（ 为参数） ， C2的普通方程为（x2）2+y24， xcos，ysin， C2的极坐标方程为 4cos 第 23 页（共 24 页） （2）射线 l 的极坐标方程为 （0） ， l 分别与 C1，C2交于异于极点的 A，B 两点， ，|OA|2， ，|OB|216cos2， 4cos2（3sin2+1） （44sin2） （3sin2+1） ， 令 tsin2，则（44t） （3t+1）12t2+8t+4， t，即 sin
44、时，取最大值 【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，考查直 角坐标方程、极坐标方程、普通方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数 与方程思想，是中档题 选选修修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1|x2|，不等式 f（x）2 的解集为 M （1）求 M； （2） 记集合 M 的最大元素为 m， 若 a， b， c 都是正实数， 且 求证： a+2b+3c 9 【分析】 （1）绝对值不等式求解，分类讨论思想； （2）求出 m，利用柯西不等式求解 【解答】解： （1）f（x）|2x+1|x2|2， 当 x时，解得5x， 当x2 时，解得x1， 当 x2 时，不等式无解， 故不等式 f（x）2 解得 x5，1， 集合 M5，1， （2）证明：m1，所以1 第 24 页（共 24 页） 由柯西不等式 3， 故 a+2b+3c9，当且仅当 a2b3c，即 a3，b，c1 时取等号 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，中档题