1、如图是 2019 年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同 期变化幅度的数据统计图，给出下列 4 个结论： 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高； 深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降； 平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州； 平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 5 （5 分）若，则 tan2（ ） 第 2 页（共 25 页） A B C D 6 （5 分）函数在6，6的图象大致为（ ） A B C D 7 （5 分）要得到函数 ycos（2x）的图象，只需将函数 ysin2x
2、 的图象（ ） A向左平移个单位 B向左平移个单位 C向右平移个单位 D向右平移个单位 8 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 BB1的中点，用过点 A、E、C1的平 面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ） 第 3 页（共 25 页） A B C D 9 （5 分）已知等比数列an满足 a1，a3a54（a41） ，则 a2（ ） A2 B1 C D 10 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足：yf（x1）的图象关于直线 x1 对称； 对任意的 x1，x2（， 0，当 x1x2时， 不等式成立令 a， blog43，clog85，
3、则下列不等式成立的是（ ） Af（b）f（c）f（a） Bf（c）f（a）f（b） Cf（b）f（a）f（c） Df（c）f（b）f（a） 11 （5 分）已知 A（3，2） ，若点 P 是抛物线 y28x 上任意一点，点 Q 是圆（x2）2+y2 1 上任意一点，则|PA|+|PQ|的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 12 （5 分）设函数 f（x）是定义在（0，）上的函数，f（x）是函数 f（x）的导函数， 若 f（x）tanxf（x） ，f（）1， （e 为自然对数的底数） ，则不等式 f（x）2sinx 的解集是（ ） A （0，） B （0，） C （） D （） 二、填空题二
4、、填空题：本大题共：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 f（x）aex+b（a，bR）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y2x+1， 则 ab 14 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件，则的最大值是 15 （5 分）设直线 yx+2a 与圆 C：x2+y22ay20 相交于 A，B 两点，若|AB|2， 第 4 页（共 25 页） 则圆 C 的面积为 16 （5 分）设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an+12SnSn+1，则 Sn 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出必要的解答应写出必要的文字说明
5、、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且sinA+cosA0，a ，b （1）求 C； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积 18 （12 分）自由购是一种通过自助结算购物的形式某大型超市为调查顾客自由购的使用 情况，随机抽取了 100 人，调查结果整理如下： 20 以下 20，30） 30，40） 40，50） 50，60） 60，70 70 以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 （）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄
6、在30，50）且未使用自由购的概率； （）从被抽取的年龄在50，70使用的自由购顾客中，随机抽取 2 人进一步了解情况， 求这 2 人年龄都在50，60）的概率； （）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送 1 个环保购物袋若某 日该超市预计有 5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？ 19 （12 分）如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC2，E 为 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点， 将ABE 沿 BE 翻折到图 2 中A1BE 的位置得到四棱锥 A1BCDE （1）求证：CDA1C； （2）若 A1C，BE2，求点 C 到平面 A
7、1ED 的距离 20 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax2+bx，且 f（1）0 （1）试用含 a 的代数式表示 b； （2）求 f（x）的单调区间； 第 5 页（共 25 页） （3）令 a1，设函数 f（x）在 x1、x2（x1x2）处取得极值，记点 M（x1，f（x1） ） ， N（x2，f（x2） ） 证明：线段 MN 与曲线 f（x）存在异于 M，N 的公共点 21 （12 分）已知点 A（0，2） ，动点 M 到点 A 的距离比动点 M 到直线 y1 的距离大 1， 动点 M 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）Q 为直线 y1 上的动点，过 Q 做曲线 C
8、的切线，切点分别为 D、E，求QDE 的面积 S 的最小值 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清 题号题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为（ 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2cos （）求 C1、C2交点的直角坐标； （）设点 A 的极坐标为，点 B 是曲线 C2上的点，求AOB 面积的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式
9、选讲 23已知函数的定义域为 R （1）求实数 m 的取值范围； （2）若 m 的最大值为 n，当正数 a，b 满足时，求 7a+4b 的最小值 第 6 页（共 25 页） 2019-2020 学年广西南宁二中、柳州高中高三（上）第一次联考学年广西南宁二中、柳州高中高三（上）第一次联考 数学试卷（文科） （数学试卷（文科） （10 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1
10、 （5 分）已知集合 A1，0，1，By|y2x1，xA，则 AB（ ） A1，0，1 B1，1 C0 D 【分析】可求出集合 B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：B1，1，3； AB1，1 故选：B 【点评】考查列举法、描述法的定义，元素与集合的关系，以及交集的运算 2 （5 分）已知复数 z（1+2i） （1i） ，则其共轭复数 对应的点在复平面上位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z（1+2i） （1i）1i+2i+23+i， ， 则 对应的点的坐标为（3，1） ，在复平面上位于第四象限 故选：D
11、【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分）已知向量 （k，3） ， （1，4） ， （2，1）且（2 3 ） ，则实数 k （ ） A B0 C3 D 【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的 垂直关系，写出两个向量的数量积等于 0，得到关于 k 的方程，解方程即可 【解答】解： （k，3） ， （1，4） ， （2，1） 第 7 页（共 25 页） 2 3 （2k3，6） ， （2 3 ） ， （2 3 ） 0 2（2k3）+1（6）0， 解得，k3 故选：C 【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是
12、一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形 式，注意数字的运算不要出错 4 （5 分）如图是 2019 年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同 期变化幅度的数据统计图，给出下列 4 个结论： 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高； 深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降； 平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州； 平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据直方图及其数据分析，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案 【解答】解：由图可知深圳对应的小黑点最接近 0%，故变化幅度最小，
13、北京对应的条形 图最高，则北京的平均价格最高，故正确； 由图可知深圳和厦门对应的小黑点在 0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下 降，故正确； 第 8 页（共 25 页） 由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故正确； 由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故错误 所以正确的有：3 个 故选：C 【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了直方图和数据分析，难度不大，属于中 档题 5 （5 分）若，则 tan2（ ） A B C D 【分析】将已知等式左边的分子分母同时除以 cos，利用同角三角函数间的基本关系弦 化切得到关于 tan 的方程， 求出方程
14、的解得到 tan 的值， 然后将所求的式子利用二倍角 的正切函数公式化简后，将 tan 的值代入即可求出值 【解答】解：， tan3， 则 tan2 故选：B 【点评】此题考查了二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌 握公式及基本关系是解本题的关键 6 （5 分）函数在6，6的图象大致为（ ） A B 第 9 页（共 25 页） C D 【分析】由函数解析式确定函数图象，一般从特殊点，单调性，奇偶性，趋近性等角度， 运用排除法求解 【解答】解：函数的定义域为6，6， 函数 f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，由此可排除 D 答案； 当 x（0，6时，f（x）0，由此可排除
15、 A 答案； 当 x3 时，由此可排除 B 答案，故选项 C 正确 故选：A 【点评】本题考查函数图象的识别与判断，考查了识图能力与运算求解能力，难度一般 7 （5 分）要得到函数 ycos（2x）的图象，只需将函数 ysin2x 的图象（ ） A向左平移个单位 B向左平移个单位 C向右平移个单位 D向右平移个单位 【分析】先根据诱导公式将函数化简，再根据左加右减的原则进行平移从而可得到答案 【解答】解：ycos（2x）cos（2x）sin（2x+）sin2（x+）， 将函数 ysin2x 的图象向左平移个单位即可得到函数 ycos（2x）的图象 故选：B 【点评】本题主要考查诱导公式的应用和
16、三角函数的平移，三角函数平移时一定要遵循 左加右减上加下减的原则 8 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 BB1的中点，用过点 A、E、C1的平 第 10 页（共 25 页） 面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ） A B C D 【分析】根据剩余几何体的直观图，结合三视图的定义即可得到主视图 【解答】解：正方体 ABCDA1B1C1D1中， 过点 A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后， 剩余部分的直观图如图： 则该几何体的正视图为图中粗线部分 故选：A 【点评】本题主要考查了空间三视图与直观图的应用问题，是基础题 9 （5 分）已
17、知等比数列an满足 a1，a3a54（a41） ，则 a2（ ） A2 B1 C D 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】解：设等比数列an的公比为 q， 第 11 页（共 25 页） ，a3a54（a41） ， 4， 化为 q38，解得 q2 则 a2 故选：C 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题 10 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足：yf（x1）的图象关于直线 x1 对称； 对任意的 x1，x2（， 0，当 x1x2时， 不等式成立令 a， blog43，clog85，则下列不等式成立的是（ ） Af（b）f（c）f（a） Bf（c）f（a）f（b）
18、 Cf（b）f（a）f（c） Df（c）f（b）f（a） 【分析】根据题意，分析可得 f（x）的图象关于 y 轴对称，结合函数的单调性定义分析 可得函数 f（x）在（，0上为增函数；结合函数的奇偶性可得 f（x）在区间0，+） 上为减函数，由对数的运算性质可得 0log2log85log43log21，据此 分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数 yf（x1）的图象关于直线 x1 对称，则 f（x）的图象 关于 y 轴对称，即函数 f（x）为偶函数， 又由对任意的 x1，x2（，0，当 x1x2时，不等式成立，则函 数 f（x）在（，0上为增函数； 又由 f（x）为偶函数，则 f（x）在区间
19、0，+）上为减函数， a1，blog43log2，clog85log2，则有 0log2log85log43 log21， 故有 f（c）f（b）f（a） ， 故选：D 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的奇偶性与单调性， 属于基础题 第 12 页（共 25 页） 11 （5 分）已知 A（3，2） ，若点 P 是抛物线 y28x 上任意一点，点 Q 是圆（x2）2+y2 1 上任意一点，则|PA|+|PQ|的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】求得抛物线的准线方程和焦点坐标，过点 P 作 PB 垂直准线 l，垂足为 B，由抛 物线的定义和当 A、P、B
20、三点共线时|PA|+|PQ|取最小值，结合图象即可求出 【解答】解：抛物线 y28x 的焦点 F（2，0） ，准线 l：x2， 圆（x2）2+y21 的圆心为 F（2，0） ，半径 r1， 过点 P 作 PB 垂直准线 l，垂足为 B， 由抛物线的定义可知|PB|PF|， 则|PA|+|PQ|PA|+|PF|r|PA|+|PB|1， 当 A、P、B 三点共线时|PA|+|PB|取最小值， |PA|+|PQ|PA|+|PB|1（3+2）14 即有|PA|+|PQ|取得最小值 4 故选：B 【点评】本题考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，注意运用抛物线的 定义和圆的性质，考查转化能力，
21、计算能力，属于中档题 12 （5 分）设函数 f（x）是定义在（0，）上的函数，f（x）是函数 f（x）的导函数， 若 f（x）tanxf（x） ，f（）1， （e 为自然对数的底数） ，则不等式 f（x）2sinx 的解集是（ ） A （0，） B （0，） C （） D （） 第 13 页（共 25 页） 【分析】令 g（x），x（0，） ，求出函数的导数，根据函数的单调性求出 x 的范围即可 【解答】解：令 g（x），x（0，） ， 则 g（x）0， 故 g（x）在（0，）递增， 而 g（）2， 故 f（x）2sinx，即 g（x）g（） ， 故 0x， 故选：A 【点评】本题考查了函数
22、的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 f（x）aex+b（a，bR）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y2x+1， 则 ab 3 【分析】由 f（x）aex+b，得 f（x） ，因为函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程是 y2x+1，故（0，f（0） ）适合方程 y2x+1，且 f（0）2；联立可得结果 【解答】解：由 f（x）aex+b，得 f（x）aex， 因为函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程是 y2x+1， 所以解得 a2，
23、b1 ab3 故答案为：3 【点评】本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系， 属于中档题 14 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件，则的最大值是 1 第 14 页（共 25 页） 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识求出 z的最小值 【解答】解：由 z的几何意义可知可行域内的点与坐标原点连线的斜率， 作出实数 x，y 满足约束条件可行域如图： z经过点 A 时， 直线的斜率最大， 由，解得 A（2，2） 此时 z的最大值为：1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 15 （5 分）设直线 y
24、x+2a 与圆 C：x2+y22ay20 相交于 A，B 两点，若|AB|2， 则圆 C 的面积为 4 【分析】圆 C：x2+y22ay20 的圆心坐标为（0，a） ，半径为，利用圆的弦长 公式，求出 a 值，进而求出圆半径，可得圆的面积 【解答】解：圆 C：x2+y22ay20 的圆心坐标为（0，a） ，半径为， 直线 yx+2a 与圆 C：x2+y22ay20 相交于 A，B 两点，且|AB|2， 圆心（0，a）到直线 yx+2a 的距离 d， 即+3a2+2， 第 15 页（共 25 页） 解得：a22， 故圆的半径 r2 故圆的面积 S4， 故答案为：4 【点评】本题考查的知识点是直线
25、与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档 16 （5 分）设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an+12SnSn+1，则 Sn 【分析】 直接利用数列的递推关系式的应用求出数列是以为首项， 2 为公差的等差数列，进一步求出结果 【解答】解：Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an+12SnSn+1， 所以当 n2 时，Sn+1Sn2SnSn+1，整理得（常数） ， 即（常数） ， 故数列是以为首项，2 为公差的等差数列 所以， 整理得（首项符合通项） 故 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等差数列的定义的应用，主 要考查学生的运算能力和转换能力
26、及思维能力，属于基础题型 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且sinA+cosA0，a ，b （1）求 C； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积 【分析】 （1）由已知可得 2sin（A+）0，结合 A 的范围可求 A 的值，由余弦定理可 得 c2+3c40，解得 c 的值，由正弦定理可得 sinC 的值，即可得解 （2）利用同角三角函数基本关系式可求 tanC 的值，进而可求 AD 的值，利
27、用三角形的面 第 16 页（共 25 页） 积公式即可即可计算得解 【解答】解： （1）sinA+cosA0，a，b 2sin（A+）0， A（0，） ，A+（，） ， A+，可得 A， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，可得 73+c22（） ，可得 c2+3c 40， 解得 c1（负值舍去） ， 由正弦定理，可得 sinC， Carcsin （2）sinC，cosC，tanC， AD， SABDABADsinBAD 【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面 积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题 18 （12 分）
28、自由购是一种通过自助结算购物的形式某大型超市为调查顾客自由购的使用 情况，随机抽取了 100 人，调查结果整理如下： 20 以下 20，30） 30，40） 40，50） 50，60） 60，70 70 以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 第 17 页（共 25 页） 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 （）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在30，50）且未使用自由购的概率； （）从被抽取的年龄在50，70使用的自由购顾客中，随机抽取 2 人进一步了解情况， 求这 2 人年龄都在50，60）的概率； （）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送 1 个环保
29、购物袋若某 日该超市预计有 5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？ 【分析】 （）随机抽取的 100 名顾客中，年龄在30，50）且未使用自由购的有 3+14 17 人，由概率公式即可得到所求值； （）设事件 A 为“这 2 人年龄都在50，60） ” ，由列举法可得基本事件的总数为 15，事 件 A 包含的个数为 6，计算可得所求值； （）随机抽取的 100 名顾客中，使用自由购的有 44 人，计算可得所求值 【解答】解： （）随机抽取的 100 名顾客中， 年龄在30，50）且未使用自由购的有 3+1417 人， 所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在30，50）且未参
30、加自由购的概率估计为 （）设事件 A 为“这 2 人年龄都在50，60） ” 被抽取的年龄在50，60）的 4 人分别记为 a1，a2，a3，a4， 被抽取的年龄在60，70的 2 人分别记为 b1，b2， 从被抽取的年龄在50，70的自由购顾客中随机抽取 2 人 共包含 15 个基本事件， 分别为 a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a1b2，a2a3，a2a4，a2b1，a2b2，a3a4， a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，b1b2， 事件 A 包含 6 个基本事件， 分别为 a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4， 则； （）随机抽取的 100 名顾客中，
31、使用自由购的有 3+12+17+6+4+244 人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 【点评】本题考查古典概率的求法，注意运用列举法和分类讨论思想，考查运算能力， 属于中档题 第 18 页（共 25 页） 19 （12 分）如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC2，E 为 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点， 将ABE 沿 BE 翻折到图 2 中A1BE 的位置得到四棱锥 A1BCDE （1）求证：CDA1C； （2）若 A1C，BE2，求点 C 到平面 A1ED 的距离 【分析】本题第（1）题先证明四边形 ABCE 是平行四边形然后得到ABCE 是菱形则
32、 BEAC所以 BE平面 OA1C根据四边形 EBCD 是平行四边形，可得到 BECD，所 以 CD平面 OA1C则有 CDA1C第（2）题先证明 OA1平面 BCDE则可以建立 分别以 OB，OC，OA1所在的方向为 x，y，z 轴的空间直角坐标系，则可以法向量的方法 来求点到面的距离 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 CE， AEBC，AEBC， 四边形 ABCE 是平行四边形 ABCE，ABCE ABBCAECE2， ABCE 是菱形 BEAC 在图 2 中，BEOA1，BEOC BE平面 OA1C 由题意，可知 AEED2，故 EDBC 又EDBC，EDBC 四边形 EBCD 是平
33、行四边形 BECD， CD平面 OA1C CDA1C 第 19 页（共 25 页） （2）解：由题意，在 RtOAE 中，AE2，OE，则 OA1 故 OCOA1 在OA1C 中，OCOA11A1C， 则 OC2+OA12A1C2， OA1C 是等腰直角三角形 OA1OC， BE平面 OA1C OA1BE， OA1平面 BCDE 如图 2，建立分别以 OB，OC，OA1所在的方向为 x，y，z 轴的空间直角坐标系，则 A1（0，0，1） ，E（，0，0） ，D（2，1，0） ，C（0，1，0） 设平面 A1ED 的法向量 （1，x，y） ， （，0，1） ，（2，1，1） ， ，即，解得 （1
34、，） （0，1，1） 点 C 到平面 A1ED 的距离 d 第 20 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查几何证明和空间立体图形中点到面的距离，考查了逻辑思维能力， 法向量法求点到面的距离本题属中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax2+bx，且 f（1）0 （1）试用含 a 的代数式表示 b； （2）求 f（x）的单调区间； （3）令 a1，设函数 f（x）在 x1、x2（x1x2）处取得极值，记点 M（x1，f（x1） ） ， N（x2，f（x2） ） 证明：线段 MN 与曲线 f（x）存在异于 M，N 的公共点 【分析】 （1）据求导法则求出导函数，代入已知条件得关系
35、（2）令导数为 0 得两个根，分类讨论两个根大小判断根左右两边导数的符号，得函数单 调性 （3）由（2）求出极值点，由两点式求出直线方程，与曲线方程联立判断有无其他公共 点 【解答】解：解法一： （1）依题意，得 f（x）x2+2ax+b 由 f（1）12a+b0 得 b2a1 （2）由（1）得 f（x）x3+ax2+（2a1）x，故 f（x）x2+2ax+2a1（x+1） （x+2a 1） 令 f（x）0，则 x1 或 x12a 当 a1 时，12a1 当 x 变化时，f（x）与 f（x）的变化情况如下表： x （，1 2a） （12a，1） （1，+） f（x） + + f（x） 单调递增
36、 单调递减 单调递增 第 21 页（共 25 页） 由此得，函数 f（x）的单调增区间为（，12a）和（1，+） ，单调减区间为（1 2a，1） 当 a1 时，12a1此时，f（x）0 恒成立，且仅在 x1 处 f（x）0， 故函数 f（x）的单调增区间为 R 当 a1 时，12a1，同理可得函数 f（x）的单调增区间为（，1）和（1 2a，+） ，单调减区间为（1，12a） 综上所述：当 a1 时，函数 f（x）的单调增区间为（，12a）和（1，+） ，单 调减区间为（12a，1） ； 当 a1 时，函数 f（x）的单调增区间为 R； 当 a1 时，函数 f（x）的单调增区间为（，1）和（1
37、2a，+） ，单调减区间为 （1，12a） （3）当 a1 时，得 f（x）x3x23x 由 f（x）x22x30，得 x11，x23 由（2）得 f（x）的单调增区间为（，1）和（3，+） ，单调减区间为（1，3） ， 所以函数 f（x）在 x11，x23 处取得极值故 M（1，） ，N（3，9） 所以直线 MN 的方程为 yx1 由得 x33x2x+30 令 F（x）x33x2x+3 易得 F（0）30，F（2）30，而 F（x）的图象在（0，2）内是一条连续不断 的曲线， 故 F（x）在（0，2）内存在零点 x0，这表明线段 MN 与曲线 f（x）有异于 M，N 的公共 点 解法二： （
38、1）同解法一 （2）同解法一 （3）当 a1 时，得 f（x）x3x23x 由 f（x）x22x30，得 x11，x23 由（2）得 f（x）的单调增区间为（，1）和（3，+） ，单调减区间为（1，3） ， 第 22 页（共 25 页） 所以函数 f（x）在 x11，x23 处取得极值， 故 M（1，） ，N（3，9） 所以直线 MN 的方程为 yx1 由 x33x2x+30 解得 x11，x21，x33 ， 所以线段 MN 与曲线 F（x）有异于 M，N 的公共点（1，） 【点评】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力， 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转
39、化思想、分类与整合思想 21 （12 分）已知点 A（0，2） ，动点 M 到点 A 的距离比动点 M 到直线 y1 的距离大 1， 动点 M 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）Q 为直线 y1 上的动点，过 Q 做曲线 C 的切线，切点分别为 D、E，求QDE 的面积 S 的最小值 【分析】 （1）设动点 M（x，y） ，由题意得，动点 M 到点 A 的距离与动点 M 到直线 y 2 的距离相等，可知动点 M 的轨迹为抛物线，由抛物线定义可得曲线 C 的方程； （2）设 Q（m，1） ，切线方程为 y+1k（xm） ，与抛物线方程联立化为 x28kx+8 （km+1）0，由
40、于直线与抛物线相切可得0，即 2k2km10解得 x4k可得 切点（4k，2k2） ，由 2k2km10可得 k1+k2，k1k2由两直线的夹角公 式求得DQE 的正弦值，由 S|QD|QE|sinDQE令切点（4k，2k2）到 Q 的距离 为d ， 则d2 （ 8+m2）（ k2+1 ）， 得 到 |QD| ， |QE| ，代入三角形面积公式，整理可得QDE 的面积 S 的最小值 【解答】解： （1）设动点 M（x，y） ， 由题意得，动点 M 到点 A 的距离与动点 M 到直线 y2 的距离相等， 动点 M 的轨迹为抛物线，且焦点为 A，准线为 y2， 曲线 C 的方程为：x28y； 第
41、23 页（共 25 页） （2）设 Q（m，1） ，设切线的斜率为 k， 则切线方程为：y+1k（xm） ，代入抛物线整理：x28kx+8km+80， 由0 得：64k232（km+1） ， km2k21， x28kx+16k20，解得：x4k， 切点坐标为（4k，2k2） ， 由 2k2km10，得 k1+k2，k1k2， 设直线 QD 与 QE 的夹角为 ，则 tan|， 则 sin2QDE1cos2QDE 令切点（4k，2k2）到 Q 的距离为 d， 则 d2（4km）2+（2k2+1）216k28km+m2+（km+2）216k28km+m2+k2m2+4km+4 （8+m2） （k2
42、+1） ， |QD|，|QE|， S（8+m2） （8+m2） 4， 当 m0，即 Q（0，1）时，QDE 的面积 S 取得最小值 4 【点评】本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程与两直线的夹角公式，考查两 点之间的距离公式、三角形的面积计算公式及二次函数的性质，考查了推理能力与计算 能力，属于难题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清 第 24 页（共 25 页） 题号题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy
43、中，曲线 C1的方程为（ 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2cos （）求 C1、C2交点的直角坐标； （）设点 A 的极坐标为，点 B 是曲线 C2上的点，求AOB 面积的最大值 【分析】 （）先求出曲线 C1、C2的直角坐标方程，联立方程组，能求出 C1、C2交点的 直角坐标 （ ） 设B （ ， ） ， 则 2cos 则 AOB的 面 积 ，由此能求出AOB 面积的最大值 【解答】 （本小题满分 10 分） 解： （）曲线 C1的方程为（ 为参数） ， 曲线 C2的极坐标方程为 2cos22cos， C2：x2+y22x 联立方程组得，解得， 所求交点的坐标为，（5 分） （）设 B（，） ，则 2cos AOB的面积 ， 当时，AOB 面积的最大值（10 分） 【点评】本题考查两个曲线的交点的直角坐标的求法，考查三角形面积的最大值的求法， 考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是 中档题 第 25 页（共 25 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数的定义域为 R （1）求实数 m 的取值范围； （2）若 m 的最大值为 n，当正数 a，b 满足时，求 7a+4b 的最小值 【分析】 （1）因为函数的定义域为 R，所以|x+1|+|x3|m0 恒成立，