1、已知，则 f（1+log35）（ ） A15 B C5 D 5 （5 分）已知等比数列an满足 a1a134a7，数列bn是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 a7b7，则 S13（ ） A52 B26 C78 D104 6 （5 分）若向量（3，1） ， （2，1） ，且 7，则等于（ ） A0 B2 C2 D2 或 2 7 （5 分）阅读如图所示的程序框图，若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等，则满足条件的 x 有（ ） 第 2 页（共 22 页） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的部分图象如图所示， 则下列说
2、法错误的是（ ） A B Cf（x）的单调减区间为（2k，2k+） ，kZ Df（x）的对称中心是（k+，0） ，kZ 9 （5 分）已知命题 p：xR，2x3x；命题 q：xR，x31x2，则下列命题中为真命题 的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2ccosB2a+b，若ABC 的面积为 Sc，则 ab 的最小值为（ ） 第 3 页（共 22 页） A B C D3 11 （5 分）已知点 F2，P 分别为双曲线的右焦点与右支上的一 点，O 为坐标原点，若点 M 是 PF2的中点，|，且，则该 双曲线的离心率
3、为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数，若 x2 是函数（x）的唯一的极值点，则实 数 k 的取值范围是（ ） A B C D （，e2） 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足，则 zx4y 最小值为 14 （5 分）设曲线 yax2在点（1，a）处的切线与直线 x+2y60 垂直，则 a 15 （5 分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下： 甲说： “罪犯在乙、丙、丁三人之中” ；乙说： “我没有作案，是丙偷的” ；丙说： “甲、乙 两人中有一人是小
4、偷” ；丁说： “乙说的是事实” ，经过调查核实，四人中有两人说的是真 话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 16 （5 分）已知直线 yk（x4）与圆 O：x2+y236 交于 M、N 两点，则线段 MN 的中点 G 的轨迹方程为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答第个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （1
5、2 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且，S315 （1）求数列an的通项公式； （2）记，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语 3 门 统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成该省教育厅为了解 第 4 页（共 22 页） 正就读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了 100 名城乡家 长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有 25 人持不赞成意见如图是根据样本的调 查结果绘制的等高条形图 （1）根据已知条件与等高条形图完成下面的 22 列联表，并判断我们能否有 95%
6、的把 握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？ 赞成 不赞成 合计 城镇居民 农村居民 合计 （2）利用分层抽样从持“不赞成”意见家长中抽取 5 名参加学校交流活动，从中选派 2 名家长发言，求恰好有 1 名城镇居民的概率 附：K2，na+b+c+d P（K2k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19（12 分） 已知正方形 ABCD 的边长为 2， 分别以 AB， BC 为一边在空间中作正三角形 PAB， PBC，延长 CD 到点 E，使 CE2CD，连接 AE，PE （1）证明：AE平面 P
7、AC； （2）求点 B 到平面 PAE 的距离 20 （12 分）已知的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，线 段 AB 的中点为 M，设直线 l 与直线 OM 的斜率分别为 k1，k2 第 5 页（共 22 页） （1）求 k1k2的值； （2）设直线 l 交直线 x4 于点 Q，证明|AF|BQ|BF|AQ| 21 （12 分）已知函数 （1）当 0m2 时，证明：f（x）只有 1 个零点； （2）证明：曲线 f（x）没有经过原点的切线 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题
8、作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C1的极坐标方程为，以极点为原点 O，极轴为 x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系 xOy 中，曲线 C2的 参数方程为：（ 为参数） （1）求曲线 C1的直角坐标方程与曲线 C2的普通方程； （2）将曲线 C2经过伸缩变换后得到曲线 C3，若 M，N 分别是曲线 C1和曲 线 C3上的动点，求|MN|的最小值 不等式选讲不等式选讲 23已知正数 a，b 满足 （1）证明：； （2）若存在实数 x，使得，求 a，b 第 6 页（共 22 页） 2019-202
9、0 学年广西桂林十八中高三（上）第二次月考数学试卷学年广西桂林十八中高三（上）第二次月考数学试卷 （文科）（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只只有一项是有一项是 符合题目要求的。符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 Mx|x240，Nx|12x8，xZ，则 NM（ ） A0，2） B0，1 C0，1，2 D0，1，3 【分析】先分别求出集合 M，N，由此能求出 NM 【解答】解：集合 Mx|x240x|2x2， Nx|12x8，x
10、Z0，1，2，3， NM0，1 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运 用 2 （5 分）已知复数 z，则|z|为（ ） A B C D 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案 【解答】解：z， 则|z| 故选：B 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 3 （5 分）已知，则（ ） A B C D 【分析】由已知利用诱导公式可求 cos（），进而根据二倍角的余弦函数公式 化简所求即可求值得解 第 7 页（共 22 页） 【解答】解：，即， sin（+）cos（+）cos（）， cos
11、2（）2cos2（）12（）21 故选：C 【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应 用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 4 （5 分）已知，则 f（1+log35）（ ） A15 B C5 D 【分析】判断1+log35 的范围，利用分段函数化简求解即可 【解答】解：1+log35（0，1） ， f（1+log35）f（1+log35+1）f（log35）5， 故选：C 【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，注意对数式的范围，是解题的关键 5 （5 分）已知等比数列an满足 a1a134a7，数列bn是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 a
12、7b7，则 S13（ ） A52 B26 C78 D104 【分析】利用等比数列的性质求出 a74，从而 b7a74，再由等差数列的求和公式及 其中项性质可得 S1313b7，能求出结果 【解答】解：等比数列an满足 a1a134a7，可得 a724a7， 解得 a74， 数列bn是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 a7b74， 则 S13（b1+b13）1313b713452 故选：A 【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，以及等比数列的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 6 （5 分）若向量（3，1） ， （2，1） ，且 7，则等于（ ） 第 8 页（共 22 页） A
13、0 B2 C2 D2 或 2 【分析】把 化为 （ + ） ，求出 的值代入可得 的值 【解答】解：+， （ + ）7， + 7 7 7（2，1） （3，1）2 故选：B 【点评】本题考查两个向量的数量积的运算，关键在于等价转化 7 （5 分）阅读如图所示的程序框图，若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等，则满足条件的 x 有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】程序的功能是求分段函数 y的值，分段求得满足 yx 的 x 值，可得答案 【解答】解：由程序框图知：程序的功能是求分段函数 y的值， 若 x2，由 x2x 得 x0 或 1； 第 9 页（共 22 页） 若 2x5
14、，由 2x3x 得 x3； 若 x5，由x 得 x1（舍去） 综上 x 的值有 0，1，3，共计 3 个 故选：C 【点评】本题考查了选择结构的程序框图，根据框图流程判断算法的功能是关键，属于 基础题 8 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的部分图象如图所示， 则下列说法错误的是（ ） A B Cf（x）的单调减区间为（2k，2k+） ，kZ Df（x）的对称中心是（k+，0） ，kZ 【分析】 由题意和图象求出函数的周期， 由周期公式求出 的值， 可判断出 A； 把点 （， 0）代入解析式化简后，由题意求出 的值判断出 B；由整体思想和正弦函数的单调性求 出递减区
15、间，判断出 C；由整体思想和正弦函数的对称中心求出 f（x）的对称中心，判 断出 D 【解答】解：由图象得，A1，T1，则 T2， 由 得，则 A 正确； 因为过点（，0） ，所以 sin（+）0， 则+k（kZ） ，+k（kZ） ， 又|，则 或，所以 f（x）sin（x）或 f（x）sin（x+） ， 则 B 错误； 第 10 页（共 22 页） 当 f（x）sin（x+）时， 由得， 所以函数的递减区间是（2k，2k+） ，kZ，则 C 正确； 当 f（x）sin（x）时，由 xk（kZ）得，xk+（kZ） ， 所以 f（x）的对称中心是（k+，0） ，kZ，则 D 正确； 故选：B 【
16、点评】本题考查由图象求形如 yAsin（x+）的解析式，正弦函数的单调性、对称 中心，以及整体思想，属于中档题 9 （5 分）已知命题 p：xR，2x3x；命题 q：xR，x31x2，则下列命题中为真命题 的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 【分析】 根据指数函数的单调性判断命题 p 的真假； 利用函数的零点判定定理判断命题 q 的真假，再由复合命题真值表依次判断可得答案 【解答】解：当 x0 时，2x3x，命题 p 为假命题； f（x）x3+x21，图象连续且 f（0） f（1）0， 函数 f（x）存在零点，即方程 x31x2有解， 命题 q 为真命题， 由复合命题真值表得：pq 为
17、假命题；pq 为假命题； （p）q 为真命题；p q 为假命题 选故 C 【点评】本题考查了简单命题的真假判定，复合命题的真假判定规律，熟练掌握复合命 题真值表是解答本题的关键 10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2ccosB2a+b，若ABC 的面积为 Sc，则 ab 的最小值为（ ） A B C D3 【分析】由正弦定理将 2ccosB2a+b，转化成 2sinCcosB2sin A+sinB，由三角形内角 和定理，将 sin Asin（B+C） ，利用两角和的正弦公式展开，化简求得， 第 11 页（共 22 页） sinC 的值，由余弦定理、三角形
18、的面积公式及基本不等式关系，求得 ab 的最小值 【解答】解：由正弦定理，有2R，又 2ccosB2a+b，得 2sinCcosB2sin A+sinB， 由 A+B+C，得 sin Asin（B+C） ， 则 2sinCcosB2sin（B+C）+sinB，即 2sinBcosC+sinB0， 又 0B，sinB0，得 cosC， 因为 0C，得 C， 则ABC 的面积为 Sab sinCab，即 c3ab， 由余弦定理，得 c2a2+b22ab cosC，化简，得 a2+b2+ab9a2b2， a2+b22ab，当仅当 ab 时取等号， 2ab+ab9a2b2，即 ab，故 ab 的最小值
19、是 故选：B 【点评】本题考查正余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式相结合，属于中档题 11 （5 分）已知点 F2，P 分别为双曲线的右焦点与右支上的一 点，O 为坐标原点，若点 M 是 PF2的中点，|，且，则该 双曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】利用|，且，求出直线的倾斜角，可得 P 的坐标， 代入双曲线方程，可得结论 【解答】解：设OF2M，则 c2cos（），cos，120， 点 M 是 PF2的中点，P（2c，c） ， 代入双曲线方程可得1， 化简得 4e48e2+10， e1，e， 第 12 页（共 22 页） 故选：A 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查向
20、量知识的运用，属于中档题 12 （5 分）已知函数，若 x2 是函数（x）的唯一的极值点，则实 数 k 的取值范围是（ ） A B C D （，e2） 【分析】先对函数求导，然后结合极值存在的条件对导函数进行分类讨论进行求解即可 【解答】解：f（x）， 设 g（x），x0， 则由题意可知，g（x）恒大于 0 或恒小于 0， 当 g（x）0 时， ，令 h（x），则 h（x）， 故 h（x）在（0，2）上单调递减， （2，+）上单调递增，h（x）在 x2 时取得最小值 h（2）， x+时，h（x）+，所以有， k， 当 g（x）0 时，令 q（x），则 q（x）， 故 q（x）在（0，2）上单调
21、递减， （2，+）上单调递增， 故不恒成立， 故选：A 【点评】本题主要考查了函数的极值存在条件的应用，属于中档试题 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足，则 zx4y 最小值为 3 第 13 页（共 22 页） 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移求出最优解，代 入即可求 z 的最小值 【解答】解：作出 x，y 满足，则目对应的平面区域如图： 由 zx4y，得 yx， 平移直线 yx，由图象可知当直线 yx经过点 A 时， 直线 yx的截距最大，此时 z 最小 由解得
22、 A（1，1） 此时 z 的最小值为 z1413 故答案为：3 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方 法注意目标函数的几何意义 14 （5 分）设曲线 yax2在点（1，a）处的切线与直线 x+2y60 垂直，则 a 1 【分析】求出原函数的导函数，得到 f（1） ，由曲线 yax2在点（1，a）处的切线与直 线 x+2y60 垂直，得斜率之积等于1，则 a 可求 【解答】解：由 yax2，得 y2ax， y|x12a， 曲线 yax2在点（1，a）处的切线与直线 x+2y60 垂直， 2a2，a1 故答案为：1 第 14 页（共 22 页） 【点评】本题
23、考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线 的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题 15 （5 分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下： 甲说： “罪犯在乙、丙、丁三人之中” ；乙说： “我没有作案，是丙偷的” ；丙说： “甲、乙 两人中有一人是小偷” ；丁说： “乙说的是事实” ，经过调查核实，四人中有两人说的是真 话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 乙 【分析】这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，这是解决本题的 突破口；然后进行分析、推理即可得出结论 【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人
24、的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一 致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现 一真一假的情况） ； 假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的 结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾 的； 所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定 乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯 故答案为乙 【点评】此题解答时应结合题意，进行分析，进而找出解决本题的突破口，然后进行推 理，得出结论 16 （5 分）已知直线 yk（x4）
25、与圆 O：x2+y236 交于 M、N 两点，则线段 MN 的中点 G 的轨迹方程为 （x2）2+y24（x4） 【分析】直接利用直线与圆的位置关系的应用，利用直线垂直的充要条件的应用求出结 果 【解答】解：设线段 MN 的中点坐标为（x，y） ， 由于直线 yk（x4）与圆 O：x2+y236 交于 M、N 两点， 则 kMNkOM1，即，整理得 y2+x24x0， 转换为（x2）2+y24， 当 x4 时，直线的斜率不存在，由于直线的斜率存在，故舍去 故线段 MN 的中点 G 的轨迹方程为（x2）2+y24（x4） 第 15 页（共 22 页） 故答案为： （x2）2+y24（x4） 【点
26、评】本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件的应用，直线与圆的位置关系的应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答第个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且，S315 （1）求数列an的通项公式； （2）记，求数列bn的前 n 项和
27、Tn 【分析】 （1）直接利用等差数列的性质的应用，求出数列的通项公式 （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和 【解答】解： （1）设公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，由于 S315 所以 a1+a2+a315， 所以 3a215，解得 a25 由于， 所以 15+5d25，解得 d2， 所以 ana2+2（n2）2n+1， （2）由于 an2n+1， 所以， 所以 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型 18 （12 分）某省高考改革实施方案指出：该省高
28、考考生总成绩将由语文、数学、外语 3 门 统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成该省教育厅为了解 正就读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了 100 名城乡家 长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有 25 人持不赞成意见如图是根据样本的调 查结果绘制的等高条形图 （1）根据已知条件与等高条形图完成下面的 22 列联表，并判断我们能否有 95%的把 握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？ 第 16 页（共 22 页） 赞成 不赞成 合计 城镇居民 农村居民 合计 （2）利用分层抽样从持“不赞成”意见家长中抽取 5 名参加学校交流活动，从中选派 2
29、名家长发言，求恰好有 1 名城镇居民的概率 附：K2，na+b+c+d P（K2k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【分析】 （1）根据题意填写列联表，计算 K2，对照临界值得出结论； （2）利用分层抽样法求出抽取的城镇居民和农村居民数， 计算从这 5 人中选 2 人的基本事件数，再求对应的概率值 【解答】解： （1）根据题意填写 22 列联表如下； 赞成 不赞成 合计 城镇居民 30 15 45 农村居民 45 10 55 合计 75 25 100 由表中数据计算 K23.033.841， 所
30、以没有 95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关” ； （2）利用分层抽样从持“不赞成”意见家长中抽取 5 人，则城镇居民有 3 人，记为 a、 b、c； 农村居民有 2 人，记为 D、E；从这 5 人中选 2 人，基本事件为： ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE 共 10 种不同取法， 第 17 页（共 22 页） 恰好有 1 名城镇居民的基本事件为 aD、aE、bD、bE、cD、cE 共 6 种， 故所求的概率为 P 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概 率问题，是基础题 19（12 分） 已知正方形 ABCD 的边长
31、为 2， 分别以 AB， BC 为一边在空间中作正三角形 PAB， PBC，延长 CD 到点 E，使 CE2CD，连接 AE，PE （1）证明：AE平面 PAC； （2）求点 B 到平面 PAE 的距离 【分析】 （1）连接 BD 交 AC 于点 O，连接 OP，推导出 POAC，POBD，从而 PO 平面 ABCD，POAE，ADCD，AEAC，由此能证明 AE平面 PAC （2）推导出四边形 ABDE 为平行四边形，BDAE，从而点 B 到平面 PAE 的距离等于 O 点到平面 PAE 的距离， 取 AP 的中点为 F， 连接 OF， 则 OF 为点 O 到平面 PAE 的距离 由 此能求
32、出点 B 到平面 PAE 的距离 【解答】证明： （1）连接 BD 交 AC 于点 O，并连接 OP， 则 OAOBOC，又PCPA，POAC， 又POBPOC，POBPOC90，POBD， OBOCO，PO平面 ABCD， AE平面 ABCD，POAE， ADCD，ADDECD， EADCAD45，EAC90，即 AEAC， POACO，AE平面 PAC 解： （2）由题知，ABDE，且 ABDE， 四边形 ABDE 为平行四边形，BDAE， 又BD平面 PAE，BD平面 PAE， 点 OBD，点 B 到平面 PAE 的距离等于 O 点到平面 PAE 的距离， 取 AP 的中点为 F，连接
33、OF，则由（1）可得 OFAE 第 18 页（共 22 页） 在 RtABC 中， 则 POAO，OFPA，OF平面 PAE，即 OF 为点 O 到平面 PAE 的距离 在 RtPOA 中，得点 B 到平面 PAE 的距离为 1 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题 20 （12 分）已知的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，线 段 AB 的中点为 M，设直线 l 与直线 OM 的斜率分别为 k1，k2 （1）求 k1k2的值； （2）设直线 l 交
34、直线 x4 于点 Q，证明|AF|BQ|BF|AQ| 【分析】 （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，用 A，B 的坐标表示出 k1，k2，再把 A，B 两 点代入椭圆方程化简得出 k1k2的值； （2）根据椭圆的第二定义进行证明即可 【解答】解： （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 k1， M 是线段 AB 的中点，M（，） ，故 k2， k1k2， A，B 都在椭圆+1 上， +1，+1， +0， 第 19 页（共 22 页） ，即 k1k2 （2）由椭圆的第二定义可知 x4 为椭圆的准线， 过 A，B 分别向直线 x4 作垂线，垂足分别为 D，E， 则e，故
35、， 又 ADBE，故， ， |AF|BQ|BF|AQ| 【点评】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，属于中档题 21 （12 分）已知函数 （1）当 0m2 时，证明：f（x）只有 1 个零点； （2）证明：曲线 f（x）没有经过原点的切线 【分析】 （1）对 f（x）求导，判断其增减性；并探讨 f（x）0 与 f（x）0 的情况，从 而得证； （2）利用反证法，假设 f（x）有经过原点的切线，则有，化简得 ；只需证明的最小值比 0 大即可 【解答】 （1）证明：f（x）的定义域为（0，+） ； ； 令 g（x）x2mx+1，则m24； 0m2； 0； 第 20 页（共 22 页） g
36、（x）0 在 x（0，+）上恒成立； f（x）在（0，+）上单调递增； f（x）至多有一个零点； ； 当 0x2m 且 x1 时，f（x）0；当 x2m 且 x1 时，f（x）0； f（x）有一个零点； 当 0m2 时，f（x）只有一个零点； （2） 证明： 假设曲线yf （x） 在点 （x， f （x） ）（x0） 处的切线经过原点， 则有； 即，化简得； 令，则； 令 h（x）0，解得 x1； 当 0x1 时，h（x）0，h（x）单调递减；当 x1 时，h（x）0，h（x）单调 递增； ； 与矛盾； 曲线 yf（x）没有经过原点的切线 【点评】本题考查了利用导数求函数的增减区间和极值，涉及
37、转化法，反证法，属难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C1的极坐标方程为，以极点为原点 O，极轴为 x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系 xOy 中，曲线 C2的 参数方程为：（ 为参数） （1）求曲线 C1的直角坐标方程与曲线 C2的普通方程； （2）将曲线 C2经过伸缩变换后得到曲线 C3，若 M，N 分别是曲线 C1和曲 线 C3上的动点，求|MN|的最小
38、值 第 21 页（共 22 页） 【分析】 （1）C1的极坐标方程转化为 cos+2sin5，由此能求出曲线 C1的直角坐标 方程由曲线 C2的参数方程能求出曲线 C2的普通方程 （2）将曲线 C2经过伸缩变换：，得到 C3的方程为1，则 曲线 C3的参数方程为：，设 N（2cos，2sin） ，由此能求出|MN|的 最小值 【解答】解： （1）C1的极坐标方程是， cos+2sin5， 曲线 C1的直角坐标方程为 x+2y50 曲线 C2的参数方程为：（ 为参数） 曲线 C2的普通方程为 x2+y21 （2）将曲线 C2经过伸缩变换：， 得到 C3的方程为1， 则曲线 C3的参数方程为：，
39、设 N（2cos，2sin） ， 则点 N 到曲线 C1的距离为： d， 当 sin（+）1 时，d 有最小值， |MN|的最小值为 【点评】本题考查曲线的直角坐标方程、曲线的普通方程、弦长的求法，考查极坐标方 程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 不等式选讲不等式选讲 23已知正数 a，b 满足 （1）证明：； （2）若存在实数 x，使得，求 a，b 第 22 页（共 22 页） 【分析】 （1）利用基本不等式进行转化即可证明； （2）两步利用绝对值不等式与基本不等式的性质进行转化即可求出 a，b 值 【解答】解： （1）4a+b（4a+b）， ， 又 1ab1， （2）|x+2|x|（x+2）（x）|， 且仅当，即 x时，等号成立； 又 a+b（a+b） （）， 且仅当即 a2b 时，等号成立， 【点评】本题考查了不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题