1、如图是国家统计局今年 4 月 11 日发布的 2018 年 3 月到 2019 年 3 月全国居民消 费价格的涨跌幅情况折线图 （注：2019 年 2 月与 2018 年 2 月相比较称同比，2019 年 2 月与 2019 年 1 月相比较称环比） ，根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A2018 年 3 月至 2019 年 3 月全国居民消费价格同比均上涨 B2018 年 3 月至 2019 年 3 月全国居民消费价格环比有涨有跌 C2019 年 3 月全国居民消费价格同比涨幅最大 D2019 年 3 月全国居民消费价格环比变化最快 4 （5 分） （a2+b2） （a2b）6的展开式中
2、 a4b4的系数为（ ） A320 B300 C280 D260 5 （5 分）我国明代伟大数学家程大位在算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题，其 中有一首“竹筒容米”问题： “家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上 梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明， ” 第 2 页（共 25 页） 意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指 3.9 升，则九节竹的中间一 节的盛米容积为（ ） A0.9 升 B1 升 C1.1 升 D2.1 升 6 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几 何体最长的
3、棱长为（ ） A B C6 D 7 （5 分）已知函数 f（x），则 yf（x）的图象大致为（ ） A B C D 8（5 分） 如图所给的程序运行结果为 S41， 那么判断框中应填入的关于 k 的条件是 （ ） Ak6 Bk5 Ck6 Dk5 9 （5 分）已知点 M 是抛物线 x24y 上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆 C： （x1） 第 3 页（共 25 页） 2+（y4）21 上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 10 （5 分）过双曲线1（a0，b0）的右顶点 A 作斜率为1 的直线，该直线 与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C若，则双曲
4、线的离心率是（ ） A B C D 11 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，且当 x（，0时，f（x）+xf（x） 0 成立，若 a（20.6） f（20.6） ，b（ln2） f（ln2） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bcba Cacb Dcab 12 （5 分）已知半径为 2 的扇形 AOB 中，AOB120，C 是 OB 的中点，P 为弧 AB 上 任意一点，且+，则 + 的最大值为（ ） A2 B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题）小题） 13 （5 分）已知向量 （m，1） ， （4n，2） ，m0，n0，若 ，则+的
5、最 小值 14 （5 分）若数列an的首项 a12，且；令 bnlog3（an+1） ，则 b1+b2+b3+b100 15 （5 分）在锐角ABC 中，则 sin（A+B） 16 （5 分）在三棱锥 VABC 中，面 VAC面 ABC，VAAC2，VAC120，BABC 则三棱锥 VABC 的外接球的表面积是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题）小题） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn1+an，其中 0 （1）证明an是等比数列，并求其通项公式； （2）若，求 18 （12 分）为推进“千村百镇计划” ，2018 年 4 月某新能源公司开展“电动莆田 出绿色
6、出 第 4 页（共 25 页） 行” 活动， 首批投放 200 台 P 型新能源车到莆田多个村镇， 供当地付民免费试用三个月 试 用到期后，为了解男女试用者对 P 型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者 填写一份性能综合评分表（满分为 100 分） 最后该公司共收回 600 份评分表，现从中随 机抽取 40 份（其中男、女的评分表各 20 份）作为样本，经统计得到如图茎叶图： （1）求 40 个样本数据的中位数 m； （2）已知 40 个样本数据的平均数 a80，记 m 与 a 的最大值为 M该公司规定样本中 试用者的“认定类型” ：评分不小于 M 的为“满意型” ，评分小于 M 的为
7、“需改进型“ 请根据 40 个样本数据，完成下面 22 列联表： 认定类型 性别 满意型 需改进型 合计 女性 20 男性 20 合计 40 根据 22 列联表判断能否有 99%的把握认为“认定类型”与性别有关？ 为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方 法，从中抽取 8 人进行回访根据回访意见改进车辆后，再从这 8 人中随机抽取 3 人进 行二次试用记这 3 人中男性人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 附：K2， P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19 （12 分）如图，正方体 ABCDA1B1C
8、1D1的棱长为 2，P 是 BC 的中点，点 Q 是棱 CC1 上的动点 （1）点 Q 在何位置时，直线 D1Q，DC，AP 交于一点，并说明理由； （2）求三棱锥 B1DBQ 的体积； 第 5 页（共 25 页） （3）棱 CC1上是否存在动点 Q，使得 DB1与平面 AQD1所成角的正弦值为，若存 在指出点 Q 在棱 CC1上的位置，若不存在，请说明理由 20 （12 分）如图，中心为坐标原点 O 的两圆半径分别为 r11，r22，射线 OT 与两圆分 别交于 A、B 两点，分别过 A、B 作垂直于 x 轴、y 轴的直线 l1、l2，l1交 l2于点 P （1）当射线 OT 绕点 O 旋转
9、时，求 P 点的轨迹 E 的方程； （2）直线 l：与曲线 E 交于 M、N 两点，两圆上共有 6 个点到直线 l 的距离为 时，求|MN|的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）ln（1+x） （）若 x0 时，f（x）0，求 的最小值； （）设数列an的通项 an1，证明：a2nanln2 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 1，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立 平面直角坐标系，曲线 C 经过伸缩变换得到曲线 E，直线 l：（t 为参数
10、）与曲线 E 交于 A，B 两点， 第 6 页（共 25 页） （1）设曲线 C 上任一点为 M（x，y） ，求的最小值； （2）求出曲线 E 的直角坐标方程，并求出直线 l 被曲线 E 截得的弦 AB 长； 23已知函数 f（x）m|x+4|（m0） ，且 f（x2）0 的解集为3，1 （1）求 m 的值； （2）若 a，b，c 都是正实数，且，求证：a+2b+3c9 第 7 页（共 25 页） 2019-2020 学年广西名校高三（上）学年广西名校高三（上）12 月模拟数学试卷（理科）月模拟数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1
11、2 小题）小题） 1 （5 分）已知集合 M1，2，3，4，P（x，y）|xM，xyM则 P 的非空子集的 个数是（ ） A7 B15 C63 D64 【分析】先求出 P（x，y）|xM，xyM（2，1） ， （3，1） ， （3，2） ， （4，1） ， （4，3） ， （4，2）由此能求出 P 的非空子集的个数 【解答】解：集合 M1，2，3，4， P（x，y）|xM，xyM（2，1） ， （3，1） ， （3，2） ， （4，1） ， （4，3） ， （4，2） P 的非空子集的个数是 26163 故选：C 【点评】本题考查集合的子集个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能 力
12、，是基础题 2 （5 分）定义运算adbc，若 z，则复数 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用已知定义结合虚数单位 i 的运算性质求得 z，进一步得到 ，求得 的坐标 得答案 【解答】解：由已知可得，z1i22i12i， ， 则复数 对应的点的坐标为（1，2） ，在第二象限， 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题 3 （5 分）如图是国家统计局今年 4 月 11 日发布的 2018 年 3 月到 2019 年 3 月全国居民消 费价格的涨跌幅情况折线图 （注：2019 年 2 月与 2018 年 2 月相比
13、较称同比，2019 年 2 月与 2019 年 1 月相比较称环比） ，根据该折线图，下列结论错误的是（ ） 第 8 页（共 25 页） A2018 年 3 月至 2019 年 3 月全国居民消费价格同比均上涨 B2018 年 3 月至 2019 年 3 月全国居民消费价格环比有涨有跌 C2019 年 3 月全国居民消费价格同比涨幅最大 D2019 年 3 月全国居民消费价格环比变化最快 【分析】先对图表数据的分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解 【解答】解：对于 A 选项，从同比来看，同比均为正数，即同比均上涨，故 A 正确， 对于 B 选项，从环比来看，2018 年 3 月至 2
14、019 年 3 月全国居民消费价格环比图象有升 有降，即环比有涨有跌，故 B 正确， 对于 C 选项，从同比来看，2018 年 9 月，10 月全国居民消费价格同比涨幅最大，故 C 错误， 对于 D 选项，从环比来看，2019 年 3 月全国居民消费价格环比的绝对值最大，即 2019 年 3 月全国居民消费价格环比变化最快，故 D 正确， 故选：C 【点评】本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题 4 （5 分） （a2+b2） （a2b）6的展开式中 a4b4的系数为（ ） A320 B300 C280 D260 【分析】把（a2b）6 按照二项式定理展开，可得（a2
15、+b2） （a2b）6的展开式中 a4b4 的系数 【解答】解：（a2+b2） （a2b）6 （a2+b2） （a6+a5 （2b）+a4 （2b） 2+ （2b）6） ， 第 9 页（共 25 页） 故展开式中 a4b4的系数为 （2）4+ （2）2300， 故选：B 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题 5 （5 分）我国明代伟大数学家程大位在算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题，其 中有一首“竹筒容米”问题： “家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上 梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明， ” 意思是
16、：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指 3.9 升，则九节竹的中间一 节的盛米容积为（ ） A0.9 升 B1 升 C1.1 升 D2.1 升 【分析】设从下至上各节容积分别为 a1，a2，a9，则an是等差数列，设公差为 d， 由题意利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出中间两节的容积 【解答】解：解：设从下至上各节容积分别为 a1，a2，a9， 则an是等差数列，设公差为 d， 由题意得 解得 a11.4，d0.1， a5a1+4d1.40.41 升 故选：B 【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题， 注意等差数列的性质的合理运用属于基础题
17、 6 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几 何体最长的棱长为（ ） A B C6 D 【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，求出各棱的长度，比较后，可得答案 第 10 页（共 25 页） 【解答】解：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体是三棱锥 PABC 如图所示，其中，正方体棱长为 4，点 P 是正方体其中一条棱的中点， 则：， 所以最长棱为 6 故选：C 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是 解答的关键 7 （5 分）已知函数 f（x），则 yf（x）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】利用
18、函数的定义域与函数的值域排除 B，D，通过函数的单调性排除 C，推出结 果即可 【解答】解：令 g（x）xlnx1，则， 由 g（x）0，得 x1，即函数 g（x）在（1，+）上单调递增， 由 g（x）0 得 0x1，即函数 g（x）在（0，1）上单调递减， 所以当 x1 时，函数 g（x）有最小值，g（x）ming（0）0， 于是对任意的 x（0，1）（1，+） ，有 g（x）0，故排除 B、D， 第 11 页（共 25 页） 因函数 g（x）在（0，1）上单调递减，则函数 f（x）在（0，1）上递增，故排除 C， 故选：A 【点评】本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函
19、数的图形的 判断，考查分析问题解决问题的能力 8（5 分） 如图所给的程序运行结果为 S41， 那么判断框中应填入的关于 k 的条件是 （ ） Ak6 Bk5 Ck6 Dk5 【分析】根据所给的程序运行结果为 S41，执行循环语句，当计算结果 S 为 28 时，不 满足判断框的条件，退出循环，从而到结论 【解答】解答：解：由题意可知输出结果为 S41， 第 1 次循环，S11，k9， 第 2 次循环，S20，k8， 第 3 次循环，S28，k7， 第 4 次循环，S35，k6， 第 5 次循环，S41，k5， 此时 S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为 k6 故选：A 【点评】本题
20、主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了 推理能力，属于基础题 9 （5 分）已知点 M 是抛物线 x24y 上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆 C： （x1） 2+（y4）21 上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小使的位置，然后根据 三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值 【解答】解：如图所示，利用抛物线的定义知：MPMF， 当 M、A、P 三点共线时，|MA|+|MF|的值最小， 即：CMx 轴， 第 12 页（共 25 页） CM 所在的直线方程为：x1 与
21、x24y 建立方程组解得： M（1，） |CM|4， 点 M 到圆 C 的最小距离为|CM|AC|3， 抛物线的准线方程 y1， 则|MA|+|MF|的值最小值为 3+14 故选：B 【点评】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线 及相关的运算问题 10 （5 分）过双曲线1（a0，b0）的右顶点 A 作斜率为1 的直线，该直线 与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C若，则双曲线的离心率是（ ） A B C D 【分析】 分别表示出直线 l和两个渐近线的交点， 进而表示出和， 进而根据 求得 a 和 b 的关系，进而根据 c2a2b2，求得 a 和 c 的关系，
22、则离心率可得 【解答】解：直线 l：yx+a 与渐近线 l1：bxay0 交于 B（，） ， l 与渐近线 l2：bx+ay0 交于 C（，） ，A（a，0） ， （，） ，（，） ， 第 13 页（共 25 页） ，b2a， c2a24a2， e25，e， 故选：C 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题要求学生有较高地转化数学思想 的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用 11 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，且当 x（，0时，f（x）+xf（x） 0 成立，若 a（20.6） f（20.6） ，b（ln2） f（ln2） ，则 a，b，c 的大小关系是（
23、 ） Aabc Bcba Cacb Dcab 【分析】构建函数 h（x）xf（x） ，利用奇函数的定义得函数 h（x）为 R 上奇函数，再 利用导数研究函数的单调性得函数 h（x）在 R 上为减函数，结合对数函数的图象知 ，再利用单调性比较大小得结论 【解答】解：根据题意，令 h（x）xf（x） ， 因为 f（x）f（x）对 xR 成立， 所以 h（x）xf（x）xf（x）h（x） ， 因此函数 h（x）为 R 上奇函数 又因为当 x（，0时，h（x）f（x）+xf（x）0， 所以函数 h（x）在（，0上为减函数， 又因为函数 h（x）为奇函数，所以函数 h（x）在 R 上为减函数， 因为，所
24、以 h（log2）h（ln2）h（20.6） ， 即 cba 故选：B 【点评】本题考查了函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，对数函数及其性质和 比较大小 12 （5 分）已知半径为 2 的扇形 AOB 中，AOB120，C 是 OB 的中点，P 为弧 AB 上 第 14 页（共 25 页） 任意一点，且+，则 + 的最大值为（ ） A2 B C D 【分析】设所在直线为直角坐标系的 x 轴，建立直角坐标系 xOy，分别求得向量 OA， OB，OC 的坐标，由条件可得（2cos，2sin）（2，0）+（，） ，求得 + 的表达式，运用辅助角公式和正弦函数的最值，可得最大值 【解答】解：设所
25、在直线为直角坐标系的 x 轴，建立直角坐标系 xOy， 则（2，0） ，（2cos120，2sin120）（1，） ， （，） ，（2cos，2sin） ， （0120） ， 代入+， 有（2cos，2sin）（2，0）+（，） ， 可得 22cos，2sin， 故 +cos+sinsin（+） （ 为辅助角） ， 当 sin（+）1 时，+ 取得最大值， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是平面向量的基本定理及其意义，其中建立坐标系，引入坐 标法是解答的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题）小题） 13 （5 分）已知向量 （m，1） ， （4n，2） ，m0，n0，若
26、，则+的最 小值 【分析】由 ，可得：n+2m4再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出 第 15 页（共 25 页） 【解答】解： ，4n2m0，即 n+2m4 m0，n0， +（n+2m），当且 仅当 n4m时取等号 +的最小值是 故答案为： 【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质、向量共线定理，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 14 （5 分）若数列an的首项 a12，且；令 bnlog3（an+1） ，则 b1+b2+b3+b100 5050 【分析】推导出an+1是首项为 3，公比为 3 的等比数列，从而得 bnn，由 此能求出 b1+b2+b3+b100 【
27、解答】解：数列an的首项 a12，且， an+1+13（an+1） ，a1+13， an+1是首项为 3，公比为 3 的等比数列， ， bnlog3（an+1）n， b1+b2+b3+b1001+2+3+1005050 故答案为：5050 【点评】本题考查数列的前 100 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比 数列、等差数列的性质的合理运用 15 （5 分）在锐角ABC 中，则 sin（A+B） 【分析】 利用同角三角函数的基本关系， 两角差的正弦公式， 求得 sin （A+B） sin （A+） 第 16 页（共 25 页） +（B）的值 【解答】解：锐角ABC 中， cos（A
28、+），sin（B）， 则 sin（A+B）sin（A+）+（B）sin（A+）cos（B）+cos（A+） cos（B）+， 故答案为： 【点评】本同题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基 础题 16 （5 分）在三棱锥 VABC 中，面 VAC面 ABC，VAAC2，VAC120，BABC 则三棱锥 VABC 的外接球的表面积是 16 【分析】设 AC 中点为 M，VA 中点为 N，过 M 作面 ABC 的垂线，球心 O 必在该垂线上， 连接 ON，则 ONAV 可得 OA2，即三棱锥 VABC 的外接球的半径为 2，即可求出三棱锥的外接球表面积 【解答】解：如图，
29、设 AC 中点为 M，VA 中点为 N， 面 VAC面 ABC，BABC，过 M 作面 ABC 的垂线， 球心 O 必在该垂线上，连接 ON，则 ONAV 在 RtOMA 中，AM1，OAM60， OA2，即三棱锥 VABC 的外接球的半径为 2， 三棱锥 VABC 的外接球的表面积 S4R216 故答案为：16 【点评】本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的 第 17 页（共 25 页） 外接球的半径是关键，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题）小题） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn1+an，其中 0 （1）证明an
30、是等比数列，并求其通项公式； （2）若，求 【分析】 （1）根据题意，分析可得：当 n2 时，Sn11+an1，an1+an1an1 anan1，即（1）anan1，进而分析可得结论； （ 2 ） 根 据 题 意 ， 分 析 可 得， 即 ，变形解可得答案 【解答】解： （1）根据题意，若 Sn1+an，0，an0 当 n2 时，Sn11+an1， 两式相减，得 an1+an1an1anan1，即（1）anan1， 0，an010即 1，即， （n2） ， an是等比数列，公比， 当 n1 时，S11+a1a1，即， ； （2）若，则，即， 则，得 【点评】本题考查等比数列的性质以及判断，注意
31、判断数列an是等比数列，属于基础 题 18 （12 分）为推进“千村百镇计划” ，2018 年 4 月某新能源公司开展“电动莆田 出绿色出 行” 活动， 首批投放 200 台 P 型新能源车到莆田多个村镇， 供当地付民免费试用三个月 试 用到期后，为了解男女试用者对 P 型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者 填写一份性能综合评分表（满分为 100 分） 最后该公司共收回 600 份评分表，现从中随 机抽取 40 份（其中男、女的评分表各 20 份）作为样本，经统计得到如图茎叶图： 第 18 页（共 25 页） （1）求 40 个样本数据的中位数 m； （2）已知 40 个样本数据的平
32、均数 a80，记 m 与 a 的最大值为 M该公司规定样本中 试用者的“认定类型” ：评分不小于 M 的为“满意型” ，评分小于 M 的为“需改进型“ 请根据 40 个样本数据，完成下面 22 列联表： 认定类型 性别 满意型 需改进型 合计 女性 20 男性 20 合计 40 根据 22 列联表判断能否有 99%的把握认为“认定类型”与性别有关？ 为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方 法，从中抽取 8 人进行回访根据回访意见改进车辆后，再从这 8 人中随机抽取 3 人进 行二次试用记这 3 人中男性人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 附：K2， P（
33、K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】 （1）由茎叶图求出样本数据的中位数 m 的值； （2）根据中位数 m 和平均数 a 求得 M 的值，由此根据题意填写列联表，计算 K2，查 表得出概率结论； 由题意知随机变量 X 的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期 望值 【解答】解： （1）由茎叶图知，这 40 个样本数据的中位数为 m（80+82）81； （2）因为中位数 m81，平均数 a80，则 m 与 a 的最大值为 M81； 第 19 页（共 25 页） 由茎叶图知，女性试用者评分不小于 81 的有 15 人，男性
34、试用者评分不小于 81 的有 5 人，根据题意填写 22 列联表： 认定类型 性别 满意型 需改进型 合计 女性 15 5 20 男性 5 15 20 合计 20 20 40 计算 K2106.635， 查表得 P（K26.635）0.010， 所以有 99%的把握认为“认定类型”与性别有关； 由知，从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样方法，从中抽取 8 人，其 中女性 2 人，男性 6 人； 则随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3； 则 P（X1）， P（X2）， P（X3）， 所有 X 的分布列为： X 1 2 3 P 数学期望为 E（X）1+2+3 【点评】本题考查了离散型
35、随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了分层抽 样与独立性检验应用问题，是中档题 19 （12 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，P 是 BC 的中点，点 Q 是棱 CC1 第 20 页（共 25 页） 上的动点 （1）点 Q 在何位置时，直线 D1Q，DC，AP 交于一点，并说明理由； （2）求三棱锥 B1DBQ 的体积； （3）棱 CC1上是否存在动点 Q，使得 DB1与平面 AQD1所成角的正弦值为，若存 在指出点 Q 在棱 CC1上的位置，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）延长 AP 交 DC 于 M，连结 D1M 交 C1C 于点 Q，推导出MCPMD
36、A， 从而由 CQD1D，得MCQMDD1，由此求出当 Q 是 C1C 中点时， 直线 D1Q，DC，AP 交于一点 （2） 三棱锥 B1DBQ 的体积为， 由此能求出结果 （3）以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建系，利用向量法 求出存在点 Q，且点 Q 为 CC1的中点 【解答】解： （1）当 Q 是 C1C 中点时，直线 D1Q，DC，AP 交于一点 理由如下：延长 AP 交 DC 于 M，连结 D1M 交 C1C 于点 Q， CPAD，MCPMDA， CQD1D， MCQMDD1， Q 是 C1C 中点 （2）三棱锥 B1DBQ 的体积为： （3
37、）以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建系， 则 D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B1（2，2，2） ，Q（0，2，） ，D1（0，0，2） ， 第 21 页（共 25 页） ， 设面 AQD1的法向量为， 则，取 x2，z2，y2，即， 设 DB1与面 AQD1所成角为 ， 则， 化简得 22+30，解得 1 或（舍去） ， 所以存在点 Q，且点 Q 为 CC1的中点 【点评】本题考查满足条件的点的位置的确定与求法，考查三棱锥的体积的求法，考查 空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）如图，中心
38、为坐标原点 O 的两圆半径分别为 r11，r22，射线 OT 与两圆分 别交于 A、B 两点，分别过 A、B 作垂直于 x 轴、y 轴的直线 l1、l2，l1交 l2于点 P （1）当射线 OT 绕点 O 旋转时，求 P 点的轨迹 E 的方程； （2）直线 l：与曲线 E 交于 M、N 两点，两圆上共有 6 个点到直线 l 的距离为 时，求|MN|的取值范围 第 22 页（共 25 页） 【分析】 （1）设 P（x，y） ，OT 与 x 轴正方向夹角为 ，得到，然后求解轨 迹方程即可 （2）当两圆上有 6 个点到直线 1 的距离为时，原点 O 至直线 l 的距离， 推出，联立方程得，设 M（x
39、1， y1） ，N（x2，y2） ，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解即可 【解答】 解：（1） 设 P （x， y） ， OT 与 x 轴正方向夹角为 ， 则即， 化简得，即 P 点的轨迹 E 的方程为， （2）当两圆上有 6 个点到直线 1 的距离为时，原点 O 至直线 l 的距离， 即，解得， 联立方程得， 设M （ x1， y1）， N （ x2， y2）， 则， ， 则 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以 及计算能力，是难题 21 （12 分）已知函数 f（x）ln（1+x） （）若 x0 时，f（x）0，求 的最小值； （）设数列an的通项
40、 an1，证明：a2nanln2 第 23 页（共 25 页） 【分析】 （）求出原函数的导函数，并求得 f（0）0，f（0）0，然后对 分类分 析函数在（0，+）上的单调性，可得若 0，当 x0 时，f（x）f（0）0若 0 ，f（x）f（0）0若 ，当 x0 时，f（x）0，由此可得 的最小值为； （）a2nan当时，由（）知， 当 x0 时，f（x）0，即ln（1+x） 取 x，得， 因此，由此可得 ln 即 a2nanln2 【解答】 （）解：由已知，f（0）0，f（x），且 f（0）0， 若 0，当 x0 时，f（x）0，f（x）为增函数， f（x）f（0）0， 若 0，则当 0x时
41、，f（x）0， 当 0x时，f（x）f（0）0 若 ，则当 x0 时，f（x）0， 当 x0 时，f（x）0， 综上， 的最小值为； （）证明：由于 an1， a2nan 当时，由（）知，当 x0 时，f（x）0，即ln（1+x） 取 x，则， 则， 因此， ， 第 24 页（共 25 页） ln， ln ln+ln+ln+ln 即：ln a2nanln2 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，训练了利用放缩法证明函数不等 式，属难题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分 22 （10 分）已知
42、曲线 C 的极坐标方程是 1，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立 平面直角坐标系，曲线 C 经过伸缩变换得到曲线 E，直线 l：（t 为参数）与曲线 E 交于 A，B 两点， （1）设曲线 C 上任一点为 M（x，y） ，求的最小值； （2）求出曲线 E 的直角坐标方程，并求出直线 l 被曲线 E 截得的弦 AB 长； 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 【解答】解： （1）根据 2x2+y2，进行化简得 C：x2+y21， 曲线 C 的参数方程（ 为参数） ， ， 当时， 则的最小值为2；
43、 （2）， 第 25 页（共 25 页） 代入 C 得：E：， 将直线 l 的参数方程（t 为参数） ， 代入曲线 E 方程得：7t2+4t40， ， 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题 23已知函数 f（x）m|x+4|（m0） ，且 f（x2）0 的解集为3，1 （1）求 m 的值； （2）若 a，b，c 都是正实数，且，求证：a+2b+3c9 【分析】 （1）根据 f（x2）0 的解集为3，1，结合绝对值不等式的解法，即可 求 m 的值； （2）利用柯西不等式，即可证明结论 【解答】 （1）解：依题意 f（x2）m|x+2|0，即|x+2|mm2x2+m， m1 （2）证明： 由柯西不等式得 整理得 a+2b+3c9 当且仅当 a2b3c，即时取等号 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的运用，属于中档题