1、i 是虚数单位,则复数等于( ) Ai Bi C1 D1 3 (5 分)设 aR,则 a1 是1 的( ) A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 (5 分)下列函数中,与函数 y的定义域相同的函数为( ) A B Cyxex D 5 (5 分)已知 a21.2,b() 0.8,c2log 52,则 a,b,c 的大小关系为( ) Acba Bcab Cbac Dbca 6 (5 分)经调查,某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为 1:3:6,用分 层抽样的方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查, 其中中年人数为 12 人, 则 n ( )
2、A30 B40 C60 D80 7 (5 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 a3+a813,S735,则 a8( ) A8 B9 C10 D11 8 (5 分)函数 yxcosx+sinx 的图象大致为( ) A B 第 2 页(共 20 页) C D 9 (5 分)在平面区域内随机取一点,则所取的点恰好满足 x+y的概率是 ( ) A B C D 10 (5 分)下面有五个命题: 函数 ysin4xcos4x 的最小正周期是 ; 终边在 y 轴上的角的集合是 ; 在同一坐标系中,函数 ysinx 的图象和函数 yx 的图象有三个公共点; 把函数的图象向右平移个单位得到 y3sin2
3、x 的图象; 函数在0,上是减函数; 其中真命题的序号是( ) A B C D 11 (5 分)设 F1、F2分别是双曲线 C:的左、右焦点,若双曲 线右支上存在一点 P,使|OP|OF1|(O 为原点) ,且,则双曲线的 离心率为( ) A B C D 12 (5 分)已知函数 f(x)x3+sinx(xR) ,函数 g(x)满足 g(x)+g(2x)0(xR) , 若函数 h(x)f(x1)g(x)恰有 2021 个零点,则所有这些零点之和为( ) A2018 B2019 C2020 D2021 二、填空题(本题共二、填空题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分
4、)分) 13 (5 分)在等比数列an中,an0,且 a1a1027,log3a2+log3a9 14 (5 分)若向量 , 夹角为,且,则 与的夹角为 第 3 页(共 20 页) 15 (5 分)已知函数 f(x),则 f(x)1 的解集为 16 (5 分)已知四面体 PABC 四个顶点都在球 O 的球面上,若 PB平面 ABC,ABAC, 且 AC1,ABPB2,则球 O 的表面积为 三三.解答题: (共解答题: (共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答,第每个试
5、题考生都必须作答,第 22、23 为选考题,考生根据要求作答) (一)必考题:共为选考题,考生根据要求作答) (一)必考题:共 60 分分 17 (12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均 增加的睡眠时间(单位:h)实验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5 2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠
6、时间: 3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4 1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5 ()分别计算两种药的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? ()根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好? 18 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知ABC 的面积 Sabc, sin2A+sin2B+sinAsinB2csinC ()求角 C; ()求ABC 周长的取值范围 19 (12 分)已知三棱锥 PABC(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形 ABCD 为 边长等于的正方形,ABE 和BCF 均
7、为正三角形,在三棱锥 PABC 中: 第 4 页(共 20 页) ()证明:平面 PAC平面 ABC; ()若点 M 在棱 PA 上运动,当直线 BM 与平面 PAC 所成的角最大时,求三棱锥 M ABC 的体积 20 (12 分)已知抛物线 C:x22py(p0)上一点 M(m,9)到其焦点 F 的距离为 10 ()求抛物线 C 的方程; ()设过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,且抛物线在 A,B 两点处的切线 分别交 x 轴于 P,Q 两点,求|AP|BQ|的取值范围 21 (12 分)设函数 f(x)exax+3(aR) (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)
8、若函数 f(x)在区间1,2上的最小值是 4,求 a 的值 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数)M 是 C1上的动点,P 点满足2,P 点的轨迹为曲线 C2 ()求 C2的方程; ()在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 与 C1的异于极点 的交点为 A,与 C2的异于极点的交点为 B,求|AB| 选修选修 4
9、-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分) 23设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c1, 证明: (1)ab+bc+ca; (2)+1 第 5 页(共 20 页) 2019-2020 学年广西南宁三中高三(上)学年广西南宁三中高三(上)9 月月考数学试卷(文月月考数学试卷(文 科)科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给的四个选项中,只有一分在每小题给的四个选项中,只有一 项符合)项符合) 1 (5 分)已知集合 Ax|x|2,集合 B1,0,1,2,3,则 AB( ) A0,1
10、 B0,1,2 C1,0,1 D1,0,1,2 【分析】先求出集合 A 和 B,由此利用交集的定义能求出 AB 【解答】解:集合 Ax|x|2x|2x2, B1,0,1,2,3, AB1,0,1 故选:C 【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运 用 2 (5 分)i 是虚数单位,则复数等于( ) Ai Bi C1 D1 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解:, 故选:A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题 3 (5 分)设 aR,则 a1 是1 的( ) A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不
11、充分也不必要条件 【分析】由1,解得 a0 或 a1即可判断出结论 【解答】解:由1,解得 a0 或 a1 a1 是1 的充分不必要条件 第 6 页(共 20 页) 故选:A 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题 4 (5 分)下列函数中,与函数 y的定义域相同的函数为( ) A B Cyxex D 【分析】可以求出的定义域为x|x0,然后求每个选项函数的定义域即可 【解答】解:函数的定义域为x|x0, 的定义域为x|x0;的定义域为x|x0; yxex的定义域为 R; 的定义域为x|x0, 与函数定义域相同的函数为 故选:D 【点评】考查
12、函数定义域的定义及求法,指数函数和对数函数的定义域 5 (5 分)已知 a21.2,b() 0.8,c2log 52,则 a,b,c 的大小关系为( ) Acba Bcab Cbac Dbca 【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解 【解答】解:a21.22, b() 0.820.8212, clog54log551, cba 故选:A 【点评】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数、 对数函数性质的合理运用 6 (5 分)经调查,某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为 1:3:6,用分 层抽样的方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查, 其中中年人数
13、为 12 人, 则 n ( ) 第 7 页(共 20 页) A30 B40 C60 D80 【分析】利用分层抽样的性质直接求解 【解答】解:经调查,某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为 1:3:6, 用分层抽样的方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查,其中中年人数为 12 人, 则, 解得 n40 故选:B 【点评】本题考查样本容量的求法,考查分层抽样的性质等基础知识,考查运算求解能 力,是基础题 7 (5 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 a3+a813,S735,则 a8( ) A8 B9 C10 D11 【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式,由题设条件
14、列出方程组,能求出等 差数列的首项和公差,由此能求出 a8 【解答】解:等差数列an的前 n 项和为 Sn, 且 a3+a813,S735, , 解得 a12,d1, a82+719 故选:B 【点评】本题考查等差数列的第二项的求法,是基础题,解题时要注意等差数列的通项 公式的合理运用 8 (5 分)函数 yxcosx+sinx 的图象大致为( ) A B 第 8 页(共 20 页) C D 【分析】给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称,由此排除 B,然后利用 区特值排除 A 和 C,则答案可求 【解答】解:因为函数 yxcosx+sinx 为奇函数,所以排除选项 B, 由当 x时,
15、 当 x 时,ycos+sin0 由此可排除选项 A 和选项 C 故正确的选项为 D 故选:D 【点评】本题考查了函数的图象,考查了函数的性质,考查了函数的值,是基础题 9 (5 分)在平面区域内随机取一点,则所取的点恰好满足 x+y的概率是 ( ) A B C D 【分析】求出对应区域的面积,利用几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】解:平面区域对应区域为正方形,边长为 2,对应的面积 S22 4, 不等式 x+y对应的区域如图: 对应三角形 OAB, 当 x0 时,y,当 y0 时,x, 即 A(0,) ,B(,0) , 则, 则所取的点恰好满足 x+y的概率 P, 故选:C 第 9 页
16、(共 20 页) 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据条件求出对应的图形的面积是解决本 题的关键 10 (5 分)下面有五个命题: 函数 ysin4xcos4x 的最小正周期是 ; 终边在 y 轴上的角的集合是 ; 在同一坐标系中,函数 ysinx 的图象和函数 yx 的图象有三个公共点; 把函数的图象向右平移个单位得到 y3sin2x 的图象; 函数在0,上是减函数; 其中真命题的序号是( ) A B C D 【分析】函数 ysin4xcos4xcos2x, ; 终边在 y 轴上的角的集合是; 在同一坐标系中,函数 ysinx 的图象和 yx 的图象只有原点这一个公共点; 把函数的图
17、象向右平移个单位得到 y3sin2x 的图象; 函数cosx 在(0,)上是增函数,故可得结论 【解答】解:函数 ysin4xcos4xcos2x,可知最小正周期是 ,故正确; 终边在 y 轴上的角的集合是,故不正确; 在同一坐标系中,函数 ysinx 的图象和 yx 的图象只有原点这一个公共点,sinx x 只有一个解, x0 时,sinxx;x0 时,sinxx;x0 时,sinxx,故不成立; 第 10 页(共 20 页) 把函数的图象向右平移个单位得到 y3sin2x 的图象,故正确; 函数cosx 在(0,)上是增函数,故不正确; 故正确命题是: 故选:B 【点评】本题考查诱导公式的
18、灵活运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意三角函数 的恒等变换 11 (5 分)设 F1、F2分别是双曲线 C:的左、右焦点,若双曲 线右支上存在一点 P,使|OP|OF1|(O 为原点) ,且,则双曲线的 离心率为( ) A B C D 【分析】依题意可知|OF1|OF2|OP|判断出F1PF290,设出|PF2|t,则|F1P| t,进而利用双曲线定义可用 t 表示出 a,根据勾股定理求得 t 和 c 的关系,最后可求 得双曲线的离心率 【解答】解:|OF1|OF2|OP| F1PF290 设|PF2|t,则|F1P|t,a t2+3t24c2,则 tc e+1 故选:D 【点评】本题主要
19、考查了双曲线的简单性质考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运 用 12 (5 分)已知函数 f(x)x3+sinx(xR) ,函数 g(x)满足 g(x)+g(2x)0(xR) , 若函数 h(x)f(x1)g(x)恰有 2021 个零点,则所有这些零点之和为( ) A2018 B2019 C2020 D2021 【分析】根据 f(x)为奇函数得到 f(x1)关于(1,0)对称,g(x)+g(2x)0, 得 g(x)关于(1,0)对称,所以 h(x)关于(1,0)对称,通过对称性可得答案 第 11 页(共 20 页) 【解答】解:因为 f(x)3x3 2sinxf(x) ,所以函数 f(x)为奇
20、函数; 所以函数 f(x)关于(0,0)对称,则 f(x1)关于(1,0)对称; 又因为函数 g(x)满足 g(x)+g(x2)0,所以 g(x)关于(1,0)对称; 所以 h(x)f(x1)g(x)关于(1,0)对称, 又因为 h(x)f(x1)g(x)恰有 2021 个零点,所有这些零点之和为 2021 故选:D 【点评】本题考查了函数的对称中心,找出对称中心点的坐标是解题的关键 二、填空题(本题共二、填空题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)在等比数列an中,an0,且 a1a1027,log3a2+log3a9 3 【分析】由等比数
21、列的性质可得:a2a9a1a10,再利用对数运算性质即可得出 【解答】解:由等比数列的性质可得:a2a9a1a1027, log3a2+log3a9log3(a2a9)3 故答案为:3 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数运算性质,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题 14 (5 分)若向量 , 夹角为,且,则 与的夹角为 【分析】根据题意,设 与的夹角为 ,由数量积的计算公式计算可得 () 、 |的值,又由 cos,代入数据计算可得 cos 的值,结合 的范围, 计算可得答案 【解答】解:根据题意,设 与的夹角为 , 向量 , 夹角为,且,则 211, () 2+2 6, 则
22、()2 2+4 +4212,则| |2, 则有 cos, 又由 0, 第 12 页(共 20 页) 则 ; 故答案为: 【点评】本题考查向量数量积的计算公式,涉及向量夹角的计算,关键是掌握向量数据 积的计算公式 15 (5 分)已知函数 f(x),则 f(x)1 的解集为 (, 0)(4,+) 【分析】本题为分段函数为载体的不等式解法问题,在作答过程中要分两段分别求解, 并注意分段条件在解题过程中的作用 【解答】解: f(x)1 , x0; x1,x0; 20当 x1 时,函数 f(x)log4x, f(x)1, log4x1log44, x4 又x1 x4 综上不等式的解集为(,0)(4,+
23、) 【点评】在解以分段函数为载体的不等式时候,要注意分段点的限制此题培养学生分 类整合的数学思想 16 (5 分)已知四面体 PABC 四个顶点都在球 O 的球面上,若 PB平面 ABC,ABAC, 且 AC1,ABPB2,则球 O 的表面积为 9 【分析】由 PB平面 ABC,ABAC 可得四个直角三角形,可知 PC 的中点 O 为外接球 球心,不难求解 【解答】解:由 PB平面 ABC,ABAC, 第 13 页(共 20 页) 可得图中四个直角三角形, 且 PC 为PBC,PAC 的公共斜边, 故球心 O 为 PC 的中点, 由 AC1,ABPB2, PC3, 球 O 的半径为, 其表面积
24、为:9 故答案为:9 【点评】此题考查了线面垂直,三棱锥的外接球面积,难度不大 三三.解答题: (共解答题: (共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答,第每个试题考生都必须作答,第 22、23 为选考题,考生根据要求作答) (一)必考题:共为选考题,考生根据要求作答) (一)必考题:共 60 分分 17 (12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间
25、后,记录他们日平均 增加的睡眠时间(单位:h)实验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5 2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4 1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5 ()分别计算两种药的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? 第 14 页(共 20 页) ()根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好? 【分析】 ()利用平均数
26、的计算公式即可得出,据此即可判断出结论; ()利用已知数据和茎叶图的结构即可完成 【解答】解: ()设 A 药观测数据的平均数据的平均数为 ,设 B 药观测数据的平均数 据的平均数为 , 则 (0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4) 2.3 (3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5) 1.6 由以上计算结果可知:由此可看出 A 药的效果更好 ()根据两组数
27、据得到下面茎叶图: 从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有的叶集中在 2,3 上而 B 药疗效的 试验结果有的叶集中在 0,1 上由此可看出 A 药的疗效更好 【点评】熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键 18 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知ABC 的面积 Sabc, sin2A+sin2B+sinAsinB2csinC ()求角 C; 第 15 页(共 20 页) ()求ABC 周长的取值范围 【分析】 ()由已知利用三角形的面积公式可得 2csinC,由正弦定理化简已知等式可 得 a2+b2+abc2由余弦定理得 co
28、sC,即可得解 C 的值 ()由()知 2csinC,由正弦定理,三角函数恒等变换的应用可得 a+b+csin (A+)+,由范围 A(0,) ,可求 A+( ,) ,利用正弦函数的 图象和性质可求ABC 的周长的取值范围 【解答】解: ()由 SabcabsinC,可知:2csinC, sin2A+sin2B+sinAsinBsin2C由正弦定理得 a2+b2+abc2 由余弦定理得 cosC, C ()由()知 2csinC, 2asinA,2bsinB ABC 的周长为 a+b+c(sinA+sinB+sinC) sinA+sin(A)+ (sinA+cosAsinA)+ (sinA+c
29、osA)+ sin(A+)+ A(0,) , A+(,) , sin(A+)(,1, ABC 的周长的取值范围为(, 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式,正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变换 的应用,正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想, 属于中档题 19 (12 分)已知三棱锥 PABC(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形 ABCD 为 第 16 页(共 20 页) 边长等于的正方形,ABE 和BCF 均为正三角形,在三棱锥 PABC 中: ()证明:平面 PAC平面 ABC; ()若点 M 在棱 PA 上运动,当直线 BM 与平面 PAC 所成的角
30、最大时,求三棱锥 M ABC 的体积 【分析】 ()由已知可得 PAPBPC,设 AC 的中点为 O,连接 BO,PO,求解 三角形证明 POAC, POOB, 得到 PO平面 ABC, 进一步得到平面 PAC平面 ABC; () 证明 M 是 PA 的中点时, 直线 BM 与平面 PAC 所成的角最大, 再由 求解 【解答】 ()证明:设 AC 的中点为 O,连接 BO,PO,由题意,PAPBPC, PO1, AOBOCO1, 在PAC 中,PAPC,O 为 AC 的中点,POAC, 在POB 中,PO1,OB1,PB,PO2+OB2PB2,即 POOB, ACOBO,PO平面 ABC, P
31、O平面 PAC,平面 PAC平面 ABC; ()解:由()知,BOPO,BOAC,POACO, BO平面 PAC,则BMO 是直线 BM 与平面 PAC 所成角,且 tanBMO 当 OM 最短时,即 M 是 PA 的中点时,BMO 最大 第 17 页(共 20 页) 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用 等积法求多面体的体积,是中档题 20 (12 分)已知抛物线 C:x22py(p0)上一点 M(m,9)到其焦点 F 的距离为 10 ()求抛物线 C 的方程; ()设过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,且抛物线在 A,B 两点处
32、的切线 分别交 x 轴于 P,Q 两点,求|AP|BQ|的取值范围 【分析】 ()可得抛物线的准线为,解得,p2,即可得抛物线的 方程 ( ) 设l : y kx+1 设A (), B ( x2,), 可 得 同理可得, ,即可得|AP|BQ|的取值范围 【解答】解: ()已知 M(m,9)到焦点 F 的距离为 10,则点 M 到其准线的距离为 10 抛物线的准线为, 解得,p2,抛物线的方程为 x24y(5 分) ()由已知可判断直线 l 的斜率存在,设斜率为 k,因为 F(0,1) ,则 l:ykx+1 设 A() ,B(x2,) ,由消去 y 得,x24kx40, x1+x24k,x1x
33、24 由于抛物线 C 也是函数的图象,且,则 令 y0,解得,P,从而 同理可得, k20,|AP|BQ|的取值范围为2,+) (12 分) 第 18 页(共 20 页) 【点评】本题考查抛物线的简单性质,直线与抛物线的位置关系的综合应用,考查转化 思想以及计算能力,属于中档题 21 (12 分)设函数 f(x)exax+3(aR) (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若函数 f(x)在区间1,2上的最小值是 4,求 a 的值 【分析】 (1)求出函数的导数通过 a 的讨论,判断导函数的符号,判断函数的单调性即 可 (2)由(1)知,当 a0 时,函数 f(x)在 R 上单调递增,当 l
34、na1,当 lna2, 当 1lna2 求出 f(lna)elnaalna+34 即 aalna10令 h(a)aalna 1(eae2) ,则 h(a)lna0,转化求解即可 【解答】解: (1)f(x)exa 当 a0 时,f(x)0,f(x)在 R 上单调递增; 当 a0 时,f(x)0 解得 xlna,由 f(x)0 解得 xlna 综上所述:当 a0 时,函数 f(x)在 R 上单调递增; 当 a0 时,函数 f(x)在(lna,+)上单调递增, 函数 f(x)在(,lna)上单调递减 (2)由(1)知,当 a0 时,函数 f(x)在 R 上单调递增, 函数 f(x)在1,2上的最小
35、值为 f(1)ea+34, 即 ae10,矛盾 当 a0 时,由(I)得 xlna 是函数 f(x)在 R 上的极小值点 当 lna1 即 oae 时,函数 f(x)在1,2上单调递增, 则函数 f(x)的最小值为 f(1)ea+34,即 ae1,符合条件 当 lna2 即 ae2时,函数 f(x)在1,2上单调递减, 则函数 f(x)的最小值为 f(2)e22a+34 即,矛盾 当 1lna2 即 eae2时,函数 f(x)在1,lna上单调递减,函数 f(x)在lna, 2上单调递增, 则函数 f(x)的最小值为 f(lna)elnaalna+34 即 aalna10 令 h(a)aaln
36、a1(eae2) ,则 h(a)lna0, h(a)在(e,e2)上单调递减, 第 19 页(共 20 页) 而 h(e)1, h(a)在(e,e2)上没有零点, 即当 eae2时,方程 aalna10 无解 综上,实数 a 的值为 e1 【点评】本题考查函数的导数,利用函数的单调性以及函数的极值,函数的最值的求法, 考查转化思想以及计算能力 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标
37、系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数)M 是 C1上的动点,P 点满足2,P 点的轨迹为曲线 C2 ()求 C2的方程; ()在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 与 C1的异于极点 的交点为 A,与 C2的异于极点的交点为 B,求|AB| 【分析】 (I)先设出点 P 的坐标,然后根据点 P 满足的条件代入曲线 C1的方程即可求出 曲线 C2的方程; (II)根据(I)将求出曲线 C1的极坐标方程,分别求出射线 与 C1的交点 A 的极 径为 1,以及射线 与 C2的交点 B 的极径为 2,最后根据|AB|21|求出所求 【解答】解: (I)设 P(x,y)
38、,则由条件知 M(,) 由于 M 点在 C1上, 所以即 从而 C2的参数方程为 ( 为参数) ()曲线 C1的极坐标方程为 4sin,曲线 C2的极坐标方程为 8sin 射线 与 C1的交点 A 的极径为 14sin, 射线 与 C2的交点 B 的极径为 28sin 所以|AB|21| 第 20 页(共 20 页) 【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量, 属于中档题 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分) 23设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c1, 证明: (1)ab+bc+ca; (2)+1 【分析】 (1)a2+b22ab,b
39、2+c22bc,c2+a22ca,由累加法,再由三个数的完全平方 公式,即可得证; (2)+b2a,+c2b,+a2c,运用累加法和条件 a+b+c1,即可得证 【解答】证明: (1)由 a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca, 可得 a2+b2+c2ab+bc+ca, (当且仅当 abc 取得等号) 由题设可得(a+b+c)21,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca1, 即有 3(ab+bc+ca)1,则 ab+bc+ca; (2)+b2a,+c2b,+a2c, 故+(a+b+c)2(a+b+c) , 即有+a+b+c (当且仅当 abc 取得等号) 故+1 【点评】本题考查不等式的证明,注意运用基本不等式和累加法证明,考查推理能力, 属于中档题