1、i 是虚数单位，则复数等于（ ） Ai Bi C1 D1 3 （5 分）设 aR，则 a1 是1 的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）下列函数中，与函数 y的定义域相同的函数为（ ） A B Cyxex D 5 （5 分）已知 a21.2，b（） 0.8，c2log 52，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Acba Bcab Cbac Dbca 6 （5 分）经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为 1：3：6，用分 层抽样的方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查， 其中中年人数为 12 人， 则 n （ ）
2、A30 B40 C60 D80 7 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a3+a813，S735，则 a8（ ） A8 B9 C10 D11 8 （5 分）函数 yxcosx+sinx 的图象大致为（ ） A B 第 2 页（共 20 页） C D 9 （5 分）在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足 x+y的概率是 （ ） A B C D 10 （5 分）下面有五个命题： 函数 ysin4xcos4x 的最小正周期是 ； 终边在 y 轴上的角的集合是 ； 在同一坐标系中，函数 ysinx 的图象和函数 yx 的图象有三个公共点； 把函数的图象向右平移个单位得到 y3sin2
3、x 的图象； 函数在0，上是减函数； 其中真命题的序号是（ ） A B C D 11 （5 分）设 F1、F2分别是双曲线 C：的左、右焦点，若双曲 线右支上存在一点 P，使|OP|OF1|（O 为原点） ，且，则双曲线的 离心率为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）x3+sinx（xR） ，函数 g（x）满足 g（x）+g（2x）0（xR） ， 若函数 h（x）f（x1）g（x）恰有 2021 个零点，则所有这些零点之和为（ ） A2018 B2019 C2020 D2021 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分
4、）分） 13 （5 分）在等比数列an中，an0，且 a1a1027，log3a2+log3a9 14 （5 分）若向量 ， 夹角为，且，则 与的夹角为 第 3 页（共 20 页） 15 （5 分）已知函数 f（x），则 f（x）1 的解集为 16 （5 分）已知四面体 PABC 四个顶点都在球 O 的球面上，若 PB平面 ABC，ABAC， 且 AC1，ABPB2，则球 O 的表面积为 三三.解答题： （共解答题： （共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试
5、题考生都必须作答，第 22、23 为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段时间后，记录他们日平均 增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下： 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5 2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠
6、时间： 3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4 1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5 （）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积 Sabc， sin2A+sin2B+sinAsinB2csinC （）求角 C； （）求ABC 周长的取值范围 19 （12 分）已知三棱锥 PABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 ABCD 为 边长等于的正方形，ABE 和BCF 均
7、为正三角形，在三棱锥 PABC 中： 第 4 页（共 20 页） （）证明：平面 PAC平面 ABC； （）若点 M 在棱 PA 上运动，当直线 BM 与平面 PAC 所成的角最大时，求三棱锥 M ABC 的体积 20 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0）上一点 M（m，9）到其焦点 F 的距离为 10 （）求抛物线 C 的方程； （）设过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，且抛物线在 A，B 两点处的切线 分别交 x 轴于 P，Q 两点，求|AP|BQ|的取值范围 21 （12 分）设函数 f（x）exax+3（aR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）
8、若函数 f（x）在区间1，2上的最小值是 4，求 a 的值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数）M 是 C1上的动点，P 点满足2，P 点的轨迹为曲线 C2 （）求 C2的方程； （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1的异于极点 的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求|AB| 选修选修 4
9、-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c1， 证明： （1）ab+bc+ca； （2）+1 第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年广西南宁三中高三（上）学年广西南宁三中高三（上）9 月月考数学试卷（文月月考数学试卷（文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给的四个选项中，只有一分在每小题给的四个选项中，只有一 项符合）项符合） 1 （5 分）已知集合 Ax|x|2，集合 B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A0，1
10、 B0，1，2 C1，0，1 D1，0，1，2 【分析】先求出集合 A 和 B，由此利用交集的定义能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x|2x|2x2， B1，0，1，2，3， AB1，0，1 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运 用 2 （5 分）i 是虚数单位，则复数等于（ ） Ai Bi C1 D1 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 3 （5 分）设 aR，则 a1 是1 的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不
11、充分也不必要条件 【分析】由1，解得 a0 或 a1即可判断出结论 【解答】解：由1，解得 a0 或 a1 a1 是1 的充分不必要条件 第 6 页（共 20 页） 故选：A 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 4 （5 分）下列函数中，与函数 y的定义域相同的函数为（ ） A B Cyxex D 【分析】可以求出的定义域为x|x0，然后求每个选项函数的定义域即可 【解答】解：函数的定义域为x|x0， 的定义域为x|x0；的定义域为x|x0； yxex的定义域为 R； 的定义域为x|x0， 与函数定义域相同的函数为 故选：D 【点评】考查
12、函数定义域的定义及求法，指数函数和对数函数的定义域 5 （5 分）已知 a21.2，b（） 0.8，c2log 52，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Acba Bcab Cbac Dbca 【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解 【解答】解：a21.22， b（） 0.820.8212， clog54log551， cba 故选：A 【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、 对数函数性质的合理运用 6 （5 分）经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为 1：3：6，用分 层抽样的方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查， 其中中年人数
13、为 12 人， 则 n （ ） 第 7 页（共 20 页） A30 B40 C60 D80 【分析】利用分层抽样的性质直接求解 【解答】解：经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为 1：3：6， 用分层抽样的方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中中年人数为 12 人， 则， 解得 n40 故选：B 【点评】本题考查样本容量的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 7 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a3+a813，S735，则 a8（ ） A8 B9 C10 D11 【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式，由题设条件
14、列出方程组，能求出等 差数列的首项和公差，由此能求出 a8 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn， 且 a3+a813，S735， ， 解得 a12，d1， a82+719 故选：B 【点评】本题考查等差数列的第二项的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项 公式的合理运用 8 （5 分）函数 yxcosx+sinx 的图象大致为（ ） A B 第 8 页（共 20 页） C D 【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除 B，然后利用 区特值排除 A 和 C，则答案可求 【解答】解：因为函数 yxcosx+sinx 为奇函数，所以排除选项 B， 由当 x时，
15、 当 x 时，ycos+sin0 由此可排除选项 A 和选项 C 故正确的选项为 D 故选：D 【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题 9 （5 分）在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足 x+y的概率是 （ ） A B C D 【分析】求出对应区域的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】解：平面区域对应区域为正方形，边长为 2，对应的面积 S22 4， 不等式 x+y对应的区域如图： 对应三角形 OAB， 当 x0 时，y，当 y0 时，x， 即 A（0，） ，B（，0） ， 则， 则所取的点恰好满足 x+y的概率 P， 故选：C 第 9 页
16、（共 20 页） 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出对应的图形的面积是解决本 题的关键 10 （5 分）下面有五个命题： 函数 ysin4xcos4x 的最小正周期是 ； 终边在 y 轴上的角的集合是 ； 在同一坐标系中，函数 ysinx 的图象和函数 yx 的图象有三个公共点； 把函数的图象向右平移个单位得到 y3sin2x 的图象； 函数在0，上是减函数； 其中真命题的序号是（ ） A B C D 【分析】函数 ysin4xcos4xcos2x， ； 终边在 y 轴上的角的集合是； 在同一坐标系中，函数 ysinx 的图象和 yx 的图象只有原点这一个公共点； 把函数的图
17、象向右平移个单位得到 y3sin2x 的图象； 函数cosx 在（0，）上是增函数，故可得结论 【解答】解：函数 ysin4xcos4xcos2x，可知最小正周期是 ，故正确； 终边在 y 轴上的角的集合是，故不正确； 在同一坐标系中，函数 ysinx 的图象和 yx 的图象只有原点这一个公共点，sinx x 只有一个解， x0 时，sinxx；x0 时，sinxx；x0 时，sinxx，故不成立； 第 10 页（共 20 页） 把函数的图象向右平移个单位得到 y3sin2x 的图象，故正确； 函数cosx 在（0，）上是增函数，故不正确； 故正确命题是： 故选：B 【点评】本题考查诱导公式的
18、灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数 的恒等变换 11 （5 分）设 F1、F2分别是双曲线 C：的左、右焦点，若双曲 线右支上存在一点 P，使|OP|OF1|（O 为原点） ，且，则双曲线的 离心率为（ ） A B C D 【分析】依题意可知|OF1|OF2|OP|判断出F1PF290，设出|PF2|t，则|F1P| t，进而利用双曲线定义可用 t 表示出 a，根据勾股定理求得 t 和 c 的关系，最后可求 得双曲线的离心率 【解答】解：|OF1|OF2|OP| F1PF290 设|PF2|t，则|F1P|t，a t2+3t24c2，则 tc e+1 故选：D 【点评】本题主要
19、考查了双曲线的简单性质考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运 用 12 （5 分）已知函数 f（x）x3+sinx（xR） ，函数 g（x）满足 g（x）+g（2x）0（xR） ， 若函数 h（x）f（x1）g（x）恰有 2021 个零点，则所有这些零点之和为（ ） A2018 B2019 C2020 D2021 【分析】根据 f（x）为奇函数得到 f（x1）关于（1，0）对称，g（x）+g（2x）0， 得 g（x）关于（1，0）对称，所以 h（x）关于（1，0）对称，通过对称性可得答案 第 11 页（共 20 页） 【解答】解：因为 f（x）3x3 2sinxf（x） ，所以函数 f（x）为奇
20、函数； 所以函数 f（x）关于（0，0）对称，则 f（x1）关于（1，0）对称； 又因为函数 g（x）满足 g（x）+g（x2）0，所以 g（x）关于（1，0）对称； 所以 h（x）f（x1）g（x）关于（1，0）对称， 又因为 h（x）f（x1）g（x）恰有 2021 个零点，所有这些零点之和为 2021 故选：D 【点评】本题考查了函数的对称中心，找出对称中心点的坐标是解题的关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在等比数列an中，an0，且 a1a1027，log3a2+log3a9 3 【分析】由等比数
21、列的性质可得：a2a9a1a10，再利用对数运算性质即可得出 【解答】解：由等比数列的性质可得：a2a9a1a1027， log3a2+log3a9log3（a2a9）3 故答案为：3 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数运算性质，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 14 （5 分）若向量 ， 夹角为，且，则 与的夹角为 【分析】根据题意，设 与的夹角为 ，由数量积的计算公式计算可得 （） 、 |的值，又由 cos，代入数据计算可得 cos 的值，结合 的范围， 计算可得答案 【解答】解：根据题意，设 与的夹角为 ， 向量 ， 夹角为，且，则 211， （） 2+2 6， 则
22、（）2 2+4 +4212，则| |2， 则有 cos， 又由 0， 第 12 页（共 20 页） 则 ； 故答案为： 【点评】本题考查向量数量积的计算公式，涉及向量夹角的计算，关键是掌握向量数据 积的计算公式 15 （5 分）已知函数 f（x），则 f（x）1 的解集为 （， 0）（4，+） 【分析】本题为分段函数为载体的不等式解法问题，在作答过程中要分两段分别求解， 并注意分段条件在解题过程中的作用 【解答】解： f（x）1 ， x0； x1，x0； 20当 x1 时，函数 f（x）log4x， f（x）1， log4x1log44， x4 又x1 x4 综上不等式的解集为（，0）（4，+
23、） 【点评】在解以分段函数为载体的不等式时候，要注意分段点的限制此题培养学生分 类整合的数学思想 16 （5 分）已知四面体 PABC 四个顶点都在球 O 的球面上，若 PB平面 ABC，ABAC， 且 AC1，ABPB2，则球 O 的表面积为 9 【分析】由 PB平面 ABC，ABAC 可得四个直角三角形，可知 PC 的中点 O 为外接球 球心，不难求解 【解答】解：由 PB平面 ABC，ABAC， 第 13 页（共 20 页） 可得图中四个直角三角形， 且 PC 为PBC，PAC 的公共斜边， 故球心 O 为 PC 的中点， 由 AC1，ABPB2， PC3， 球 O 的半径为， 其表面积
24、为：9 故答案为：9 【点评】此题考查了线面垂直，三棱锥的外接球面积，难度不大 三三.解答题： （共解答题： （共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22、23 为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段时间
25、后，记录他们日平均 增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下： 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5 2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4 1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5 （）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ 第 14 页（共 20 页） （）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 【分析】 （）利用平均数
26、的计算公式即可得出，据此即可判断出结论； （）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成 【解答】解： （）设 A 药观测数据的平均数据的平均数为 ，设 B 药观测数据的平均数 据的平均数为 ， 则 （0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4） 2.3 （3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5） 1.6 由以上计算结果可知：由此可看出 A 药的效果更好 （）根据两组数
27、据得到下面茎叶图： 从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有的叶集中在 2，3 上而 B 药疗效的 试验结果有的叶集中在 0，1 上由此可看出 A 药的疗效更好 【点评】熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积 Sabc， sin2A+sin2B+sinAsinB2csinC （）求角 C； 第 15 页（共 20 页） （）求ABC 周长的取值范围 【分析】 （）由已知利用三角形的面积公式可得 2csinC，由正弦定理化简已知等式可 得 a2+b2+abc2由余弦定理得 co
28、sC，即可得解 C 的值 （）由（）知 2csinC，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得 a+b+csin （A+）+，由范围 A（0，） ，可求 A+（ ，） ，利用正弦函数的 图象和性质可求ABC 的周长的取值范围 【解答】解： （）由 SabcabsinC，可知：2csinC， sin2A+sin2B+sinAsinBsin2C由正弦定理得 a2+b2+abc2 由余弦定理得 cosC， C （）由（）知 2csinC， 2asinA，2bsinB ABC 的周长为 a+b+c（sinA+sinB+sinC） sinA+sin（A）+ （sinA+cosAsinA）+ （sinA+c
29、osA）+ sin（A+）+ A（0，） ， A+（，） ， sin（A+）（，1， ABC 的周长的取值范围为（， 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换 的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想， 属于中档题 19 （12 分）已知三棱锥 PABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 ABCD 为 第 16 页（共 20 页） 边长等于的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形，在三棱锥 PABC 中： （）证明：平面 PAC平面 ABC； （）若点 M 在棱 PA 上运动，当直线 BM 与平面 PAC 所成的角
30、最大时，求三棱锥 M ABC 的体积 【分析】 （）由已知可得 PAPBPC，设 AC 的中点为 O，连接 BO，PO，求解 三角形证明 POAC， POOB， 得到 PO平面 ABC， 进一步得到平面 PAC平面 ABC； （） 证明 M 是 PA 的中点时， 直线 BM 与平面 PAC 所成的角最大， 再由 求解 【解答】 （）证明：设 AC 的中点为 O，连接 BO，PO，由题意，PAPBPC， PO1， AOBOCO1， 在PAC 中，PAPC，O 为 AC 的中点，POAC， 在POB 中，PO1，OB1，PB，PO2+OB2PB2，即 POOB， ACOBO，PO平面 ABC， P
31、O平面 PAC，平面 PAC平面 ABC； （）解：由（）知，BOPO，BOAC，POACO， BO平面 PAC，则BMO 是直线 BM 与平面 PAC 所成角，且 tanBMO 当 OM 最短时，即 M 是 PA 的中点时，BMO 最大 第 17 页（共 20 页） 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 等积法求多面体的体积，是中档题 20 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0）上一点 M（m，9）到其焦点 F 的距离为 10 （）求抛物线 C 的方程； （）设过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，且抛物线在 A，B 两点处
32、的切线 分别交 x 轴于 P，Q 两点，求|AP|BQ|的取值范围 【分析】 （）可得抛物线的准线为，解得，p2，即可得抛物线的 方程 （ ） 设l ： y kx+1 设A （）， B （ x2，）， 可 得 同理可得， ，即可得|AP|BQ|的取值范围 【解答】解： （）已知 M（m，9）到焦点 F 的距离为 10，则点 M 到其准线的距离为 10 抛物线的准线为， 解得，p2，抛物线的方程为 x24y（5 分） （）由已知可判断直线 l 的斜率存在，设斜率为 k，因为 F（0，1） ，则 l：ykx+1 设 A（） ，B（x2，） ，由消去 y 得，x24kx40， x1+x24k，x1x
33、24 由于抛物线 C 也是函数的图象，且，则 令 y0，解得，P，从而 同理可得， k20，|AP|BQ|的取值范围为2，+） （12 分） 第 18 页（共 20 页） 【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化 思想以及计算能力，属于中档题 21 （12 分）设函数 f（x）exax+3（aR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若函数 f（x）在区间1，2上的最小值是 4，求 a 的值 【分析】 （1）求出函数的导数通过 a 的讨论，判断导函数的符号，判断函数的单调性即 可 （2）由（1）知，当 a0 时，函数 f（x）在 R 上单调递增，当 l
34、na1，当 lna2， 当 1lna2 求出 f（lna）elnaalna+34 即 aalna10令 h（a）aalna 1（eae2） ，则 h（a）lna0，转化求解即可 【解答】解： （1）f（x）exa 当 a0 时，f（x）0，f（x）在 R 上单调递增； 当 a0 时，f（x）0 解得 xlna，由 f（x）0 解得 xlna 综上所述：当 a0 时，函数 f（x）在 R 上单调递增； 当 a0 时，函数 f（x）在（lna，+）上单调递增， 函数 f（x）在（，lna）上单调递减 （2）由（1）知，当 a0 时，函数 f（x）在 R 上单调递增， 函数 f（x）在1，2上的最小
35、值为 f（1）ea+34， 即 ae10，矛盾 当 a0 时，由（I）得 xlna 是函数 f（x）在 R 上的极小值点 当 lna1 即 oae 时，函数 f（x）在1，2上单调递增， 则函数 f（x）的最小值为 f（1）ea+34，即 ae1，符合条件 当 lna2 即 ae2时，函数 f（x）在1，2上单调递减， 则函数 f（x）的最小值为 f（2）e22a+34 即，矛盾 当 1lna2 即 eae2时，函数 f（x）在1，lna上单调递减，函数 f（x）在lna， 2上单调递增， 则函数 f（x）的最小值为 f（lna）elnaalna+34 即 aalna10 令 h（a）aaln
36、a1（eae2） ，则 h（a）lna0， h（a）在（e，e2）上单调递减， 第 19 页（共 20 页） 而 h（e）1， h（a）在（e，e2）上没有零点， 即当 eae2时，方程 aalna10 无解 综上，实数 a 的值为 e1 【点评】本题考查函数的导数，利用函数的单调性以及函数的极值，函数的最值的求法， 考查转化思想以及计算能力 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标
37、系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数）M 是 C1上的动点，P 点满足2，P 点的轨迹为曲线 C2 （）求 C2的方程； （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1的异于极点 的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求|AB| 【分析】 （I）先设出点 P 的坐标，然后根据点 P 满足的条件代入曲线 C1的方程即可求出 曲线 C2的方程； （II）根据（I）将求出曲线 C1的极坐标方程，分别求出射线 与 C1的交点 A 的极 径为 1，以及射线 与 C2的交点 B 的极径为 2，最后根据|AB|21|求出所求 【解答】解： （I）设 P（x，y）
38、，则由条件知 M（，） 由于 M 点在 C1上， 所以即 从而 C2的参数方程为 （ 为参数） （）曲线 C1的极坐标方程为 4sin，曲线 C2的极坐标方程为 8sin 射线 与 C1的交点 A 的极径为 14sin， 射线 与 C2的交点 B 的极径为 28sin 所以|AB|21| 第 20 页（共 20 页） 【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量， 属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c1， 证明： （1）ab+bc+ca； （2）+1 【分析】 （1）a2+b22ab，b
39、2+c22bc，c2+a22ca，由累加法，再由三个数的完全平方 公式，即可得证； （2）+b2a，+c2b，+a2c，运用累加法和条件 a+b+c1，即可得证 【解答】证明： （1）由 a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca， 可得 a2+b2+c2ab+bc+ca， （当且仅当 abc 取得等号） 由题设可得（a+b+c）21，即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca1， 即有 3（ab+bc+ca）1，则 ab+bc+ca； （2）+b2a，+c2b，+a2c， 故+（a+b+c）2（a+b+c） ， 即有+a+b+c （当且仅当 abc 取得等号） 故+1 【点评】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法证明，考查推理能力， 属于中档题