1、下面是关于复数的四个命题： |z|2； z22i； z 的共轭复数为 1+i； z 的虚部为1 其中正确的命题（ ） A B C D 6（5 分） 已知向量| |1， | |， 且 （2 + ） 3， 则向量 ， 的夹角的余弦值为 （ ） A B C D 7 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的取值范围是（ ） A3，4 B3，12 C3，9 D4，9 8 （5 分）要得到函数的图象，只需将函数的图 象（ ） 第 2 页（共 16 页） A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 9 （5 分）在ABC 中，若 sinA：sin
2、B：sinC2：3：4，则ABC 是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C锐三角形 D等腰直角三角形 10 （5 分）不等式的解集是（ ） Ax|2x4 Bx|2x4 Cx|x4 Dx|x2 11 （5 分）已知函数 f（x）xa的图象过点（4，2） ，令（nN*） ，记 数列an的前 n 项和为 Sn，则 S2017（ ） A B C D 12 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初步健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其 大意为： “有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一 天
3、的一半，走了 6 天后到达目的地 ”则该人第五天走的路程为（ ） A48 里 B24 里 C12 里 D6 里 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若，则 tan2 14 （5 分）已知 2a+4b2（a，bR） ，则 a+2b 的最大值为 15 （5 分）将全体正偶数排成一个三角数阵：按照以上排列的规律，第 n 行（n3）从左 向右的第 3 个数为 16 （5 分）已知ABC 面积 S 和三边 a，b，c 满足：Sa2（bc）2，b+c8，则ABC 面积 S 的最大值为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分其中分其中 17 题题 10 分，其
4、它每题分，其它每题 12 分，解答应写出文字说明，证明过分，解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 17 （10 分）在等差数列an中，a12，a1220 第 3 页（共 16 页） （1）求数列an的通项 an； （2）若，求数列的前 n 项和 18（12 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知 sinAsinC （cosB+sinB） 0 （1）求角 C 的大小； （2）若 c2，且ABC 的面积为，求 a，b 的值 19 （12 分）已知函数 f（x）sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1，xR （1）求函数 f（x
5、）的最小正周期； （2）求函数 f（x）在区间上的最大值和最小值 20 （12 分）已知各项都不相等的等差数列an，a66，又 a1，a2，a4成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn+2n，求数列bn的前 n 项和 Sn 21 （12 分）等差数列an的前 n 项和为 （）求数列an的通项公式； （）若数列bn满足，求数列bn的前 n 项和 Tn 22 （12 分）为绘制海底地貌图，测量海底两点 C，D 间的距离，海底探测仪沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，B，C，D 在同一个铅垂平面内海底探测仪测得BAC30， DAC45，ABD45，DBC75，同时测得海里 （1）
6、求 AD 的长度； （2）求 C，D 之间的距离 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年内蒙古鄂尔多斯市高三（上）期中数学试卷（文学年内蒙古鄂尔多斯市高三（上）期中数学试卷（文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 ）的 ） 1 （5 分）已知 ab0，则下列不等式成立的是（ ） Aa2b2 Ba2ab C D 【分析】方法一：该题是选择题，可利用排除法，数可以是满足 ab0 任意数，代入 后看所给等式是
7、否成立，即可得到正确选项 方法二：比较大小可采用作差比较，一般步骤是作差、变形、定号，从而得到大小关系 【解答】解：方法一：若 ab0，不妨设 a2，b1 代入各个选项，错误的是 A、 B、D， 故选 C 方法二：ab0a2b2（ab） （a+b）0 即 a2b2，故选项 A 不正确； ab0a2aba（ab）0 即 a2ab，故选项 B 不正确； ab00 即，故选项 C 不正确； ab010 即1，故选项 D 正确 故选：D 【点评】本题主要考查了比较大小，利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属 于基础题 本题主要考查了比较大小，常常利用作差与 0 进行比较，同号时有时作商与 1 比
8、较，属 于基础题 2 （5 分）设 UR，A2，1，0，1，2，Bx|x1，则 AUB（ ） A1，2 B1，0，1 C2，1，0 D2，1，0， 1 【分析】根据补集与交集的定义，写出UB 与 AUB 即可 【解答】解：因为全集 UR，集合 Bx|x1， 第 5 页（共 16 页） 所以UBx|x1（，1） ， 且集合 A2，1，0，1，2， 所以 AUB2，1，0 故选：C 【点评】本题考查了集合的定义与计算问题，是基础题目 3 （5 分）已知向量 （1，2） ， （2，3） ，若，则实数 k 的值为 （ ） A B C3 D3 【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得与的坐标，进而由向
9、 量平行的坐标表示方法可得（5）（2k+3）（7）（k+2） ，解可得 k 的值，即 可得答案 【解答】解：根据题意，向量 （1，2） ， （2，3） ， 则（k+2，2k+3） ，（5，7） ， 若，则有（5）（2k+3）（7）（k+2） ， 解可得：k， 故选：A 【点评】本题考查向量平行的坐标计算，关键是求出与的坐标 4 （5 分）已知，且 是第三象限的角，则（ ） A B C D 【分析】 由 sin 的值， 以及 为第三象限角， 利用同角三角函数间的基本关系求出 cos， 所求式子利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入 计算即可求出值 【解答】解：sin
10、， 是第三象限的角， cos， 则 sin（+）sin+cos（） 第 6 页（共 16 页） 故选：D 【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟 练掌握公式是解本题的关键 5 （5 分）下面是关于复数的四个命题： |z|2； z22i； z 的共轭复数为 1+i； z 的虚部为1 其中正确的命题（ ） A B C D 【分析】根据复数的除法运算法则先化简复数为 a+bi，a、bR 形式，再根据共轭复数、 复数的虚部、复数模的计算公式求解 【解答】解：复数1i|Z|，； Z2（1）2+i2+2i2i，； 1+i，； Z1i，虚部为1故 故选：C 【点评】本题
11、考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念 6（5 分） 已知向量| |1， | |， 且 （2 + ） 3， 则向量 ， 的夹角的余弦值为 （ ） A B C D 【分析】根据题意，设向量 ， 的夹角为 ，由数量积的计算公式可得 （2 + ）2 + 22（1 cos）+23，解可得 cos 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，设向量 ， 的夹角为 ， 向量| |1，| |， 则 （2 + ）2 + 22（1 cos）+23， 解可得 cos； 故选：A 【点评】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式 第 7 页（共 16 页） 7 （5 分）若实数 x，y 满足
12、约束条件，则 z2x+y 的取值范围是（ ） A3，4 B3，12 C3，9 D4，9 【分析】出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求 z 的取值范围 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z， 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 A（1，1）时，直线的截距最小， 此时 z 最小，为 z2+13， 当直线 y2x+z 经过点 B 时，直线的截距最大， 此时 z 最大， 由，解得 B（3，3） ，此时 z23+39， 即 3z9， 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关
13、 键，利用数形结合是解决问题的基本方法 8 （5 分）要得到函数的图象，只需将函数的图 象（ ） A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 第 8 页（共 16 页） C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 【分析】利用诱导公式化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确 定平移的方向与单位为向右平移个长度单位，即可得解 【解答】解：分别把两个函数解析式简化为 f（x）sin（2x+）sin2（x+）， 函数 g （x） cos （2x+） sin （2x+） sin2 （x+） sin2 （x+） ， 可知只需把函数 g（x）的图象向右平移个长度单位，得到函数 f（x）的图
14、象 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数图象之间的关系和变换，根据三角函数解析式之间的关 系是解决本题的关键，属于基础题 9 （5 分）在ABC 中，若 sinA：sinB：sinC2：3：4，则ABC 是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C锐三角形 D等腰直角三角形 【分析】由题意利用正弦定理，推出 a，b，c 的关系，然后利用余弦定理求出 cosC 的值， 即可得解 【解答】解：sinA：sinB：sinC2：3：4 由正弦定理可得：a：b：c2：3：4， 不妨令 a2x，b3x，c4x， 由余弦定理：c2a2+b22abcosC，所以 cosC ， 0C， C 为钝角 故选：B 【点
15、评】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型 10 （5 分）不等式的解集是（ ） Ax|2x4 Bx|2x4 Cx|x4 Dx|x2 【分析】利用指数式的单调性化指数不等式为一元二次不等式求解 【解答】解：由，得， 第 9 页（共 16 页） 8x22x，即 x22x80，解得2x4 不等式的解集是x|2x4 故选：A 【点评】本题考查指数不等式的解法，考查了指数函数的单调性，是基础题 11 （5 分）已知函数 f（x）xa的图象过点（4，2） ，令（nN*） ，记 数列an的前 n 项和为 Sn，则 S2017（ ） A B C D 【分析】由代入法，可得 a 的
16、值，求得， 再由数列的求和方法：裂项相消求和即可得到所求和 【解答】解：函数 f（x）xa的图象过点（4，2） ， 可得 4a2，解得 a， f（x）， 则， 则 S20171+1 故选：B 【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，同时考查幂函数的解析式的求法， 考查化简整理的运算能力，属于中档题 12 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初步健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其 大意为： “有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一 天的一半，走了 6 天后到达目的地 ”则
17、该人第五天走的路程为（ ） A48 里 B24 里 C12 里 D6 里 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由 S6378 求得 首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程 【解答】解：记每天走的路程里数为an， 由题意知an是公比的等比数列， 第 10 页（共 16 页） 由 S6378，得378， 解得：a1192， 12（里） 故选：C 【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等 比数列的性质的合理运用 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若，则 tan2 【分析】由条件可
18、得 tan 的值，再利用二倍角的正切公式，即可求得结论 【解答】解：， 2（sin+cos）sincos sin3cos tan3 tan2 故答案为： 【点评】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键 14 （5 分）已知 2a+4b2（a，bR） ，则 a+2b 的最大值为 0 【分析】根据基本不等式的性质以及指数的运算性质计算即可 【解答】解：2a+4b2， 22a+22b22， 故 2a+2b1，解得：a+2b0， 故 a+2b 的最大值是 0， 故答案为：0 【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查指数的运算，是一道基础题 15 （5 分）将全体正偶数排成
19、一个三角数阵：按照以上排列的规律，第 n 行（n3）从左 向右的第 3 个数为 n2n+6 第 11 页（共 16 页） 【分析】首先找出三角形数阵的规律，求出前 n1 行正偶数的个数，然后由偶数的特点 求出第 n 行第 3 个偶数 【解答】解：观察三角形数阵知第 n 行有 n 个正偶数， 则第 n 行（n3）前共有 1+2+3+（n1）个数， 所以第 n 行（n3）从左向右的第 3 个数为 2+3n2n+6， 故答案为：n2n+6 【点评】本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力 16 （5 分）已知ABC 面积 S 和三边 a，b，c 满足：Sa2（bc）2，b
20、+c8，则ABC 面积 S 的最大值为 【分析】利用三角形面积公式变形出 S，利用余弦定理列出关系式，代入已知等式计算即 可求出 S 的最大值 【解答】解：a2b2+c22bccosA，即 a2b2c22bccosA，SABCbcsinA， 分别代入已知等式得：bcsinA2bc2bccosA，即 sinA44cosA， 代入 sin2A+cos2A1 得：cosA， sinA， b+c8， c8b， SABCbcsinAbcb（8b） （）2，当且仅当 b8b， 即 b4 时取等号， 则ABC 面积 S 的最大值为 故答案为： 【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间
21、基本关系的运 用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 70 分其中分其中 17 题题 10 分，其它每题分，其它每题 12 分，解答应写出文字分，解答应写出文字说明，证明过说明，证明过 第 12 页（共 16 页） 程或演算步骤）程或演算步骤） 17 （10 分）在等差数列an中，a12，a1220 （1）求数列an的通项 an； （2）若，求数列的前 n 项和 【分析】 （1）利用等差数列通项公式即可得出 （2）利用等比数列的求和公式即可得出 【解答】解： （1）设数列an的公差为 d，则2+11d20，解得 d2 an2+2（n1）2n4 （2）a1+a2+ann
22、23n n3， 3n 3 数列的前 n 项和 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 18（12 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知 sinAsinC （cosB+sinB） 0 （1）求角 C 的大小； （2）若 c2，且ABC 的面积为，求 a，b 的值 【分析】 （1）由三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 tanC ，即可得解 C 的值 （2）利用三角形面积公式可求 ab4，利用余弦定理可得 a2+b28，联立即可解得 a，b 的值 【解答】 （本题满分为 12
23、 分） 解： （1）由题意得，sinAsin（B+C） ， sinBcosC+sinCcosBsinCcosBsinBsinC0，（2 分） 即 sinB（cosCsinC）0， 第 13 页（共 16 页） sinB0， tanC，故 C（6 分） （2）ab， ab4， 又 c2，（8 分） a2+b22ab4， a2+b28 由，解得 a2，b2（12 分） 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公 式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题 19 （12 分）已知函数 f（x）sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1，xR
24、 （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）求函数 f（x）在区间上的最大值和最小值 【分析】 （1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将 f（x）sin（2x+） +sin（2x）+2cos2x1 化为 f（x）sin（2x+） ，即可求得函数 f（x）的最小 正周期； （2）可分析得到函数 f（x）在区间上是增函数，在区间，上是减 函数，从而可求得 f（x）在区间上的最大值和最小值 【解答】 解： （1） f （x） sin2xcos+cos2xsin+sin2xcoscos2xsin+cos2x sin2x+cos2x sin（2x+） ， 函数 f（x）的最小正周期 T （2
25、）函数 f（x）在区间上是增函数，在区间，上是减函数， 又 f（）1，f（），f（）1， 第 14 页（共 16 页） 函数 f（x）在区间上的最大值为，最小值为1 【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式 与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得 f（x）sin（2x+）是关键，属 于中档题 20 （12 分）已知各项都不相等的等差数列an，a66，又 a1，a2，a4成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn+2n，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程组，求出首项和公差，由 此能求出
26、数列an的通项公式 （2）由 bn+2n2n+2n，利用分组求和法能求出数列bn的前 n 项和 【解答】解： （1）各项都不相等的等差数列an，a66，又 a1，a2，a4成等比数列 ， 解得 a11，d1， 数列an的通项公式 an1+（n1）1n （2）bn+2n2n+2n， 数列bn的前 n 项和： Sn（2+22+23+2n）+2（1+2+3+n） +2 2n+12+n2+n 【点评】本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审 题，注意分组求和法的合理运用 21 （12 分）等差数列an的前 n 项和为 （）求数列an的通项公式； （）若数列bn满足，求数
27、列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （）根据数列的递推公式即可求出数列的通项公式， 第 15 页（共 16 页） （）化简数列bn，再根据裂项求和即可求出 【解答】解： （）当 n1 时，a12， 当 n2 时， 数列an的通项公式为 ann+1； （）， 【点评】本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了学生的运算能力，属于中档题 22 （12 分）为绘制海底地貌图，测量海底两点 C，D 间的距离，海底探测仪沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，B，C，D 在同一个铅垂平面内海底探测仪测得BAC30， DAC45，ABD45，DBC75，同时测得海里 （1）求 AD 的长度； （2）求
28、C，D 之间的距离 【分析】 （1）先求得BAD75，可得ADB60，利用条件以及正弦定理求得 AD 的值 （2）先求得 BC、AB 的值，可得ABC 为等腰三角形，可得 AC 的值，在ACD 中，由 余弦定理求得 CD 的值 【解答】解： （1）如图所示，在ABD 中， BADBAC+DAC30+4575， ADB60， 由正弦定理可得， （2）ABCABD+DBC45+75120，BACBCA30， ，AC3 在ACD 中，由余弦定理得，CD2AC2+AD22ACADcosDAC5， 即（海里）（13 分） 第 16 页（共 16 页） 答：，C，D 间的距离为海里 【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题