1、20202020 年福州市高中毕业班质量检测数学（文科）试卷年福州市高中毕业班质量检测数学（文科）试卷 （完卷时间：120 分钟 满分：150 分） （在此卷上答题无效） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页 注意事项： 1答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其它答案标号第卷用亳米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答
2、，答案无效 3考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1若复数1zi ，则 z z i （ ） A0 B2 C2i D2i 2已知集合 2 |4Mx x， |20Nxx，则MN（ ） A | 22xx B |02xx C | 22xx D |2x x 3已知01m，设 3 am，3mb ， 3 logcm，则（ ） Abac Babc Ccba Dbca 4下列函数中为奇函数的是（ ） Asinyxx B xx yee C 1 lnlnyx x D ln ,0, ln(
3、),0 xx y xx 5在ABC中， 21 33 ADABAC，则 BD DC （ ） A 1 3 B 1 2 C 2 3 D2 62021 年开始，我省将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语 3 门必选科目外，考生 再从物理、历史中选 1 门，从化学、生物、地理、政治中选 2 门作为选考科目为了帮助学生合理选科， 某中学将高一每个学生 6 门科目综合成绩均按比例缩放成 5 分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如 图所示，下面叙述一定不正确 的是（ ） A甲的物理成绩领先年级平均分最多 B甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分 C甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理、
4、化学、历史 D对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果 7如图来自古希腊数学家阿基米德所研究的几何图形此图形由三个半圆构成，两个小半圆外切，又同时 内切于大半圆，三个半圆弧围成曲边三角形（黑色部分） ，由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，又称 此图形为“皮匠刀”图形若2ACCB，在整个图形中随机取一点，则此点取自曲边三角形（黑色部分） 的概率为（ ） A 2 9 B 4 9 C 1 2 D 5 9 8 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的条渐近线与圆 22 (2 3)4xy交于A， B两点， 若| 2AB ， 则该双曲线的离心率为（ ） A 2 3 3 B3
5、C2 D4 9已知( )2sin()(0)f xx ，且2 4 f ，0 4 f ，则（ ） A有最小值 1 B有最大值 1 C有最小值 3 D有最大值 3 10我国古代名著九章算术中，将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体称之为阳马已 知阳马PABCD的顶点都在球 O 的表面上，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD， 1ABADAP，则球 O 的半径为（ ） A 1 2 B 3 2 C1 D3 11已知两条抛物线 2 :2C yx， 2 :2E ypx（0p 且1p ） ，M 为 C 上一点（异于原点 O） ，直线 OM 与 E 的另一个交点为 N若过 M 的直线
6、l 与 E 相交于 A，B 两点，且ABN的面积是ABO面积的 3 倍则p （ ） A8 B6 C4 D2 12已知，是函数 1 ( )sincos 3 f xxx在0,2 )上的两个零点，则cos()（ ） A1 B 8 9 C 2 2 D0 第卷 注意事项： 用 05 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知 2 ( )lnf xxx，则曲线( )yf x在1x 处的切线方程为_ 14设 x，y 满足约束条件 22 0, 240, 2, xy xy x ，则3zxy的最小值为_ 1
7、5已知三棱锥PABC的各棱长均为 2，M，N 分别为 BC，PA 的中点，则异面直线 MN 与 PC 所成角的 大小为_ 16ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC的面积 222 8 abc S ，D 为线段 BC 上一 点若ABD为等边三角形，则tanDAC的值为_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a为递减的等差数列， 1 a， 6 a为方程 2 9140
8、xx的两根 （1）求 n a的通项公式； （2）设2n nn ba，求数列 n b的前 n 项和 18 （本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 111 ABCABC中，90ACB ，45ABC ， 1 2ABAA，P 为 1 CC的中点 （1）证明： 1 AB 平面 1 PAB； （2）设 E 为 BC 的中点，线段 1 AB上是否存在一点 Q，使得QE平面 11 A ACC？若存在，求四棱锥 11 QAACC的体积；若不存在，请说明理由 19 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过点 2 1, 2 ， 1 F， 2 F是 C 的左、右焦点，过
9、1 F的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，且 2 ABF的周长为4 2 （1）求 C 的方程； （2）若 22 3F A F B，求 l 的方程 20 （本小题满分 12 分） 下图是某校某班 44 名同学的某次考试的物理成绩 y 和数学成绩 x 的散点图： 根据散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 A，B经调查得知，A 考生由于重 感冒导致物理考试发挥失常， B 生因故未能参加物理考试 为了使分析结果更科学准确， 剔除这两组数据后， 对剩下的数据作处理，得到一些统计量的值： 42 1 4641 i i x ， 42 1 3108 i i y ， 42 1 3
10、50350 ii i x y ， 42 2 1 13814.5 i i xx ， 42 2 1 5250 i i yy ， 其中 i x， i y分别表示这 42 名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,42i y 与 x 的相关系数0.82r （1）若不剔除 A、B 两名考生的数据，用 44 数据作回归分析，设此时 y 与 x 的相关系数为 0 r，试判断 0 r与 r 的大小关系，并说明理由； （2）求 y 关于 x 的线性回归方程（系数精确到0.01） ，并估计如果 B 考生参加了这次物理考试（已知 B 考 生的数学成绩为 125 分） ，物理成绩是多少？（精确到个位） 附：回归方程 yab
11、x中 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( )(sincos )exf xxxx，( )fx 为( )f x的导函数 （1）设( )( )( )g xfxf x ，求( )g x的单调区间； （2）若0x，证明：( )1f xx （二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分， 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 5cos1, 5si
12、n x y （为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴，建立极坐标系 （1）求 1 C的极坐标方程； （2）若 1 C与曲线 2: 2sinC交于 A，B 两点，求| |OAOB的值 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |1|2|f xxxa （1）当3a 时，解不等式( ) 2f x ； （2）若不等式|1|( )3xf x的解集非空，求实数 a 的取值范围 2020 年福州市高中毕业班质量检测 数学（文科）参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照 评分标准
13、制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影 响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严 重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 1D 2A 3A 4D 5B 6C 7B 8C 9A 10B 11C 12B 113 ABN ABO S S ，得 | 3 | MN MO ，故3 NM M yy y （*） ，设直线 OM 的方程为
14、ykx（0k ） ，分别代入 2 2yx和 2 2ypx，得 2 M y k ， 2 N p y k ，代入（*）式得|1| 3p，解得2p （舍去）或4p ， 所以4p 12 解法一： 依题意，( )( )0ff， 故 1 s i nc o s 3 ， 由 22 1 sincos, 3 sincos1 得 2 9sin3sin 40 ， 2 9cos3cos40且sincos，所以sin，cos是方程 2 9340xx（*）的 两个异根同理可证，sin，cos为方程（*）的两个异根可以得到sinsin，理由如下：假设 sinsin， 则c o sc o s， 又, 0 , 2 )， 则， 这
15、与已知相悖， 故sinsin 从而sin， sin为方程（*）的两个异根，故 4 sinsin 9 同理可求 4 coscos 9 ，所以cos() coscos 8 sinsin 9 解法二：令( )0f x ，得 1 sincos 3 xx令( )sincosg xxx，即( )2sin 4 g xx ，则， 即为( )g x与直线 1 3 y 在0,2 )上交点的横坐标，由图象可知， 5 24 ，故 5 2 ， 又 1 2sin 43 ， 所 以cos() 5 cos2cos 23 24 cos 2 4 2 8 12 sin 49 解法三：依题意，不妨设02，则点(cos,sin)A，(
16、cos,sin)B为直线 1 0 3 xy与 单位圆的两个交点，如图所示取 AB 中点为 H，则OHAB，记AOH则22，所 以，cos()cos(22 )cos2 2 2cos1另一方面， 22 1 00 23 6 11 OH ，1OA， 故 2 cos 6 ，从而 2 28 cos()21 69 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分 13yx 147 1545 1685 3 16由题设、三角形面积公式及余弦定理得 12cos sin 28 abC abC ，所以tanC sin1 cos2 C C ，所以 tantan 60DACC 3tan2 3 1 8
17、5 3 13tan23 C C 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17本题主要考查等差数列、等比数列、一元二次方程等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学 核心素养满分 12 分 【解答】设等差数列 n a的公差为 d， 因为 1 a， 6 a为方程 2 9140xx的两根，且数列 n a为递减的等差数列， 所以 1 6 7 2 a a ， 2 分 所以 61 27 1 6 16 1 aa d ， 4 分 所以 1 (1)7(1)8 n aandnn ， 即数列 n a的通项公式为8 n an 6 分 （2）由（1）得8 n an ，所以8
18、2n n bn， 7 分 所以数列 n b的前 n 项和 2 76(8)222n n Sn 8 分 (78)222 21 2 n nn 11 分 2 1 15 22 2 n nn 12 分 18本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、空间几何体的体积等基础知识，意在考查逻 辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养满分 12 分 【解答】解法一： （1）证明：在ABC中， 90ACB ，45ABC ，2AB ， 1 分 2ACBC， 又直三梭柱 111 ABCABC中， 1 2ABAA，则 11 A ABB为正方形， 设 1 AB交 1 AB于点 O，则 O 为 1 AB的中点，且 1
19、1 ABAB 2 分 连接 PA， 1 PB，PO， 侧棱 1 CC 底面 ABC，P 为 1 CC的中点，则 22 2 13PAACPC ， 22 1111 2 13BPBCC P ， 故 1 PAPB 3 分 1 POAB， 4 分 1 POABO，且 PO， 1 AB 平面 1 PAB， 1 AB 平面 1 PAB 6 分 （2）当 Q 为 1 AB中点，即点 Q 与点 O 重合时，QE平面 11 A ACC 7 分 理出如下： 连接 1 AC，E 为 BC 的中点，则 1 QEAC， QE平面 11 AACC， 1 AC 半面 11 AACC， QE平面 11 AACC 9 分 此时，
20、Q 到平面 11 A ACC的距离等于 B 到平面 11 A ACC的距离的一半， 10 分 又 1 11 1 1 2 3 B AC CABC A B C VV 214 222 323 ， 11 分 1 11 1 12 23 Q AAC CB AAC C VV 12 分 解法二： （1）证明：在ABC中，90ACB ，45ABC ，2AB ， 2ACBC， 1 分 又直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2ABAA，则 11 A ABB为正方形， 设 1 AB交 1 AB于点 O，则 O 为 1 AB的中点，且 11 ABAB 2 分 连接 1 BC交 BP 于 F 点，在直三棱柱 111
21、ABCABC中， 1 BB 平面ABC， AC 平面 ABC， 1 ACBB 又ACBC， 1 BCBBB，BC， 1 BB 平面 11 BBCC， AC平面 11 BBCC， BP 平面 11 BBCC，ACBP， 3 分 在矩形 11 BBCC中，P 为 1 CC的中点，则 22 2 13PBBCPC ， 22 11 246BCBCBB， 由 11 CCBB得 1 CPFBB F， 11 1 2 PFCFPC FBFBBB ， 3 3 PF ， 6 3 CF ， 222 PFCFPC，故 1 BCPB， 又ACBP， 1 ACBCC，AC， 1 BC 平面 1 ABC，BP平面 1 ABC
22、， 1 AB 平面 1 ABC， 1 ABBP 4 分 又 11 ABAB， 1 ABBPB， 1 AB，BP 平面 1 PAB， 1 AB 平面 1 PAB 6 分 （2）当 Q 为 1 AB中点，即点 Q 与点 O 重合时，QE平面 11 A ACC 7 分 理由如下： 取 AB 中点 M，连接 QM，ME，又CEBE，MEAC， ME 平面 11 A ACC，AC 平面 11 A ACC， ME平面 11 A ACC 8 分 同理可得 QM平面 11 A ACC 又MEQMM，ME，QM 平面 QME， 平面QME平面 11 A ACC， 又QE 平面 QME， QE平面 11 A AC
23、C 9 分 此时，Q 到平面 11 A ACC的距离等于 E 到平面 11 A ACC的距离， 10 分 在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 CC 平面 ABC， BC 平面 ABC， 1 CCBC， 又ACBC， 1 ACCCC，AC， 1 CC 平面 11 AACC，BC 平面 11 AACC， EC 为四棱锥 11 QAACC的高， 2 2 EC 11 分 1 11 1 Q AAC CE AAC C VV 1 1 1122 (22) 3323 AAC C SEC 12 分 解法三： （1）证明：在ABC中， 90ACB ，45ABC ，2AB ， 2ACBC， 1 分 设 1 AB
24、交 1 AB于点 O， 在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2AA ， 11 A ABB为正方形， O 为 1 AB中点，且 11 ABAB 2 分 连接 PA， 1 PB，PO， 侧棱 1 CC 底面 ABC，P 为 1 CC的中点，则 22 2 13PAACPC ， 22 1111 2 13BPBCC P ， 故 1 PAPB 3 分 1 POAB， 4 分 同理可得 1 POAB 又 11 ABABO， 1 AB， 1 AB 平面 11 ABB A，PO平面 11 ABB A PO平面 1 PAB， 平面 1 PAB 平面 11 ABB A 5 分 平面 1 PAB平面 111 A
25、BB AAB， 1 AB 平面 11 ABB A， 1 AB 平面 1 PAB 6 分 （2）同解法一 12 分 19本题主要考查椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑 推理、数学运算等数学核心素养满分 12 分 【解答】解法一： （1）依题意，4 2a ，故2a 2 分 将点 2 1, 2 代入椭圆方程得， 22 11 1 2ab ，所以 2 1b ， 4 分 所以 C 的方程为 2 2 1 2 x y 5 分 （2）由（1）知 1 F， 2 F的坐标分别为( 1,0)，(1,0) 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，直线 l 的方程为1xty
26、， 代入 2 2 1 2 x y得， 22 2210tyty 6 分 所以 222 44 2880ttt ， 12 2 2 2 t yy t ， 12 2 1 2 y y t 7 分 因为 21111 1,2,F Axytyy， 22222 1,2,F Bxytyy， 所以 221212 22F A F Btytyy y 8 分 2 1212 124ty yt yy 22 22 14 4 22 tt tt 9 分 2 2 51 4 2 t t ， 因为 22 3F A F B， 所以 2 2 51 1 2 t t ，即 22 512tt ， 10 分 解得 1 2 t ， 11 分 综上，直线
27、 l 的方程为220xy或220xy 12 分 解法二： （1）同解法一 5 分 （2）由（1）知 1 F， 2 F的坐标分别为( 1,0)，(1,0) 设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 当ABx轴时，A，B 的坐标为 2 1, 2 ， 2 1, 2 ，则 22 227 2,2,3 222 F A F B ，不满足题意 6 分 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为(1)yk x， 代入 2 2 1 2 x y得： 2222 124220kxk xk 所以 2 2222 44 1 222880kkkk ， 2 12 2 4 12 k xx k ， 2 12 2 22
28、12 k x x k ， 7 分 因为 211 1,F Axy， 222 1,F Bxy， 所以 221212 11F A F Bxxy y 1 21212 1x xxxy y 8 分 因为 1212 11y yk xk x 2 1 212 1kx xxx， 所以 22 221212 111F A F Bkx xkxx 22 22 22 224 111 1 21 2 kk kk kk 9 分 2 2 71 12 k k 依题意得： 2 2 71 3 1 2 k k ， 10 分 解得 2 4k ，即2k 11 分 综上，直线 l 的方程为220xy或220xy 12 分 20本题主要考查概率与
29、统计等基础知识，意在考查数学建模、数据分析、数学运算等数学核心素养满 分 12 分 【解答】 （1） 0 rr 2 分 理由如下：由图可知，y 与 x 成正相关关系， 3 分 异常点 A，B 会降低变量间的线性相关程度； 4 分 44 个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小； 42 个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数史大； 42 个数据点更贴近其回归直线 l； 44 个数据点与其回归直线更离散 （以上理由写出任一个或其它言之有理均可得分） （2）由题中数据可得： 42 1 1 110.5 42 i i xx ， 42 1 1 74 42 i
30、i yy ， 5 分 4242 11 42 iiii ii xxyyx yxy 350350 42 110.5 746916 7 分 所以 1 2 1 6916 0.501 13814.5 n ii i n i i xxyy b xx ， 8 分 740.501 110.518.64aybx， 10 分 所以0.5018.64yx， 11 分 将125x 代入，得0.50 125 18.6462.5 18.6481y ， 所以估计 B 同学的物理成绩约为 81 分 12 分 21本题主要考查函数与导数及其应用等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养满分 12 分 【解答】解法一：
31、（1）依题意得， ( )(1 cossin )(sincos ) xx fxxx exxx e 1 分 (12sin ) x xx e 2 分 所以( )( )( )(1 sincos ) x g xfxf xxx e ，( )(1 2cos ) x g xx e 3 分 令( )0g x ，得 1 cos 2 x ，解得 22 22 33 kxk ，kZ 令( )0g x ，得 1 cos 2 x ，解得 24 22 33 kxk ，kZ 4 分 所以( )g x的单调增区间为 22 2,2 33 kk ； 单调减区间为 24 2,2 33 kk ，其中kZ 5 分 （2）要证( )1f x
32、x，只需证：( ) 10f xx 设( )( ) 1h xf xx ，0x，则( )( ) 1(12sin )e1 x h xfxxx 6 分 记( )( )(12sin )e1 x t xh xxx ，则( )(22sin2cos )ext xxxx 7 分 当0, x时，sin0x，又22cos0x，e0 x ，所以( ) 0t x ； 8 分 当( ,)x时，x，2sin2x ，所以2sin20xx，又22cos0x，e0 x ，所以 ( ) 0t x 9 分 综上，当0x时，( ) 0t x 恒成立， 所以( )t x在0,)上递增 所以，( )(0)0t xt，即( ) 0h x ，
33、 10 分 所以，( )h x在0,)上递增，则( )(0)0h xh，证毕 12 分 解法二： （1）同解法一 5 分 （2）要证( )1f xx，只需证( ) 10f xx ： 设( )( ) 1h xf xx ，0x，则( )( ) 1(12sin )e1 x h xfxxx 6 分 0, x时，11x ，sin0x，12sin1xx， 8 分 ( ,)x时，11x ，2sin2x ，故12sin12 1xx 9 分 综上，当0x时，12sin1xx ， 所以，当0x时，( ) e10 x h x 10 分 所以，( )h x在0,)上递增，则( )(0)0h xh，证毕 12 分 （二
34、）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分， 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22本题主要考查曲线的参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化，圆的参数方程和圆的极坐标方程 等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养满分 10 分 【解答】解法一： （1）因为曲线 1 C的参数方程为 5cos1 5sin x y （为参数） ， 所以 1 C的普通方程为 22 (1)5xy， 2 分 即 22 240xyx， 3 分 化为极坐标方程为 2 2 cos40 5 分 （2）由（1）知， 1 C的极坐标方
35、程为 2 2 cos40， 设 11 ,A ， 22 ,B ， 联立 2 2sin , 2 cos40 ， 消去得： 2 sinsincos10 ， 6 分 所以 2 sincoscos0， 解得cos0或sincos， 7 分 由题意可设0, ， 所以 2 或 3 4 ， 8 分 所以 1 2sin2 2 ， 2 3 2sin2 4 ， 9 分 所以| | 2 2OAOB 10 分 解法二： （1）同解法一 5 分 （2）由（1）可知 1 C的普通方程为 22 (1)5xy 2 C的极坐标方程化为直角坐标方程为 22 2xyy 6 分 联立方程，并解得0x 或1x， 8 分 即(0,2)A，
36、( 1,1)B ， 9 分 所以| | 2 2OAOB 10 分 解法三： （1）同解法一 5 分 （2）由（1）知， 1 C的极坐标方程为 2 2 cos40， 设 11 ,A ， 22 ,B ，且 1 0， 2 0， 联立 2 2sin 2 cos40 ， ， 消去得： 42 680， 8 分 所以 1 2， 2 2， （或由韦达定理得 22 12 8 ） 9 分 所以 12 | |2 2OAOB 10 分 23本题主要考查绝对值不等式和解不等式等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学 核心素养满分 10 分 【解答】 （1）当3a 时，( ) |1|23|f xxx 当1x时，1232x