1、厦门市厦门市 20202020 届高中毕业班第一次质量检查数学届高中毕业班第一次质量检查数学（文科文科）试题试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将答题卡交回 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 1,0,1,2,3A ， | (23)0Bx xx，
2、则AB（ ） A1 B 1,2 C 1,2,3 D0,1,2,3 2设 2 1 z i ，则z的共轭复数为（ ） A1 i B1 i C1 i D1 i 3已知双曲线 2 2 :1 y E x k 的一个焦点是(2,0)，则E的渐近线方程为（ ） A 3 3 yx Byx C2yx D3yx 4通过随机询问 100 名中学生是否喜欢某电视节目，得到如下列联表： 男 女 总计 喜欢 40 30 70 不喜欢 10 20 30 总计 50 50 100 已知 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 附表： 2 0 P Kk 0.050 0.010 0.001 0
3、k 3.841 6.635 10.828 则以下结论正确的是（ ） A有 95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关” B有 95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别无关” C在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别有关” D在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别无关” 5设x，y满足约束条件 2 1 20 x y xy ，则zxy的最大值为（ ） A2 B0 C1 D2 6已知为第三象限角， 10 cossin 5 ，则cos2（ ） A 5 4 B 3 5 C 3 5 D 4 5 7我国古代九章算术将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童现有一个长
4、、宽、高分别为 5、3、 3 的长方体，将上底面绕着上、下底面中心连线（对称轴）旋转 90 度，得到一个刍童（如图） ，则该刍童的 外接球的表面积为（ ） A 43 4 B 25 2 C43 D50 8将函数( )sin23cos2f xxx的图象向左平移(0) 个单位，得到一个偶函数的图象，则的最 小值为（ ） A 12 B 6 C 4 D 3 9函数 ln| ( ) x ex f x x 的部分图象大致为（ ） A B C D 10 如图， 边长为 2 的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点， 将AEDV，DCFV分别沿DE， DF折起，使A，C两点重合于点 1 A，则线段 1
5、AB的长为（ ） A2 B 2 3 3 C1 D 6 3 11若关于x的不等式 3ax ex在区间 2 , e e 内有解，则实数a的取值范围是（ ） A 3 , 2 e B 1 , e C 2 6 , e D 3, e 12 已知ABCV是边长为2 3的正三角形，EF为该三角形内切圆的一条弦， 且3EF 若点P在ABCV 的三边上运动，则PE PF uuu r uuu r 的最大值为（ ） A 5 2 B11 2 C13 2 D17 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量(2,1)a r ，( ,4)bx r ，若ab r r ，则x的值为_ 14若曲线
6、 2 3 yax x 在点(1,3)a 处的切线与直线30xy平行，则a的值为_ 15 已知倾斜角为 4 的直线l经过椭圆E的左焦点， 以E的长轴为直径的圆与l交于A，B两点， 若弦长AB 等于E的焦距，椭圆E的离心率为_ 16如图，某景区有景点A，B，C，D经测量得6kmBC ，120ABC ， 21 sin 14 BAC， 60ACD ，CDAC， 则AD _km 现计划从景点B处起始建造一条栈道BM， 并在M处 修建观景台为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A、D的视角120AMD 为了节约修建成本， 栈道BM长度的最小值为_km （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题：共
7、70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （12 分） 在数列 n a中， 2 5a ，且 1， n a， 1n a 成等差数列 （1）求证：数列1 n a 是等比数列； （2）设 n a前n项和为 n S求使得 2 log10 n S 成立的n的最大值 18 （12 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知动圆E过点(0,1)F， 且与直线:1m y 相切 动圆圆心E的轨迹记为C （1）求轨迹C的方程； （2） 过点F作斜率为(0)k k 的直线l交C于A，B两
8、点， 使得| 8AB ， 点Q在m上， 且满足1QA QB uuu r uuu r ， 求QABV的面积 19 （12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，PADV为等边三角形，点E，F分别 为PA，CD的中点 （1）求证：EF平面PBC； （2）已知平面PAD 平面ABCD，过E，F，C三点的平面将四棱锥PABCD分成两部分，求这两 部分体积的比 20 （12 分） 某批库存零件在外包装上标有从 1 到N的连续自然数序号，总数N未知，工作人员随机抽取了n个零件， 它们的序号从小到大依次为： 1 x， 2 x， n x现有两种方法对零件总数N进行估计 方法一：
9、用样本的数字特征估计总体的数字特征，可以认为样本零件序号的中位数与总体序号的中位数近 似相等，进而可以得到N的估计值 方法二：因为零件包装上的序号是连续的，所以抽出零件的序号 1 x， 2 x， n x相当于从区间0,1N 中 随机抽取n个整数， 这n个整数将区间0,1N 分为(1)n 个小区间： 1 0,x， 12 ,x x， ，,1 n x N 由 于这n个数是随机抽取的，所以前n个区间的平均长度 n x n 与所有(1)n 个区间的平均长度 1 1 N n 近似相等， 进而可以得到N的估计值 现工作人员随机抽取了 31 个零件，序号从小到大依次为：83、135、274、380、668、8
10、95、955、964、1113、 1174、1210、1344、1387、1414、1502、1546、1689、1756、1865、1874、1880、1936、2005、2006、2065、 2157、2220、2224、2396、2543、2791 （1）请用上述两种方法分别估计这批零件的总数； （结果四舍五入保留整数） （2）将第（1）问方法二估计的总数N作为这批零件的总数，从中随机抽取 100 个零件测量其内径y（单 位：mm） ，绘制出频率分布直方图（如图） 已知标准零件的内径为200mm，将这 100 个零件的内径落 入各组的频率视为这批零件内径分布的概率其中内径长度最接近标准的
11、 720 个零件为优等品，请求出优 等品的内径范围（结果四舍五入保留整数） 21 （12 分） 已知函数 2 ( )cosf xaxx （1）当 1 2 a 时，求函数( )f x的极值点； （2）若( )f x在区间 33 , 22 内有且仅有 4 个零点的充要条件为(,)aN M，求证： 2 8 MN （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，直线l的方程为2x ，曲线C的方程为 22 (1)1xy，动点P到原点O的距 离与到l的距离相等以坐标原点O为极点，x轴的
12、正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求C的极坐标方程和P点轨迹的极坐标方程； （2）若Q是曲线C上一点，且4OPOQ uuu ruuu r ，求|OP 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数( ) |f xxaxbxc （1）若, ,0a b c ，(0)1f，证明： 1 3 abbcac； （2）若1ab，对于任意的(, 1)x ，( )4f x 恒成立，求c的取值范围 厦门市 2020 届高中毕业班第一次质量检查参考答案 文科数学 一、选择题 CADAC DCACB CB 二、填空题 132 141 15 6 3 166 7，10 32 21 三、解答题 17本题主要考查等差、等比
13、数列的定义，考查分组求和法、等比数列的求和运算以及对数运算；考查运 算求解能力；考查化归与转化思想等满分 12 分 解： （1）因为 1， n a， 1n a 成等差数列，所以 1 21 nn aa ， 1 分 当1n 时，有 12 216aa ，得 1 3a ， 2 分 所以 1 121 nn aa ，又 1 12a ，所以 1 1 2 1 n n a a ， 所以1 n a 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 5 分 （2）由（1）知1 n a 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 1 1222 nn n a ，所以21 n n a 6 分 所以 123 21212121 n
14、n S 7 分 1231 2 12 222222 12 n nn nnn ， 9 分 所以 2 log10 n S 即 110 222 n n ， 10 分 因为 1 222(1)2210 nnn nn ，所以数列 1 22 n n 为递增数列 当9n时， 1010 2922，不满足，当8n 时， 910 2822满足 所以满足不等式 2 log10 n S 的最大的正整数n的值为 8 12 分 18本题考查直线的方程、抛物线的定义及轨迹方程、直线与圆锥曲线的关系等知识；考查运算求解能力、 推理论证能力等；考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等满分 12 分 解： （1）法一：依题
15、意：平面内动点E到定点(0,1)F和到定直线1y 的距离相等， 1 分 根据抛物线的定义，曲线C是以点F为焦点，直线1y 为准线的抛物线， 其方程为 2 4xy 3 分 法二：设点( , )E x y，依题意有：| |1|EFy， 1 分 即 22 (1)|1|xyy，化简得到C的方程为 2 4xy 3 分 （2）法一：依题意可设直线l的方程为：1ykx， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 0, 1 Q x 联立 2 1 4 ykx x y ，得 2 440xkx，得 12 4xxk， 12 4x x 4 分 由 12 |28AByy，得 2 1212 2426yyk xxk， 所以
16、 2 1k ，即1k ，又由0k ，得1k ， 7 分 故： 12 4xx， 12 4xx ， 12 6yy， 12 1yy 101 ,1QAxx y uuu r ， 202 ,1QBxx y uuu r ， 2 1 212001212 1QA QBx xxxxxy yyy uuu r uuu r ， 化简得： 2 00 430xx，解得 0 1x 或 3，即(1, 1)Q或(3, 1)Q 10 分 当Q为(1, 1)时，点Q到直线l的距离为 |1 1 1|3 2 22 ， 13 2 86 2 22 QAB S V ； 当Q为(3, 1)时，点Q到直线l的距离为 |31 1|5 2 22 ，
17、15 2 810 2 22 QAB S V 12 分 法二：依题意可设直线l的方程为：1ykx 11 ,A x y， 22 ,B x y， 0, 1 Q x 联立 2 1 4 ykx x y ，得 2 440xkx，得 12 4xxk， 12 4x x ， 5 分 由 12 |28AByy，得 2 1212 2426yyk xxk， 所以 2 1k ，即1k ，又由0k ，得1k ， 7 分 解得(22 2,32 2)A，(22 2,32 2)B， 故而： 0 22 2,42 2QAx uuu r ， 0 22 2,42 2QBx uuu r ， 22 0000 484168441QA QBx
18、xxx uuu r uuu r ，解得 0 1x 或 3， 得(1, 1)Q或(3, 1)Q 10 分 当Q为(1, 1)时，点Q到直线l的距离为 |1 1 1|3 2 22 ， 13 2 86 2 22 QAB S V ； 当Q为(3, 1)时，点Q到直线l的距离为 |31 1|5 2 22 ， 15 2 810 2 22 QAB S V 12 分 19本题考查直线与平面平行和直线与平面垂直、体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、 推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等满分 12 分 证明： （1）法一：如图，取PB的中点G，连接GC，EG E是PA的中点，EGAB，且
19、1 2 EGAB， 又正方形ABCD，ABCD，ABCD， EGCD，且 1 2 EGCD F是CD的中点， 1 2 FCCD，FCEG且FCEG， 四边形EGCF是平行四边形，EFGC， 2 分 又GC 平面PBC，EF 平面PBC，EF平面PBC 4 分 法二：如图，连接AF并延长，交BC的延长线于H点 FCAB且F是CD的中点， 1 2 HFFC AHAB ，F是AH的中点， E是AP的中点，EFPH 2 分 HBC，PH 平面PBC，又EF 平面PBC，EF平面PBC 4 分 法三：如图，取AB中点M，连接EM，FM E，M分别是AP，AB的中点，EMPB， 又EM 平面PBC，PB
20、平面PBC，EM平面PBC F，M分别是CD，AB的中点，FCMB，且FCBM， 四边形BMFC是平行四边形，MFBC， 又FM 平面PBC，BC 平面PBC，MF平面PBC 3 分 又EMMFM，平面EFM平面PBC EF 平面EFM，EF平面PBC 4 分 解： （2）如图，取PB的中点G，由（1）可知，EGCD，所以过E，F，C的平面即为平面 EGCD 5 分 PADV是等边三角形，E是AP中点，EPED 在正方形ABCD中，ABAD， 平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCDAD，AB 平面ABCD， AB 平面PAD，由（1）可知EG AB，EG平面PAD， EGEP，EP
21、ED，DEEGE，PE 平面EGCD 7 分 1 3 P EGCDEGCD VPES 在四棱锥PEGCD中，EG平面PAD，EGDE， 底面EGCD为直角梯形，又底面边长为 2，PADV是等边三角形， 3DE ， 13 3 (12)3 22 EGCD S，又1PE ， 113 33 1 3322 P EGCDEGCD VPES 9 分 取AD的中点N，连接PN PADV是等边三角形，N是AD中点，NPAD 又平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCDAD，NP平面PAD NP平面ABCD， 114 3 34 333 PABCDABCD VPNS 11 分 所以 3 3 4 3 2 8
22、3 P EGCD PABCD V V ，所以被平面EFC分成的两部分的体积比为 3 5 12 分 20本题考查频率分布直方图，样本数字特征估计总体数字特征等知识；考查学生的阅读理解能力、数据 处理能力和运算求解能力；考查统计与概率思想、化归与转化思想、创新意识和应用意识满分 12 分 解： （1）方法一：31 个零件序号的中位数为 1456，所有零件序号的中位数为 1 2 N ， 2 分 依题意得 1 1546 2 N ，解得3091N 3 分 方法二：抽取的 31 个零件将0,1N 划分为 32 个区间，平均长度为 1 32 N ， 前 31 个区间的平均长度为 2791 31 ， 5 分
23、依题意得 12791 3231 N ，解得2880N 6 分 （2）抽取的 720 件优等品占总数的 7201 28804 ，依题意得 1 (200200) 4 Pmym， 8 分 由频率分布直方图可知(190210)(0.0290.041) 100.70.25Py，故010m， 则(200200)(0.0290.041) 100.25Pmymmm， 10 分 解得3m故优等品的范围为197203y 11 分 因为205197,203，所以内径为 205 的零件不能作为优等品 12 分 21本题考查函数的单调性、导数及其应用不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查 数形结合思想，
24、函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等满分 12 分 解： （1） 1 2 a ， 2 1 ( )cos 2 f xxx，( )sinfxxx， 1 分 法一：(0)0 f ， 2 分 当(0,1x时，0x ，sin0x ，( )0fx，当(1,)x时，( )sin1sin0fxxxx 当0x 时，( )0fx，又()sin( )fxxxfx ，( )fx是奇函数， 当0x时，( )0fx 4 分 综上，当0x时，( )0fx，( )yf x单调递减；当0x 时，( )0fx，( )yf x单调递增； 因此0x 为函数( )yf x的极小值点，无极大值点 5 分 法二：令( )( )
25、sing xfxxx，(0)0 f ， 2 分 则( )1cosg xx ，cos1x，( )1cos0g xx ，故( )yfx在R上单调递增 4 分 所以当0x时，( )(0)0fxf，( )yf x单调递减；当0x 时，( )(0)0fxf，( )yf x单 调递增；因此0x 为函数( )yf x的极小值点，无极大值点 5 分 （2）当0x 时，( )0f x ，故 2 cos ( )0 x f xa x ， 33 , 22 x 且0x 6 分 令 2 cos ( ) x h x x ，则 2 43 sin2 cos1 ( )( sin2cos ) xxxx h xxxx xx ， 当0
26、, 2 x 时，( )0h x，( )yh x单调递减，当0x，( )h x ，0 2 h ； 当, 2 x 时，令( )sin2cosxxxx，则( )cossin0xxxx，( )yx单调递减，又 0 22 ，( )20 ， 故存在 0 , 2 x ， 使得 0 0x， 即当 0 , 2 xx 时，( )0x， ( )0h x，( )yh x单调递减；当 0, xx时，( )0x，( )0h x，( )yh x单调递增； 当 3 , 2 x 时，( )0h x，( )yh x单调递增； 综上可知：( )yh x在 0 0,x上单调递减，在 0 3 , 2 x 上单调递增 9 分 由于( )
27、yh x为偶函数， 只需函数( )yh x与ya在 3 0, 2 上有两个交点 (0)h ，0 2 ， 0 0h x， 3 0 2 h ， 3 0 2 Mh ， 0 Nh x 10 分 以下估计 0 Nh x的范围： 法一： 0 0x， 000 sin2cos0xxx， 0 0 0 2cos sin x x x ， 22 000 00 2 0000 cossin1cos11 cos 4cos4cos4 cos xxx h xx xxxx 323 20 424 ， 0 3 , 4 x ， 0 2 cos1, 2 x 令 0 2 cos1, 2 tx ，则 00 0 111 1 cos 4 cos
28、4 Nh xxt xt ， 1 1 4 yt t 在 2 1, 2 t 单调递减， 1222 2 4282 yt ， 0 2 8 Nh x ， 2 8 MN，结论得证 12 分 法二： 323 20 424 ， 55 30 612 ， 0 35 , 46 x ， 0 0 2 0 cosx h x x ， 2 2 00 32381 cos,5 22416 xx ， 2 000 222 000 3 825 2 2cos28cos2 0 8888 xxx N xxx ， 2 8 N 2 8 MNN ，结论得证 12 分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查直线
29、与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证 能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等满分 10 分 解：法一： （1）由 22 (1)1xy得， 22 20xyx 因为 222 xy，cosx，所以2cos，即为C的极坐标方程 2 分 当P在y轴右侧时，过点P作x轴的垂线垂足为M，作y轴的垂线，垂足为N，设l与x轴的交点为R， 因为点P到原点距离与到l距离相等，所以| | | |OPPNMROROM 在Rt OPMV中，| |coscosOMOP，所以2cos 因为0，所以 2 1cos 当P在y轴或y轴左侧时，满足 2 1cos 综上，P点轨迹的极坐标方程为 2 1co
30、s 5 分 （2）因为4OPOQ uuu ruuu r ，所以设点 1, P ， 2, Q ，且 12 4 6 分 又 1 2 1cos ， 2 2cos，所以 2 8cos 1cos ， 8 分 解得 1 cos 2 ，所以 2 |4 1 1 2 OP 10 分 法二： （1）由 22 (1)1xy得 22 20xyx因为 222 xy，cosx， 所以2cos，即为C的极坐标方程 2 分 设( , )P x y，因为点P到原点距离与到l距离相等，所以 22 |2|xyx，化简得 2 44yx 因为cosx，siny，所以 22 sin4 cos4 因为 22 sin1cos ，所以 22
31、( cos2)因为1x，所以cos20， 所以cos2，化简得 2 1cos ，即为P点轨迹的极坐标方程 5 分 （2）由已知得直线PQ的斜率存在，设点 11 ,P x y， 22 ,Q x y，PQ的斜率为k， 由 2 44 ykx yx ，解得 2 1 2 22 1k x k 6 分 由 22 20 ykx xyx ，解得 2 2 2 1 x k 7 分 由4OPOQ uuu ruuu r ，得 1122 ,4,x yx y，所以 12 4xx，所以 1 0x ， 所以 2 22 22 18 4 1 k kk ，即 2 22 1116 1 k kk ， 8 分 令 2 1tk，则 22 1
32、16 1 t tt ，解得 2 4t ，所以 2 3k 所以 22 11 |4OPxy 10 分 法三： （1）同解法二 （2）因为4OPOQ uuu ruuu r ，所以设点 1, P ， 2, Q ，且 12 4 6 分 又 22 11 sin4cos4， 2 2cos，所以 22 (8cos ) sin4(8cos )cos4， 8 分 化简得 42 16cos8cos10 ，即 2 1 cos 4 ，因为 2 0，所以 1 cos 2 所以 2 |4 1 1 2 OP 10 分 23选修 4-5：不等式选讲 本题考查基本不等式、含绝对值不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等
33、；考查数形结合、 转化与化归、函数与方程、分类与整合等数学思想方法满分 10 分 解： （1）由已知得，(0) |1fabcabc 1 分 所以 2222 ()222abcabcabbcac 2 分 222222 1 222 2 abbcacabbcac 3 分 1 (222)2223() 2 abbcacabbcacabbcac， 4 分 所以 1 3 abbcac 5 分 （2）法一：当1ab时，( )2|1|f xxxc 6 分 因为对于任意的(, 1x ，( )4f x 恒成立， 所以( 1) | 1| 4fc ，解得3c或5c 7 分 当3c时，( )2|1|(32)f xxxcxc
34、 在(, 1x 为减函数， 所以 min ( )( 1)14f xfc ，即3c 8 分 当5c 时， 2,1 ( )2|1| (32), xccx f xxxc xcxc 在(, 1x 为减函数， 所以 min ( )( 1)14f xfc ，即5c ，所以5c 9 分 综上所述，3c或5c 10 分 法二：当1ab时，( )2|1|f xxxc， 6 分 因为对于任意的(, 1x ，( )4f x 恒成立， 所以( )2(1) | 4f xxxc ，即| 26xcx对于任意(, 1x 恒成立 7 分 当3x时，260x，所以| 26xcx对于任意(, 3x 恒成立，所以cR 8 分 当31x 时，260x，| 26xcx对于任意( 3, 1x 恒成立， 可化为 22 3(224)360xcxc对于任意( 3, 1x 恒成立， 则 22 22 3( 3)(224)( 3)360 3( 1)(224)( 1)360 cc cc ，即 2 2 2150 (3)0 cc c ，解得3c或5c 9 分 综上所述，3c或5c 10 分