1、北京市房山区北京市房山区 2020 届高三第一次模拟考试数学试题届高三第一次模拟考试数学试题 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1复数 i（3+i）（ ） A1+3i B1+3i C13i D13i 2函数 f（x）tan（x+ 6）的最小正周期为（ ） A 3 B 2 C D2 3已知向量 =（1， 1 2） ， =（2，m） ，若 与 共线，则| |（ ） A3 B5 C6 D22 4在二项式（12x）5的展开式中，x3的系数为（ ） A4
2、0 B40 C80 D80 5下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递减的是（ ） Ayx 2 By|lnx| Cy2 x Dyxsinx 6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A4 3 B8 3 C4 D8 7已知函数 f（x）= ， 1 + 1， 1，若 f（2）0，且 f（x）在 R 上单调递增，则 a 的取值范围是（ ） A （0，2 B （1，2 C （1，+） D2，+） 8设an是公差为 d 的等差数列，Sn为其前 n 项和，则“d0”是“nN*，Sn+1Sn”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9已知直
3、线 l：ym（x2）+2 与圆 C：x2+y29 交于 A，B 两点，则使弦长|AB|为整数的 直线 l 共有（ ） A6 条 B7 条 C8 条 D9 条 10党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少如图的统计图 反映了 20122019 年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率 贫困人数（人）统计人数（人）100%） 根据统计图提供的信息，下列推断不正 确的是（ ） A20122019 年，全国农村贫困人口逐年递减 B20132019 年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是 2013 年 C20122019 年，全国农村贫困人口数累计减少 934
4、8 万 D2019 年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过 0.6% 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11已知集合 A1，2，m，B1，3，4，AB1，3，则 m 12设抛物线 x22py 经过点（2，1） ，则抛物线的焦点坐标为 13 已知an是各项均为正数的等比数列， a11， a3100， 则an的通项公式 an ； 设数列lgan的前 n 项和为 Tn，则 Tn 14将函数 f（x）sin（2x 3）的图象向右平移 s（s0）个单位长度，所得图象经过点 （ 2，1） ，则 s 的最小值是 15如果方程 2 4 +y|y|1 所对
5、应的曲线与函数 yf（x）的图象完全重合，那么对于函数 y f（x）有如下结论： 函数 f（x）在 R 上单调递减； yf（x）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为 1； 函数 f（x）的值域为（，2； 函数 F（x）f（x）+x 有且只有一个零点 其中正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 题，共题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16在ABC 中，a= 2，c= 10，_ （补充条件） （）求ABC 的面积； （）求 sin（A+B） 从b4，cosB= 5 5 ，sinA= 10 10 这三个条件中任选一个，补充在上面问
6、题中并 作答 17 随着移动互联网的发展， 越来越多的人习惯用手机应用程序 （简称 app） 获取新闻资讯 为 了解用户对某款新闻类 app 的满意度，随机调查了 300 名用户，调研结果如表： （单位： 人） 青年人 中年人 老年人 满意 60 70 x 一般 55 25 y 不满意 25 5 10 （）从所有参与调研的人中随机选取 1 人，估计此人“不满意”的概率； （）从参与调研的青年人和中年人中各随机选取 1 人，估计恰有 1 人“满意”的概率； （）现需从参与调研的老年人中选择 6 人作进一步访谈，若在“满意” 、 “一般” 、 “不 满意”的老年人中各取 2 人，这种抽样是否合理？
7、说明理由 18如图，在四棱锥 PABCD 中，PB平面 ABCD，ABBC，ADBC，AD2BC2， ABBCPB，点 E 为棱 PD 的中点 （）求证：CE平面 PAB； （）求证：AD平面 PAB； （）求二面角 EACD 的余弦值 19已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）过 A（2，0） ，B（0，1）两点 （）求椭圆 C 的方程和离心率的大小； （）设 M，N 是 y 轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线 AM 与椭圆 C 的 另一个交点为 P， 直线 AN 与椭圆 C 的另一个交点为 Q， 判断直线 PQ 与 x 轴的位置关系， 并证明你的结论 20 （15 分
8、）已知函数 f（x）2x3ax2+2 （）求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）讨论函数 f（x）的单调性； （）若 a0，设函数 g（x）|f（x）|，g（x）在1，1上的最大值不小于 3，求 a 的取值范围 21在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作 称为该数列的一次“Z 拓展” 如数列 1，2 第 1 次“Z 拓展”后得到数列 1，3，2，第 2 次“Z 拓展”后得到数列 1，4，3，5，2设数列 a，b，c 经过第 n 次“Z 拓展”后所得 数列的项数记为 Pn，所有项的和记为 Sn （）求 P1，P2； （）若 Pn2020
9、，求 n 的最小值； （）是否存在实数 a，b，c，使得数列Sn为等比数列？若存在，求 a，b，c 满足的条 件；若不存在，说明理由 参考答案参考答案 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1复数 i（3+i）（ ） A1+3i B1+3i C13i D13i 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 i（3+i）3i+i21+3i 故选：B 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 2函数 f（x）tan（x+ 6）的最小正周期为（ ） A
10、 3 B 2 C D2 由题意利用函数 f（x）Atan（x+）的最小正周期为 ，得出结论 函数 f（x）tan（x+ 6）的最小正周期为 1 =， 故选：C 本题主要考查函数 f（x）Atan（x+）的最小正周期，属于基础题 3已知向量 =（1， 1 2） ， =（2，m） ，若 与 共线，则| |（ ） A3 B5 C6 D22 根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得 m（ 1 2）（2）1，即可得 =（2， 1） ；由向量模的计算公式计算可得答案 根据题意，向量 =（1， 1 2） ， =（2，m） ， 若 与 共线，则有 m（ 1 2）（2）1，则 =（2，1） ； 则| |= 4 +
11、 1 = 5； 故选：B 本题考查向量平行的坐标表示，注意向量平行的坐标计算公式即可，属于基础题 4在二项式（12x）5的展开式中，x3的系数为（ ） A40 B40 C80 D80 在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 3，求出 r 的值，即可求得展开式中的 x3系数 （12x）5展开式的通项公式为 5 （2x）r，故令 r3， 可得其中的 x3系数为5 3 （2）380， 故选：D 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基 础题 5下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递减的是（ ） Ayx 2 By|lnx| Cy2 x Dyxsinx
12、根据函数性质，分别判断两个函数的奇偶性和单调性即可 Af（x）是偶函数，且在（0，+）上是减函数，满足条件 B函数的定义域为（0，+） ，函数为非奇非偶函数，不满足条件 C函数为非奇非偶函数，不满足条件 Df（x）xsin（x）xsinxf（x） ，f（x）为偶函数，在（0，+）不具备单调 性，不满足条件 故选：A 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题 的关键难度不大 6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A4 3 B8 3 C4 D8 由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥 PABC，其中 PA底面 ABC，且 PA2， 底面三角形 A
13、BC 为钝角三角形，BAC 为钝角，且 C 到 AB 边的距离为 4，再由棱锥体 积公式求体积 由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥 PABC，其中 PA底面 ABC，且 PA2， 底面三角形 ABC 为钝角三角形，BAC 为钝角，且 C 到 AB 边的距离为 4 该三棱锥的体积为 V= 1 3 1 2 1 4 2 = 4 3 故选：A 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 7已知函数 f（x）= ， 1 + 1， 1，若 f（2）0，且 f（x）在 R 上单调递增，则 a 的取值范围是（ ） A （0，2 B （1，2 C （1，+） D2，+） 根据f
14、 （2） 0即可求出 = 1 2， 然后根据f （x） 在R上单调递增即可得出 1 1 1 2 + 1， 解出 a 的范围即可 f（2）12b0， = 1 2， 又 f（x）在 R 上单调递增， 1 1 1 2 + 1，解得 1a2， a 的取值范围是（1，2 故选：B 本题考查了分段函数、一次函数和指数函数的单调性，增函数的定义，已知函数求值的 方法，考查了计算能力，属于基础题 8设an是公差为 d 的等差数列，Sn为其前 n 项和，则“d0”是“nN*，Sn+1Sn”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 “nN*，Sn+1Sn”an+1
15、0 “d0”与“nN*，an+10”是否推出，与 a1的取值 （正负）有关系 “nN*，Sn+1Sn”an+10 “d0”与“nN*，an+10”相互推不出，与 a1的取值（正负）有关系， “d0”是“nN*，Sn+1Sn”的既不充分也不必要条件 故选：D 本题考查了等差数列通项公式与求和公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 9已知直线 l：ym（x2）+2 与圆 C：x2+y29 交于 A，B 两点，则使弦长|AB|为整数的 直线 l 共有（ ） A6 条 B7 条 C8 条 D9 条 根据题意，直线过点 M（2，2） ，圆 C 的圆心（0，0） ，半径 r3，则
16、可得当 CM 与 AB 垂直时，即 M 为 AB 的中点时，弦长|AB|最短，求出直线 CM 的斜率，由直线垂直与斜率 的关系分析可得直线 AB 的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案 根据题意，直线恒过点 M（2，2） ，圆 C：x2+y29 的圆心 C 为（0，0） ，半径 r3， 则 CM22 当直线与 AB 垂直时，M 为|AB|中点，此时|AB|29 8 =2，符合题意，此时直线有一 条， 当直线过圆心 C 时，|AB|2r6，满足题意，此时直线有一条， 则当|AB|3，4，5 时，各对应两条直线， 综上，共 8 条直线 故选：C 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，考查点到直线距离
17、公式，弦长公式，是综合性 题目 10党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少如图的统计图 反映了 20122019 年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率 贫困人数（人）统计人数（人）100%） 根据统计图提供的信息，下列推断不正 确的是（ ） A20122019 年，全国农村贫困人口逐年递减 B20132019 年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是 2013 年 C20122019 年，全国农村贫困人口数累计减少 9348 万 D2019 年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过 0.6% 由 20122019 年我国农村贫困人口和农村贫困发
18、生率的变化情况统计图能求出结果 由 20122019 年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图得： 在 A 中，20122019 年，全国农村贫困人口逐年递减，故 A 正确； 在 B 中， 20132019 年， 全国农村贫困发生率较上年下降最多的是 2013 年， 故 B 正确； 在 C 中，20122019 年，全国农村贫困人口数累计减少：98995519348 万，故 C 正 确； 在 D 中，2019年，全国各省份的农村贫困发生率有可能超过 0.6%，故 D 错误 故选：D 本题考查命题真假的判断，考查统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 二、填空题共二、填空
19、题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11已知集合 A1，2，m，B1，3，4，AB1，3，则 m 3 利用交集定义直接求解 集合 A1，2，m，B1，3，4，AB1，3， m3 故答案为：3 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 12设抛物线 x22py 经过点（2，1） ，则抛物线的焦点坐标为 （0，1） 由点在抛物线上，代入求出抛物线的方程，进而求出焦点坐标 由题意可得，222p1，所以 2p4， 即抛物线的方程为：x24y， 所以焦点坐标为： （0，1） ， 故答案为： （0，1） 本题考查抛物线的性质，属于基础题 13已知
20、an是各项均为正数的等比数列，a11，a3100，则an的通项公式 an 10n 1 ；设数列lgan的前 n 项和为 Tn，则 Tn (1) 2 先由 a11，a3100 求出公比 q，再求 an与 lgan，最后求 Tn 设等比数列an的公比为 q，由题知 q0a11，a3100，q= 3 1 =10，an 10n 1； lganlg10n 1n1，T n= (1) 2 故填：10n 1，(1) 2 本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前 n 项和的求法，属于基础题 14将函数 f（x）sin（2x 3）的图象向右平移 s（s0）个单位长度，所得图象经过点 （ 2，1） ，则 s 的
21、最小值是 12 首先利用三角函数的图象平移得到 ysin2 （xs） 3， 代入点 （ 2， 1） 后得到 sin （ 2 3 2s） 1，由此可得 s 的最小值 将函数 ysin（2x 3）的图象向右平移 s 个单位长度， 所得图象对应的函数为 ysin2（xs） 3 再由所得图象经过点（ 2，1） ，可得 sin（2s 3）sin（ 2 3 2s）1， 2 3 2s2k+ 2，kzsk+ 12，kz 故 s 的最小值是 12 故答案为： 12 本题考查了三角函数的图象平移，考查了三角函数奇偶性的性质，是中档题 15如果方程 2 4 +y|y|1 所对应的曲线与函数 yf（x）的图象完全重合
22、，那么对于函数 y f（x）有如下结论： 函数 f（x）在 R 上单调递减； yf（x）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为 1； 函数 f（x）的值域为（，2； 函数 F（x）f（x）+x 有且只有一个零点 其中正确结论的序号是 由题意分类画出函数图象，结合函数图象逐一核对四个选项得答案 当 y0 时，方程 2 4 +y|y|1 化为 2 4 + 2= 1（y0） ， 当 y0 时，方程 2 4 +y|y|1 化为 2 4 2= 1（y0） 作出函数 f（x）的图象如图： 由图可知，函数 f（x）在 R 上不是单调函数，故错误；来源:学|科|网 yf（x）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为
23、 1，故正确； 函数 f（x）的值域为（，1，故错误； 双曲线 2 4 2= 1的渐近线方程为 y= 1 2，故函数 yf（x）与 yx 的图象只有 1 个 交点， 即函数 F（x）f（x）+x 有且只有一个零点，故正确 故答案为： 本题考查命题的真假判断与应用，考查椭圆与双曲线的图象，考查分段函数的应用，考 查数形结合的解题思想方法，是中档题 三、解答题共三、解答题共 6 题，共题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16在ABC 中，a= 2，c= 10，_ （补充条件） （）求ABC 的面积； （）求 sin（A+B） 从b4，co
24、sB= 5 5 ，sinA= 10 10 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并 作答 选择（）先由余弦定理求得 cosC，进而求得 sinC，由此求得面积；来源:Z|xx|k.Com （）sin（A+B）sinC，直接可以得出答案； 选择（）利用平方关系求得 sinB，进而求得面积； （）先由余弦定理求得 b，再由正弦定理求得 sinC，进而得解； 选择（）先由平方关系求得 cosA，再由余弦定理求得 b，进而求得面积； （）由正弦定理可得 = 2 2 ，由此即可得解 选择 （）在ABC 中，因为 = 2， = 10，b4， 由余弦定理得 = 2+22 2 = (2)2+42(10)2 2
25、24 = 2 2 ， 因为 C（0，） ，所以 = 1 2 = 2 2 所以 = 1 2 = 1 2 2 4 2 2 = 2 （）在ABC 中，A+BC 所以( + ) = = 2 2 选择 （）因为 = 5 5 ，B（0，） ，所以 = 1 2 = 25 5 因为 = 2， = 10，所以 = 1 2 = 1 2 2 10 25 5 = 2 （）因为 = 2， = 10， = 5 5 ， 由 b2a2+c22accosB，得2= (2)2+ (10)2 2 2 10 ( 5 5 ) = 16， 解得 b4， 由 = ，解得 = 2 2 ， 在ABC 中，A+BC，( + ) = = 2 2
26、选择 依题意，A 为锐角，由 = 10 10 得 = 1 2 = 310 10 在ABC 中，因为 = 2， = 10， = 310 10 ， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，得(2)2= 2+ (10)2 2 10 310 10 解得 b2 或 b4， （）当 b2 时， = 1 2 = 1 2 2 10 10 10 = 1 当 b4 时， = 1 2 = 1 2 4 10 10 10 = 2 （）由 = 2， = 10， = 10 10 ， = ，得 = 2 2 在ABC 中，A+BC，( + ) = = 2 2 本题考查利用正余弦定理求三角形，考查推理能力及计算能力，属于中档题
27、 17 随着移动互联网的发展， 越来越多的人习惯用手机应用程序 （简称 app） 获取新闻资讯 为 了解用户对某款新闻类 app 的满意度，随机调查了 300 名用户，调研结果如表： （单位： 人） 青年人 中年人 老年人 满意 60 70 x 一般 55 25 y 不满意 25 5 10 （）从所有参与调研的人中随机选取 1 人，估计此人“不满意”的概率； （）从参与调研的青年人和中年人中各随机选取 1 人，估计恰有 1 人“满意”的概率； （）现需从参与调研的老年人中选择 6 人作进一步访谈，若在“满意” 、 “一般” 、 “不 满意”的老年人中各取 2 人，这种抽样是否合理？说明理由 （
28、）根据古典概型的概率公式进行计算即可 （）根据独立事件同时发生的概率公式进行计算即可 （）根据抽样的公平性的性质进行判断 （）从所有参与调研的人共有 300 人，不满意的人数是 25+5+1040 记事件 D 为“从所有参与调研的人中随机选取 1 人此人不满意” ，则所求概率为 () = 40 300 = 2 15 （） 记事件 M 为 “从参与调研的青年人中随机选取 1 人， 此人满意” ， 则() = 60 140 = 3 7； 记事件 N 为“从参与调研的中年人中随机选取 1 人，此人满意” ，则() = 70 100 = 7 10； 则“从参与调研的青年人和中年人各随机选取 1 人，恰
29、有 1 人满意”的概率为 ( + ) = () () + () () = 3 7 (1 7 10) + (1 3 7) 7 10 = 37 70 （）这种抽样不合理 理由：参与调研的 60 名老年人中不满意的人数为 20，满意和一般的总人数为 x+y50， 说明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各取 2 人不合理合理的抽样 方法是采用分层抽样，根据 x，y，10 的具体数值来确定抽样数值 本题主要考查抽样方法的应用，以及概率的计算，根据古典概型的概率公式是解决本题 的关键难度不大 18如图，在四棱锥 PABCD 中，PB平面 ABCD，ABBC，ADBC，AD2BC2， ABBCP
30、B，点 E 为棱 PD 的中点 （）求证：CE平面 PAB； （）求证：AD平面 PAB； （）求二面角 EACD 的余弦值 来源:学*科*网Z*X*X*K （）取 PA 中点 F，连接 EF，BF，因为 E 为 PD 中点，F 为 PA 中点，证明四边形 BCEF 为平行四边形，得到 CEBF， 然后证明 CE平面 PAB （）证明 PBAD，ADAB，然后证明 AD平面 PAB （）以 B 为原点，如图建立空间直角坐标系 Bxyz，求出平面 ACD 的一个法向量，平 面 ACE 的法向量，结合二面角 EACD 为锐角，通过空间向量的数量积求解二面角 E ACD 的余弦值即可 证明： （）取
31、 PA 中点 F，连接 EF，BF，因为 E 为 PD 中点，F 为 PA 中点， 所以 EFAD，且 = 1 2 又因为 BCAD，且 = 1 2 所以 EFBC，且 EFBC 所以四边形 BCEF 为平行四边形， 所以 CEBF， 因为 CE平面 PAB，BF平面 PAB 所以 CE平面 PAB （）因为 PB平面 ABCD，AD平面 ABCD 所以 PBAD 又因为 ABBC，ADBC 所以 ADAB， 又 ABPBB，AB、PB平面 PAB 所以 AD平面 PAB （）因为 PB平面 ABCD，AB、BC平面 ABCD 所以 PBAB，PBBC，又 ABBC， 以B为原点 ， 如图建
32、立空间 直角坐 标系Bxyz， (0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(1， 1 2 ， 1 2) 所以 = (0，0，1)， = (1， 1，0)， = (0， 1 2 ， 1 2) 已知平面 ACD 的一个法向量 = (0，0，1)； 设平面 ACE 的法向量 = (，)，则 = 0 = 0 ，即 = 0 1 2 + 1 2 = 0，令 x1，则 y 1，z1； 所以平面 ACE 的一个法向量为 = (1，1， 1) 所以 ， = | | | = 3 3 由图可知二面角 EACD 为锐角，所以二面角 EACD 的余弦值为 3 3 本题考查二面角的平面角的求法直线与
33、平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的 判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题 19已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）过 A（2，0） ，B（0，1）两点 （）求椭圆 C 的方程和离心率的大小； （）设 M，N 是 y 轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线 AM 与椭圆 C 的 另一个交点为 P， 直线 AN 与椭圆 C 的另一个交点为 Q， 判断直线 PQ 与 x 轴的位置关系， 并证明你的结论 （）依题意得 a2，b1，写出椭圆 C 的方程，求解离心率的大小即可 （）设 M，N 坐标为（0，m） ， （0，n） ，则 = 1 ，m0，n0，由 A
34、（2，0） ，M（0， m）得直线 AM 的方程为 = 2 + ，联立 2 4 + 2= 1 = 2 + ，求出 P 的纵坐标，Q 纵坐 标，然后推出结果 解法二：设直线 AM 的方程为 xty+2（t0） ，直线 AN 的方程为 xsy+2（s0）令 x 0 得 tyM2，M 坐标为(0， 2 )，同理 N 坐标为(0， 2 )，推出 yPyQ0，直线 PQ 与 x 轴平行 解法三：设直线 AM 的方程为 yk1（x2） ，k10，直线 AN 的方程为 yk2（x2） ， k20 令 x0 得 M 坐标为（0，2k1） ，同理 N 坐标为（0，2k2） ，得到 4k1k21，代入椭圆 方程求
35、出 P 的纵坐标，Q 的纵坐标，即可得到结果 （）依题意得 a2，b1，所以椭圆 C 的方程为 2 4 + 2= 1， = 2 2= 3， 离心率的大小 = = 3 2 （）解法一、因为 M，N 是 y 轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数， 设 M，N 坐标为（0，m） ， （0，n） ，则 = 1 ，m0，n0 由 A（2，0） ，M（0，m）得直线 AM 的方程为 = 2 + ， 2 4 + 2= 1 = 2 + ， 整理得（m2+1）y22my0 或（m2+1）x24m2x+4m240， 得交点 P 的纵坐标为= 2 2+1， 同理交点 Q 的纵坐标为= 2 2+1 = 21 (1 )
36、 2+1= 2 2+1， 所以 yPyQ0，直线 PQ 与 x 轴平行 解法二： 设直线 AM 的方程为 xty+2（t0） ，直线 AN 的方程为 xsy+2（s0） ， 令 x0 得 tyM2，M 坐标为(0， 2 )，同理 N 坐标为(0， 2 )， 因为 M，N 是 y 轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以 st4， 2 4 + 2= 1 = + 2 ， 整理得（t2+4）y2+4ty0 或（t2+4）x216x+164t20， 得交点 P 的纵坐标为= 4 2+4， 同理得= 4 2+4 = 44 (4 ) 2+4 = 4 2+4， 所以 yPyQ0，直线 PQ 与 x 轴平行
37、 解法三： 设直线 AM 的方程为 yk1（x2） ，k10，直线 AN 的方程为 yk2（x2） ，k20 令 x0 得 M 坐标为（0，2k1） ，同理 N 坐标为（0，2k2） ， 因为 M，N 是 y 轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以 4k1k21， 代入椭圆方程得 2 4 + 2= 1 = 1( 2) ，(412+ 1)2 1612 + 1612 4 = 0， 或(412+ 1)2+ 41 = 02= 16124 412+1 所以= 8122 412+1， 得交点 P 的纵坐标为= 1 (81 22 412+1 2) = 41 412+1， 同理得= 42 422+1 =
38、4 1 41 4( 1 41) 2+1 = 41 412+1， 所以 yPyQ0，直线 PQ 与 x 轴平行 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程以及简单性质的应用，考查分 析问题解决问题的能力 20 （15 分）已知函数 f（x）2x3ax2+2 （）求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）讨论函数 f（x）的单调性； （）若 a0，设函数 g（x）|f（x）|，g（x）在1，1上的最大值不小于 3，求 a 的取值范围 （）求出 f（x）6x22ax，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程 （）求出 f（x）6x22ax2x（3xa） ，令 f（x）0，
39、解得1= 0，2= 3， 来源:Z,xx,k.Com 若 a0，若 a0，若 a0，判断导函数的符号，判断函数的单调性 （）结合函数的单调性，通过 g（x）maxmax|f（1）|，|f（0）|，|f（1）|maxa， 2，|4a|3， 求出函数 g（x）max3，然后求解实数 a 的取值范围 （）f（x）6x22ax， 由 f（0）0，f（0）2，得曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y2， （）定义域为 R，f（x）6x22ax2x（3xa） ， 令 f（x）0，解得1= 0，2= 3， 若 a0，f（x）6x20，f（x）在 R 上单调递增； 若 a0，在（，0）上，f
40、（x）0，f（x）单调递增，在(0， 3)上，f（x）0，f （x）单调递减，在( 3， + )上，f（x）0，f（x）单调递增； 若 a0，(， 3)上，f（x）0，f（x）单调递增，在( 3 ，0)上，f（x）0，f（x）单 调递减，在（0，+）上，f（x）0，f（x）单调递增； （） 若 a0， 函数 f （x） 的单调减区间为(0， 3)， 单调递增区间为(，0)，( 3， + ) 当 3 1时，即 a3，由（）知，f（x）在1，0上单调递增，在0，1上单调递减， 则 g（x）maxmax|f（1）|，|f（0）|，|f（1）|maxa，2，|4a|3， 当 3 1时，即 0a3，f（
41、x）在1，0和 3，1上单调递增，在0， 3上单调递减， f（x）在 = 3处取得极小值( 3) = 2 3 27 0， 则 g（x）maxmax|f（1）|，|f（0）|，|f（1）|maxa，2，4a， 若 g（x）max3，则 4a3，即 0a1， 综上，实数 a 的取值范围为（0，13，+） 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应 用，考查计算能力，是难题 21在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作 称为该数列的一次“Z 拓展” 如数列 1，2 第 1 次“Z 拓展”后得到数列 1，3，2，第 2 次“Z 拓展
42、”后得到数列 1，4，3，5，2设数列 a，b，c 经过第 n 次“Z 拓展”后所得 数列的项数记为 Pn，所有项的和记为 Sn （）求 P1，P2； （）若 Pn2020，求 n 的最小值； （）是否存在实数 a，b，c，使得数列Sn为等比数列？若存在，求 a，b，c 满足的条 件；若不存在，说明理由 （）因原数列有 3 项，经第 1 次拓展后增加两项，可得项数 P1；经第 2 次拓展后增加 4 项，可得项数 P2 （）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第 n 次拓展后的 项数为 Pn，则经第 n+1 次拓展后增加的项数为 Pn1，可得 Pn+1Pn+（Pn1）2Pn 1，变形利用等比数列的通项公式即可得出 （）设第 n 次拓展后数列的各项为 a，a1，a2，a3，