1、 数学试题数学试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 Mx|x|3，Nx|y= 6 + 2，则 MN（ ） Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|2x3 Dx|3x3 2设复数 z 满足 z（2+i）5，则|zi|（ ） A2 B2 C22 D4 3七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块 正方形和一块平行四边形共七块板组成 （清）陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又有七 巧图，其式五，其
2、数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足 以排闷破寂，故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任 取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A 5 16 B11 32 C 7 16 D13 32 4在等比数列an中，a10，则“a1a4”是“a3a5”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5函数() = 21 | 的图象大致为（ ） A B C D 6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是9 5，则（ ） Aa6 Ba5 Ca4 Da7 7 （3x3+ 1 ） 7 展开式中的常数项是（ ） A189
3、B63 C42 D21 8 刘徽注 九章算术商功 中， 将底面为矩形， 一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马 如图， 是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ） A3 B 3 2 C3 D4 9已知变量 x，y 满足约束条件 + 6 3 2 1 ，若目标函数 zax+by（a0，b0）的最小 值为 2，则1 + 3 的最小值为（ ） A2+3 B5+26 C8+15 D23 10已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的右焦点为 F，过点 F 作圆 x2+y2b2的切线， 若两条切线互相垂直，则椭圆 C 的离心率为（ ） A1 2 B 2 2 C 2 3 D 6 3 11设|AB|10
4、，若平面上点 P 满足对任意的 R，恒有|2 | 8，则一定正确的 是（ ） A| | 5 B| + | 10 C 9 DAPB90 12设函数 f（x）是奇函数 f（x） （xR）的导函数，当 x0 时，xlnxf（x）f（x） ， 则使得（x24）f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （2，0）（0，2） B （，2）（2，+） C （2，0）（2，+） D （，2）（0，2） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的一条渐近线方程为 y= 3x，若其右顶点到这 条渐
5、近线的距离为3，则双曲线方程为 14已知函数() = ( 6)（0）在(0， 4 3 )单调增加，在(4 3 ，2)单调减少，则 15在如图所示装置中，正方形框架的边长都是 1，且平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直， 活动弹子 M，N 分别在正方形对角线 AC，BF 上移动，则 MN 长度的最小值是 16 某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表， 且把奇数和偶数分别依次排在了 数表的奇数行和偶数行如图，若用 a（i，j）表示第 i 行从左数第 j 个数，如 a（5，2） 11，则 a（41，18） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分
6、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题；题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题； 共共 60 分分 17已知ABC 外接圆的半径为 R，其内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，若 2R（sin2B sin2A）（a+c）sinC （）求角 B； （）若 b= 7，c2，求 sinA 的值 18如图，ABCD 是边长为 2 的正方形，AE平面 BCE，且 AE1 （）求证：平面 ABCD平面 ABE； （）线段 AD 上是否存在一点 F，使二
7、面角 ABFE 等于 45？若存在，请找出点 F 的位置；若不存在，请说明理由 19新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检 验血液样本相关指标是否为阳性，对于 a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份 检验，则雷检验 n 次二是混合检验，将其中 k 份血液样本分别取样混合在一起，若检 验结果为阴性， 那么这 k 份血液全为阴性， 因而检验一次就够了； 如果检验结果为阳性， 为了明确这 k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时 k 份血液检验的 次数总共为 k+1 次 某定点医院现取得 4 份血液样本， 考虑以下三种检验方案： 方案一， 逐
8、个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验假设在接受 检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是 阴性的概率为 P= 22 3 （）求把 2 份血液样本混合检验结果为阳性的概率； （）若检验次数的期望值越小，则方案越“优” 方案一、二、三中哪个最“优”？请 说明理由 20已知椭圆 E 的焦点为 F1（1，0）和 F2（1，0） ，过 F2的直线交 E 于 A，B 两点，过 A 作与 y 轴垂直的直线交直线 x3 于点 C 设2 =2 ， 已知当 2 时， |AB|BF1| （）求椭圆 E 的方程； （）求证：无论 如何变化，直线 BC 过定
9、点 21已知函数 f（x）xsinx+cosx，g（x）= （）判断函数 f（x）在区间（0，）上零点的个数； （）设函数 g（x）在区间（0，+）上的极值点从小到大分别为 x1，x2，x3，x4， xn证明： （1）g（x1）+g（x2）0； （2）对一切 nN*，g（x1）+g（x2）+g（x3）+g（xn）0 成立 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分作答时请用第一题计分作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑
10、选修选修 4-4：坐标系：坐标系 与参数方程与参数方程 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 = 3 = 3 （ 为参数） ， 已知点 Q （6， 0） ，点 P 是曲线 C1上任意一点，点 M 满足 = 2 ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系 （）求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程； （）已知直线 l：ykx 与曲线 C2交于 A，B 两点，若 =4 ，求 k 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+a|，g（x）|x1| （）若 f（x）+2g（x）的最小值为 1，求实数 a 的值； （）若关于 x 的不等式
11、f（x）+g（x）1 的解集包含1 2，1，求实数 a 的取值范围 来源:学_科_网 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 Mx|x|3，Nx|y= 6 + 2，则 MN（ ） Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|2x3 Dx|3x3 可以求出集合 M，N，然后进行交集的运算即可 Mx|3x3，Nx|2x3， MNx|2x3 故选：B 本题考查了描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，交集的运算，考查 了计算
12、能力，属于基础题 2设复数 z 满足 z（2+i）5，则|zi|（ ） A2 B2 C22 D4 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的个数求解|zi| 由 z（2+i）5，得 z= 5 2+ = 5(2) (2+)(2) = 2 ， |zi|2ii|22i|= 22+ (2)2= 22 故选：C 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 3七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块 正方形和一块平行四边形共七块板组成 （清）陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又有七 巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，
13、盖游戏之具，足 以排闷破寂，故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任 取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A 5 16 B11 32 C 7 16 D13 32 先设大正方形的边长为 4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为 22，另外一 部分为梯形，上底为2，下底为 22，高2，然后分别求出面积，根据与面积有关的几 何概率公式可求 设大正方形的边长为 4，则面积 4416， 阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为 22，面积1 2 22 22 =4， 另外一部分为梯形，上底为2，下底为 22，高2，面积2:22 2 2 =3， 故概率 P= 7 16 故选
14、：C 本题考查了观察能力及几何概型中的面积型，属中档题 4在等比数列an中，a10，则“a1a4”是“a3a5”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件来源:学科网 ZXXK 根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可 在等比数列中，若 a1a4，即 a1a1q3， a10，1q3， 即 q1，则5 3 = 21，即 a3a5成立， 若等比数列 1，2，4，8，16， 满足 a3a5，但 a1a4不成立， 故“a1a4”是“a3a5”的充分不必要条件， 故选：A 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键
15、 5函数() = 21 | 的图象大致为（ ） A B C D 根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当 x0 时的单调性，利用排除法进行求解即 可 f（x）= ()21 | = 21 | =f（x） ，则 f（x）为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 B，C， 当 x0 时，f（x）= 21 =x 1 为增函数，排除 A， 故选：D 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题 的关键 6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是9 5，则（ ） Aa6 Ba5 Ca4 Da7 执行程序框图，写出每次循环得到的 k，S 的值，当有 S= 9 5，k5 时，应
16、该满足条件 k a，退出循环输出 S 的值为9 5，故 a 的值应为 4 执行程序框图，有 S1，k1 不满足条件 ka，有 S1+ 1 12，k2； 不满足条件 ka，有 S1+ 1 12 + 1 23，k3； 不满足条件 ka，有 S1+ 1 12 + 1 23 + 1 34，k4； 不满足条件 ka，有 S1+ 1 12 + 1 23 + 1 34 + 1 45 = 9 5，k5； 此时，应该满足条件 ka，退出循环输出 S 的值为9 5 故 a 的值应为 4 故选：C 【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查 7 （3x3+ 1 ） 7 展开式中的常数项是（ ） A18
17、9 B63 C42 D21 利用二项式展开式的通项公式，即可求出展开式中的常数项 (33+ 1 ) 7展开式的通项公式为： Tr+1= 7 （3x3）7r(1 ) = 7 37r21;7 2， 令 21 7 2 =0，解得 r6； 所以展开式中的常数项是 T7= 7 6321 故选：D 本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题 8 刘徽注 九章算术商功 中， 将底面为矩形， 一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马 如图， 是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ） A3 B 3 2 C3 D4 根据三视图得出四棱锥的结构特征，根据四棱锥与长方体的关系计算外接球的直径与体 积 由题意可知阳马
18、为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面， 四棱锥的高为长方体的一棱长， 且阳马的外接球也是长方体的外接球；来源:学科网 ZXXK 由三视图可知四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，四棱锥的高为 1， 长方体的一个顶点处的三条棱长分别为 1，1，1， 长方体的对角线为3， 外接球的半径为 3 2 ， 外接球的体积为 V= 4 3 ( 3 2 )3= 3 2 故选：B 本题考查了棱锥的结构特征与三视图应用问题，也考查了几何体外接球的应用问题，是 中档题 9已知变量 x，y 满足约束条件 + 6 3 2 1 ，若目标函数 zax+by（a0，b0）的最小 值为 2，则1 + 3 的最小值为（ ）
19、A2+3 B5+26 C8+15 D23 画出可行域，利用目标函数去最小值得到 a，b 的等式，利用基本不等式求解1 + 3 的最 小值 约束条件对应的 区域如图：目标函数 zax+by（a0，b0）经过 C 时取最小值为 2， 所以 a+b2， 则1 + 3 = 1 2（ 1 + 3 ） （a+b）= 1 2（4+ + 3 ） 2+ 3 =2+3； 当且仅当3ab，并且 a+b2 时等号成立； 故选：A 本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值；关键是求出 a+b2，对所求 变形为基本不等式的形式求最小值 10已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的右焦点为 F，过点
20、 F 作圆 x2+y2b2的切线， 若两条切线互相垂直，则椭圆 C 的离心率为（ ） A1 2 B 2 2 C 2 3 D 6 3 由题意画出图形，可得2 = ，两边平方后结合隐含条件得答案 如图， 由题意可得，2 = ，则 2b2c2， 即 2（a2c2）c2，则 2a23c2， 2 2 = 2 3，即 e= = 6 3 故选：D 本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 11设|AB|10，若平面上点 P 满足对任意的 R，恒有|2 | 8，则一定正确的 是（ ） A| | 5 B| + | 10 C 9 DAPB90 关于向量的问题，如果从形上思考而不得思路，可以考虑
21、从数的角度入手分析，故想到 建立坐标系，将点 A、B 的坐标数字化，将点 P 的坐标变量化，这样就能和向量的内积 坐标运算，模的坐标运算等建立联系 以线段 AB 的中点为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，以其中垂线为 y 轴，建立直角坐标 系， 则 A（5，0） 、B（5，0） 、设点 P（x，y） ， 则 = ( + 5，)， = (10，0)， 则2 = (2 + 10 10，2)， 即有（2x+1010）2+4y264， 整理为以为元的一元二次不等式， 即 1002（200+40x）+4x2+40x+4y2+360， 由于上述不等式对任意 R 恒成立，则0 必然成立， （200+40
22、x）24100（4x2+40x+4y2+36）0， 解得|y|4， 即 y4 或者 y4， 动点 P 位于直线 y4 上或其上方部分，或者直线 y4 上或者其下方的区域内， 用动态的观点看问题，我们让点 P 位于点（5，4）处，则| | = 4，故 A 错误； 让点 P 位于点（0，4）处，则| + | = |2 | = 8，故 B 错误； 此时| = | = 41，|AB|10， 用余弦定理计算 = 41+41100 2| 0，APB90故 D 错误； 我们进一步确定 C 选项的正确性， = (5 ， )， = (5 ， )， 则 = 2+ 2 25， 其中 xR，y216， 故 x2+y2
23、25x2+16259， 即 9，故 C 正确 故选：C 数和形两个角度的结合和相互转化，是数学学习的一个窍门之一 解题过程中，有效的使用动态的观点，特殊化策略非常有助于我们的解题 12设函数 f（x）是奇函数 f（x） （xR）的导函数，当 x0 时，xlnxf（x）f（x） ， 则使得（x24）f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （2，0）（0，2） B （，2）（2，+） C （2，0）（2，+） D （，2）（0，2） 根据题意，设 g（x）lnxf（x） ， （x0） ，对 g（x）求导，利用导数与函数单调性的关 系分析可得 g（x）在（0，+）上为减函数，分析 g（x）的
24、特殊值，结合函数的单调性 分析可得在区间（0，1）和（1，+）上，都有 f（x）0，结合函数的奇偶性可得在区 间（1，0）和（，1）上，都有 f（x）0，进而将不等式变形转化，解可得 x 的取值范围，即可得答案 根据题意，设 g（x）lnxf（x） ， （x0） ， 其导数 g（x）（lnx）f（x）+lnxf（x）= 1 f（x）+lnxf（x） ， 又由当 x0 时，xlnxf（x）f（x） ，即 lnxf（x） 1 f（x） ， 则有 g（x）= 1 f（x）+lnxf（x）0， 即函数 g（x）在（0，+）上为减函数，又由 g（1）ln1f（x）0， 则在区间（0，1）上，g（x）ln
25、xf（x）0，又由 lnx0，则 f（x）0， 在区间（1，+）上，g（x）lnxf（x）0，又由 lnx0，则 f（x）0， 则 f（x）在（0，1）和（1，+）上，f（x）0， 而 x1 时，g（1）ln1f（x）0，故 f（x）也可小于 0， 又由 f（x）为奇函数，则在区间（1，0）和（，1）上，都有 f（x）0， （x24）f（x）0 2 40 ()0 或 2 40 ()0 ， 解可得：x2 或 0x2， 则 x 的取值范围是（，2）（0，2） ； 故选：D 本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析 f（x）0 与 f（x）0 的解集 二、填空题：本大题共
26、二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的一条渐近线方程为 y= 3x，若其右顶点到这 条渐近线的距离为3，则双曲线方程为 2 4 2 12 =1 根据题意， 结合双曲线的方程由点到直线的距离公式可得顶点到渐近线的距离， 解可得 a 的值，即可得 b 的值，代入双曲线的方程即可得答案 根据题意，双曲线渐近线方程为 y= 3x， 顶点坐标（a，0） ，顶点到渐近线的距离为： 3 2 =3， 解得 a2， 根据渐近线方程的斜率 =3，可得 b23， 所以双曲线的方程为： 2 4 2 12 =1； 故答案为：
27、 2 4 2 12 =1 本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的标准方程与渐近线方程的关系 14已知函数() = ( 6)（0）在(0， 4 3 )单调增加，在(4 3 ，2)单调减少，则 1 2 由题意函数在4 3 时取得最大值，求出 的范围，根据单调性，确定 的值 由题意(4 3) = ( 4 3 6) = 1 4 3 6 = 2 + 2 = 3 2 + 1 2 ， 又 0，令 k0 得 = 1 2 （由已知 T2如 k0，则 2，T 与已知矛盾） 本题考查 yAsin（x+）中参数的物理意义，正弦函数的单调性，考查逻辑思维能力， 是基础题 15在如图所示装置中，正方形框架的边长都是
28、 1，且平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直， 活动弹子 M，N 分别在正方形对角线 AC，BF 上移动，则 MN 长度的最小值是 3 3 以 A 为坐标原点，分别以 AF，AB，AD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， = = (0，)， = = (， ，0)， 01， 01， 可得 = （， 1，） ，求其模，利用基本不等式结合换元法利用二次函数求最值 如图， 以 A 为坐标原点，分别以 AF，AB，AD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 则 A（0，0，0） ，B（0，1，0） ，F（1，0，0） ，C（0，1，1） ， 设 = = (0，)， = = (，
29、 ，0)，01，01 = + =（0，1，0）（0，）+（，0） （，1，） | | = 2+ (1 )2+ 2= 2+ 2+ ( + )2 2( + ) + 1 (+) 2 2 + ( + )2 2( + ) + 1 =3 2( + ) 2 2( + ) + 1 （当且仅当 时等 号成立） 令 +t（0t2） ，则| | 3 2 2 2 + 1 当 t= 2 3，即 = = 1 3时，| |=1 3 = 3 3 MN 长度的最小值是 3 3 故答案为： 3 3 本题考查空间中点、线、面间的距离计算，训练了空间向量的应用，考查利用换元法与 基本不等式求最值，属难题 16 某同学做了一个如图所示
30、的等腰直角三角形形状数表， 且把奇数和偶数分别依次排在了 数表的奇数行和偶数行如图，若用 a（i，j）表示第 i 行从左数第 j 个数，如 a（5，2） 11，则 a（41，18） 835 来源:Zxxk.Com 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，利用等差数列的前 n 项和 公式求出 a（41，18）前面所有的奇数的个数，分析对应数字与行列的关系可得答案 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第 n 行有 n 个数， 因为 a（41，18）对应的数字为奇数， 则前面奇数行共有：1+3+5+39= (1+39)20 2 =400 个奇数， 故 a（41，18
31、）为第 418 个奇数， 由 24181835，可得 a（41，18）835， 故答案为：835 本题考查归纳推理，以及等差数列的前 n 项和公式，难点是根据能够找出数之间的内在 规律，考查观察、分析、归纳的能力，属于基础题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题；题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题； 共共 60 分分 17已知ABC 外接圆的半径为 R，其内角 A
32、，B，C 的对边长分别为 a，b，c，若 2R（sin2B sin2A）（a+c）sinC （）求角 B； （）若 b= 7，c2，求 sinA 的值 （1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求 cosB，进而可求 B； （2）由已知结合正弦定理可求 sinC，然后结合同角平方关系可求 cosA，再利用和差角 公式即可求解 （1）因为 2R（sin2Bsin2A）（a+c）sinC 所以 2R2R（sin2Bsin2A）2R（a+c）sinC 集 b2a2ac+c2， 由余弦定理可得，cosB= 2+22 2 = 1 2， 0B， B= 2 3 ； （2）b= 7，c2， 由正弦定理可得， = ，
33、 所以 sinC= 21 7 ， 因为 bc，故 C 为锐角，cosC= 27 7 ， 所以 sinAsin（B+C）sinBcosC+sinCcosB= 3 2 27 7 1 2 21 7 = 21 14 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及同角平方关系在求解三角形中的应 用，属于中档试题 18如图，ABCD 是边长为 2 的正方形，AE平面 BCE，且 AE1 （）求证：平面 ABCD平面 ABE； （）线段 AD 上是否存在一点 F，使二面角 ABFE 等于 45？若存在，请找出点 F 的位置；若不存在，请说明理由 （）可通过证明 BC 垂直于平面 ABCD 证出结论，则只需证
34、 BC 垂直于 AB，BC 垂直于 AE，由已知条件容易证出 （）不妨假设存在符合题意的点，利用 h 表示出其竖坐标，然后按照求二面角的基本 思路列出关于 h 的方程，若有解，则存在，否则不存在 （）因为 AE平面 BCE，BE平面 BCE，BC平面 BCE所以 AEBE，AEBC 又因为 BCAB，AEABA，所以 BC平面 ABE 又 BC平面 ABCD，所以平面 ABCD平面 ABE （）如图所示，建立空间直角坐标系 Axyz，因为 AE1，AB2，AEBE 所以 BE= 3，所以 B（0，2，0） ，E（ 3 2 ， 1 2 ，0） ， 设线段 AD 上存在一点 F 满足题意，设 F（
35、0，0，h） ， （h0） ， 易知平面 ABF 的一个法向量为 = (1，0，0)， 设平面 BEF 的一个法向量为 = (，)，易知 = ( 3 2 ， 3 2，0)， = (0， 2，) 所以 = 0 = 0 ，即 3 2 3 2 = 0 2 + = 0 ，令 y1，可得 = (3，1， 2 ) 由 ， = | | | = 2 2 = 3 4+4 ，解得= 2 所以存在点 F，当 = 2时，二面角 ABFE 所成角为 45 本题考查空间位置关系的判定以及二面角的求法，还考查学生运用转化思想、方程思想 解决问题的能力同时也着重考查学生的逻辑推理、数学运算等核心数学素养 19新冠病毒是一种通
36、过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检 验血液样本相关指标是否为阳性，对于 a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份 检验，则雷检验 n 次二是混合检验，将其中 k 份血液样本分别取样混合在一起，若检 验结果为阴性， 那么这 k 份血液全为阴性， 因而检验一次就够了； 如果检验结果为阳性， 为了明确这 k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时 k 份血液检验的 次数总共为 k+1 次 某定点医院现取得 4 份血液样本， 考虑以下三种检验方案： 方案一， 逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验假设在接受 检验的血液样本中，每份样本
37、检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是 阴性的概率为 P= 22 3 （）求把 2 份血液样本混合检验结果为阳性的概率； （）若检验次数的期望值越小，则方案越“优” 方案一、二、三中哪个最“优”？请 说明理由 （）该混合样本阴性的概率是（22 3 ）2= 8 9，根据对立事件原理，能求出阳性的概率 （）方案一：逐个检验，检验次数为 4，方案二：每组 2 个样本检验时，若阴性则检测 次数为 1，概率为8 9，若阳性，则检测次数为 3，概率为 1 9，设方案二的检验次数记为 ， 则 的可能取值为 2，4，6，求出分布列，得到 E（）= 22 9 ，方案三：混在一起检验， 设方案三的检验
38、次数记为 ， 的可能取值为 1，5，由分布列求出 E（）= 149 81 ，从而 选择方案三最“优” （）该混合样本阴性的概率是（22 3 ）2= 8 9， 根据对立事件原理，阳性的概率为 1 8 9 = 1 9 （）方案一：逐个检验，检验次数为 4， 方案二：由（）知，每组 2 个样本检验时，若阴性则检测次数为 1，概率为8 9， 若阳性，则检测次数为 3，概率为1 9， 设方案二的检验次数记为 ，则 的可能取值为 2，4，6， 其分布列为： 2 4 6 P 64 81 16 81 1 81 E（）= 2 64 81 + 4 16 81 + 6 1 81 = 22 9 ， 方案三：混在一起检
39、验，设方案三的检验次数记为 ， 的可能取值为 1，5， 其分布列为： 1 5 P 64 81 17 81 E（）1 64 81 +5 17 81 = 149 81 ， E（）E（）4，故选择方案三最“优” 本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式、古典 概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20已知椭圆 E 的焦点为 F1（1，0）和 F2（1，0） ，过 F2的直线交 E 于 A，B 两点，过 A 作与 y 轴垂直的直线交直线 x3 于点 C 设2 =2 ， 已知当 2 时， |AB|BF1| （）求椭圆 E 的方程； （）求证：无论 如何变化，直线 BC
40、 过定点 （） 由题可知， 令|F2B|m， 则|AF2|2m， |BF1|AB|3m， 结合椭圆的定义可知m= 2， 于 是可得点 A 为椭圆 E 的上顶点或下顶点， 令OAF2， 结合解三角形的知识， 通过 cos2 建立关于 a 的方程，解之即可得解； （） 设直线 AB 的方程为 yk （x1） ， A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 则 C （3， y1） ， 由2 =2 可得 到（1x1，y1）（x21，y2） ，由 B、C 两点的坐标可得到直线 BC 的方程，以减 少未知量为目的对直线 BC 的方程进行化简，发现当 xx21 时，无论 如何变化，y 0 恒成立，从
41、而得证 （）设椭圆的方程为 2 2 + 2 2 = 1(0)，连接 F1A， 2 =22 ，不妨令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|AB|3m 由椭圆的定义知，|BF1|+|F2B|2a，m+3m2a 即 m= 2， |AF2|a|AF1|，则点 A 为椭圆 E 的上顶点或下顶点 令OAF2，则 sin= 1 ，cos2= 1 2 2 = 1 2 2， 而在等腰ABF1中，由余弦定理得，cos2= 2+(3 2) 2(3 2) 2 23 2 = 1 3， 由解得，a23 椭圆 E 的焦点为 F1（1，0）和 F2（1，0） ，c1，b22， 椭圆 E 的方程为 2 3 + 2 2 = 1 （）证明：由题可知，直线 AB 的斜率一定存在，不妨设其方程为 yk（x1） ， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 C（3，y1） ， 2 =2 ，（1x1，y1）（x21，y2） ，即1 = + 1 2 1= 2 ， 而直线 BC 的方程为 1= 21 23 ( 3)， + (2 1) = (21) 23 ( 3)， + (2 1) = (1+)(21