1、如表是我国某城市在 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低温与最高温（C）的数 据一览表 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温 12 3 1 2 7 17 19 23 25 10 已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是 （ ） A最低温与最高温为正相关 B每月最高温与最低温的平均值在前 8 个月逐月增加 C月温差（最高温减最低温）的最大值出现在 1 月 D1 月至 4 月的月温差（最高温减最低温）相对于 7 月至 10 月，波动性更大 4 （3 分）设函数 f（x）sin
2、2xcos2x，则下列结论正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 2 Bf（x+）的一个零点为 Cf（x）在上单调递增 Df（x）的图象关于直线对称 5 （3 分）函数 f（x）（x）ln|x|的图象大致是（ ） A B 第 2 页（共 26 页） C D 6 （3 分）设 、 表示三个不同的平面，m、n、l 表示三条不同的直线，则 的一 个充分条件是（ ） A， Bm，n Cl，m，n，lm，ln Dm，m 7 （3 分）已知 为圆周率，e 为自然对数的底数，则（ ） Ae3e B3e 23e2 Clogelog3e Dlog3e3loge 8 （3 分）已知双曲线（a0，b0）的左、右焦
3、点分别为 F1，F2，过 F2的直 线交双曲线右支于 P，O 两点，且 PQPF1，若，则该双曲线离心率 e （ ） A B C D 9 （3 分）设抛物线 C：x2py（p0）焦点为 F，点 M 在 C 上，且|MF|3，若以 MF 为 直径的圆过点，则 C 的方程为（ ） Ax24y 或 x28y Bx22y 或 x24y Cx24y 或 x216y Dx22y 或 x216y 10 （3 分） “3N+1 猜想”是指对于每一个正整数 n，若 n 为偶数，则让它变成；若 n 为奇 数，则让它变成 3n+1如此循环，最终都会变成 1，若数字 4、5、6、7、8 按照以上的 规则进行变换，则变
4、换次数为偶数的概率是（ ） A B C D 11 （3 分）在三棱锥 PABC 中，ABC 与PBC 均为边长为 1 的等边三角形，P，A，B， C 四点在球 O 的球面上，当三棱锥 PABC 的体积最大时，则球 O 的表面积为（ ） A B2 C5 D 第 3 页（共 26 页） 12 （3 分）设曲线 C1：yex+m1（m0）上一点 A（x1，y1） ，曲线 C2：ylnx 上一点 B （x2，y2） ，当 y1y2时，对于任意 x1、x2，都有|AB|e2恒成立，则 m 的最小值为（ ） A1 B Ce1 De21 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题小题 13 （3 分
5、）设 ， ， 是单位向量， ， 的夹角为 60，则 14 （3 分）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验 和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 200 名 同学，每人随机写下一个都小于 1 的正实数对（x，y） ；再统计两数能与 1 构成钝角三角 形三边的数对（x，y）的个数 m；最后再根据统计数 m 来估计 的值假如统计结果是 m60，那么可以估计 15 （3 分）现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界 第一运动” 早在 2000 多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠” ，后来经过 阿拉伯
6、人传到欧洲，发展成现代足球1863 年 10 月 26 日，英国人在伦敦成立了世界上 第一个足球运动组织英国足球协会，并统一了足球规则人们称这一天是现代足球 的诞生日如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们 把这些正五边形和正六边形都称为足球的面， 任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱 已 知足球表面中的正六边形的面为 20 个，则该足球表面中的正五边形的面为 个， 该足球表面的棱为 条 16 （3 分）已知等差数列an中，首项 a12，公差 d0，若， 成等比数列，且 k11，k23，k311，则数列kn的通项公式是 三、解答题：解答应写出文字三、解答题：解答应写出文
7、字说明，证明过程或演算步骤第说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 第 4 页（共 26 页） 题考生都必须作答，第题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 17ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 a（cosB3cosC）（3cb） cosA （1）求的值； （2）若角，a4，求ABC 的周长 18如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ABCD 是平行四边形，ACABAD 2，AC、BD 交于点 O，E 是 PB 上一点 （1）求证：AC
8、DE； （2）已知二面角 APBD 的余弦值为，若 E 为 PB 的中点，求 EC 与平面 PAB 所成 角的正弦值 19在新中国成立七十周年之际，赤峰市某中学的数学课题研究小组，在某一个社区设计了 一个调查：在每天晚上 7：3010：00 共 2.5 小时内，居民浏览“学习强国”的时间如 果这个社区共有成人按 10000 人计算，每人每天晚上 7：3010：00 期间打开“学习强 国 APP”的概率均为 p（某人在某一时刻打开“学习强国”的概率，0 p1） ，并且是否打开进行学习是彼此相互独立的他们统计了其中 100 名成人每天晚 上浏览“学习强国”的时间（单位：min） ，得到下面的频数表
9、： 学习时长/min 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 频数 10 20 40 20 10 以样本中 100 名成人的平均学习时间作为该社区每个人的学习时间 （1）试估计 p 的值； （2）设 X 表示这个社区每天晚上打开“学习强国”进行学习的人数 第 5 页（共 26 页） 求 X 的数学期望 E（X）和方差 D（X） ； 若随机变量 Z 满足，可认为 ZN（0，1） 假设当 4950X5100 时，表 示社区处于最佳的学习氛围，试由此估计，该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长 度（结果保留为整数） 附：若 ZN（，2） ，则 P（Z+）0.6827，P
10、（2Z+2） 0.9545，P（3Z+3）0.9973 20已知椭圆 E：（ab0）经过点和 B（2，1） （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）过 P（1，0）的直线 MN 交椭圆 E 于 M，N 两点，若 m，n 分别为的最大值 和最小值，求 m+n 的值 21已知函数，a 为常数，当 x（1，3）时，f（x）有三个极 值点 x1，x2，x3（其中 x1x2x3） （1）求实数 a 的取值范围； （2）求证：x1x3x1+x3 （二）选考题：请考生在第（二）选考题：请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分作
11、答时，用分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数：坐标系与参数 方程方程 22在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为，以极点为原点，以极轴所在 直线为 x 轴建立直角坐标系，曲线 C 分别与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴交于点 A，B，P 为 直线 AB 上任意一点，点 Q 在射线 OP 上运动，且 （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）求点 Q 轨迹围成的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|xm|+|x3m|，mN*，存在实数 x，使得 f（x）4 成立 （1）求不等式
12、 f（x）2x 的解集； （2）若 a3，b3，且满足 f（a）+f（b）12，求证： 第 6 页（共 26 页） 2019-2020 学年内蒙古赤峰市高三（上）期末数学试卷（理科）学年内蒙古赤峰市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （3 分）已知集合 Ax|x2+2x+30，Bx|lgx1，则集合（UA）B（ ） A （0，10） B C0，10） D （0，1 【分析】可以求出集合 A，B，然
13、后进行交集、补集的运算即可 【解答】解：A，Bx|0x10， UAU，UB（0，10） 故选：A 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于 基础题 2 （3 分）若复数为纯虚数，i 是虚数单位，则实数 a（ ） A B C D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求解 【解答】解：为纯虚数， ，解得 a 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （3 分）如表是我国某城市在 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低温与最高温（C）的数 据一览表 月份 1 2 3 4 5 6 7
14、 8 9 10 最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温 12 3 1 2 7 17 19 23 25 10 已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是 （ ） A最低温与最高温为正相关 第 7 页（共 26 页） B每月最高温与最低温的平均值在前 8 个月逐月增加 C月温差（最高温减最低温）的最大值出现在 1 月 D1 月至 4 月的月温差（最高温减最低温）相对于 7 月至 10 月，波动性更大 【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系
15、，由数据分析可得最低温与最高 温为正相关，则 A 正确； 对于 B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为：3.5，3，5，4.5，12，20.5， 23，26.5，28，15.5，在前 8 个月不是逐月增加，则 B 错误； 对于 C，由表中数据，月温差依次为：17，12，8，13，10，7，8，7，6，11；月温差的 最大值出现在 1 月，C 正确； 对于 D，有 C 的结论，分析可得 1 月至 4 月的月温差相对于 7 月至 10 月，波动性更大， D 正确； 故选：B 【点评】本题考查相关关系的判定与应用，关键是理解变量相关的定义 4 （3 分）设函数 f（x）sin2xcos2x
16、，则下列结论正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 2 Bf（x+）的一个零点为 Cf（x）在上单调递增 Df（x）的图象关于直线对称 【分析】由题意利用二倍角的余弦函数公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的性质 得出结论 【解答】解：函数 f（x）sin2xcos2xcos2x， 对于 A，可得函数 f（x）的周期为，故 A 错误； 对于 B，x，可得 f（+）f（）cos0，f（x+）的一个零 点为，故 B 正确； 对于 C，令 2k2x2k+，kZ，解得 kxk+，kZ，可得函数的单调递增区 第 8 页（共 26 页） 间为（k，k+） ，kZ，故 C 错误； 对于 D，当，可得 f（
17、）cos（2）coscos0 1，故 D 错误 故选：B 【点评】本题主要考查二倍角的余弦函数公式的应用，考查了余弦函数的性质，属于基 础题 5 （3 分）函数 f（x）（x）ln|x|的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据条件判断函数的定义域以及奇偶性，结合极限思想进行排除即可 【解答】解：函数的定义域为x|x0， 则 f（x）（x+）ln|x|（x）ln|x|f（x） ， 故函数 f（x）是奇函数，则图象关于原点对称，排除 A，B， 当 x+，f（x）+，排除 C， 故选：D 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性，以及极限思 想利用排除法是解决本题的关
18、键比较基础 6 （3 分）设 、 表示三个不同的平面，m、n、l 表示三条不同的直线，则 的一 个充分条件是（ ） A， Bm，n Cl，m，n，lm，ln Dm，m 【分析】根据线面平行的性质定理，以及面面垂直的判定定理即可求出结果 第 9 页（共 26 页） 【解答】解：若 m，m，过直线 m 作平面 ，与平面 交于直线 a，则 ma，又 m，a，又a平面 ， m，m，是 的一个充分条件， 故选：D 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是 解决本题的关键 7 （3 分）已知 为圆周率，e 为自然对数的底数，则（ ） Ae3e B3e 23e2 Clog
19、elog3e Dlog3e3loge 【分析】根据 3e1，指数函数、对数函数的单调性和特殊点，逐一判断各个选项 是否正确，从而得出结论 【解答】解：已知 为圆周率，e 为自然对数的底数，e2，1，e 3e，故 A 错误； 01，1e20，3e 23e2，故 B 错误； 3，logelog3e，故 C 错误； 由 3，可得 log3eloge，log3e3loge，故 D 正确， 故选：D 【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于中档题 8 （3 分）已知双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直 线交双曲线右支于 P，O 两点，且 PQPF1，若，则
20、该双曲线离心率 e （ ） A B C D 【分析】由 PQPF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可 得 2a|PF1|PF2|QF1|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出 a，c 的关系， 可得双曲线的离心率 【解答】解：设 P，Q 为双曲线右支上一点， 由 PQPF1，|PQ|PF1|， 第 10 页（共 26 页） 在直角三角形 PF1Q 中，|QF1|PF1|， 由双曲线的定义可得：2a|PF1|PF2|QF1|QF2|， 由|PQ|PF1|，即有|PF2|+|QF2|PF1|， 即为|PF1|2a+|PF1|2a|PF1|，
21、 （1+）|PF1|4a， 解得|PF1| |PF2|PF1|2a， 由勾股定理可得：2c|F1F2|， 则 e 故选：C 【点评】本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 9 （3 分）设抛物线 C：x2py（p0）焦点为 F，点 M 在 C 上，且|MF|3，若以 MF 为 直径的圆过点，则 C 的方程为（ ） Ax24y 或 x28y Bx22y 或 x24y Cx24y 或 x216y Dx22y 或 x216y 【分析】由抛物线 C：x2py（p0）焦点为 F，得 F（0，） ，准线为：y，设 M （m，n） ，利用抛物线的定义得，由
22、题意可知圆心坐标为（，） ，半径 r， 又圆过点，可以求出 m 的值，再代入抛物线方程即可求出 p 的值，从而求出 第 11 页（共 26 页） 抛物线方程 【解答】解：抛物线 C：x2py（p0）焦点为 F，F（0，） ，准线为：y， 设 M（m，n） ， 点 M 在抛物线 C 上，|MF|3， 又圆的直径为 MF，圆心为 MF 的中点，半径 r，圆心坐标为（，） ， 又圆过点， ，解得：m2， 代入抛物线 C 方程：x2py，得：8p（3） ， p212p+320， p4 或 8， 抛物线 C 方程为：x24y 或 x28y， 故选：A 【点评】本题主要考查了抛物线的方程的应用，是中档题
23、10 （3 分） “3N+1 猜想”是指对于每一个正整数 n，若 n 为偶数，则让它变成；若 n 为奇 数，则让它变成 3n+1如此循环，最终都会变成 1，若数字 4、5、6、7、8 按照以上的 规则进行变换，则变换次数为偶数的概率是（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 N5，变换次数为偶数的数字有：4，6，7，共 3 个，由此能求 出变换次数为偶数的概率 【解答】解：数字 4、5、6、7、8 按照 n 为偶数，则让它变成； 若 n 为奇数，则让它变成 3n+1如此循环，最终都会变成 1， 基本事件总数 N5， 变换次数为偶数的数字有：4，6，7，共 3 个， 变换次数为偶数的概率 p
24、 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 第 12 页（共 26 页） 11 （3 分）在三棱锥 PABC 中，ABC 与PBC 均为边长为 1 的等边三角形，P，A，B， C 四点在球 O 的球面上，当三棱锥 PABC 的体积最大时，则球 O 的表面积为（ ） A B2 C5 D 【分析】由题意当当面PAB面 ABC 时，三棱锥的体积最大，三棱锥的体积最大，由 题意求出两个面的外接圆的圆心及半径由勾股定理求出外接球的半径，进而求出外接球 的表面积 【解答】解：因为ABC 和PBC 为等边三角形，Vh，而 S 一定，所以高最大值 时，
25、 所以当面PBC面 ABC 时，三棱锥的体积最大， 设两个外接圆的圆心分别为 G，F，如图所示， 过 G，F 分别作两个面的垂线，交于 O， 连接 OP，OA， 则 OAOP 为外接球的半径 R，OAG 中，OA2OG2+AG2， 而由题意 OGEF，AG， 所以 OA2（）2+（）2， 所以外接球的表面积 S4R2， 故选：A 【点评】考查三棱锥的最大体积的情况及球的表面积公式，属于中档题 12 （3 分）设曲线 C1：yex+m1（m0）上一点 A（x1，y1） ，曲线 C2：ylnx 上一点 B （x2，y2） ，当 y1y2时，对于任意 x1、x2，都有|AB|e2恒成立，则 m 的最
26、小值为（ ） A1 B Ce1 De21 第 13 页（共 26 页） 【分析】由 y1y2t 得：1lnx2t（t1） ，则|AB|x2x1etln（t+1） metln（t+1）+m，构造函数|AB|g（t）etln（t+1）+m（t1） ，利用导数 可求得|AB|min， 依题意，|AB|min1+me2，解之即可求得 m 的最小值 【解答】解：依题意，由 y1y2t 得：1lnx2t（t1） ， x1ln（t+1）m，x2et，由题意可知 x2x1 则|AB|x2x1etln（t+1）metln（t+1）+m， 令 g（t）etln（t+1）+m（t1） ， 则 g（t）et（t1）
27、， g（t）et在区间（1，+）上单调递增，且 g（0）e010， 当 x（1，0）时，g（t）0；当 x（0，+）时，g（t）0； 当 t0 时，g（t）etln（t+1）+m 取得最小值 e0ln1+m1+m，即|AB|min1+m， 当 y1y2时，对于任意 x1、x2，都有|AB|e2恒成立， |AB|min1+me2， me21 故选：D 【点评】本题考查函数恒成立问题，分析得到|AB|x2x1etln（t+1）metln （t+1）+m 是关键，考查等价转化思想与函数与方程思想，考查分析问题、解决问题的 能力，属于难题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题小题 13
28、（3 分）设 ， ， 是单位向量， ， 的夹角为 60，则 2 【分析】利用数量积运算性质即可得出 【解答】解： ， ， 是单位向量， ， 的夹角为 60， | | | |1， 0， 0， cos60， 则2 故答案为：2 第 14 页（共 26 页） 【点评】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 14 （3 分）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验 和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 200 名 同学，每人随机写下一个都小于 1 的正实数对（x，y） ；再统计两数能与 1 构
29、成钝角三角 形三边的数对（x，y）的个数 m；最后再根据统计数 m 来估计 的值假如统计结果是 m60，那么可以估计 （或写成 3.2） 【分析】根据题意，画出几何图形的面积，利用几何概型求出即可 【解答】解：根据题意，200 对都小于 l 的正实数对（x，y） ，即， ，对应区域为边长为 1 的正方形，其面积为 1， 若两个正实数 x、y 能与 1 构成钝角三角形三边，则根据勾股定理 x2+y21， 根据两边之和大于第三边 x+y1， 结合， 其面积 S； 则，变形可得 ； 故答案为： 【点评】考查几何概型求概率公式，中档题 15 （3 分）现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目
30、，有人称它为“世界 第 15 页（共 26 页） 第一运动” 早在 2000 多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠” ，后来经过 阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球1863 年 10 月 26 日，英国人在伦敦成立了世界上 第一个足球运动组织英国足球协会，并统一了足球规则人们称这一天是现代足球 的诞生日如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们 把这些正五边形和正六边形都称为足球的面， 任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱 已 知足球表面中的正六边形的面为 20 个，则该足球表面中的正五边形的面为 12 个，该 足球表面的棱为 90 条 【分析】简单多面体的顶点数
31、 V，面数 F 与棱数 E 间有关系式 V+FE2，设该足球表 面中的正五边形的面为 x 个，正六边形的面为 y 个，则 Fx+y，V5x，E5x+y，从 而 5x+（x+y）（5x+）2，单从正五边形看，这 x 个正五边形共有 5x 条边，从正 六边形的角度看，每个正六边形有 3 条边是正五边形的边，y 个正六边形有 6y 条边，共 中正五边形的边的总数为：6y3y，由此能求出该足球表面中的正五边形的面和该 足球表面的棱的个数 【解答】解：简单多面体的顶点数 V，面数 F 与棱数 E 间有关系式 V+FE2， 设该足球表面中的正五边形的面为 x 个，正六边形的面为 y 个， 则 Fx+y，V
32、5x，E5x+y， 5x+（x+y）（5x+）2， 化简，得 2xy4， 正五边形的边有两种算法： 单从正五边形看，这 x 个正五边形共有 5x 条边， 从正六边形的角度看，每个正六边形有 3 条边是正五边形的边， 第 16 页（共 26 页） y 个正六边形有 6y 条边，共中正五边形的边的总数为：6y3y， 5x3y 联立，解得 x12，y20， 该足球表面中的正五边形的面为 12 个， 该足球表面的棱为 E5x+y90 个 故答案为：12，90 【点评】本题考查足球表面中正五边形的面和足球表面的棱的条数的求法，考查欧拉公 式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 16 （3 分）已知等差
33、数列an中，首项 a12，公差 d0，若， 成等比数列， 且 k11， k23， k311， 则数列kn的通项公式是 kn（nN*） 【分析】本题先通过计算得出等差数列an的通项公式，代入通项公式可得3kn 1再求出等比数列的通项公式，代入通项公式可得为22n 1，nN*根据两 式相等可得出数列kn的通项公式 【解答】解：由题意，可知，a1，a3，a11成等比数列，即a1a11 a32+2d，a112+10d （2+2d）22 （2+10d） ， 整理，得 d23d0，解得 d3 等差数列an的通项公式为 an2+3（n1）3n1，nN* 3kn1 又4， 等比数列的通项公式为24n 122n
34、1，nN* 3kn122n 1， 解得 kn 数列kn的通项公式为 kn，nN* 第 17 页（共 26 页） 故答案为：kn（nN*） 【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的基础知识，考查了等差数列中蕴含了等 比数列这样一种特殊关系，解题关键分别根据各自项数写出算式，然后根据同一法可得 等比数列项数构成的通项公式本题属中档题 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答，第题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生
35、根据要求作答 （一）必考题： 17ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 a（cosB3cosC）（3cb） cosA （1）求的值； （2）若角，a4，求ABC 的周长 【分析】 （1）根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得 sinC 3sinB；进而得到结论； （2）根据（1）的结论，再结合余弦定理，即可求 b 的值，进而得到其周长 【解答】解： （1）由题设及正弦定理得 sinAcosB3cosCsinA3sinCcosAsinBcosA， 整理得 sinAcosB+sinBcosA3sinCcosA+3cosCsinA，sin（A+B）3sin
36、（C+A） ， A+B+C180， sinC3sinB， 由正弦定理得 （2）由已知及余弦定理得， c3b， ， 2b2b40， ， ABC 的周长为 【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形的内角和公式的灵活运用属于基 础题 18如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ABCD 是平行四边形，ACABAD 第 18 页（共 26 页） 2，AC、BD 交于点 O，E 是 PB 上一点 （1）求证：ACDE； （2）已知二面角 APBD 的余弦值为，若 E 为 PB 的中点，求 EC 与平面 PAB 所成 角的正弦值 【分析】 （1）由 PD平面 ABCD，得 PDAC，再由
37、四边形 ABCD 为菱形，得 BDAC， 然后利用线面垂直的判定可得 AC平面 PBD，则 ACDE； （2）分别以，为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系设 PDt， 由二面角 APBD 的余弦值为求解 t，然后求解 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：PD平面 ABCD，PDAC， 又四边形 ABCD 为菱形，BDAC，又 BDPDD， AC平面 PBD，DE平面 PBD， ACDE； （2）解：连 OE，在PBD，OEPD，OE平面 ABCD 分别以，为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 设 PDt， 则 A （1， 0， 0） ，
38、C （1， 0， 0） ， 由（1）知，平面 PBD 的一个法向量为， 设平面 PAB 的一个法向量为， 由，令 y1，则， 二面角 APBD 的余弦值为， 第 19 页（共 26 页） ，解得 t3， 设 EC 与平面 PAB 所成角为 ， ， 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间 想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题 19在新中国成立七十周年之际，赤峰市某中学的数学课题研究小组，在某一个社区设计了 一个调查：在每天晚上 7：3010：00 共 2.5 小时内，居民浏览“学习强国”的时间如 果这个社区共有成人按 10000 人计算
39、，每人每天晚上 7：3010：00 期间打开“学习强 国 APP”的概率均为 p（某人在某一时刻打开“学习强国”的概率，0 p1） ，并且是否打开进行学习是彼此相互独立的他们统计了其中 100 名成人每天晚 上浏览“学习强国”的时间（单位：min） ，得到下面的频数表： 学习时长/min 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 频数 10 20 40 20 10 以样本中 100 名成人的平均学习时间作为该社区每个人的学习时间 （1）试估计 p 的值； （2）设 X 表示这个社区每天晚上打开“学习强国”进行学习的人数 求 X 的数学期望 E（X）和方差 D（X）
40、； 第 20 页（共 26 页） 若随机变量 Z 满足，可认为 ZN（0，1） 假设当 4950X5100 时，表 示社区处于最佳的学习氛围，试由此估计，该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长 度（结果保留为整数） 附：若 ZN（，2） ，则 P（Z+）0.6827，P（2Z+2） 0.9545，P（3Z+3）0.9973 【分析】 （1）由频数表求出该社区内的成人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为 75 （min） ，由此能求出结果 （2）根据题意，XB（10000，） 由此能求出 X 的数学期望 E（X）和方差 D（X） ，当 4950X5100 时，1Z2，ZN（0，1） ，由此能 估
41、计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度 【解答】解： （1）该社区内的成人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为： 550.1+650.2+750.4+850.2+950.175（min） ， 而调查总时长为 150（min） ，故 （2）根据题意，XB（10000，） 故， ， 当 4950X5100 时，1Z2，ZN（0，1） ， 故 P（4950Z5100）P（1Z2）0.8186 所以估计，该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度为 1500.8186123（min） 【点评】本题考查概率、离膜散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、 正态分布的性质等基础知识，考查运算求
42、解能力，是中档题 20已知椭圆 E：（ab0）经过点和 B（2，1） （1）求椭圆 E 的标准方程； 第 21 页（共 26 页） （2）过 P（1，0）的直线 MN 交椭圆 E 于 M，N 两点，若 m，n 分别为的最大值 和最小值，求 m+n 的值 【分析】 （1）根据 a，将点 B 代入椭圆方程，即可求得椭圆 E 的方程； （2）分类讨论，当直线斜率存在时，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的 坐标运算，求得表达式，利用判别式法即可求得 2t213t160，因为 m，n 是 2t213t160 两个根，根据韦达定理即可求得 m+n 的值 【解答】解： （1）由椭圆 E：的右顶点为
43、，得 a26， 又椭圆 E：过点 B（2，1） ，则，解得 b23， 所以椭圆 E 的标准方程为 （2）当直线 MN 斜率存在时，设 MN 的方程为 yk（x1） ，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 由，整理得（1+2k2）x24k2x+2k260， 因为（1，0）在椭圆内部，0， 所以 x1+x2x1x2 因为x1x2+2 （x1+x2） +4+ （kx1k1） （kx2 k1）， 将 代 入 得， ， 所以， 所以（152t）k2+2k1t0，kR， 所以22+4（152t） （1+t）0， 第 22 页（共 26 页） 所以（2t15） （t+1）10，即 2t213t160，
44、又 m，n 是 2t213t160 两个根， 当直线 MN 斜率不存在时，联立，得， 不妨设， ， 可知 综上得 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐 标运算，考查判别式法的应用，考查计算能力，属于中档题 21已知函数，a 为常数，当 x（1，3）时，f（x）有三个极 值点 x1，x2，x3（其中 x1x2x3） （1）求实数 a 的取值范围； （2）求证：x1x3x1+x3 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合极值存在的条件可分离系数，结合函数的特征性 质进而可求 a 的范围； 法二：先求出 g（x）的单调区间，然后结合零点判定定理可求； （2）由（1）知 1x12x2x33，令 x1u，结合要证明的不等式可构造 ，结合导数与单调性关系进行证明 【解答】解： （1）函数 f（x）函数的定义域为（1，+） ， 由，得， 令 f（x）0，得 x2 是一个根，要使 f（x）在（1，3）上有三个极值点 x1，