1、已知两个非零向量 ， 满足，则的值为 （ ） A1 B1 C0 D2 6 （5 分）二项式的展开式中常数项为 60，则 m（ ） A B C2 D3 7 （5 分）已知 a，bR，不等式组表示的平面区域为 M，不等式组 表示的平面区域为 N在平面区域 M 内有一粒豆子随机滚动，则该豆子始终滚不出平面 区域 N 的概率是（ ） A B C D 8 （5 分）如图所示，是某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图）和俯视图，其中 俯视图为等腰直角三角形，则该几何体体积为（ ） 第 2 页（共 24 页） A6+20 B9+16 C9+18 D 9 （5 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn，
2、 满足 Sn+Sn1n2（n2） ， a11， 则 a100 （ ） A100 B102 C200 D204 10 （5 分）已知双曲线 C1：，当双曲线 C1的焦距取得最小值时，其右焦 点恰为抛物线 C2：y22px（p0）的焦点、若 A、B 是抛物线 C2上两点，|AF|+|BF|8， 则 AB 中点的横坐标为（ ） A B2 C D3 11（5 分） 已知ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， b6， 且， 则锐角 A 的大小为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）对于任意 xR，均满足 f（x）f（2x） 当 x1 时，f（x） 若函数
3、 g（x）m|x|2f（x） ，下列有关函数 g（x）的零点个数 问题中正确的为（ ） A若 g（x）恰有两个零点，则 m0 B若 g（x）恰有三个零点，则 C若 g（x）恰有四个零点，则 0me D不存在 m 使得 g（x）恰有四个零点 第 3 页（共 24 页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）设函数，若，则 f（2019） 14 （5 分）的最小值为 15 （ 5 分 ） 记 Ia，b （ x ） 定 义 为 Ia，b （ x ） ， 若 函 数 ，函数 f（x）的最小值为 16 （5 分）在如图直四棱柱
4、 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为菱形，AA12AB4， BAD60，点 M 为棱 AA1的中点，若 N 为菱形 A1B1C1D1内一点（不包含边界） ，满足 MN平面 BDC1，设直线 MN 与直线 CC1所成角为 ，则 tan 的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （12 分）已知an为等比数列，且各项均为正值，a4a616a3a9 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnlog4an，数列的前 n 项和为 Tn，求 Tn 18 （12
5、分）一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选 100 名学生进行记忆测试， 通过讲解 100 个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间 t（分钟）和答对人数 y 的统计表格如下： 时间 t（分 钟） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 答对人数 y 98 70 52 36 30 20 15 11 5 5 第 4 页（共 24 页） lgy 1.99 1.85 1.72 1.56 1.48 1.30 1.18 1.04 0.7 0.7 时间 t 与答对人数 y 的散点图如图： 附 ：， ，对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （un，vn） ，其
6、回归直线 v+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，请 根据表格数据回答下列问题： （1）根据散点图判断，yat+b 与 lgyct+d，哪个更适宣作为线性回归类型？（给出判 断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果，建立 y 与 t 的回归方程； （数据保留 3 位有效数字） （3）根据（2）请估算要想记住 75%的内容，至多间隔多少分钟重新记忆一遍 （参考数 据：lg20.3，lg30.48） 19 （12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，E，F 分别为 AB 的三等分点 FGEDBC， BCAB，BCCD，AB3，BC2，若沿着 FG，ED 折叠使得点 A，B 重合，
7、如图 2 所 示，连结 GC，BD （1）求证：平面 GBD平面 BCE； （2）求二面角 CGBD 的余弦值 第 5 页（共 24 页） 20 （12 分）已知椭圆 C：的离心率，且圆 x2+y22 过椭圆 C 的上，下顶点 （1）求椭圆 C 的方程 （2）若直线 l 的斜率为，且直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，点 P 关于原点的对称点为 E，点 A（2，1）是椭圆 C 上一点，判断直线 AE 与 AQ 的斜率之和是否为定值，如果 是，请求出此定值：如果不是，请说明理 21 （12 分）已知 f（x）x2+mx+lnx （1）若 f（x）在上单调递减，求 m 的取值范围； （2）当
8、m1 时，若正数 x1，x2满足 f（x1）+f（x2）1ln2，求证：x1+x22 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第如果多做，则按所做第 一个题目计分，一个题目计分，选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin （1）求直线 l 的极坐标方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）若 A（1，）是直线 l 上一
9、点，是曲线 C 上一点，求的 最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数（xR，实数 a0） （1）若，求实数 a 的取值范围； 第 6 页（共 24 页） （2）求证： 第 7 页（共 24 页） 2019-2020 学年内蒙古乌兰察布市、 巴彦淖尔市等五市高三 （上）学年内蒙古乌兰察布市、 巴彦淖尔市等五市高三 （上） 期末数学试卷（理科）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项项符合题
10、目要求符合题目要求. 1 （5 分）已知 i 是虚数单位，若复数 z（1+2i） （1i） ，则 z 的虚部是（ ） A3 B3i C1 Di 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z（1+2i） （1i）1i+2i+23+i， z 的虚部是 1 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2 （5 分） 已知集合 M1， 2， 3， 4， 5， 6， Ax|x3k1， kM， By|y2k+1， kM， 则 AB（ ） A3，5 B5，11 C7，11，13 D3，7，9 【分析】分别求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：
11、集合 M1，2，3，4，5，6， Ax|x3k1，kM2，5，8，11，14，17， By|y2k+1，kM3，5，7，9，11，13， AB5，11 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 3 （5 分）已知命题 p：角 的终边在直线上，命题 q：，那么 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 第 8 页（共 24 页） 【分析】命题 p：角 的终边在直线上，可得 tan，k+kZ 【解答】解：命题 p：角 的终边在直线上，则 tan，k+kZ 命题 q：，那么 p 是 q 的充要条
12、件 故选：C 【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推 理能力与计算能力，属于基础题 4 （5 分）若 a30.3，blog21.2，clog0.21.5，则（ ） Aabc Bbac Ccab Dbca 【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出 【解答】解：log21.2（0，1） ，30.31，log0.21.50， cba 故选：A 【点评】本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5 （5 分）已知两个非零向量 ， 满足，则的值为 （ ） A1 B1 C0 D2 【分析】根据条件即可求出向量 ， 的坐标，然后进行数量积的坐
13、标运算即可 【解答】解：， ， ， 故选：B 【点评】本题考查了向量的数乘运算及向量坐标的数乘运算，向量坐标的数量积运算， 考查了计算能力，属于基础题 6 （5 分）二项式的展开式中常数项为 60，则 m（ ） A B C2 D3 第 9 页（共 24 页） 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数 项，再根据常数项等于 60 求得实数 m 的值 【解答】 解： 由于 的展开式的通项公式为 Tr+1 （mx） 6r （ 1）rx 2r（1）rm6r x6 3r，令 63r0，求得 r2， 故常数项为 T3（1）2m460，解得 m， m0 故选：
14、A 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的 系数，属于中档题 7 （5 分）已知 a，bR，不等式组表示的平面区域为 M，不等式组 表示的平面区域为 N在平面区域 M 内有一粒豆子随机滚动，则该豆子始终滚不出平面 区域 N 的概率是（ ） A B C D 【分析】画出不等式组表示的平面区域 M 和 N，利用几何概型的概率公式计算对应的面 积比即可 【解答】解：画出不等式组表示的平面区域为 M， 和不等式组表示的平面区域为 N，如图所示； 第 10 页（共 24 页） 则所求的概率是 P11 故选：A 【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，也考查了数形结
15、合的解题方法，是基础 题 8 （5 分）如图所示，是某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图）和俯视图，其中 俯视图为等腰直角三角形，则该几何体体积为（ ） A6+20 B9+16 C9+18 D 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体由一个半球和一个三棱锥 体组成的组合体 所以 V18+9 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 9 （5 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 满足 Sn+Sn1n2（n
16、2） ， a11， 则 a100 （ ） A100 B102 C200 D204 【分析】由已知可得 an+1an12（n2） ，得到数列an的所有偶数项构成以 2 为公差 的等差数列，再由等差数列的通项公式求解 【解答】解：由 Sn+Sn1n2（n2） ， 第 11 页（共 24 页） 得 Sn+1+Sn（n+1）2， 两式作差可得：an+1+an2n+1（n2） ， Sn+Sn1n2（n2） ，a11，a2+2a14，即 a22， 满足 an+1+an2n+1， 当 n2 时，an+an12n1， an+1an12（n2） ， 则数列an的所有偶数项构成以 2 为公差的等差数列， a100
17、a2+（501）22+98100 故选：A 【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列通项公式的求法，是中档题 10 （5 分）已知双曲线 C1：，当双曲线 C1的焦距取得最小值时，其右焦 点恰为抛物线 C2：y22px（p0）的焦点、若 A、B 是抛物线 C2上两点，|AF|+|BF|8， 则 AB 中点的横坐标为（ ） A B2 C D3 【分析】求出双曲线的焦距，求出最小值，然后求解抛物线的方程，利用 A、B 是抛物线 C2上两点，|AF|+|BF|8，求解 AB 中点的横坐标即可 【解答】解：双曲线 C1：，m2， 可得 2c24，当双曲线 C1的焦距取得最小值时，m1， 所以 c2，其
18、右焦点恰为抛物线 C2：y22px（p0）的焦点， 所以抛物线的焦点坐标（2，0） ，所以抛物线方程为：y28x， 准线方程 x2， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， |AF|+|BF|x1+2+x2+28， x1+x24， 线段 AB 的中点横坐标为 2， 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质，抛物线的简单性质的应用，解决抛物线上的点到 第 12 页（共 24 页） 焦点的距离问题，解题的关键是利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距 离是中档题 11（5 分） 已知ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， b6， 且， 则锐角 A 的大小
19、为（ ） A B C D 【分析】首先利用余弦定理求出 a 的长，进一步利用正弦定理的应用求出结果 【解答】解：根据已知条件：，b6，且， 所以， 解得： ， 所以， 故：A与边长的关系矛盾，舍去 ， 所以， 整理得， 故 A 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 12 （5 分）已知函数 f（x）对于任意 xR，均满足 f（x）f（2x） 当 x1 时，f（x） 若函数 g（x）m|x|2f（x） ，下列有关函数 g（x）的零点个数 问题中正确的为（ ） 第 13 页（共 24 页） A若
20、g（x）恰有两个零点，则 m0 B若 g（x）恰有三个零点，则 C若 g（x）恰有四个零点，则 0me D不存在 m 使得 g（x）恰有四个零点 【分析】由知 f（x）关于 x1 对称，再将函数 g（x）的零点个数问题转化为 h（x） m|x|2 与函数 f（x）的图象的焦点个数问题，利用函数 h（x）m|x|2 与函数 f（x） 相切时的 m 的值可解决 【解答】解：根据 f（x）f（2x）知 f（x）关于 x1 对称， 作出函数 h（x）m|x|2 与函数 f（x）的图象如图： 设 h（x）与 ylnx（x1）相切时的切点为 P（x0，lnx0） ， 则，解得 x0，此时 me， 当 h（
21、x）过点（2，1）时，m，故 B 选项正确； 若 g（x）恰有 2 个零点，则 m0 或 me，故 A 错误； 若 g（x）恰有 4 个零点，则 0m，故 C、D 选项错误； 故选：B 【点评】本题考查了由函数零点个数求参数，考查了函数的零点的个数转化为函数图象 的交点个数，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）设函数，若，则 f（2019） 【分析】可判断函数 f（x）为奇函数，进而得到答案 【 解 答 】 解 ： 函 数 的 定 义 域 为， 关 于 原 点 对 称 ， 第 14 页（共 24 页）
22、，故函数 f（x）为奇函数， 故答案为： 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，属于基础题 14 （5 分）的最小值为 16 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果 【 解 答 】 解 ： 10+ 故答案为：16 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 15 （ 5 分 ） 记 Ia，b （ x ） 定 义 为 Ia，b （ x ） ， 若 函 数 ，函数 f（x）的最小值为 3 【分析】根据 Ia，b（x）的定义可得分段函数的解析式，再根据分段函数求出最小值 【解答】解：f
23、（x）（I1，2（x） ）2I3，4（x）， 显然 f（x）的最小值为3， 故答案为3 【点评】本题考查了对新定义的理解能力，考查了求分段函数的最值，正确理解新定义 求出函数解析式是解题关键，属于中档题 16 （5 分）在如图直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为菱形，AA12AB4， BAD60，点 M 为棱 AA1的中点，若 N 为菱形 A1B1C1D1内一点（不包含边界） ，满足 第 15 页（共 24 页） MN平面 BDC1，设直线 MN 与直线 CC1所成角为 ，则 tan 的最小值为 【分析】分别取 A1B1、A1D1中点 E、F，连结 EF、ME、MF，则 M
24、EBC1，EFBD， 从而平面 MEF平面 BC1D，由 N 为菱形 A1B1C1D1内一点（不包含边界） ，满足 MN 平面 BDC1，得到点 N 的运动轨迹是线段 EF， （不含端点 E 和 F） ，由 A1MC1C，得直 线 MN 与直线 CC1所成角就是 A1M 与 MN 所成角，由 MA1平面 A1B1C1D1，得当 N 与 MN 中点 G 重合时，tan 取最小值，由此能求出 tan 的最小值 【解答】解：分别取 A1B1、A1D1中点 E、F，连结 EF、ME、MF， 点 M 为棱 AA1的中点，MEBC1，EFBD， MEEFE，BC1BDB，平面 MEF平面 BC1D， N
25、为菱形 A1B1C1D1内一点（不包含边界） ，满足 MN平面 BDC1， 点 N 的运动轨迹是线段 EF， （不含端点 E 和 F） ， A1MC1C，直线 MN 与直线 CC1所成角就是 A1M 与 MN 所成角， MA1平面 A1B1C1D1，当 N 与 MN 中点 G 重合时，tan 取最小值， 此时，A1M2，A1G， tan 的最小值为： tan tan 的最小值为 故答案为： 第 16 页（共 24 页） 【点评】本题考查角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共
26、 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （12 分）已知an为等比数列，且各项均为正值，a4a616a3a9 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnlog4an，数列的前 n 项和为 Tn，求 Tn 【分析】 （1）设等比数列的公比为 q，q0，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项 和公比，可得所求通项公式； （2）运用对数的运算性质可得 bnn，由数列的裂项 相消求和，计算可得所求和 【解答】解： （1）an为等比数列，且各项均为正值，设公比为 q，q0， 由，a4a616a3a9， 可得 a1q，a5216a62，即 q2
27、，即有 q，a1， 可得 an（）n； （2）bnlog4anlog4（）nn， ， 可得 Tn1+1 第 17 页（共 24 页） 【点评】本题考查等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能 力，属于中档题 18 （12 分）一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选 100 名学生进行记忆测试， 通过讲解 100 个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间 t（分钟）和答对人数 y 的统计表格如下： 时间 t（分 钟） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 答对人数 y 98 70 52 36 30 20 15 11 5 5 lgy 1.99
28、 1.85 1.72 1.56 1.48 1.30 1.18 1.04 0.7 0.7 时间 t 与答对人数 y 的散点图如图： 附 ：， ，对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （un，vn） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，请 根据表格数据回答下列问题： （1）根据散点图判断，yat+b 与 lgyct+d，哪个更适宣作为线性回归类型？（给出判 断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果，建立 y 与 t 的回归方程； （数据保留 3 位有效数字） （3）根据（2）请估算要想记住 75%的内容，至多间隔多少分钟重新记忆一遍 （参考数 第 18
29、 页（共 24 页） 据：lg20.3，lg30.48） 【分析】 （1）由散点图成线性分布，即可得出判断； （2）先建立 lgy 关于 t 的线性回归方程，再求 y 关于 t 的回归方程； （3）由（2）回归方程计算 y75 时 t 的值即可 【解答】解： （1）根据散点图判断，lgyct+d 更适作为线性回归类型； （2）根据（1）的判断结果，计算 ti55，（lgyi）1.35； 0.0147， 1.35（0.0147）552.16， 所以 lgy0.0147t+2.16， 所以 y 与 t 的回归方程为 y10 0.0147t+2.16； （3）回归方程 y10 0.0147t+2.1
30、6 中，令 y75，10 0.0147t+2.1675， 得0.0147t+2.16lg75， 又 lg75lg3+2lg5lg3+2（1lg2）0.48+2（10.3）1.88； 所以0.0147t1.882.16，解得 t19.0 所以估算要想记住 75%的内容，至多间隔 19.0 分钟重新记忆一遍 【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的应用问题，准确的计算是解题的关键， 是中档题 19 （12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，E，F 分别为 AB 的三等分点 FGEDBC， BCAB，BCCD，AB3，BC2，若沿着 FG，ED 折叠使得点 A，B 重合，如图 2 所 示，
31、连结 GC，BD （1）求证：平面 GBD平面 BCE； （2）求二面角 CGBD 的余弦值 第 19 页（共 24 页） 【分析】 （1）取 BD，BE 的中点分别为 O，M，连结 GO，OM，MF证明四边形 OMFG 是平行四边形，故 GOFM，然后证明 FMEB，结合平面 EFM平面 BCDE，推出 GO 平面 BCDE，即可证明平面 GBD平面 BCE （2）建立空间直角坐标系，求出平面 CBG 的法向量，平面 DBG 的法向量，通过空间向 量的数量积求解即可 【解答】 （1）证明：取 BD，BE 的中点分别为 O，M， 连结 GO，OM，MFOMED 且， 又GFED，且， GFOM
32、 且 GFOM， 四边形 OMFG 是平行四边形，故 GOFM， M 是 EB 的中点，三角形 BEF 为等边三角形， 故 FMEB， 平面 EFM平面 BCDE， FM平面 BCDE，因此 GO平面 BCDE， 故平面 GBD平面 BCE （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 B（0，1，0） ，C（0，1，2） ，D（0，0， 2） ， 故， 设平面 CBG 的法向量为 （x，y，z） ，则，即， 令 x1 得 ， 第 20 页（共 24 页） 设平面 DBG 的法向量为 （x，y，z） ，则，即， 令 z1 得 （0，2，1） ， 二面角 CGBD 的平面角是锐角，设为 ， cos
33、 【点评】本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判断定理的应用，考查空 间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：的离心率，且圆 x2+y22 过椭圆 C 的上，下顶点 （1）求椭圆 C 的方程 第 21 页（共 24 页） （2）若直线 l 的斜率为，且直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，点 P 关于原点的对称点为 E，点 A（2，1）是椭圆 C 上一点，判断直线 AE 与 AQ 的斜率之和是否为定值，如果 是，请求出此定值：如果不是，请说明理 【分析】 （1）由题意可得 b，运用椭圆的离心率公式和 a，b，c 的关系，解方程可得 a， c，进
34、而得到所求椭圆方程； （2）可设直线 l 的方程为 yx+t，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公 式，化简整理，计算可得所求定值 【解答】解： （1）椭圆 C：的离心率，且圆 x2+y22 过椭 圆 C 的上，下顶点， 可得 b，e，c2a2b2，解得 a2，c， 则椭圆的方程为+1； （2）若直线 l 的斜率为，可设直线 l 的方程为 yx+t， 联立椭圆方程 x2+4y280， 可得 x2+2tx+2t240，则4t24（2t24）0，解得2t2， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，E（x1，y1） ，可得 x1+x22t，x1x22t24， 则 kAE+kAQ+ 0
35、则直线 AE 与 AQ 的斜率之和为定值 0 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理， 以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题 21 （12 分）已知 f（x）x2+mx+lnx （1）若 f（x）在上单调递减，求 m 的取值范围； （2）当 m1 时，若正数 x1，x2满足 f（x1）+f（x2）1ln2，求证：x1+x22 第 22 页（共 24 页） 【分析】 （1）f（x）在上单调递转化为恒成立，即在 上恒成立，再构造函数，利用导数求出最大值即可解决； （2）将f（x1）+f（x2）1ln2化简变形为 后，根据等式右边构造函数 h（x
36、） 2xlnx+1ln2， 根据导数求得最小值为 2， 再解不等式可 得答案 【解答】解： （1），由 f（x）在上单调递减，知 当时，恒成立，故 令， 即 g（x）在上单调递减，在上单调递增， ，g（1）3，故m3，即 m3 （2）当 m1 时， 即， 令 h（x）2xlnx+1ln2， 故 h（x）在上单调递减，在上单调递增，故， 即，即有（x1+x22） （x1+x2+1）0， x1，x20，x1+x22 【点评】本题考查了由函数的单调性求参数的取值范围，考查了利用导数求函数的最值， 考查了利用导数证明不等式，属难题 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注
37、意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第如果多做，则按所做第 一个题目计分，一个题目计分，选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 第 23 页（共 24 页） （1）求直线 l 的极坐标方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）若 A（1，）是直线 l 上一点，是曲线 C 上一点，求的 最大值 【分析】 （1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果； （2）利用
38、（1）的极坐标方程，进一步利用三角函数关系式的恒等变变换和正弦函数的 性质的应用求出结果 【解答】解： （1）直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 转换为直角坐标方程为：y1（x） ， 整理得：xy20， 转换为极坐标方程为cossin20 由曲线 C 的极坐标方程为 2sin 得：22sin， 转换为直角坐标方程 x2+y22y， 即：x2+y22y0； （2）由于 A（1，）是直线 l 上一点， 则：1cos1sin20， B（2，）是曲线 C 上一点， 则：， |（） （cossin）|， |sin（2）1|2， 故：的最大值为 2 【点评】本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程
39、之间的转换，三角函数关系式 的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，是中档 题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 24 页（共 24 页） 23设函数（xR，实数 a0） （1）若，求实数 a 的取值范围； （2）求证： 【分析】 （1）由得|a|+|，解不等式即可得出实数 a 的取值范围； （2）利用分段讨论法去掉绝对值，求出 f（x）的最小值，即可证明 【解答】解： （1）函数（xR，实数 a0） ， 所以，即|a|+|， 3|a|210|a|+30，解得|a|3， 又 a0，所以实数 a 的取值范围是a3； （2）由 a0，则 f（x）|xa|+|2x+|， xa 时，f（x）3xa+是单调增函数，f（x）f（a）2a+； xa 时，f（x）x+a+是单调增函数，且 f（x）f（）a+； x时，f（x）是单调减函数，且 f（x）f（）a+； 综上知，f（x）a+2，当且仅当 a，即 a时取“” ； 所以 【点评】本题考查了含有绝对值不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论与转化能力， 是中档题