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2019-2020学年上海市浦东新区高二(上)10月月考数学试卷(含详细解答)

1、经过点(3,1)和点(2,2)的直线的点方向式方程是 2 (3 分)已知直线 2x+y20 和 mxy+10 的夹角为,则 m 的值为 3 (3 分) 已知直线 l1的斜率为 2, l2的倾斜角为 l1的倾斜角的 2 倍, 则 l2的斜率为 4 (3 分)已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 5 (3 分)已知点 A(1,2) ,B(1,4) ,若直线 l 过点 m(2,3) ,且 A、B 到直线 l 的距离相等,则直线 l 的一般式方程为 6 (3 分)若非零向量 , , 满足 +2 +3 ,且 ,则 与 的夹角 为 7 (3 分)在面积为 4 的三

2、角形 ABC 中,E、F 分别是 AB、AC 的中点,点 P 在直线 EF 上, 则的最小值是 8 (3 分)如图,设,是平面上两两不平行的三个非零向量,xR,有 下列命题: 关于 x 的方程可能有两个不同的实数解; 关于 x 的方程一定没有实数解; 关于 x 的方程的实数解为 x0 或; 关于 x 的方程没有非零实数解; 其中真命题是 二二.选择题选择题 9 (3 分) “m”是“直线(m+2)x+3my+10 与直线(m2)x+(m+2)y30 相互 第 2 页(共 13 页) 垂直”的( ) A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 10 (3 分)

3、直线 2xmy10(m0)的倾斜角为( ) A B C D 11 (3 分)将一圆的六个等分点分成两组相间的三点,它们所构成的两个正三角形扣除内 部六条线段后可以形成一正六角星,如图所示的正六角星是以原点 O 为中心,其中 , 分别为原点 O 到两个顶点的向量若将原点 O 到正六角星 12 个顶点的向量,都写成为 a +b 的形式,则 a+b 的最大值为( ) A2 B3 C4 D5 三三.解答题解答题 12已知直线 l1:x+m2y+60,l2: (m2)x+3my+2m0当 m 为何值时 l1与 l2 (1)相交, (2)平行, (3)重合 13已知向量(1,7) ,(5,1) ,(2,1

4、) (其中 O 为坐标原点) ,点 P 是 直线 OC 上的一个动点 (1)若,求的坐标; (2)当取最小值时,求 cosAPB 的值 14在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为 2,宽为 1,AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合(如图) 将矩形折叠,使 A 点落在线段 DC 上 ()若折痕所在直线的斜率为 k,试求折痕所在直线的方程; ()当时,求折痕长的最大值; 第 3 页(共 13 页) ()当2k1 时,折痕为线段 PQ,设 tk(2|PQ|21) ,试求 t 的最大值 第 4 页(共 13 页) 2019-2020 学年上海市浦东新区建平中学高

5、二(上)学年上海市浦东新区建平中学高二(上)10 月月考数月月考数 学试卷学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 (3 分)经过点(3,1)和点(2,2)的直线的点方向式方程是 【分析】先求出直线的方向向量的坐标,再根据直线上的一个点的坐标,即可得到直线 的点方向式方程 【解答】解:直线的方向向量为(2,2)(3,1)(5,3) , 故直线 l 点方向式方程是:, 故答案为: 【点评】本题考查求直线的点方向式方程,求出直线的方向向量的坐标,是解题的关键 2 (3 分)已知直线 2x+y20 和 mxy+10 的夹角为,则 m 的值为 或 3 【分析】由条件利用两条

6、直线的夹角公式,求得 m 的值 【解答】解:由直线 2x+y20 和 mxy+10 的夹角为,它们的斜率分别为2、 m,可得 tan1|, 求得 m或 3, 故答案为:或 3 【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式的应用,属于基础题 3(3 分) 已知直线 l1的斜率为 2, l2的倾斜角为 l1的倾斜角的 2 倍, 则 l2的斜率为 【分析】根据题意,设直线 l1的倾斜角为 ,则 l2的倾斜角为 2,由直线的斜率与倾斜 角的关系可得 tan2,由二倍角公式可得 tan2 的值,即可得答案 【解答】解:根据题意,设直线 l1的倾斜角为 ,则 l2的倾斜角为 2, 又由直线 l1的斜率为 2,则

7、 tan2; 则 tan2; 第 5 页(共 13 页) 故答案为: 【点评】本题考查值的斜率,涉及二倍角公式的应用,属于基础题 4 (3 分)已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 xy+1 0 【分析】求出 PQ 的中点,PQ 的斜率,推出对称轴的斜率,利用点斜式方程求出对称轴 方程 【解答】解:点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称, 所以 PQ 的中点坐标为: (2,3) ,PQ 的斜率为:, 所以对称轴的斜率为:1, 所以对称轴方程为:y3x2, 即:xy+10 故答案为:xy+10 【点评】本题是基础题,考查对称问题,直线方程的

8、求法,考查计算能力 5 (3 分)已知点 A(1,2) ,B(1,4) ,若直线 l 过点 m(2,3) ,且 A、B 到直线 l 的距离相等,则直线 l 的一般式方程为 xy10 或 3xy+30 【分析】利用分类讨论思想,求出直线 l 与直线 AB 平行时和直线 l 过线段 AB 的中点时, 求出对应的直线 l 的方程即可 【解答】解:当直线 l 与直线 AB 平行时,直线 AB 的斜率为 k1, 此时直线 l 的方程为 y+3x+2,即 xy10; 当直线 l 过线段 AB 的中点时,AB 中点的坐标为(0,3) , 此时直线 l 的方程为,即 3xy+30 综上知,直线 l 的方程为

9、xy10 或 3xy+30 故答案为:xy10 或 3xy+30 【点评】本题考查了直线方程的应用问题,也考查了运算求解能力,是基础题 6 (3 分)若非零向量 , , 满足 +2 +3 ,且 ,则 与 的夹角 为 【分析】由+2+3,得到23,结合 ,得到| | 第 6 页(共 13 页) ,| |,然后代入数量积求夹角公式求解 【解答】解: +2 +3 , 2 3 , 代入 ,得(2 3 ) ,即| |, 再代入 , (2 3 ) ,即| |, cos , , 与 的夹角为, 故答案为: 【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了数学转化思想方法,是中档题 7 (3 分)在面积为 4 的

10、三角形 ABC 中,E、F 分别是 AB、AC 的中点,点 P 在直线 EF 上, 则的最小值是 【分析】可画出图形,并取 BC 的中点 O,以点 O 为原点,以直线 OC 为 x 轴,建立平 面直角坐标系,并设 B(a,0) ,C(a,0) ,P(x,y) ,从而可求出和的坐 标,而据题意可得出,然后可求出,然后根据基本不 等式即可求出的最小值 【解答】解:取边 BC 的中点为 O,以点 O 为原点,直线 OC 为 x 轴,建立如图所示平 面直角坐标系, 设 B(a,0) ,C(a,0) ,P(x,y) , , ABC 的面积为 4,E、F 分别是 AB、AC 的中点,点 P 在直线 EF

11、上, , , x2 a2+y2+4a2, 当 且 仅 当 第 7 页(共 13 页) ,x0 时取等号; 的最小值是 故答案为: 【点评】本题考查了通过建立平面直角坐标系,利用坐标解决向量问题的方法,向量坐 标的数量积运算,基本不等式在求最值中的应用,考查了计算能力,属于中档题 8 (3 分)如图,设,是平面上两两不平行的三个非零向量,xR,有 下列命题: 关于 x 的方程可能有两个不同的实数解; 关于 x 的方程一定没有实数解; 关于 x 的方程的实数解为 x0 或; 关于 x 的方程没有非零实数解; 其中真命题是 【分析】利用平面向量的基本定理,得到 x2x ,根据条件设 + ,得 2 ,

12、结合方程根的情况进行讨论即可 【解答】解:由得 x2x , 第 8 页(共 13 页) , , 是平面内共始点的三个非零向量,且两两不共线, 存在非零实数 ,有 + , 即 x2,x, 即 2, 由平面向量基本定理分析可得,即方程最多有一解;故错误; 由平行四边形法则,结合给出图形知 0,2 无解,故关于 x 的方程 一定没有实数解;正确 由 xR 故错误; 假设关于 x 的方程有非零实数解,则 ,与条件矛盾,故正确, 故正确的命题是, 故答案为: 【点评】 本题主要考查命题的真假判断, 涉及平面向量基本定理的应用, 根据条件得到 2 然后根据 , 的取值判断方程根的情况是解决本题的关键 二二

13、.选择题选择题 9 (3 分) “m”是“直线(m+2)x+3my+10 与直线(m2)x+(m+2)y30 相互 垂直”的( ) A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】判断充分性只要将“m”代入各直线方程,看是否满足(m+2) (m2)+3m (m+2)0,判断必要性看(m+2) (m2)+3m (m+2)0 的根是否只有 【解答】 解: 当 m时, 直线 (m+2) x+3my+10 的斜率是, 直线 (m2) x+ (m+2) y30 的斜率是, 第 9 页(共 13 页) 满足 k1k21, “m”是“直线(m+2)x+3my+10 与

14、直线(m2)x+(m+2)y30 相互垂直” 的充分条件, 而当(m+2) (m2)+3m (m+2)0 得:m或 m2 “m”是“直线(m+2)x+3my+10 与直线(m2)x+(m+2)y30 相互垂直” 充分而不必要条件 故选:B 【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定 10 (3 分)直线 2xmy10(m0)的倾斜角为( ) A B C D 【分析】根据题意,设直线 2xmy10 的倾斜角为 ,求出直线的斜率,则有 tan ,结合 m 的范围分析可得答案 【解答】解:根据题意,设直线 2xmy10 的倾斜角为 , 直线 2xmy10 的斜率 k,则 tan, 又由 m0

15、,则 k0,则 为钝角, 则 +arctan; 故选:C 【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系,涉及反三角函数的应用,属于基础题 11 (3 分)将一圆的六个等分点分成两组相间的三点,它们所构成的两个正三角形扣除内 部六条线段后可以形成一正六角星,如图所示的正六角星是以原点 O 为中心,其中 , 分别为原点 O 到两个顶点的向量若将原点 O 到正六角星 12 个顶点的向量,都写成为 a +b 的形式,则 a+b 的最大值为( ) 第 10 页(共 13 页) A2 B3 C4 D5 【分析】根据题意,画出图形,结合图形,得出求 a+b 的最大值时,只需考虑图中 6 个 顶点的向量即可,分别

16、求出即得结论 【解答】解:欲求 a+b 的最大值,只需考虑右图中 6 个顶点的向量即可,讨论如下; (1) ,(a,b)(1,0) ; (2)+ +3 ,(a,b)(3,1) ; (3)+ +2 ,(a,b)(2,1) ; (4)+ + + + +( +2 )2 +3 , (a,b)(3,2) ; (5)+ + ,(a,b)(1,1) ; (6) ,(a,b)(0,1) a+b 的最大值为 3+25 故选:D 【点评】本题考查了平面向量的加法运算及其几何意义问题,解题时应根据题意,画出 图形,结合图形解答问题 三三.解答题解答题 12已知直线 l1:x+m2y+60,l2: (m2)x+3my

17、+2m0当 m 为何值时 l1与 l2 (1)相交, (2)平行, (3)重合 【分析】把 l1与 l2的方程联立方程组,并化简可得 m(m+1) (3m)y4(m3) 第 11 页(共 13 页) ,由方程解的个数判断直线 l1与直线 l2的关系 【解答】解:把 l1与 l2的方程联立方程组得 ,化简可得 m(m+1) (3m)y4(m3) (1)当 m1,m3,m0 时,方程有唯一解,直线 l1与直线 l2相交 (2)当 m1,m0 时,方程无实数解,直线 l1与直线 l2平行 (3)当 m3 时,方程有无数个实数解,直线 l1与直线 l2重合 【点评】本题主要考查两直线相交、平行、重合的

18、条件,体现了等价转化的数学思想, 属于基础题 13已知向量(1,7) ,(5,1) ,(2,1) (其中 O 为坐标原点) ,点 P 是 直线 OC 上的一个动点 (1)若,求的坐标; (2)当取最小值时,求 cosAPB 的值 【分析】 (1)点 P 是直线 OC 上的一个动点可设(2x,x) 利用向量坐标运算、 向量共线定理,即可得出 (2)利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出 【解答】解: (1)点 P 是直线 OC 上的一个动点 可设(2x,x) , (12x,7x) , (52x,1x) , , (12x) (1x)(7x) (52x)0, 解得 x (2),

19、k2 时,取的最小值8,此时, 第 12 页(共 13 页) 【点评】本题考查了向量坐标运算、向量共线定理, 、数量积运算性质、二次函数的单调 性、向量夹角公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 14在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为 2,宽为 1,AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合(如图) 将矩形折叠,使 A 点落在线段 DC 上 ()若折痕所在直线的斜率为 k,试求折痕所在直线的方程; ()当时,求折痕长的最大值; ()当2k1 时,折痕为线段 PQ,设 tk(2|PQ|21) ,试求 t 的最大值 【分析】 (1)分情况讨论斜率表示直线的

20、方程 (2)表示出线段后,分类讨论求最值 (3)表示线段,用均值不等式求最值 【解答】解: (1)当 k0 时,此时 A 点与 D 点重合,折痕所在的直线方程 当 k0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 DC 上的点记为 G(a,1) , 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称, 有 kOGk1ak 故 G 点坐标为 G(k,1) , 从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标 (线段 OG 的中点)为 折痕所在的直线方程,即 由得折痕所在的直线方程为: (2)当 k0 时,折痕的长为 2; 当时, 折痕直线交 BC 于点, 交 y 轴于 第 13 页(共 13 页) 折痕长度的最大值为 而 故折痕长度的最大值为 (3)当2k1 时,折痕直线交 DC 于,交 x 轴于 2k1 (当且仅当时取“”号) 当时,t 取最大值,t 的最大值是 【点评】本题考察内容比较综合,考察了求直线方程、求函数的最值、均值不等式、数 形结合和分类讨论思想,属难题