1、经过点（3，1）和点（2，2）的直线的点方向式方程是 2 （3 分）已知直线 2x+y20 和 mxy+10 的夹角为，则 m 的值为 3 （3 分） 已知直线 l1的斜率为 2， l2的倾斜角为 l1的倾斜角的 2 倍， 则 l2的斜率为 4 （3 分）已知点 P（3，2）与点 Q（1，4）关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 5 （3 分）已知点 A（1，2） ，B（1，4） ，若直线 l 过点 m（2，3） ，且 A、B 到直线 l 的距离相等，则直线 l 的一般式方程为 6 （3 分）若非零向量 ， ， 满足 +2 +3 ，且 ，则 与 的夹角 为 7 （3 分）在面积为 4 的三
2、角形 ABC 中，E、F 分别是 AB、AC 的中点，点 P 在直线 EF 上， 则的最小值是 8 （3 分）如图，设，是平面上两两不平行的三个非零向量，xR，有 下列命题： 关于 x 的方程可能有两个不同的实数解； 关于 x 的方程一定没有实数解； 关于 x 的方程的实数解为 x0 或； 关于 x 的方程没有非零实数解； 其中真命题是 二二.选择题选择题 9 （3 分） “m”是“直线（m+2）x+3my+10 与直线（m2）x+（m+2）y30 相互 第 2 页（共 13 页） 垂直”的（ ） A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 10 （3 分）
3、直线 2xmy10（m0）的倾斜角为（ ） A B C D 11 （3 分）将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内 部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星是以原点 O 为中心，其中 ， 分别为原点 O 到两个顶点的向量若将原点 O 到正六角星 12 个顶点的向量，都写成为 a +b 的形式，则 a+b 的最大值为（ ） A2 B3 C4 D5 三三.解答题解答题 12已知直线 l1：x+m2y+60，l2： （m2）x+3my+2m0当 m 为何值时 l1与 l2 （1）相交， （2）平行， （3）重合 13已知向量（1，7） ，（5，1） ，（2，1
4、） （其中 O 为坐标原点） ，点 P 是 直线 OC 上的一个动点 （1）若，求的坐标； （2）当取最小值时，求 cosAPB 的值 14在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图） 将矩形折叠，使 A 点落在线段 DC 上 （）若折痕所在直线的斜率为 k，试求折痕所在直线的方程； （）当时，求折痕长的最大值； 第 3 页（共 13 页） （）当2k1 时，折痕为线段 PQ，设 tk（2|PQ|21） ，试求 t 的最大值 第 4 页（共 13 页） 2019-2020 学年上海市浦东新区建平中学高
5、二（上）学年上海市浦东新区建平中学高二（上）10 月月考数月月考数 学试卷学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 （3 分）经过点（3，1）和点（2，2）的直线的点方向式方程是 【分析】先求出直线的方向向量的坐标，再根据直线上的一个点的坐标，即可得到直线 的点方向式方程 【解答】解：直线的方向向量为（2，2）（3，1）（5，3） ， 故直线 l 点方向式方程是：， 故答案为： 【点评】本题考查求直线的点方向式方程，求出直线的方向向量的坐标，是解题的关键 2 （3 分）已知直线 2x+y20 和 mxy+10 的夹角为，则 m 的值为 或 3 【分析】由条件利用两条
6、直线的夹角公式，求得 m 的值 【解答】解：由直线 2x+y20 和 mxy+10 的夹角为，它们的斜率分别为2、 m，可得 tan1|， 求得 m或 3， 故答案为：或 3 【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，属于基础题 3（3 分） 已知直线 l1的斜率为 2， l2的倾斜角为 l1的倾斜角的 2 倍， 则 l2的斜率为 【分析】根据题意，设直线 l1的倾斜角为 ，则 l2的倾斜角为 2，由直线的斜率与倾斜 角的关系可得 tan2，由二倍角公式可得 tan2 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，设直线 l1的倾斜角为 ，则 l2的倾斜角为 2， 又由直线 l1的斜率为 2，则
7、 tan2； 则 tan2； 第 5 页（共 13 页） 故答案为： 【点评】本题考查值的斜率，涉及二倍角公式的应用，属于基础题 4 （3 分）已知点 P（3，2）与点 Q（1，4）关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 xy+1 0 【分析】求出 PQ 的中点，PQ 的斜率，推出对称轴的斜率，利用点斜式方程求出对称轴 方程 【解答】解：点 P（3，2）与点 Q（1，4）关于直线 l 对称， 所以 PQ 的中点坐标为： （2，3） ，PQ 的斜率为：， 所以对称轴的斜率为：1， 所以对称轴方程为：y3x2， 即：xy+10 故答案为：xy+10 【点评】本题是基础题，考查对称问题，直线方程的
8、求法，考查计算能力 5 （3 分）已知点 A（1，2） ，B（1，4） ，若直线 l 过点 m（2，3） ，且 A、B 到直线 l 的距离相等，则直线 l 的一般式方程为 xy10 或 3xy+30 【分析】利用分类讨论思想，求出直线 l 与直线 AB 平行时和直线 l 过线段 AB 的中点时， 求出对应的直线 l 的方程即可 【解答】解：当直线 l 与直线 AB 平行时，直线 AB 的斜率为 k1， 此时直线 l 的方程为 y+3x+2，即 xy10； 当直线 l 过线段 AB 的中点时，AB 中点的坐标为（0，3） ， 此时直线 l 的方程为，即 3xy+30 综上知，直线 l 的方程为
9、xy10 或 3xy+30 故答案为：xy10 或 3xy+30 【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题 6 （3 分）若非零向量 ， ， 满足 +2 +3 ，且 ，则 与 的夹角 为 【分析】由+2+3，得到23，结合 ，得到| | 第 6 页（共 13 页） ，| |，然后代入数量积求夹角公式求解 【解答】解： +2 +3 ， 2 3 ， 代入 ，得（2 3 ） ，即| |， 再代入 ， （2 3 ） ，即| |， cos ， ， 与 的夹角为， 故答案为： 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题 7 （3 分）在面积为 4 的
10、三角形 ABC 中，E、F 分别是 AB、AC 的中点，点 P 在直线 EF 上， 则的最小值是 【分析】可画出图形，并取 BC 的中点 O，以点 O 为原点，以直线 OC 为 x 轴，建立平 面直角坐标系，并设 B（a，0） ，C（a，0） ，P（x，y） ，从而可求出和的坐 标，而据题意可得出，然后可求出，然后根据基本不 等式即可求出的最小值 【解答】解：取边 BC 的中点为 O，以点 O 为原点，直线 OC 为 x 轴，建立如图所示平 面直角坐标系， 设 B（a，0） ，C（a，0） ，P（x，y） ， ， ABC 的面积为 4，E、F 分别是 AB、AC 的中点，点 P 在直线 EF
11、上， ， ， x2 a2+y2+4a2， 当 且 仅 当 第 7 页（共 13 页） ，x0 时取等号； 的最小值是 故答案为： 【点评】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量坐 标的数量积运算，基本不等式在求最值中的应用，考查了计算能力，属于中档题 8 （3 分）如图，设，是平面上两两不平行的三个非零向量，xR，有 下列命题： 关于 x 的方程可能有两个不同的实数解； 关于 x 的方程一定没有实数解； 关于 x 的方程的实数解为 x0 或； 关于 x 的方程没有非零实数解； 其中真命题是 【分析】利用平面向量的基本定理，得到 x2x ，根据条件设 + ，得 2 ，
12、结合方程根的情况进行讨论即可 【解答】解：由得 x2x ， 第 8 页（共 13 页） ， ， 是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线， 存在非零实数 ，有 + ， 即 x2，x， 即 2， 由平面向量基本定理分析可得，即方程最多有一解；故错误； 由平行四边形法则，结合给出图形知 0，2 无解，故关于 x 的方程 一定没有实数解；正确 由 xR 故错误； 假设关于 x 的方程有非零实数解，则 ，与条件矛盾，故正确， 故正确的命题是， 故答案为： 【点评】 本题主要考查命题的真假判断， 涉及平面向量基本定理的应用， 根据条件得到 2 然后根据 ， 的取值判断方程根的情况是解决本题的关键 二二
13、.选择题选择题 9 （3 分） “m”是“直线（m+2）x+3my+10 与直线（m2）x+（m+2）y30 相互 垂直”的（ ） A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】判断充分性只要将“m”代入各直线方程，看是否满足（m+2） （m2）+3m （m+2）0，判断必要性看（m+2） （m2）+3m （m+2）0 的根是否只有 【解答】 解： 当 m时， 直线 （m+2） x+3my+10 的斜率是， 直线 （m2） x+ （m+2） y30 的斜率是， 第 9 页（共 13 页） 满足 k1k21， “m”是“直线（m+2）x+3my+10 与
14、直线（m2）x+（m+2）y30 相互垂直” 的充分条件， 而当（m+2） （m2）+3m （m+2）0 得：m或 m2 “m”是“直线（m+2）x+3my+10 与直线（m2）x+（m+2）y30 相互垂直” 充分而不必要条件 故选：B 【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定 10 （3 分）直线 2xmy10（m0）的倾斜角为（ ） A B C D 【分析】根据题意，设直线 2xmy10 的倾斜角为 ，求出直线的斜率，则有 tan ，结合 m 的范围分析可得答案 【解答】解：根据题意，设直线 2xmy10 的倾斜角为 ， 直线 2xmy10 的斜率 k，则 tan， 又由 m0
15、，则 k0，则 为钝角， 则 +arctan； 故选：C 【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，涉及反三角函数的应用，属于基础题 11 （3 分）将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内 部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星是以原点 O 为中心，其中 ， 分别为原点 O 到两个顶点的向量若将原点 O 到正六角星 12 个顶点的向量，都写成为 a +b 的形式，则 a+b 的最大值为（ ） 第 10 页（共 13 页） A2 B3 C4 D5 【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出求 a+b 的最大值时，只需考虑图中 6 个 顶点的向量即可，分别
16、求出即得结论 【解答】解：欲求 a+b 的最大值，只需考虑右图中 6 个顶点的向量即可，讨论如下； （1） ，（a，b）（1，0） ； （2）+ +3 ，（a，b）（3，1） ； （3）+ +2 ，（a，b）（2，1） ； （4）+ + + + +（ +2 ）2 +3 ， （a，b）（3，2） ； （5）+ + ，（a，b）（1，1） ； （6） ，（a，b）（0，1） a+b 的最大值为 3+25 故选：D 【点评】本题考查了平面向量的加法运算及其几何意义问题，解题时应根据题意，画出 图形，结合图形解答问题 三三.解答题解答题 12已知直线 l1：x+m2y+60，l2： （m2）x+3my
17、+2m0当 m 为何值时 l1与 l2 （1）相交， （2）平行， （3）重合 【分析】把 l1与 l2的方程联立方程组，并化简可得 m（m+1） （3m）y4（m3） 第 11 页（共 13 页） ，由方程解的个数判断直线 l1与直线 l2的关系 【解答】解：把 l1与 l2的方程联立方程组得 ，化简可得 m（m+1） （3m）y4（m3） （1）当 m1，m3，m0 时，方程有唯一解，直线 l1与直线 l2相交 （2）当 m1，m0 时，方程无实数解，直线 l1与直线 l2平行 （3）当 m3 时，方程有无数个实数解，直线 l1与直线 l2重合 【点评】本题主要考查两直线相交、平行、重合的
18、条件，体现了等价转化的数学思想， 属于基础题 13已知向量（1，7） ，（5，1） ，（2，1） （其中 O 为坐标原点） ，点 P 是 直线 OC 上的一个动点 （1）若，求的坐标； （2）当取最小值时，求 cosAPB 的值 【分析】 （1）点 P 是直线 OC 上的一个动点可设（2x，x） 利用向量坐标运算、 向量共线定理，即可得出 （2）利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出 【解答】解： （1）点 P 是直线 OC 上的一个动点 可设（2x，x） ， （12x，7x） ， （52x，1x） ， ， （12x） （1x）（7x） （52x）0， 解得 x （2），
19、k2 时，取的最小值8，此时， 第 12 页（共 13 页） 【点评】本题考查了向量坐标运算、向量共线定理， 、数量积运算性质、二次函数的单调 性、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 14在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图） 将矩形折叠，使 A 点落在线段 DC 上 （）若折痕所在直线的斜率为 k，试求折痕所在直线的方程； （）当时，求折痕长的最大值； （）当2k1 时，折痕为线段 PQ，设 tk（2|PQ|21） ，试求 t 的最大值 【分析】 （1）分情况讨论斜率表示直线的
20、方程 （2）表示出线段后，分类讨论求最值 （3）表示线段，用均值不等式求最值 【解答】解： （1）当 k0 时，此时 A 点与 D 点重合，折痕所在的直线方程 当 k0 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 DC 上的点记为 G（a，1） ， 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称， 有 kOGk1ak 故 G 点坐标为 G（k，1） ， 从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标 （线段 OG 的中点）为 折痕所在的直线方程，即 由得折痕所在的直线方程为： （2）当 k0 时，折痕的长为 2； 当时， 折痕直线交 BC 于点， 交 y 轴于 第 13 页（共 13 页） 折痕长度的最大值为 而 故折痕长度的最大值为 （3）当2k1 时，折痕直线交 DC 于，交 x 轴于 2k1 （当且仅当时取“”号） 当时，t 取最大值，t 的最大值是 【点评】本题考察内容比较综合，考察了求直线方程、求函数的最值、均值不等式、数 形结合和分类讨论思想，属难题