1、某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa） 的分组区间为12，13） ，13，14） ，14，15） ，15，16） ，16，17） ，将其按从左到右的 顺序分别编号为第一组、 ，第二组，第五组，如图市根据实验数据制成的频率分布 直方图，已知第一组与第二组共有 20 人，则第三组中人数为 第 2 页（共 18 页） 10 （3 分）已知 P（x，y）是椭圆上的动点，则的最大值为 11 （3 分）如图所示电路中，开关 A、B、C 断开的概率分别是 0.3、0.2、0.1，且开关 A、 B、C 断开是相互独立的，则此电路连通的概率为 12 （3 分）如图，质点 M
2、从正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A 出发，沿正方体的棱运动， 每经过一条棱称之为一次运动，第一次运动经过 AB，第二次运动经过 BC，第三次运动 经过 CC1，且对于任意的正整数 n，第 n+2 次运动所经过的棱与第 n 次运动所经过的棱 所在的直线是异面直线，则经过 2019 次运动后，点 M 到达的顶点为 点 二二.选择题选择题 13 （3 分）给出下列命题 （1）若一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线共面； （2）若三条直线两两平行，那么这三条直线共面； （3）若直线 a 与直线 b 异面，直线 b 与直线 c 异面，那么直线 a 与直线 c 异面； （4）若直线 a 与直
3、线 b 垂直，直线 b 与直线 c 垂直，那么直线 a 与直线 c 平行； 第 3 页（共 18 页） 其中正确的命题个数有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 14 （3 分）在复数范围内，有下列命题： （1）若 z 是非零复数，则一定是纯虚数； （2）若复数 z 满足 z2|z|2，则 z 是纯虚数； （3）若复数 z1、z2满足，则 z10 且 z20； （4）若 z1、z2为两个虚数，则一定是实数； 其中正确的命题个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 15 （3 分）已知复数 zx+yi（x，yR）满足，则的最大值为（ ） A B C D 16 （3 分）某课
4、外定向小组在一次课外定向活动中要经过 A、B、C、D、E、F 六个打卡点， 要求是： （1）地点 A 必须在前三次完成，且在 A 处打卡后需立即赶到地点 E 打卡； （2） 地点 B 与地点 C 不能相邻打卡，则不同的打卡顺序有（ ） A36 种 B44 种 C48 种 D54 种 三三.解答题解答题 17设（nN*） （1）若 a0、a1、a2成等差数列，求 n 的值； （2）设 Ana0+a1+a2+an1+an，求的值 18如图，点 A 在平面 外，BCD 在平面 内，E、F、G、H 分别是线段 BC、AB、AD、 DC 的中点 （1）求证：E、F、G、H 四点在同一平面上； （2）若
5、AC6，BD8，异面直线 AC 与 BD 所成角为 60，求 EG 的长 第 4 页（共 18 页） 19从 6 名男医生和 3 名女医生中选出 5 人组成一个医疗小组，请解答下列问题： （1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于 2 人，共有多少种不同的建组方案？（用 数字作答） （2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有 多少种不同的建组方案？ （3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率 （化成最简分数） 20已知抛物线的焦点为 F，直线 l：x2y40，点 P（1，2） ，M 是抛物线 C 上的动点 （1）求|MP|+|MF|的最小值及相应点 M 的坐
6、标； （2）点 M 到直线 l 距离的最小值及相应点 M 的坐标； （3） 直线 l过点 P 与抛物线 C 交于 A、 B 两点， 交直线 l 于 Q 点， 若， 求 a+b 的值 第 5 页（共 18 页） 2018-2019 学年上海市黄浦区格致中学高二（下）期中数学试卷学年上海市黄浦区格致中学高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 （3 分）设复数 z 满足 i（z+1）3+2i，则 13i 【分析】利用复数的运算法则即可得出 【解答】解：复数 z 满足 i（z+1）3+2i， ii （z+1）i（3+2i） ， 化为 z+12+3i， 化为
7、 z1+3i， 13i 故答案为：13i 【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题 2 （3 分）已知点 A（2，1） 、B（2，5） ，直线 l：3x+ay60 上点 C 满足，则 直线 l 的倾斜角大小为 135 【分析】由题意知点 C 为线段 AB 的中点，利用中点坐标公式求出点 C 的坐标，代入直 线 l 的方程，即可求出直线 l 的方程，进而得到直线 l 的倾斜角 【解答】解：点 C 满足，点 C 为线段 AB 的中点， 点 C（0，2） ，代入直线 l 方程得：2a60， a3， 直线 l 的方程为：3x+3y60，即 yx+2， 直线 l 的斜率为1，倾斜角为 135， 故答
8、案为：135 【点评】本题主要考查了中点坐标公式，以及直线的倾斜角，是基础题 3 （3 分）设集合（i 是虚数单位） ，则集合 Z 中所有元素的和 为 0 【分析】对 n 分类讨论，利用复数的周期性即可得出 z，进而得出结论 【解答】解：n4k（kN*）时，zi4k+1+22 第 6 页（共 18 页） n4k+1（kN*）时，zi4ki+i+ii0 n4k+2（kN*）时，zi4ki2+112 n4k+3（kN*）时，zi4ki3+i0 Z2，0，2， 集合 Z 中所有元素的和2+0+20 故答案为：0 【点评】本题考查了复数的周期性、运算性质、分类讨论方法、集合，考查了推理能力 与计算能力
9、，属于基础题 4 （3 分）点 A 是圆 x2+y2+ax+4y50 上任意一点，A 关于直线 x+2y10 的对称点也在 圆 C 上，则实数 a 等于 10 【分析】由题意说明直线经过圆的圆心，求出圆的圆心坐标代入直线方程，即可求出 a 的值 【解答】解：点 A 是圆 x2+y2+ax+4y50 上任意一点，A 关于直线 x+2y10 的对称 点也在圆 C 上， 说明直线经过圆的圆心，圆的圆心坐标（）代入直线方程 x+2y10， 得 ，所以 a10 故答案为：10 【点评】本题是基础题，考查分析问题解决问题的能力，本题的突破口在直线经过圆的 圆心能够突破这一点，本题也就易如反掌 5 （3 分
10、）已知两平行线直线分别过点 P（2，2） 、Q（1，3） ，设此两平行直线之间的 距离为 d，则 d 的取值范围为 （0， 【分析】当两条平行线与过 P，Q 的直线垂直时，平行线间的距离最大，当两条平行线 趋近于过 PQ 的直线时，距离趋近于 0，求出最大值即可 【解答】解：当两条平行线与过 P，Q 的直线垂直时，平行线间的距离最大，d|PQ| ， 当两条平行线趋近于过 PQ 的直线时，距离最小， 所以 d 的取值范围为（0， 第 7 页（共 18 页） 故答案为： （0， 【点评】本题考查平行线间的距离的最值的求法，属于基础题 6 （3 分）在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积
11、是 2 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求面积，只需求出区域图形的面 积即可 【解答】 解： 不等式组表示的可行域如图， 三条直线围成的三角形， 可得 C（1，0） ，可得 B（1，4） ，解得 A（0，1） 区域面积为：412 故答案为：2 【点评】本题考查了二元一次不等式与一次函数的关系及三角形面积的计算方法，注意 运用图形结合可以更直观地得解 7 （3 分）已知对任意 kR，直线 ykx10 与椭圆+1 恒有公共点，则实数 m 的取值范围是 1，5）（5，+） 【分析】根据题意，由椭圆的方程分析可得 m0 且 m5，分析可得椭圆与 yy 轴正半轴 的交点以及直线过定点的坐
12、标；进而分析可得若直线 ykx10 与椭圆+1 恒 有公共点，必有1，解可得 m 的取值范围，即可得答案 第 8 页（共 18 页） 【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：+1，则有 m0 且 m5， 椭圆与 y 轴正半轴的交点为（0，） ， 直线 ykx10 即 ykx+1，过定点（0，1） ， 若直线 ykx10 与椭圆+1 恒有公共点，必有1， 解可得 m1， 又由 m0 且 m5， 则实数 m 的取值范围是1，5）（5，+） ； 故答案为：1，5）（5，+） 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，注意过的定点 8 （3 分）正八边形 A1A2A3A4A5A6A7A8的
13、中心为 O，从向量（i1，2，8）中任取 两个不同向量、（m， n1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， mn） ， 则使得 的概率等于 【分析】用组合数公式解出从 8 个向量中任选两个的选法 C ；再由数量积为零，即向量 垂直的个数，通过列举有 8 个，进而求出概率 【解答】解：从向量（i1，2，8）中任取两个不同向量、有28 种选法； 由得两向量垂直，在 8 个向量中，两两垂直的向量有 8 组， 则使得的概率 P， 故答案为： 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、利用列举法，组合数公式求概率，属于 基础题 9 （3 分）某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数
14、据（单位：kPa） 的分组区间为12，13） ，13，14） ，14，15） ，15，16） ，16，17） ，将其按从左到右的 顺序分别编号为第一组、 ，第二组，第五组，如图市根据实验数据制成的频率分布 直方图，已知第一组与第二组共有 20 人，则第三组中人数为 18 第 9 页（共 18 页） 【分析】 由频率分布直方图得第一组与第二组的频率和为 0.4， 由第一组与第二组共有 20 人，得到样本单元数 n50，再由第三组的频率为 0.36，能求出第三组中人数 【解答】解：由频率分布直方图得： 第一组与第二组的频率和为：1（0.36+0.16+0.08）0.4， 第一组与第二组共有 20
15、人， 样本单元数 n50， 第三组的频率为 0.36，第三组中人数为 500.3618 故答案为：18 【点评】本题考查第三组人数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运 算能力，是基础题 10 （3 分）已知 P（x，y）是椭圆上的动点，则的最大值为 5 【分析】用参数形式表示 P 的坐标，代入中，化简三角函数，由三角函数的取 值范围可得其最大值 【解答】解：因为 P（x，y）是椭圆上的动点，所以设 P（5cos，4sin） ， 所以5cos+4sin3sin+4cos5sin （+） ， 且 tan， 当 sin （+） 1 时，最大为 5， 故答案为：5 【点评】本题考查椭圆的
16、参数形式及三角函数的化简，属于中档题 11 （3 分）如图所示电路中，开关 A、B、C 断开的概率分别是 0.3、0.2、0.1，且开关 A、 第 10 页（共 18 页） B、C 断开是相互独立的，则此电路连通的概率为 0.686 【分析】此电路连通的是 A 开关必须是闭合，B 开关和 C 开关中至少有一个闭合，由此 能求出此电路连通的概率 【解答】解：此电路连通的是 A 开关必须是闭合， B 开关和 C 开关中至少有一个闭合， 此电路连通的概率为： P（10.3） （10.20.1）0.686 故答案为：0.686 【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法
17、公 式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 12 （3 分）如图，质点 M 从正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A 出发，沿正方体的棱运动， 每经过一条棱称之为一次运动，第一次运动经过 AB，第二次运动经过 BC，第三次运动 经过 CC1，且对于任意的正整数 n，第 n+2 次运动所经过的棱与第 n 次运动所经过的棱 所在的直线是异面直线，则经过 2019 次运动后，点 M 到达的顶点为 C1 点 【分析】由题意设第 n 次运动前起始点为 A，分析第 n+2 次运动后所在的位置与 A 的位 置关系，即可求出经过 2019 次运动后，点 M 到达的顶点 【解答】解：由题意设第 n 次运动
18、前起始点为 A，则第 n 次运动经过 AB 或 AD， 当第 n 次运动经过 AB 时，第 n+1 次运动经过 BB1或 BC， 又第 n+2 次运动所经过的棱与第 n 次运动所经过的棱所在的直线是异面直线， 第 n+2 次运动只能经过 B1C1或 CC1，即第 n+2 次运动后只可能在 C1处， 同理，当第 n 次运动经过 AD 时，也有第 n+2 次运动后只可能在 C1处， 第 11 页（共 18 页） 从 A 开始第 3 次运动后，必定在 C1，第 6 次运动后必定回到 A， 即 6 次运动为一个周期， 又 201963363， 故经过 219 次运动后与经过 3 次运动后位置相同，即
19、C1处 故答案为：C1 【点评】本题考查经过 2019 次运动后，点 M 到达的顶点位置的判断，考查简单的合情 推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 二二.选择题选择题 13 （3 分）给出下列命题 （1）若一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线共面； （2）若三条直线两两平行，那么这三条直线共面； （3）若直线 a 与直线 b 异面，直线 b 与直线 c 异面，那么直线 a 与直线 c 异面； （4）若直线 a 与直线 b 垂直，直线 b 与直线 c 垂直，那么直线 a 与直线 c 平行； 其中正确的命题个数有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】利用反例判断（1）
20、 、 （2） ；推出 ac 的可能情况，判断（3） 、 （4） ； 【解答】解： （1）若一条直线与两条直线都相交，如果这个两条直线是异面直线，那么 这三条直线不共面；所以（1）不正确； （2）若三条直线两两平行，利用棱柱的侧棱，显然这三条直线不共面；所以（2）不正 确； （3）若直线 a 与直线 b 异面，直线 b 与直线 c 异面，那么直线 a 与直线 c 异面；也可能 是平行直线，所以（3）不正确； （4）若直线 a 与直线 b 垂直，直线 b 与直线 c 垂直，那么直线 a 与直线 c 平行；也可能 异面，所以（4）不正确； 故选：A 【点评】本题考查命题的真假的判断，涉及空间直线与自
21、行车的位置关系，直线与平面 的位置关系的判断，是基本知识的考查 14 （3 分）在复数范围内，有下列命题： （1）若 z 是非零复数，则一定是纯虚数； （2）若复数 z 满足 z2|z|2，则 z 是纯虚数； 第 12 页（共 18 页） （3）若复数 z1、z2满足，则 z10 且 z20； （4）若 z1、z2为两个虚数，则一定是实数； 其中正确的命题个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用复数的基本概念与形状判断向媒体的真假即可 【解答】解： （1）若 z 是非零复数，则一定是纯虚数；正确， （2）若复数 z 满足 z2|z|2，则 z 是纯虚数；反例 z0，所
22、以（2）不正确； （3）若复数 z1、z2满足，则 z10 且 z20；反例 z11 且 z2i；所以（3） 不正确； （4）设 z1a+bi，z2c+di，a，b，c，dR， 则（a+bi） （cdi）+（abi） （c+di）ac+bd+（bcad）i+acbd+（ad bc）i2ac，因此是实数， 所以若 z1、z2为两个虚数，则一定是实数； （4）正确 故选：B 【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的基本概念以及复数的运算，是基本知识的 考查 15 （3 分）已知复数 zx+yi（x，yR）满足，则的最大值为（ ） A B C D 【分析】复数 zx+yi（x，yR）满足，可得（x2
23、）2+y23，设k，利 用直线与圆的的位置关系即可得出最大值 【解答】解：复数 zx+yi（x，yR）满足， （x2）2+y23，可得圆心 P（2，0） ，半径 r 设k， ， 解得：k， 第 13 页（共 18 页） 则的最大值为 故选：D 【点评】本题考查了复数模的计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式， 考查了推理能力与计算能力，属于基础题 16 （3 分）某课外定向小组在一次课外定向活动中要经过 A、B、C、D、E、F 六个打卡点， 要求是： （1）地点 A 必须在前三次完成，且在 A 处打卡后需立即赶到地点 E 打卡； （2） 地点 B 与地点 C 不能相邻打卡，则不同的打
24、卡顺序有（ ） A36 种 B44 种 C48 种 D54 种 【分析】根据题意，分 3 种情况讨论：，A 排在第一位，则 E 排在第二位，A 排 在第二位，则 E 排在第三位，A 排在第三位，则 E 排在第四位，由加法原理计算可 得答案 【解答】解：根据题意，A 必须排在前三项执行，分 3 种情况讨论： ，A 排在第一位，则 E 排在第二位，将剩下的 2 项全排列，排好后有 3 个空位，将 B、 C 安排在 3 个空位中，有 A22A3212 种不同的方案， ，A 排在第二位，则 E 排在第三位，BC 的安排方法有 4A228 种，将剩下的 2 项全 排列安排在剩下位置，有 A222 种安排
25、方法，则有 8216 种安排方法， ，A 排在第三位，则 E 排在第四位，BC 的安排方法有 4A228 种，将剩下的 2 项全 排列安排在剩下位置，有 A222 种安排方法，则有 8216 种安排方法， 则不同的方案共有 12+16+1644 种； 故选：B 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，注意优先分析受到限 制的元素，属于基础题 三三.解答题解答题 17设（nN*） （1）若 a0、a1、a2成等差数列，求 n 的值； （2）设 Ana0+a1+a2+an1+an，求的值 【分析】 （1）利用通项公式写出前三项的系数，列出方程求 n 的值； （2）令 x1，写出
26、An，利用等比数列求和公式化简，再代入结论求极限 第 14 页（共 18 页） 【解答】解：由已知得 （1）结合通项可知：a01， 代入 2a1a0+a2整理得 n29n+80， 解得 n9 或 n1（舍） 故 n9 （2）令 x1 可得 Ana0+a1+a2+an1+an 【点评】本题考查二项式展开式系数的性质和极限的求法，同时考查赋值法的应用属 于中档题 18如图，点 A 在平面 外，BCD 在平面 内，E、F、G、H 分别是线段 BC、AB、AD、 DC 的中点 （1）求证：E、F、G、H 四点在同一平面上； （2）若 AC6，BD8，异面直线 AC 与 BD 所成角为 60，求 EG
27、的长 【分析】 （1）由已知利用三角形的中位线定理及平行公理可得 EFGH，可得 E、F、G、 H 四点在同一平面上； （2）由异面直线所成角的概念及余弦定理分类求解 【解答】 （1）证明：E、F 分别为 BC、AB 的中点，EFAC， 又 G、H 分别为 AD、DC 的中点，GHAC， 由平行公理可得：EFGH，可得 E、F、G、H 四点在同一平面上； （2）解：由（1）知，GHAC， 又 F、G 分别为 AB、AD 的中点，可得 FGBD， 则EFG 为异面直线 AC 与 BD 所成角（或其补角） AC6，BD8，EF3，FG4， 第 15 页（共 18 页） 当EFG60时，EG； 当E
28、FG120时，EG 【点评】本题考查平面的基本性质及其应用，考查空间中点、线、面间的距离计算，是 中档题 19从 6 名男医生和 3 名女医生中选出 5 人组成一个医疗小组，请解答下列问题： （1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于 2 人，共有多少种不同的建组方案？（用 数字作答） （2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有 多少种不同的建组方案？ （3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率 （化成最简分数） 【分析】 （1）利用分类的办法，计算出结果； （2）可利分类的方法计算出结果； （3）利用古典概型先计算男医生甲与女医生乙被同时选中的方案，然后计
29、算概率即可 【解答】解： （1）根据条件可知有以下两种情况： 选两个男医生和三个女医生，有 C C 15 种建组方案； 选三个男医生和两个女医生，有 C C 60 种建组方案； 故共有 15+6075 种不同的建组方案 （2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有， 若选 2 男 3 女，甲必选，则还需要在 5 名男医生选 1 名，有5 种建组方案； 若选 3 男 2 女，甲必选，则还需要在 5 名男医生选 2 名，有30 种建组方案； 若选 4 男 1 女，甲必选，则还需要在 5 名男医生选 3 名，有30 种建组方案；则 共有 5+30+3065 种组建方案 （
30、3）6 名男医生和 3 名女医生中选出 5 人组成一个医疗小组，有126 种组建方法， 第 16 页（共 18 页） 若男医生甲与女医生乙被同时选中，则有35 种方法， 则男医生甲与女医生乙不被同时选中的方法有 1263591 种， 则男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率 P 【点评】本题主要考查排列和组合问题以及简单的概率计算，利用分类讨论思想是解决 本题的关键难度不大 20已知抛物线的焦点为 F，直线 l：x2y40，点 P（1，2） ，M 是抛物线 C 上的动点 （1）求|MP|+|MF|的最小值及相应点 M 的坐标； （2）点 M 到直线 l 距离的最小值及相应点 M 的坐标； （3）
31、 直线 l过点 P 与抛物线 C 交于 A、 B 两点， 交直线 l 于 Q 点， 若， 求 a+b 的值 【分析】 （1）由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离可得求|MP|+|MF| |MP|+|MN|PN|，当 P，M，N 三点共线时取得最小值； （2）直线 l 与抛物线无交点，设与 l 平行的直线与抛物线相切时切点到直线 l 的距离最 小，由判别式为 0 可得参数的值，进而求出 M 的坐标； （3）设 A，B，Q 的坐标，设 l的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，直线 l， l 联立求出 Q 的坐标，由，可得 a，b 的值，进而求出 a+b 的表达式， 将上面的值代入可得 a
32、+b 为 0 【解答】解： （1）抛物线的方程整理可得 x24y，所以焦点 F（0，1） ，准线方程为 y 1，设 MN 垂直于准线于 N， 由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以求|MP|+|MF|MP|+|MN| |PN|，当 P，M，N 三点共线时取得最小值，而|PN|2（1）3， 所以|MP|+|MF|的最小值为 3，这时 M（1，） ； （2）设与直线 l 平行的直线为：x2y+c0，与抛物线的方程联立整理可得 4y24（c+1）y+c20，16（c+1）216c20，解得 c， 第 17 页（共 18 页） 将 c代入方程 4y24（c+1）y+c20 可得 y，代入
33、 x2y0，可得 x1， 即 M（1，） ， 所以点 M 到直线 l 距离的最小值即为两条平行线间的距离 d，M（1， ） ； （3）显然直线 l的斜率存在，设 l的方程为：y2k（x1） ，设 A（x1，y1） ，B（x2， y2） ，Q（x0，y0） ， 联立直线 l与抛物线的方程，整理可得：x24kx+4k80，x1+x24k， x1x24k8， 联立 l，l 的直线的方程，解得 x0， ，x1x0a（1x1） ，可得 a， ，x2x0b（1x2） ，所以 b， 所以a+b+ ， 又（x1+x22）x0+x1+x22x1x2（4k2）+4k2（4k8）2（2k8）+4k2 （4k8）0， 所以 a+b0 第 18 页（共 18 页） 【点评】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，及点到直线的距离公式，属于 中难题