1、设 f（x）（xR） ，则方程 f（x）0 的解集为（ ） A1 B1，1 C1 D以上答案均不对 12 （4 分）若 x、y 满足约束条件目标函数 zax+2y 仅在点（1，0）处取得最小 值，则 a 的取值范围是（ ） 第 2 页（共 15 页） A （4，2） B （1，2） C （4，0） D （2，4） 13 （4 分）若分别为 P（1，0） 、Q（2，0） ，R（4，0） 、S（8，0）四个点各作一条直线， 所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（ ） A B C D 14 （4 分） 对任意两个非零的平面向量和， 定义， 其中 为 和的夹角，若两个非零的平面向量和满足
2、：；和的夹角 ；和的值都在集合中，则的值为 （ ） A B C1 D 三、解答题（三、解答题（10+10+10+1444 分）分） 15 （10 分）用行列式解关于 x、y 的方程组： 16 （10 分） （1）求点（1，3）关于直线 x2y20 的对称点坐标； （2）求直线 y1 关于直线 y2x4 的对称直线的一般式方程 17 （10 分）已知向量| |，| | （1）若 ， 的夹角为 60， |x ，| |1，xy0，求 x，y 所满足的关系式， 并求 xy 的最大值； （2）若对任意的（x，y）（x，y）|x +y |1，xy0） ，都有|x+y|1 成立，求的 最小值 18 （14
3、分）如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环虽然从城 中间直穿过去看上去很诱人，但考虑到北京的道路几乎总是正南正北的方向，事实上不 会真有人认为这样走能抄近路在城市中，专家估算两点之间的距离时，不会直接去测 量两点之间的直线距离，而会去考虑它们相距多少个街区在理想模型中，假设每条道 路都是水平或者竖直的，那么只要你朝着目标走（不故意绕远路） ，不管你这样走，花费 的路程都是一样的出租车几何学（ taxicabgeometry） ，所谓的“出租车几何学”是由十 九世纪的另一位真专家赫尔曼闵可夫斯基所创立的，在出租车几何学中，点还是形如 （x，y）的有序实数对，直线还是满足 ax
4、+by+c0 的所有（x，y）组成的图形，角度大 第 3 页（共 15 页） 小的定义也和原米一样只是直角坐标系内任意两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）定义它们 之间的一种“距离” ：|AB|x1x2|+|y1y2|，请解决以下问题： （1）定义： “圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有 点到点 Q（a，b）的“距离”均为 r 的“圆”方程，并作出大致图象 （2）在出租车几何学中，到两点 A、B“距离”相等的点的轨迹称为线段 AB 的“垂直平 分线” ，已知点 A（1，3） 、B（6，9） ，C（1，9） 写出在线段 AB 的“垂直平分线”的轨迹方程，并写出
5、大致图象； 求证：ABC 三边的“垂直平分线”交于一点（该点称为ABC 的“外心” ） ，并求出 ABC 的“外心” ， 第 4 页（共 15 页） 2018-2019 学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）期中数学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）期中数 学试卷学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（每题一、填空题（每题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1 （4 分）已知一个关于 x，y 的二元线性方程组，则此线性方程组的增广矩 阵为 【分析】首先要知道增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列 是方程组的等号右边的值然后直接求解可得 【解答】解
6、：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是 方程组的等号右边的值 可直接写出增广矩阵为 故答案为： 【点评】此题主要考查方程组增广矩阵的定义及求法，属于基础题 2 （4 分）已知直角坐标平面内的两个向量 （1，m） ， （2，4）使得平面内的任意一 个向量 都可以唯一分解成 +，则 m 的取值范围是 m2 【分析】根据平面向量基本定理得， 与 必为基底，不共线 【解答】解：因为平面内的任意一个向量 都可以唯一分解成 + ， 所以向量 与 能作为基底，所以 与 不共线， 所以 14m20，解得 m2， 故答案为：m2 【点评】本题考查了平面向量的基本定理属基础题 3 （4
7、 分）直线 x+3y+20 与 4x+2y10 的夹角是 【分析】直接根据夹角公式即可求解； 【解答】解：直线 x+3y+20 的斜率 k1，直线 4x+2y10 的斜率 k22； 第 5 页（共 15 页） 直线 x+3y+20 与 4x+2y10 的夹角为 ， 可得 tan|1， ； 即直线 x+3y+20 与 4x+2y10 的夹角为 故答案为： 【点评】本题考查了直线的斜率和夹角公式的计算属于基础题 4 （4 分）设向量 （3，0） ， （2，6） ，则 在 上的投影为 2 【分析】根据向量在向量上投影的概念，代入坐标计算可得 【解答】解：因为向量 在 上的投影为：2， 故答案为：2
8、【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算属基础题 5（4分） 如果直线3x2y30与直线6x+my+10平行， 则它们之间的距离为 【分析】利用相互平行的直线斜率之间的关系、平行线之间的距离公式即可得出 【解答】解：直线 3x2y30 与直线 6x+my+10 平行，解得 m4 直线 6x+my+10 化为 3x2y+0， 它们之间的距离 故答案为： 【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，属于基 础题 6 （4 分）直线 mx+4y20 与直线 2x5y+n0 相互垂直，垂足为（1，p） ，则 n 12 【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件、直线的交点即
9、可得出 【解答】解：直线 mx+4y20 与直线 2x5y+n0 垂直，垂足为（1，p） ， 第 6 页（共 15 页） 1，25p+n0，m+4p20， 解得 m10，p2，n12， 故答案为：12 【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、直线的交点，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 7 （4 分）若原点在直线 L 上的射影为（2，1） ，直线 L 的倾斜角为 ，则 sin2 【分析】先求出垂线的斜率，可得直线 L 的斜率，再利用二倍角的正弦公式、同角三角 函数的基本关系求得 sin2 的值 【解答】解：原点在直线 L 上的射影为（2，1） ，垂线的斜率为， 直线 L 的斜率为，
10、 直线 L 的蝎女为2 设直线 L 的倾斜角为 ，则 tan2，则 sin2 ， 故答案为： 【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线垂直的性质，用二倍角的正弦公 式、同角三角函数的基本关系，属于基础题 8 （4 分）经过点 A（3，1）和点 B（4，2）的直线 l 的点方向式方程是 【分析】先求出直线的方向向量的坐标，再根据直线上的一个点的坐标，即可得到直线 的点方向式方程 【解答】解：直线的方向向量为 （4，2）（3，1）（7，3） ， 故直线 l 的点方向式方程是 ， 故答案为： 【点评】本题考查求直线的点方向式方程，求出直线的方向向量的坐标，是解题的关键 9（4 分） 在矩形
11、ABCD 中， AB， BC2， 点 E 为 BC 的中点， 点 F 在边 CD 上， 若 ，则的值为 第 7 页（共 15 页） 【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量 的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于 0，得到结果 【解答】解：+， ， 1， （） （）+（1）+12， 故答案为： 【点评】本题考查平面向量的数量积的运算本题解题的关键是把要用的向量表示成已 知向量的和的形式，本题是一个中档题目 10（4 分） 已知向量 ， 满足| |1， | |2， 若对任意单位向量 ， 均有则|+|， 则最大值为 1 【分析】由已知可得
12、，结合向量投影的定义及向量共线的定义 可求 【解答】解：由|+|，可得 即对任意单位向量 ，向量 在 上的投影与向量 在 上的投影的和小于等于 当 与共线时取等号， ， 1 故答案为：1 【点评】本题主要考查了平面向量的数量积，模长公式的应用及向量的投影的定义的简 单应用 二、选择题（每题二、选择题（每题 4 分，满分，满分分 16 分）分） 第 8 页（共 15 页） 11 （4 分）设 f（x）（xR） ，则方程 f（x）0 的解集为（ ） A1 B1，1 C1 D以上答案均不对 【分析】此题要求方程的解集，主要还是化简方程左边的行列式得一元二次方程求出 x 即可 【解答】解：因为设 f（
13、x）（xR） ，得到方程 f（x）0， 即0， 化简得：1（1）1+11x2+x11x2（1）1x111110 化简得：x21 解得：x11，x21 故选：B 【点评】此题考查学生化简行列式的能力，解方程的能力，属于基础题 12 （4 分）若 x、y 满足约束条件目标函数 zax+2y 仅在点（1，0）处取得最小 值，则 a 的取值范围是（ ） A （4，2） B （1，2） C （4，0） D （2，4） 【分析】由题意作出其平面区域，将 zax+2y 化为 yx+，相当于直线 y x+的纵截距，由几何意义可得 【解答】解：由题意作出其平面区域， 将 zax+2y 化为 yx+，相当于直线
14、yx+的纵截距， 则由目标函数 zax+2y 仅在点（1，0）处取得最小值可知， 12， 则4a2， 第 9 页（共 15 页） 故选：A 【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题 13 （4 分）若分别为 P（1，0） 、Q（2，0） ，R（4，0） 、S（8，0）四个点各作一条直线， 所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（ ） A B C D 【分析】根据题意画出图形，由图形和同角三角函数的基本关系求出正方形面积 【解答】解：如果过点 P（1，0） ，Q（2，0） ，R（4，0） ，S（8，0）作四条直线构成一 个正方形， 过 P 点的必须和过 Q，R，S
15、的其中一条直线平行和另外两条垂直， 假设过 P 点和 Q 点的直线相互平行时，如图， 设直线 PC 与 x 轴正方向的夹角为 ，再过 Q 作它的平行线 QD，过 R、S 作它们的垂线 RB、SC，过点 A 作 x 轴的平行线分别角 PC、SC 于点 M、N， 则 ABAMsinPQsinsin，ADANcosRScos4cos， 因为 ABAD，所以 sin4cos，则 tan4， 所以正方形 ABCD 的面积 SABAD4sincos ， 同理可求，当直线 PC 和过 R 的直线平行时正方形 ABCD 的面积 S 为 ， 当直线 PC 和过 S 点的直线平行时正方形 ABCD 的面积 S 为
16、 ， 第 10 页（共 15 页） 故选：C 【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，以及数形结合思想，属于中档题 14 （4 分） 对任意两个非零的平面向量和， 定义， 其中 为 和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：；和的夹角 ；和的值都在集合中，则的值为 （ ） A B C1 D 【分析】根据新定义求出cos，cos，mN，再根 据夹角的范围求出 mn3，m，nN，再根据第 1 个条件，即可求出 m，n 的值，问题得 以解决 【解答】解：cos，cos，mN， 由 与 的夹角 （0，） ，知 cos2（，1） ， 故 mn3，m，nN， ， 01， m1，n3， 第 11 页（共 15
17、页） ， 故选：B 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得 m1，n3，是解题的关键，属 于中档题 三、解答题（三、解答题（10+10+10+1444 分）分） 15 （10 分）用行列式解关于 x、y 的方程组： 【分析】计算 D，讨论 D0 时方程组有唯一的解，D0 时方程组无解或有无数 个解 【解答】解：关于 x，y 的方程组， Dm21， 当 Dm210，即 m1 且 m1 时， x， y； 方程组有唯一的解； 当 Dm210，即 m1 或 m1 时， 若 m1，则原方程组无解； 若 m1，则原方程组有无数个解 【点评】本题考查了二元一次方程组的行列式矩阵形式的解法及应用问题
18、，是基础题 16 （10 分） （1）求点（1，3）关于直线 x2y20 的对称点坐标； （2）求直线 y1 关于直线 y2x4 的对称直线的一般式方程 【分析】（1） 设点 （l， 3） 关于直线 x2y20 的对称点坐标为 （x， y） ； 可得， 结合中点坐标在直线上，求解 x，y 可得答案； （2）联立直线 y1 与直线 y2x4 求解交点，在直线 y2x4 取点（3，2） ，设 对称直线方程，利用点到直线距离相等求解即可； 【解答】解： （1）设点（l，3）关于直线 x2y20 的对称点坐标为（x，y） ； 第 12 页（共 15 页） 可得， 中点坐标（，）在直线 x2y20 上，
19、 即 由解得解 x，y 故得对称点坐标为（，） （2）由题意， 联立，可得坐标为（2，0） ， 对称直线的方程为：yk（x2） ，即 kxy2k0 在直线 y2x4 取点（3，2） ， 点到直线距离相等， 即， 解得：k（舍去） ，k 所求对称直线方程为xy+110，即 11x+2y220 【点评】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，考查了点到直线距离公式的 运用，是基础题 17 （10 分）已知向量| |，| | （1）若 ， 的夹角为 60， |x ，| |1，xy0，求 x，y 所满足的关系式， 并求 xy 的最大值； （2）若对任意的（x，y）（x，y）|x +y |1，xy0
20、） ，都有|x+y|1 成立，求的 最小值 【分析】 （1）由已知可求，结合已知 x 及| |1，两边同时平方，结合基 本不等式即可求解； （2）设 ， 的夹角为 ，由|x +y |1，两边时平方，可求 cos，然后由|x+y|1，可 第 13 页（共 15 页） 得 1（x+y）2，代入到 cos 的表达式，进行分离后利用基本不等式即可求解 【解答】解： （1）| |，| |， ， 的夹角为 60， ， 又x ，| |1，xy0， ， 1， 64x2+16y2+32xy15， 64x2+16y264xy（当且仅当 8x4y 即 y2x 时取等号） 1532xy64xy， xy， 故 xy 的
21、最大值； （2）设 ， 的夹角为 ， 由|x +y |1，xy0 可得cos1， 即 64x2+16y2+64xycos15， cos |x+y|1， 1（x+y）2， cos恒成立， 当 且 仅 当 即 y7x 时取等号， 此时取得最小值 【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算和平面向量的数量积的运算性质的简单应 第 14 页（共 15 页） 用，属于知识的简单综合 18 （14 分）如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环虽然从城 中间直穿过去看上去很诱人，但考虑到北京的道路几乎总是正南正北的方向，事实上不 会真有人认为这样走能抄近路在城市中，专家估算两点之间的距离时，
22、不会直接去测 量两点之间的直线距离，而会去考虑它们相距多少个街区在理想模型中，假设每条道 路都是水平或者竖直的，那么只要你朝着目标走（不故意绕远路） ，不管你这样走，花费 的路程都是一样的出租车几何学（ taxicabgeometry） ，所谓的“出租车几何学”是由十 九世纪的另一位真专家赫尔曼闵可夫斯基所创立的，在出租车几何学中，点还是形如 （x，y）的有序实数对，直线还是满足 ax+by+c0 的所有（x，y）组成的图形，角度大 小的定义也和原米一样只是直角坐标系内任意两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）定义它们 之间的一种“距离” ：|AB|x1x2|+|y1y2|，请解决以下问题
23、： （1）定义： “圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有 点到点 Q（a，b）的“距离”均为 r 的“圆”方程，并作出大致图象 （2）在出租车几何学中，到两点 A、B“距离”相等的点的轨迹称为线段 AB 的“垂直平 分线” ，已知点 A（1，3） 、B（6，9） ，C（1，9） 写出在线段 AB 的“垂直平分线”的轨迹方程，并写出大致图象； 求证：ABC 三边的“垂直平分线”交于一点（该点称为ABC 的“外心” ） ，并求出 ABC 的“外心” ， 【分析】 （1） ）利用“圆”的概念，能够求出“圆周”上的所有点到点 Q（a，b）的“距 离”均为 r 的“圆”的方程
24、； （2）由已知条件，得|x1|+|y3|x6|+|y9，由此能够求出线段 AB 的垂直平分线 的轨迹方程并画出大致图象； 设三角形“外心”坐标为 M（m，n） ，由|MA|MB|MC|结合绝对值的性质，求得点 M 的坐标 【解答】解： （1） “圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形， “圆周”上的所有点到点 Q（a，b）的“距离”均为 r， “圆”方程为：|xa|+|yb|r； （2）由已知条件得|x1|+|y3|x6|+|y9|， 若 x1，则 y8.5； 若 1x6，则 x+y9.5； 第 15 页（共 15 页） 若 x6，则 y3.5； 画出图象如图 1 所示； 写出在线段 AB 的“垂直平分线”的轨迹方程，并画出大致图象； 证明：设“外心”坐标为 M（m，n） ，则 由|MA|MC|，得|m1|+|n3|m1|+|n9|，所以点 M 在 y6 上； 又因为|MB|MC|，即|m1|+|n9|m6|+|n9|，所以点 M 在 x上； M（，6） ； ABC 三边的“垂直平分线”交于一点 M，且 M（，6） 【点评】本题考查了新定义的应用问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进 行等价转化，是难题