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2018-2019学年上海市复旦附中高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、过点 P(3,2)且与直线 2x+y+10 的夹角为 arctan的直线的一般式方程 是 11 (4 分)已知实数 a1,b1,a2,b2满足:a1b1+10,a2b2+10,且(a1a2+b1b2) ,其中 a1a2,则以向量(a1,b1)为法向量的直线的倾斜角的 取值范围是 12 (4 分)如图,边长为 4 的正方形 ABCD 中,半径为 1 的动圆 Q 的圆心 Q 在边 CD 和 DA 上移动(包含端点 A,C,D) ,P 是圆 Q 上及其内部的动点,设m(m, nR) ,则 m+n 的取值范围是 第 2 页(共 22 页) 二二.选选择题(本大题共择题(本大题共 4 题,每题题,每题

2、5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)函数 yf(x)的图象如图所示,在区间a,b上可找到 n(n2)个不同的数 x1,x2,xn,使得,则 n 的取值范围是( ) A3,4 B2,3,4 C3,4,5 D2,3 14 (5 分)给出下列命题: 非零向量 , 满足| | |,则 与的夹角为 30; 将函数 y|x1|的图象按向量 (1,0)平移,得到函数 y|x|的图象; 在ABC 中,若()0,则ABC 为等腰三角形; 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 15 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,A(1,0) ,B(1,0) ,C(0,1) ,经过原点的直 线

3、 l 将ABC 分成左、右两部分,记左、右两部分的面积分别为 S1、S2,则取 得最小值时,直线 l 的斜率( ) A等于 1 B等于1 C等于 D不存在 16 (5 分)如图所示,已知 A0(0,0) ,A1(4,0) ,对任何 nN,点 An+2按照如下方式生 成:AnAn+1An+2,|An+1An+2|AnAn+1|,且 An,An+1,An+2按逆时针排列,记点 第 3 页(共 22 页) An的坐标为(an,bn) (nN) ,则(an,)为( ) A () B (3,) C (3,) D () 三三.解答题(本大题共解答题(本大题共 5 题,共题,共 76 分)分) 17(14

4、分) 已知 mR, 直线 l1的方程为 (m+1) x (2m1) y3m, 直线 l2的方程为 (3m+1) x(4m1)y5m+4当 m 变化时, (1)分别求直线 l1和 l2经过的定点坐标; (2)讨论直线 l1和 l2的位置关系 18 (14 分)已知直线 l 过点(1,3) ,且与 x 轴、y 轴都交于正半轴,当直线 l 与坐标轴围 成的三角形面积取得最小值时,求: (1)直线 l 的方程; (2)直线 l 关于直线 m:y2x1 对称的直线方程 19 (14 分) 类似于平面直角坐标系, 我们可以定义平面斜坐标系: 设数轴 x, y 的交点为 O, 与 x,y 轴正方向同向的单位

5、向量分别是,且 与 的夹角为 ,其中 (0,) () 由平面向量基本定理,对于平面内的向量,存在唯一有序实数对(x, y) ,使得,把(x,y)叫做点 P 在斜坐标系 xOy 中的坐标,也叫做向量在 斜坐标系 xOy 中的坐标在平面斜坐标系内,直线的方向向量、法向量、点方向式方程、 一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义,如 45时,方程 表示斜坐标系内一条过点(2,1) ,且方向向量为(4,5)的直线 (1)若, (2,1) , (m,6) ,且 与 的夹角为锐角,求实数 m 的取值范围; (2)若 60,已知点 A(2,1)和直线 l:3xy+20, 求 l 的一个法向量

6、; 第 4 页(共 22 页) 求点 A 到直线 l 的距离 20 (16 分)在平面直角坐标系中,O 为原点,两个点列 A1,A2,A3和 B1,B2,B3, 满足:A1(5,0) ,A2(4,0) ,An+1An+2 nAn+1(nN*) ; B1(1,1) (1,1) (nN*) (1)求点 A3和 B3的坐标; (2)求向量,的坐标; (3)对于正整数 k,用 ak表示无穷数列|中从第 k+1 项开始的各项之和,用 bk表 示无穷数列中从第 k 项开始的各项之和,即 ak|+|+|+, bk+, 若存在正整数 k 和 p,使得 akbkp,求 k,p 的值 21 (18 分)已知点 P

7、 和非零实数 ,若两条不同的直线 l1,l2均过点 P,且斜率之积为 , 则称直线 l1,l2是一组“P共轭线对” ,如直线 l1:y2x 和 l2:y是一组“O1 共轭线对” ,其中 O 是坐标原点 (1)已知 l1、l2是一组“O3共轭线对” ,求 l1,l2的夹角的最小值; (2)已知点 A(0,1) 、点 B(1,0)和点 C(1,0)分别是三条直线 PQ,QR,RP 上的点(A,B,C 与 P,Q,R 均不重合) ,且直线 PR,PQ 是“P1共轭线对” ,直线 QP, QR 是“Q4共轭线对” ,直线 RP,RQ 是“R9共轭线对” ,求点 P 的坐标; (3)已知点 Q(1,)

8、,直线 l1,l2是“Q2共轭线对” ,当 l1的斜率变化时,求 原点 O 到直线 l1、l2的距离之积的取值范围 第 5 页(共 22 页) 第 6 页(共 22 页) 2018-2019 学年上海市复旦附中高二(上)期中数学试卷学年上海市复旦附中高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题(本大题共填空题(本大题共 12 题,满分题,满分 48 分,第分,第 16 题每题题每题 4 分,第分,第 712 题每题题每题 5 分)分) 1 (4 分)直线直线 2x+3y1 的倾斜角是 arctan (用反三角函数表示) 【分析】先求直线 2x+3y10 的斜率,进

9、而转化为倾斜角, 【解答】解:直线 2x+3y10 的斜率为 k,倾斜角为 ,所以 tan, 则 arctan, 故答案为:arctan 【点评】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题,考查计算能力 2 (4 分)若矩阵,B(1 2 1) ,则 AB 【分析】根据矩阵的乘法运算法则,计算积矩阵中的每一项即可 【解答】解:矩阵,B(1 2 1) , 则 AB 故答案为: 【点评】本题考查了矩阵的乘法运算问题,是基础题 3 (4 分)行列式的元素3 的代数余子式的值为 7,则 k 3 【分析】根据余子式的定义可知,M12,求出其表达式列出关于 x 的方程解之 即可 【解答】解:由题意得 M12(4k

10、)7, 解得:k3 故答案为:3 第 7 页(共 22 页) 【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义,会进行行列式的运算,是一道 基础题 4 (4 分)已知是增广矩阵为的二元一次方程组的解,则 m+t 10 【分析】方法一:首先根据二元一次方程组的增广矩阵,写出二元线性方程组的表达式, 然后根据方程求解 m,t 即可; 方法二:根据线性方程组增广矩阵的变换可得线性方程组的解,即可求出 m,t 的值 【解答】解:方法一:是增广矩阵为的二元一次方程组的解, 则,解得 m8,t2, 则 m+t10, 方法二:A,设分别矩阵 A 的第 1、2 行,对矩阵 A 进行下列变换, , 由最后一个矩

11、阵可得, m8,t2, m+t10 故答案为:10 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式,计算量小,属于基础题,解答的 关键是理解二元线性方程组的增广矩阵的含义,并由此写出二元线性方程组的表达式 5 (4 分)直线 l:y的一个单位方向向量是 【分析】取直线的方向向量: (1,) 利用该直线的单位方向向量 即可 得出 【解答】解:取直线的方向向量: (1,) 该直线的单位方向向量 (,) , 故答案为:(,) 【点评】本题考查了直线的方向向量、单位向量,考查了推理能力与计算能力,属于基 第 8 页(共 22 页) 础题 6 (4 分)已知直线 l1:kx+(1k)y30,l2: (k

12、1)x+(2k+3)y20,若 l1l2, 则 k 1 或3 【分析】利用 l1l2,得出 k (k1)+(1k) (2k+3)0,求出 k 的值即可 【解答】解:因为 l1l2,所以 k (k1)+(1k) (2k+3)0, 解得 k1 或 k3 故答案为:1 或3 【点评】本题考查直线的垂直条件的应用,考查计算能力 7 (4 分)已知点 P 在直线上,且点 P 到 A(2,5) 、B(4,3)两点的距离相 等,则点 P 的坐标是 (1,2) 【分析】由二项展开式性质得点 P 在直线 4x+y60,设 P(a,4a+6) ,由点 P 到 A (2,5) 、B(4,3)两点的距离相等,能求出点

13、 P 的坐标 【解答】解:点 P 在直线上, 点 P 在直线 4x+y60, 设 P(a,4a+6) , 点 P 到 A(2,5) 、B(4,3)两点的距离相等, , 解得 a1, 点 P 的坐标是(1,2) 故答案为: (1,2) 【点评】本题考查点的坐标的求法,考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知 识,考查运算求解能力,是基础题 8 (4 分)若2,则实数 t 的取值范围是 2,2) 【分析】利用数列的极限的运算法则,转化求解即可 【解答】解:当|t|2 时,2, 第 9 页(共 22 页) 可得2,可得 t2 当|t|2 时, 2,可得:2, 综上可得:实数 t 的取值范围是:2

14、,2) 故答案为:2,2) 【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,考查计算能力 9 (4 分)已知 aR,则“a”是“两直线 l1:x+2ay10 与 l2: (3a1)xay1 0 平行”的 充分非必要 条件(填“充分非必要” 、 “必要非充分” 、 “充要” 、 “既不充分 也不必要” ) 【分析】由两直线 l1:x+2ay10 与 l2: (3a1)xay10 平行列式求得 a 值,再 由充分必要条件的判定得答案 【解答】解:由两直线 l1:x+2ay10 与 l2: (3a1)xay10 平行, 可得,即 a0 或 a “a”是“两直线 l1:x+2ay10 与 l2: (3a1

15、)xay10 平行”的充分非必 要条件 故答案为:充分非必要 【点评】本题考查充分必要条件的判定,考查两直线平行与系数的关系,是基础题 10 (4 分)过点 P(3,2)且与直线 2x+y+10 的夹角为 arctan的直线的一般式方程是 x30 或 3x+4y10 【分析】由题意,设夹角为为 ,可得 tan,利用夹角公式求解 k 可得方程; 【解答】解:由题意,设夹角为为 ,可得 tan 当 k 存在时,设过点 P(3,2)直线斜率为 k,直线 2x+y+10 的斜率为 第 10 页(共 22 页) 由 tan|, 解得:k; 当 k 不存在时,x3此时两直线夹角 tan, 所求的直线方程为

16、:x30 或 3x+4y10; 故答案为:x30 或 3x+4y10; 【点评】本题主要考查直线方程的求解,结合直线夹角公式利用待定系数法是解决本题 的关键 11 (4 分)已知实数 a1,b1,a2,b2满足:a1b1+10,a2b2+10,且(a1a2+b1b2) ,其中 a1a2,则以向量(a1,b1)为法向量的直线的倾斜角的 取值范围是 0,)(,) 【分析】由已知可得,向量(a1,b1)的终点在直线 xy+10 上,向量(a2, b2)的终点在直线 xy+10 上,把已知等式变形求得的夹角为,再由 a1 a2可得 A 的位置,数形结合可得以向量(a1,b1)为法向量的直线的倾斜角的取

17、值范围 【解答】解:向量(a1,b1)的终点在直线 xy+10 上,向量(a2,b2)的 终点在直线 xy+10 上, 由(a1a2+b1b2),得, 即向量与向量的夹角为, 又 a1a2,可得点 A 在曲线 xy+10(x1)上, 如图, 第 11 页(共 22 页) 则 OA 所在直线的斜率为(,0)(1,+) , 以向量(a1,b1)为法向量的直线的斜率为(0,+)(1,0) , 倾斜角的范围为(0,)(,) , 当 A 为(0,1)时,以向量(a1,b1)为法向量的直线的倾斜角为 0 以向量(a1,b1)为法向量的直线的倾斜角的范围为0,)(,) , 故答案为:0,)(,) 【点评】本

18、题考查由数量积求向量的夹角,考查数形结合的解题思想方法,是中档题 12 (4 分)如图,边长为 4 的正方形 ABCD 中,半径为 1 的动圆 Q 的圆心 Q 在边 CD 和 DA 上移动(包含端点 A,C,D) ,P 是圆 Q 上及其内部的动点,设m(m, nR) ,则 m+n 的取值范围是 1,2+ 【分析】建立如图所示平面直角坐标系,可得(0,4) ,( 4,0) , ( 4m, 4n) 由图可知, 当动圆Q的圆心经过点D时, P ( 4+, 4+) 此时 m+n 取得最大值:4m+4n8+,可得 m+n2+当动圆 Q 的圆心为 点 C 或点 A 时,利用三角函数求 m+n 的最小值 【

19、解答】解:如图所示,边长为 4 的长方形 ABCD 中,动圆 Q 的半径为 1,圆心 Q 在边 CD 和 DA 上移动(包含端点 A,C,D) ,P 是圆 Q 上及内部的动点, 第 12 页(共 22 页) 向量m(m,n 为实数) , (0,4) ,( 4,0) ,可得( 4m,4n) 当动圆 Q 的圆心经过点 D 时,如图:P( 4+,4+) 此时 m+n 取得最大值:4m+4n8+,可得 m+n2+ 当动圆 Q 的圆心为点 C 时, BP 与C 相切且点 P 在 x 轴的下方时, (4+cos, sin) , 此时,4m+4n4sin(+) , m+n 取得最小值为:1,此时 P( 4,

20、) 同理可得,当动圆 Q 的圆心为点 A 时,BP 与A 相切且点 P 在 y 轴的左方时, m+n 取得最小值为:1,此时 P(,4) 则 m+n 的取值范围为1,2+ 故答案为:1,2+ 【点评】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系,考查了分类讨论思想方法, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题 二二.选择题(本大题共选择题(本大题共 4 题,每题题,每题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)函数 yf(x)的图象如图所示,在区间a,b上可找到 n(n2)个不同的数 x1,x2,xn,使得,则 n 的取值范围是( ) 第 13 页(共 22 页) A3,4 B2,3,4

21、 C3,4,5 D2,3 【分析】由表示(x,f(x) )点与原点连线的斜率,结合函数 yf(x)的图象,数 形结合分析可得答案 【解答】解:令 yf(x) ,ykx, 作直线 ykx,可以得出 2,3,4 个交点, 故 k(x0)可分别有 2,3,4 个解 故 n 的取值范围为 2,3,4 故选:B 【点评】本题考查的知识点是斜率公式,正确理解表示(x,f(x) )点与原点连线 的斜率是解答的关键 14 (5 分)给出下列命题: 非零向量 , 满足| | |,则 与的夹角为 30; 将函数 y|x1|的图象按向量 (1,0)平移,得到函数 y|x|的图象; 在ABC 中,若()0,则ABC

22、为等腰三角形; 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【分析】由加法的平行四边形法则可知为菱形,又菱形对角线平分对角可得结论; 根据图象平移的口诀左加右减,得到的是函数 y|x2|的图象; 由加法的平行四边形法则可知为菱形,可得结论 【解答】解:| | |,所对应的平行四边形是菱形, 与的夹角 为 30; 将函数 y|x1|的图象按向量 (1,0)平移,得到函数 y|x2|的图象; 第 14 页(共 22 页) 在ABC 中,若()0,则以 AB、AC 为邻边所作的平行四边形是菱形, ABC 为等腰三角形; 故选:C 【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了向量的基本运算,图象

23、的平移,难度不 大,属于基础题 15 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,A(1,0) ,B(1,0) ,C(0,1) ,经过原点的直 线 l 将ABC 分成左、右两部分,记左、右两部分的面积分别为 S1、S2,则取 得最小值时,直线 l 的斜率( ) A等于 1 B等于1 C等于 D不存在 【分析】分别计算 k1,k1,k,和 k 不存在时,原式的值,比较大小可知选 D 【解答】解:当 k1 时,l:yx,此时 S2SABC,S1, 当 k1 时,l:yx,此时,S1,S2, 当 k时,l:yx,此时,S2,S1, 当 k 不存在时,l:x0,此时,S1S2,3, 比较可知,当 k 不存

24、在时,原式值最小 故选:D 【点评】本题考查了正弦定理属中档题 16 (5 分)如图所示,已知 A0(0,0) ,A1(4,0) ,对任何 nN,点 An+2按照如下方式生 成:AnAn+1An+2,|An+1An+2|AnAn+1|,且 An,An+1,An+2按逆时针排列,记点 An的坐标为(an,bn) (nN) ,则(an,)为( ) 第 15 页(共 22 页) A () B (3,) C (3,) D () 【分析】依题意,取出 A1,A4,A7,A3n+1分析,发现|A3n2A3n 1|,利用累加法可以求出 a3n+1,又因为 n时,进而得到 ,同理,可得 【解答】解:设 c1|

25、A1A2|,cn|AnAn+1| 依题意,即 , 所以4 同理:,即 , 综上(an,)为() , 故选:A 【点评】本题考查了数列的通项公式的求法(累加法) ,等比数列的前 n 项和,数列极限 等知识,属于难题 三三.解答题(本大题共解答题(本大题共 5 题,共题,共 76 分)分) 17(14 分) 已知 mR, 直线 l1的方程为 (m+1) x (2m1) y3m, 直线 l2的方程为 (3m+1) x(4m1)y5m+4当 m 变化时, (1)分别求直线 l1和 l2经过的定点坐标; (2)讨论直线 l1和 l2的位置关系 第 16 页(共 22 页) 【分析】 (1)将直线 l1的

26、方程改写为 m(x2y3)+(x+y)0,令,求 解 x,y 的值,可得答案;同理,直线 l2一样求法; (2)联立方程,得求解交点 D,讨论即可; 【解答】解: (1)将直线 l1的方程改写为 m(x2y3)+(x+y)0, 令得直线 l1的过定点(1,1) ; 同理,直线 l2经过定点(3,1) ; (2)联立方程,得 D2m(m2) ,Dx2(m1) (m2) ,Dy2(2m+1) (m2) 当 m0 和 2 时,D0,两直线相交; 当 m0 时,D0,Dx0,两直线平行; 当 m2 时,DxDy0,两直线重合 【点评】本题主要考查两条直线平行、垂直、相交的判定方法,属于基础题 18 (

27、14 分)已知直线 l 过点(1,3) ,且与 x 轴、y 轴都交于正半轴,当直线 l 与坐标轴围 成的三角形面积取得最小值时,求: (1)直线 l 的方程; (2)直线 l 关于直线 m:y2x1 对称的直线方程 【分析】 (1)利用斜率设出直线方程,求出与 x 轴、y 轴的交点坐标,计算三角形的面积, 求出最小值以及对应的斜率 k,写出直线方程; (2)显然所求直线的斜率存在,利用对称关系列方程求出斜率和交点坐标,再写出所求 的直线方程 【解答】解: (1)由已知,直线 l 的斜率存在,且小于 0, 设直线 y3k(x1) ,其中 k0; 与 x 轴交于点(1,0) ,与 y 轴交于点(0

28、,3k) , 故 S(1) (3k)6+(k)+6,等号成立的条件是 k3, 相应地,l:3x+y60; (2)显然所求直线的斜率存在,设为 k, 第 17 页(共 22 页) 则|,解得 k; 又由,求得 l 与 m 的交点为(,) , 该点也在所求直线上, 故所求直线为 x3y+40 【点评】本题考查了直线方程应用问题,也考查了直线关于直线对称的应用问题,是中 档题 19 (14 分) 类似于平面直角坐标系, 我们可以定义平面斜坐标系: 设数轴 x, y 的交点为 O, 与 x,y 轴正方向同向的单位向量分别是,且 与 的夹角为 ,其中 (0,) () 由平面向量基本定理,对于平面内的向量

29、,存在唯一有序实数对(x, y) ,使得,把(x,y)叫做点 P 在斜坐标系 xOy 中的坐标,也叫做向量在 斜坐标系 xOy 中的坐标在平面斜坐标系内,直线的方向向量、法向量、点方向式方程、 一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义,如 45时,方程 表示斜坐标系内一条过点(2,1) ,且方向向量为(4,5)的直线 (1)若, (2,1) , (m,6) ,且 与 的夹角为锐角,求实数 m 的取值范围; (2)若 60,已知点 A(2,1)和直线 l:3xy+20, 求 l 的一个法向量; 求点 A 到直线 l 的距离 【分析】 (1) 根据条件, 根据夹角为锐角, 得出,

30、从而得出.同向时,可得到存在 t,使得,从而求出 m 12,这样即可得出实数 m 的取值范围; (2)先把直线 l 的方程写成,从而得出直线 l 的方向向量为, 可设法向量为,可由即可得到 5a+7b0,从而可取 a7,b5, 从而得出 l 的一个法向量为; 可取直线 l 上一点 B(0,2) ,从而得到,从而得出点 A 到直线 l 的距离 第 18 页(共 22 页) 为 【解答】解: (1)由已知,且 ; ; 若 和 同向,则存在正数 t,使得; 由 和 不平行得,得 m12; 实数 m 的取值范围为; (2)直线 l 的方程可变形为:,直线 l 的方向向量为; 设法向量为,由得,; 令

31、a7,则 b5,; 取 直 线l上 一 点B ( 0 , 2 ), 则, 所 求 为 【点评】考查对斜坐标系的理解,共线向量基本定理,以及平面向量基本定理,点到直 线距离求法,直线的方向向量和法向量的概念 20 (16 分)在平面直角坐标系中,O 为原点,两个点列 A1,A2,A3和 B1,B2,B3, 满足:A1(5,0) ,A2(4,0) ,An+1An+2 nAn+1(nN*) ; B1(1,1) (1,1) (nN*) (1)求点 A3和 B3的坐标; (2)求向量,的坐标; (3)对于正整数 k,用 ak表示无穷数列|中从第 k+1 项开始的各项之和,用 bk表 示无穷数列中从第 k

32、 项开始的各项之和,即 ak|+|+|+, 第 19 页(共 22 页) bk+, 若存在正整数 k 和 p,使得 akbkp,求 k,p 的值 【分析】 (1)求出(,0) ,从而+(,0)(, 0) ,(1,1) ,由此能求出点 A3和 B3的坐标 (2)由 AnAn+1()n 1A 1A2( )n 1,0) ,得到 OA1+A1A2+A2A3+An 1An,由此能求出向量,的坐标 (3)由|5()n 1,得 25()k,从而 25()k 2kp,由此能求出结果 【解答】解: (1)在平面直角坐标系中,O 为原点,两个点列 A1,A2,A3和 B1,B2, B3,满足: A1(5,0) ,

33、A2(4,0) ,An+1An+2 nAn+1(nN*) ; B1(1,1)(1,1) (nN*) (,0) , +(,0)(,0) ,即 A3(,0) , (1,1) , 故+2(1,1)(3,3) , B3(3,3) (2)由已知,AnAn+1()n 1A 1A2( )n 1,0) , 故OA1+A1A2+A2A3+An1An (5,0)(1+()2+()n 2,0) (5()n 1,0) , +(n,n) 第 20 页(共 22 页) (3)|5()n 1, , 故25()k, 由已知,25()k2kp, 左边为正整数,k1 或 2, 当 k1 时,2p20,得 p10; 当 k2 时,

34、4p16,解得 p4 【点评】本题考查点的坐标、向量的坐标、实数值的求法,考查向量运算法则等基础知 识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题 21 (18 分)已知点 P 和非零实数 ,若两条不同的直线 l1,l2均过点 P,且斜率之积为 , 则称直线 l1,l2是一组“P共轭线对” ,如直线 l1:y2x 和 l2:y是一组“O1 共轭线对” ,其中 O 是坐标原点 (1)已知 l1、l2是一组“O3共轭线对” ,求 l1,l2的夹角的最小值; (2)已知点 A(0,1) 、点 B(1,0)和点 C(1,0)分别是三条直线 PQ,QR,RP 上的点(A,B,C 与 P,Q,R 均不

35、重合) ,且直线 PR,PQ 是“P1共轭线对” ,直线 QP, QR 是“Q4共轭线对” ,直线 RP,RQ 是“R9共轭线对” ,求点 P 的坐标; (3)已知点 Q(1,) ,直线 l1,l2是“Q2共轭线对” ,当 l1的斜率变化时,求 原点 O 到直线 l1、l2的距离之积的取值范围 【分析】 (1)设 l1的斜率为 k,则 l2的斜率为,两直线的夹角为 ,利用夹角公式及 基本不等式求最值,即可得到 l1,l2的夹角的最小值; 第 21 页(共 22 页) (2)设直线 PR,PQ,QR 的斜率分别为 k1,k2,k3,可得,求解可得 k1,k2, k3的值,进一步得到直线 PR 与

36、直线 PQ 的方程,联立得 P 的坐标; (3)设 l1:,l2:,其中 k0,利用两点间的距离公 式可得原点 O 到直线 l1,l2的距离,变形后利用基本不等式求解 【解答】解: (1)设 l1的斜率为 k,则 l2的斜率为,两直线的夹角为 , 则 tan|, 等号成立的条件是 k, l1,l2的夹角的最小值为; (2)设直线 PR,PQ,QR 的斜率分别为 k1,k2,k3, 则,得或 当时,直线 PR 的方程为 y,直线 PQ 的方程为 y ,联立得 P(3,3) ; 当时, 直线 PR 的方程为 y, 直线 PQ 的方程为 y,联立得 P() 故所求为 P(3,3)或 P() ; (3)设 l1:,l2:,其中 k0, 故 第 22 页(共 22 页) 由于(等号成立的条件是 k22) , 故0,1) ,d1d20,) 【点评】本题考查两直线夹角与到角公式的应用,考查点到直线距离公式的运用,训练 了利用基本不等式求最值,是中档题