1、过点 P（3，2）且与直线 2x+y+10 的夹角为 arctan的直线的一般式方程 是 11 （4 分）已知实数 a1，b1，a2，b2满足：a1b1+10，a2b2+10，且（a1a2+b1b2） ，其中 a1a2，则以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角的 取值范围是 12 （4 分）如图，边长为 4 的正方形 ABCD 中，半径为 1 的动圆 Q 的圆心 Q 在边 CD 和 DA 上移动（包含端点 A，C，D） ，P 是圆 Q 上及其内部的动点，设m（m， nR） ，则 m+n 的取值范围是 第 2 页（共 22 页） 二二.选选择题（本大题共择题（本大题共 4 题，每题题，每题
2、5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）函数 yf（x）的图象如图所示，在区间a，b上可找到 n（n2）个不同的数 x1，x2，xn，使得，则 n 的取值范围是（ ） A3，4 B2，3，4 C3，4，5 D2，3 14 （5 分）给出下列命题： 非零向量 ， 满足| | |，则 与的夹角为 30； 将函数 y|x1|的图象按向量 （1，0）平移，得到函数 y|x|的图象； 在ABC 中，若（）0，则ABC 为等腰三角形； 其中正确命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A（1，0） ，B（1，0） ，C（0，1） ，经过原点的直 线
3、 l 将ABC 分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为 S1、S2，则取 得最小值时，直线 l 的斜率（ ） A等于 1 B等于1 C等于 D不存在 16 （5 分）如图所示，已知 A0（0，0） ，A1（4，0） ，对任何 nN，点 An+2按照如下方式生 成：AnAn+1An+2，|An+1An+2|AnAn+1|，且 An，An+1，An+2按逆时针排列，记点 第 3 页（共 22 页） An的坐标为（an，bn） （nN） ，则（an，）为（ ） A （） B （3，） C （3，） D （） 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 76 分）分） 17（14
4、分） 已知 mR， 直线 l1的方程为 （m+1） x （2m1） y3m， 直线 l2的方程为 （3m+1） x（4m1）y5m+4当 m 变化时， （1）分别求直线 l1和 l2经过的定点坐标； （2）讨论直线 l1和 l2的位置关系 18 （14 分）已知直线 l 过点（1，3） ，且与 x 轴、y 轴都交于正半轴，当直线 l 与坐标轴围 成的三角形面积取得最小值时，求： （1）直线 l 的方程； （2）直线 l 关于直线 m：y2x1 对称的直线方程 19 （14 分） 类似于平面直角坐标系， 我们可以定义平面斜坐标系： 设数轴 x， y 的交点为 O， 与 x，y 轴正方向同向的单位
5、向量分别是，且 与 的夹角为 ，其中 （0，） （） 由平面向量基本定理，对于平面内的向量，存在唯一有序实数对（x， y） ，使得，把（x，y）叫做点 P 在斜坐标系 xOy 中的坐标，也叫做向量在 斜坐标系 xOy 中的坐标在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、 一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如 45时，方程 表示斜坐标系内一条过点（2，1） ，且方向向量为（4，5）的直线 （1）若， （2，1） ， （m，6） ，且 与 的夹角为锐角，求实数 m 的取值范围； （2）若 60，已知点 A（2，1）和直线 l：3xy+20， 求 l 的一个法向量
6、； 第 4 页（共 22 页） 求点 A 到直线 l 的距离 20 （16 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，两个点列 A1，A2，A3和 B1，B2，B3， 满足：A1（5，0） ，A2（4，0） ，An+1An+2 nAn+1（nN*） ； B1（1，1） （1，1） （nN*） （1）求点 A3和 B3的坐标； （2）求向量，的坐标； （3）对于正整数 k，用 ak表示无穷数列|中从第 k+1 项开始的各项之和，用 bk表 示无穷数列中从第 k 项开始的各项之和，即 ak|+|+|+， bk+， 若存在正整数 k 和 p，使得 akbkp，求 k，p 的值 21 （18 分）已知点 P
7、 和非零实数 ，若两条不同的直线 l1，l2均过点 P，且斜率之积为 ， 则称直线 l1，l2是一组“P共轭线对” ，如直线 l1：y2x 和 l2：y是一组“O1 共轭线对” ，其中 O 是坐标原点 （1）已知 l1、l2是一组“O3共轭线对” ，求 l1，l2的夹角的最小值； （2）已知点 A（0，1） 、点 B（1，0）和点 C（1，0）分别是三条直线 PQ，QR，RP 上的点（A，B，C 与 P，Q，R 均不重合） ，且直线 PR，PQ 是“P1共轭线对” ，直线 QP， QR 是“Q4共轭线对” ，直线 RP，RQ 是“R9共轭线对” ，求点 P 的坐标； （3）已知点 Q（1，）
8、，直线 l1，l2是“Q2共轭线对” ，当 l1的斜率变化时，求 原点 O 到直线 l1、l2的距离之积的取值范围 第 5 页（共 22 页） 第 6 页（共 22 页） 2018-2019 学年上海市复旦附中高二（上）期中数学试卷学年上海市复旦附中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，满分题，满分 48 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 1 （4 分）直线直线 2x+3y1 的倾斜角是 arctan （用反三角函数表示） 【分析】先求直线 2x+3y10 的斜率，进
9、而转化为倾斜角， 【解答】解：直线 2x+3y10 的斜率为 k，倾斜角为 ，所以 tan， 则 arctan， 故答案为：arctan 【点评】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题，考查计算能力 2 （4 分）若矩阵，B（1 2 1） ，则 AB 【分析】根据矩阵的乘法运算法则，计算积矩阵中的每一项即可 【解答】解：矩阵，B（1 2 1） ， 则 AB 故答案为： 【点评】本题考查了矩阵的乘法运算问题，是基础题 3 （4 分）行列式的元素3 的代数余子式的值为 7，则 k 3 【分析】根据余子式的定义可知，M12，求出其表达式列出关于 x 的方程解之 即可 【解答】解：由题意得 M12（4k
10、）7， 解得：k3 故答案为：3 第 7 页（共 22 页） 【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道 基础题 4 （4 分）已知是增广矩阵为的二元一次方程组的解，则 m+t 10 【分析】方法一：首先根据二元一次方程组的增广矩阵，写出二元线性方程组的表达式， 然后根据方程求解 m，t 即可； 方法二：根据线性方程组增广矩阵的变换可得线性方程组的解，即可求出 m，t 的值 【解答】解：方法一：是增广矩阵为的二元一次方程组的解， 则，解得 m8，t2， 则 m+t10， 方法二：A，设分别矩阵 A 的第 1、2 行，对矩阵 A 进行下列变换， ， 由最后一个矩
11、阵可得， m8，t2， m+t10 故答案为：10 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，计算量小，属于基础题，解答的 关键是理解二元线性方程组的增广矩阵的含义，并由此写出二元线性方程组的表达式 5 （4 分）直线 l：y的一个单位方向向量是 【分析】取直线的方向向量： （1，） 利用该直线的单位方向向量 即可 得出 【解答】解：取直线的方向向量： （1，） 该直线的单位方向向量 （，） ， 故答案为：（，） 【点评】本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基 第 8 页（共 22 页） 础题 6 （4 分）已知直线 l1：kx+（1k）y30，l2： （k
12、1）x+（2k+3）y20，若 l1l2， 则 k 1 或3 【分析】利用 l1l2，得出 k （k1）+（1k） （2k+3）0，求出 k 的值即可 【解答】解：因为 l1l2，所以 k （k1）+（1k） （2k+3）0， 解得 k1 或 k3 故答案为：1 或3 【点评】本题考查直线的垂直条件的应用，考查计算能力 7 （4 分）已知点 P 在直线上，且点 P 到 A（2，5） 、B（4，3）两点的距离相 等，则点 P 的坐标是 （1，2） 【分析】由二项展开式性质得点 P 在直线 4x+y60，设 P（a，4a+6） ，由点 P 到 A （2，5） 、B（4，3）两点的距离相等，能求出点
13、 P 的坐标 【解答】解：点 P 在直线上， 点 P 在直线 4x+y60， 设 P（a，4a+6） ， 点 P 到 A（2，5） 、B（4，3）两点的距离相等， ， 解得 a1， 点 P 的坐标是（1，2） 故答案为： （1，2） 【点评】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 8 （4 分）若2，则实数 t 的取值范围是 2，2） 【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解即可 【解答】解：当|t|2 时，2， 第 9 页（共 22 页） 可得2，可得 t2 当|t|2 时， 2，可得：2， 综上可得：实数 t 的取值范围是：2
14、，2） 故答案为：2，2） 【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力 9 （4 分）已知 aR，则“a”是“两直线 l1：x+2ay10 与 l2： （3a1）xay1 0 平行”的 充分非必要 条件（填“充分非必要” 、 “必要非充分” 、 “充要” 、 “既不充分 也不必要” ） 【分析】由两直线 l1：x+2ay10 与 l2： （3a1）xay10 平行列式求得 a 值，再 由充分必要条件的判定得答案 【解答】解：由两直线 l1：x+2ay10 与 l2： （3a1）xay10 平行， 可得，即 a0 或 a “a”是“两直线 l1：x+2ay10 与 l2： （3a1
15、）xay10 平行”的充分非必 要条件 故答案为：充分非必要 【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查两直线平行与系数的关系，是基础题 10 （4 分）过点 P（3，2）且与直线 2x+y+10 的夹角为 arctan的直线的一般式方程是 x30 或 3x+4y10 【分析】由题意，设夹角为为 ，可得 tan，利用夹角公式求解 k 可得方程； 【解答】解：由题意，设夹角为为 ，可得 tan 当 k 存在时，设过点 P（3，2）直线斜率为 k，直线 2x+y+10 的斜率为 第 10 页（共 22 页） 由 tan|， 解得：k； 当 k 不存在时，x3此时两直线夹角 tan， 所求的直线方程为
16、：x30 或 3x+4y10； 故答案为：x30 或 3x+4y10； 【点评】本题主要考查直线方程的求解，结合直线夹角公式利用待定系数法是解决本题 的关键 11 （4 分）已知实数 a1，b1，a2，b2满足：a1b1+10，a2b2+10，且（a1a2+b1b2） ，其中 a1a2，则以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角的 取值范围是 0，）（，） 【分析】由已知可得，向量（a1，b1）的终点在直线 xy+10 上，向量（a2， b2）的终点在直线 xy+10 上，把已知等式变形求得的夹角为，再由 a1 a2可得 A 的位置，数形结合可得以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角的取
17、值范围 【解答】解：向量（a1，b1）的终点在直线 xy+10 上，向量（a2，b2）的 终点在直线 xy+10 上， 由（a1a2+b1b2），得， 即向量与向量的夹角为， 又 a1a2，可得点 A 在曲线 xy+10（x1）上， 如图， 第 11 页（共 22 页） 则 OA 所在直线的斜率为（，0）（1，+） ， 以向量（a1，b1）为法向量的直线的斜率为（0，+）（1，0） ， 倾斜角的范围为（0，）（，） ， 当 A 为（0，1）时，以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角为 0 以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角的范围为0，）（，） ， 故答案为：0，）（，） 【点评】本
18、题考查由数量积求向量的夹角，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 12 （4 分）如图，边长为 4 的正方形 ABCD 中，半径为 1 的动圆 Q 的圆心 Q 在边 CD 和 DA 上移动（包含端点 A，C，D） ，P 是圆 Q 上及其内部的动点，设m（m， nR） ，则 m+n 的取值范围是 1，2+ 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得（0，4） ，（ 4，0） ， （ 4m， 4n） 由图可知， 当动圆Q的圆心经过点D时， P （ 4+， 4+） 此时 m+n 取得最大值：4m+4n8+，可得 m+n2+当动圆 Q 的圆心为 点 C 或点 A 时，利用三角函数求 m+n 的最小值 【
19、解答】解：如图所示，边长为 4 的长方形 ABCD 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心 Q 在边 CD 和 DA 上移动（包含端点 A，C，D） ，P 是圆 Q 上及内部的动点， 第 12 页（共 22 页） 向量m（m，n 为实数） ， （0，4） ，（ 4，0） ，可得（ 4m，4n） 当动圆 Q 的圆心经过点 D 时，如图：P（ 4+，4+） 此时 m+n 取得最大值：4m+4n8+，可得 m+n2+ 当动圆 Q 的圆心为点 C 时， BP 与C 相切且点 P 在 x 轴的下方时， （4+cos， sin） ， 此时，4m+4n4sin（+） ， m+n 取得最小值为：1，此时 P（ 4，
20、） 同理可得，当动圆 Q 的圆心为点 A 时，BP 与A 相切且点 P 在 y 轴的左方时， m+n 取得最小值为：1，此时 P（，4） 则 m+n 的取值范围为1，2+ 故答案为：1，2+ 【点评】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）函数 yf（x）的图象如图所示，在区间a，b上可找到 n（n2）个不同的数 x1，x2，xn，使得，则 n 的取值范围是（ ） 第 13 页（共 22 页） A3，4 B2，3，4
21、 C3，4，5 D2，3 【分析】由表示（x，f（x） ）点与原点连线的斜率，结合函数 yf（x）的图象，数 形结合分析可得答案 【解答】解：令 yf（x） ，ykx， 作直线 ykx，可以得出 2，3，4 个交点， 故 k（x0）可分别有 2，3，4 个解 故 n 的取值范围为 2，3，4 故选：B 【点评】本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x） ）点与原点连线 的斜率是解答的关键 14 （5 分）给出下列命题： 非零向量 ， 满足| | |，则 与的夹角为 30； 将函数 y|x1|的图象按向量 （1，0）平移，得到函数 y|x|的图象； 在ABC 中，若（）0，则ABC
22、为等腰三角形； 其中正确命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】由加法的平行四边形法则可知为菱形，又菱形对角线平分对角可得结论； 根据图象平移的口诀左加右减，得到的是函数 y|x2|的图象； 由加法的平行四边形法则可知为菱形，可得结论 【解答】解：| | |，所对应的平行四边形是菱形， 与的夹角 为 30； 将函数 y|x1|的图象按向量 （1，0）平移，得到函数 y|x2|的图象； 第 14 页（共 22 页） 在ABC 中，若（）0，则以 AB、AC 为邻边所作的平行四边形是菱形， ABC 为等腰三角形； 故选：C 【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了向量的基本运算，图象
23、的平移，难度不 大，属于基础题 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A（1，0） ，B（1，0） ，C（0，1） ，经过原点的直 线 l 将ABC 分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为 S1、S2，则取 得最小值时，直线 l 的斜率（ ） A等于 1 B等于1 C等于 D不存在 【分析】分别计算 k1，k1，k，和 k 不存在时，原式的值，比较大小可知选 D 【解答】解：当 k1 时，l：yx，此时 S2SABC，S1， 当 k1 时，l：yx，此时，S1，S2， 当 k时，l：yx，此时，S2，S1， 当 k 不存在时，l：x0，此时，S1S2，3， 比较可知，当 k 不存
24、在时，原式值最小 故选：D 【点评】本题考查了正弦定理属中档题 16 （5 分）如图所示，已知 A0（0，0） ，A1（4，0） ，对任何 nN，点 An+2按照如下方式生 成：AnAn+1An+2，|An+1An+2|AnAn+1|，且 An，An+1，An+2按逆时针排列，记点 An的坐标为（an，bn） （nN） ，则（an，）为（ ） 第 15 页（共 22 页） A （） B （3，） C （3，） D （） 【分析】依题意，取出 A1，A4，A7，A3n+1分析，发现|A3n2A3n 1|，利用累加法可以求出 a3n+1，又因为 n时，进而得到 ，同理，可得 【解答】解：设 c1|
25、A1A2|，cn|AnAn+1| 依题意，即 ， 所以4 同理：，即 ， 综上（an，）为（） ， 故选：A 【点评】本题考查了数列的通项公式的求法（累加法） ，等比数列的前 n 项和，数列极限 等知识，属于难题 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 76 分）分） 17（14 分） 已知 mR， 直线 l1的方程为 （m+1） x （2m1） y3m， 直线 l2的方程为 （3m+1） x（4m1）y5m+4当 m 变化时， （1）分别求直线 l1和 l2经过的定点坐标； （2）讨论直线 l1和 l2的位置关系 第 16 页（共 22 页） 【分析】 （1）将直线 l1的
26、方程改写为 m（x2y3）+（x+y）0，令，求 解 x，y 的值，可得答案；同理，直线 l2一样求法； （2）联立方程，得求解交点 D，讨论即可； 【解答】解： （1）将直线 l1的方程改写为 m（x2y3）+（x+y）0， 令得直线 l1的过定点（1，1） ； 同理，直线 l2经过定点（3，1） ； （2）联立方程，得 D2m（m2） ，Dx2（m1） （m2） ，Dy2（2m+1） （m2） 当 m0 和 2 时，D0，两直线相交； 当 m0 时，D0，Dx0，两直线平行； 当 m2 时，DxDy0，两直线重合 【点评】本题主要考查两条直线平行、垂直、相交的判定方法，属于基础题 18 （
27、14 分）已知直线 l 过点（1，3） ，且与 x 轴、y 轴都交于正半轴，当直线 l 与坐标轴围 成的三角形面积取得最小值时，求： （1）直线 l 的方程； （2）直线 l 关于直线 m：y2x1 对称的直线方程 【分析】 （1）利用斜率设出直线方程，求出与 x 轴、y 轴的交点坐标，计算三角形的面积， 求出最小值以及对应的斜率 k，写出直线方程； （2）显然所求直线的斜率存在，利用对称关系列方程求出斜率和交点坐标，再写出所求 的直线方程 【解答】解： （1）由已知，直线 l 的斜率存在，且小于 0， 设直线 y3k（x1） ，其中 k0； 与 x 轴交于点（1，0） ，与 y 轴交于点（0
28、，3k） ， 故 S（1） （3k）6+（k）+6，等号成立的条件是 k3， 相应地，l：3x+y60； （2）显然所求直线的斜率存在，设为 k， 第 17 页（共 22 页） 则|，解得 k； 又由，求得 l 与 m 的交点为（，） ， 该点也在所求直线上， 故所求直线为 x3y+40 【点评】本题考查了直线方程应用问题，也考查了直线关于直线对称的应用问题，是中 档题 19 （14 分） 类似于平面直角坐标系， 我们可以定义平面斜坐标系： 设数轴 x， y 的交点为 O， 与 x，y 轴正方向同向的单位向量分别是，且 与 的夹角为 ，其中 （0，） （） 由平面向量基本定理，对于平面内的向量
29、，存在唯一有序实数对（x， y） ，使得，把（x，y）叫做点 P 在斜坐标系 xOy 中的坐标，也叫做向量在 斜坐标系 xOy 中的坐标在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、 一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如 45时，方程 表示斜坐标系内一条过点（2，1） ，且方向向量为（4，5）的直线 （1）若， （2，1） ， （m，6） ，且 与 的夹角为锐角，求实数 m 的取值范围； （2）若 60，已知点 A（2，1）和直线 l：3xy+20， 求 l 的一个法向量； 求点 A 到直线 l 的距离 【分析】 （1） 根据条件， 根据夹角为锐角， 得出，
30、从而得出.同向时，可得到存在 t，使得，从而求出 m 12，这样即可得出实数 m 的取值范围； （2）先把直线 l 的方程写成，从而得出直线 l 的方向向量为， 可设法向量为，可由即可得到 5a+7b0，从而可取 a7，b5， 从而得出 l 的一个法向量为； 可取直线 l 上一点 B（0，2） ，从而得到，从而得出点 A 到直线 l 的距离 第 18 页（共 22 页） 为 【解答】解： （1）由已知，且 ； ； 若 和 同向，则存在正数 t，使得； 由 和 不平行得，得 m12； 实数 m 的取值范围为； （2）直线 l 的方程可变形为：，直线 l 的方向向量为； 设法向量为，由得，； 令
31、a7，则 b5，； 取 直 线l上 一 点B （ 0 ， 2 ）， 则， 所 求 为 【点评】考查对斜坐标系的理解，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，点到直 线距离求法，直线的方向向量和法向量的概念 20 （16 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，两个点列 A1，A2，A3和 B1，B2，B3， 满足：A1（5，0） ，A2（4，0） ，An+1An+2 nAn+1（nN*） ； B1（1，1） （1，1） （nN*） （1）求点 A3和 B3的坐标； （2）求向量，的坐标； （3）对于正整数 k，用 ak表示无穷数列|中从第 k+1 项开始的各项之和，用 bk表 示无穷数列中从第 k
32、 项开始的各项之和，即 ak|+|+|+， 第 19 页（共 22 页） bk+， 若存在正整数 k 和 p，使得 akbkp，求 k，p 的值 【分析】 （1）求出（，0） ，从而+（，0）（， 0） ，（1，1） ，由此能求出点 A3和 B3的坐标 （2）由 AnAn+1（）n 1A 1A2（ ）n 1，0） ，得到 OA1+A1A2+A2A3+An 1An，由此能求出向量，的坐标 （3）由|5（）n 1，得 25（）k，从而 25（）k 2kp，由此能求出结果 【解答】解： （1）在平面直角坐标系中，O 为原点，两个点列 A1，A2，A3和 B1，B2， B3，满足： A1（5，0） ，
33、A2（4，0） ，An+1An+2 nAn+1（nN*） ； B1（1，1）（1，1） （nN*） （，0） ， +（，0）（，0） ，即 A3（，0） ， （1，1） ， 故+2（1，1）（3，3） ， B3（3，3） （2）由已知，AnAn+1（）n 1A 1A2（ ）n 1，0） ， 故OA1+A1A2+A2A3+An1An （5，0）（1+（）2+（）n 2，0） （5（）n 1，0） ， +（n，n） 第 20 页（共 22 页） （3）|5（）n 1， ， 故25（）k， 由已知，25（）k2kp， 左边为正整数，k1 或 2， 当 k1 时，2p20，得 p10； 当 k2 时，
34、4p16，解得 p4 【点评】本题考查点的坐标、向量的坐标、实数值的求法，考查向量运算法则等基础知 识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题 21 （18 分）已知点 P 和非零实数 ，若两条不同的直线 l1，l2均过点 P，且斜率之积为 ， 则称直线 l1，l2是一组“P共轭线对” ，如直线 l1：y2x 和 l2：y是一组“O1 共轭线对” ，其中 O 是坐标原点 （1）已知 l1、l2是一组“O3共轭线对” ，求 l1，l2的夹角的最小值； （2）已知点 A（0，1） 、点 B（1，0）和点 C（1，0）分别是三条直线 PQ，QR，RP 上的点（A，B，C 与 P，Q，R 均不
35、重合） ，且直线 PR，PQ 是“P1共轭线对” ，直线 QP， QR 是“Q4共轭线对” ，直线 RP，RQ 是“R9共轭线对” ，求点 P 的坐标； （3）已知点 Q（1，） ，直线 l1，l2是“Q2共轭线对” ，当 l1的斜率变化时，求 原点 O 到直线 l1、l2的距离之积的取值范围 【分析】 （1）设 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为，两直线的夹角为 ，利用夹角公式及 基本不等式求最值，即可得到 l1，l2的夹角的最小值； 第 21 页（共 22 页） （2）设直线 PR，PQ，QR 的斜率分别为 k1，k2，k3，可得，求解可得 k1，k2， k3的值，进一步得到直线 PR 与
36、直线 PQ 的方程，联立得 P 的坐标； （3）设 l1：，l2：，其中 k0，利用两点间的距离公 式可得原点 O 到直线 l1，l2的距离，变形后利用基本不等式求解 【解答】解： （1）设 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为，两直线的夹角为 ， 则 tan|， 等号成立的条件是 k， l1，l2的夹角的最小值为； （2）设直线 PR，PQ，QR 的斜率分别为 k1，k2，k3， 则，得或 当时，直线 PR 的方程为 y，直线 PQ 的方程为 y ，联立得 P（3，3） ； 当时， 直线 PR 的方程为 y， 直线 PQ 的方程为 y，联立得 P（） 故所求为 P（3，3）或 P（） ； （3）设 l1：，l2：，其中 k0， 故 第 22 页（共 22 页） 由于（等号成立的条件是 k22） ， 故0，1） ，d1d20，） 【点评】本题考查两直线夹角与到角公式的应用，考查点到直线距离公式的运用，训练 了利用基本不等式求最值，是中档题