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2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、直线 x+2y+20 与直线 2xy+10 的位置关系是( ) A平行 B垂直 C相交但不垂直 D重合 14 (3 分)已知向量,若且 与 不平行,则下列结论不正确的是( ) A B C D 15 (3 分)如图已知 A(4,0) 、B(0,4) 、O(0,0) ,若光线 L 从点 P(2,0)射出,直 线AB反射后到直线OB上, 在经直线OB反射回原点P, 则光线L所在的直线方程为 ( ) Ayx2 By2x4 C Dy3x6 16 (3 分)若数列an满足且,则 a2018为( ) A B C0 D1 三、解答题三、解答题 17设常数 mR,利用行列式解关于 x、y 的二元一次方程组,并对

2、其解的情况进行讨论: 18已知, 是与 方向相同的单位向量, 是与 垂直的单位向量 (1)求 ; (2)求 与的夹角大小 19已知直线 l 上两个点 A(0,3) 、C(3,0) ,其中 O 为坐标原点 (1)若,求点 D 的坐标,并确定点 D 与直线 l 的位置关系; (2)已知点 B 是直线 l 上的一点,求证:若存在实数 m、n,使向量,则 第 3 页(共 17 页) m+n1 20已知且 a12 (1)求 a2:a3; (2)求an的通项公式; (3)设an的前 n 项和为 Sn,求Sn+1Sn的前 n 项和 21如图所示,将一块直角三角形板 ABO 置于平面直角坐标系中,已知 ABB

3、O1,AB BO,点 P是三角板内一点,现因三角板中阴影部分受到损坏,要把损坏部 分锯掉,可用经过点 P 的任一直线 MN 将三角形锯成AMN,设直线 MN 的斜率为 k, 问: (1)求直线 MN 的方程; (2)若OMP 的面积为 SOMP,求 f(k)SOMP的表达式; (3)若 S 为AMN 的面积,问是否存在实数 m,使得关于 S 的不等式 S2m(12S) 有解,若存在,求 m 的取值范围;若不存在,说明理由 第 4 页(共 17 页) 2018-2019 学年上海市杨浦区控江中学高二(上)期中数学试卷学年上海市杨浦区控江中学高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题

4、解析 一、填空题一、填空题 1 (3 分)写出直线 2x+y+10 的一个法向量 (2,1) 【分析】化直线方程为斜截式,求出直线的斜率,则答案可求 【解答】解:化直线 2x+y+10 的方程为斜截式 y2x1, 直线的斜率为2, 直线的一个方向向量为(1,2) , 直线的一个法向量为(2,1) 故答案为: (2,1) 【点评】本题考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键,是 基础题 2 (3 分)二元一次方程的增广矩阵为 【分析】根据二元一次方程组求得增广矩阵即可 【解答】解:二元一次方程的增广矩阵 故答案为: 【点评】本题考查增广矩阵的性质,考查增广矩阵与二元一次方程组

5、转化,考查转化思 想,属于基础题 3 (3 分)若,则 3 【分析】直接利用向量的数量积求解即可 【解答】解:, 则2+13 故答案为:3 【点评】本题考查向量的数量积的应用考查计算能力 第 5 页(共 17 页) 4 (3 分)行列式中,6 的代数余子式的值是 6 【分析】根据代数余子式的定义 6 的代数余子式 A23,利用行列式的展开,即 可求得答案 【解答】解:6 的代数余子式 A23(1827)6, 故答案为:6 【点评】本题考查三阶行列式的代数余子式的定义,考查行列式的展开,属于基础题 5 (3 分)若向量,且,则 x 0 或3 【分析】根据即可得出 x(x+1)+2x0,解出 x

6、即可 【解答】解:; x(x+1)+2x0; x2+3x0; x0 或3 故答案为:0 或3 【点评】考查向量坐标的概念,向量平行时的坐标关系 6(3 分) 若直线 l 的一个方向向量, 则 l 与直线 xy+10 的夹角为 15 【分析】先求出两条直线的斜率,可得两条直线的倾斜角,进而得到两条直线的夹角 【解答】解:直线 l 的一个方向向量,直线 l 的斜率为,故 l 的倾斜角为 60 又直线 xy+10 的斜率为 1,故直线 xy+10 的倾斜角为 45 故 l 与直线 xy+10 的夹角为 604515, 故答案为:15 【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率,属于基础题 7 (3 分)

7、已知数列an是以 1 首项的等比数列,其各项和 S2,则an的公比 q 【分析】由无穷等比数列an的各项和为 2,列出方程求解即可 【解答】解:由题意可得,2,|q|1 且 q0 第 6 页(共 17 页) 12(1q) , q 故答案为: 【点评】本题主要考查了等比数列的前 n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,|q|1 且 q0 时前 n 项和的极限, 解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前 n 项和的极限 存在则可得|q|1 且 q0,这也是考生常会漏掉的知识点 8 (3 分) 已知 P1 (1, 1) 、 P2 (2, 3) , 若 P 在 P1P2的长线上, 且, 则点 P 的坐

8、标为 () 【分析】首先利用线段的比值求出 ,进一步利用分点坐标公式求出结果 【解答】解:由于 P 在 P1P2的延长线上,且, 则:, 所以:3, 由于:P1(1,1) 、P2(2,3) , 则:设 P(x,y) , 则:x, y, 故:P() 故答案为() 【点评】本题考查的知识要点:分点坐标的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力, 属于基础题型 9 (3 分)已知向量,且,则 在投影为 【分析】由,得4,得 【解答】解:,25, 4, 第 7 页(共 17 页) , 即 在上的投影为 故答案为: 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算,求得4 是关键,是基础题目 10 (3 分)若直线

9、 l 经过点 M(2,1) ,且以 A(0,3) 、B(1,4)为端点的线段相 交,则直线 l 倾斜角的取值范围是 0,arctan3ractan2,) 【分析】利用斜率计算公式即可求出答案 【解答】解:kMA,kMB, 直线 l 与 A(0,3) 、B(1,4)为端点的线段相交, 直线 l 的斜率 k 满足2k3 直线 l 的倾斜角的取值范围是0,arctan3ractan2,) 故答案为:0,arctan3ractan2,) 【点评】本题考查了斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 11 (3 分)如图,在OAB 中,若点 M 分所成的比为 2:1,若点 N 分 所成的比为 3

10、:1,OM 和 BN 交于点 P,则可用表示为 + 【分析】运用平面向量基本定理和三点共线的知识可解决此问题 第 8 页(共 17 页) 【解答】解:根据题意得,O,P,M 三点共线, (+)(+)+ 又 B,P,N 三点共线, ()(), +(1) 由得,1, , + 【点评】本题考查三点共线的知识和平面向量基本定理的应用 12 (3 分)平面向量满足,则的 最小值为 【分析】分别设设 (x1,y1) , (x2,y2) , (1,0) ,由题意可得化为(y1y2) 23,只考虑 y1y20不妨取 y20,y10利用基数量积运算、本不等式可求答案 【解答】解:设 (x1,y1) , (x2,

11、y2) 满足| |1,不妨取 (1,0) , x11,x22 (1,y1) , (2,y2) | |2, 2,化为(y1y2)23 只考虑 y1y20不妨取 y20,y10 2+y1y22(y1)y22()2,当且仅当y1y2时取 等号 第 9 页(共 17 页) 则的最小值为 故答案为: 【点评】本题考查了向量的数量积运算、基本不等式的性质,考查了分析问题与解决问 题的能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题 二、选择题二、选择题 13 (3 分)直线 x+2y+20 与直线 2xy+10 的位置关系是( ) A平行 B垂直 C相交但不垂直 D重合 【分析】利用两直线中 x 的系数积与 y

12、的系数积之和为 0,得到两直线垂直 【解答】解:直线 x+2y+20 与直线 2xy+10 中, 12+2(1)0, 直线 x+2y+20 与直线 2xy+10 的位置关系是垂直 故选:B 【点评】本题考查两直线的位置关系的判断,考查直线与直线平行与垂直的性质等基础 知识,是基础题 14 (3 分)已知向量,若且 与 不平行,则下列结论不正确的是( ) A B C D 【分析】数量积满足交换律,分配律,数与向量的结合律,不满足向量与向量的结合律 【解答】解: 1,A 正确; ( + ) + ,C 正确; () ( ) () ,D 正确 故选:B 【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算规律,是

13、基础题目 15 (3 分)如图已知 A(4,0) 、B(0,4) 、O(0,0) ,若光线 L 从点 P(2,0)射出,直 线AB反射后到直线OB上, 在经直线OB反射回原点P, 则光线L所在的直线方程为 ( ) 第 10 页(共 17 页) Ayx2 By2x4 C Dy3x6 【分析】点 P 关于 y 轴的对称点 P1(2,0) ,设点 P 关于直线 AB:x+y40 的对称 点 P2(a, b) 列方程组求出 a4, b2, 从而求出直线 MN: x3y+20, 联立, 得 M 点坐标,由此能求出光线 L 所在的直线方程 【解答】解:由题意知 yx+4 的点 A(4,0) ,点 B(0,

14、4)则点 P(2,0) , 设光线分别射在 AB、OB 上的 M、N 处, 由于光线从点 P 经两次反射后又回到 P 点, 根据反射规律,则PMABMN;PNOBNM 作出点 P 关于 OB 的对称点 P1,作出点 P 关于 AB 的对称点 P2, 则P2MAPMABMN,P1NOPNOBNM, P1,N,M,P2共线, P2ABPAB45,P2AOA; 点 P 关于 y 轴的对称点 P1(2,0) , 设点 P 关于直线 AB:x+y40 的对称点 P2(a,b) , ,解得 a4,b2, 直线 MN:,即 x3y+20, 联立,得 x,y, 直线 PM:,即光线 L 所在的直线方程为 y3

15、x6 故选:D 第 11 页(共 17 页) 【点评】本题考查直线方程的求法,考查点的对称、直线方程等基础知识,考查推理论 证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题 16 (3 分)若数列an满足且,则 a2018为( ) A B C0 D1 【分 析】 设 an tann,而,可 得 ,得到 an+12an,再由周期性求解 【解答】解:设 antann,而, , 即, 则tannan a2018a12168+2a2 故选:A 【点评】本题考查数列递推式,考查数列的周期性,训练了两角和正切的应用,是中档 题 三、解答题三、解答题 17设常数 mR,利用行列式解关于 x

16、、y 的二元一次方程组,并对其解的情况进行讨论: 第 12 页(共 17 页) 【分析】先根据方程组中 x,y 的系数及常数项计算计算出 D,Dx,Dy,下面对 m 的值进 行分类讨论: (1)当 m2,m1 时, (2)当 m1 时, (3)当 m2 时,分别求解 方程组的解即可 【解答】解:D21m(m+1)(m+2) (1m) , Dxm2, Dy(2+m) (2m) , (1)当 m2,m1 时,D0,原方程组有唯一组解,即, (2)当 m1 时,D0,Dx30,原方程组无解; (3)当 m2 时,D0,Dx0,Dy0,原方程组有无穷组解 【点评】本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式

17、、线性方程组解的存在性,唯一性、 二元方程的解法等基础知识,考查运算求解能力与转化思想属于中档题 18已知, 是与 方向相同的单位向量, 是与 垂直的单位向量 (1)求 ; (2)求 与的夹角大小 【分析】 (1)直接利用单位向量的应用和向量的共线求出结果 (2)利用向量的夹角运算和数量积运算及向量的模的运算求出结果 【解答】解: (1)已知, 则:, 是与 方向相同的单位向量, 则:() , (2) 是与 垂直的单位向量 故:, 第 13 页(共 17 页) 所以:当时, 解得: 当时, 解得:, 故: 【点评】本题考查的知识要点:向量的夹角公式的应用,向量的数量积的运算和向量的 模的应用,

18、主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型 19已知直线 l 上两个点 A(0,3) 、C(3,0) ,其中 O 为坐标原点 (1)若,求点 D 的坐标,并确定点 D 与直线 l 的位置关系; (2)已知点 B 是直线 l 上的一点,求证:若存在实数 m、n,使向量,则 m+n1 【分析】 (1)运用平面向量的坐标表示可得结果; (2)运用平面向量基本定理可得结果 【解答】解:根据题意得, (1)(0,3)+(3,0)(0,1)+(4,0)(4, 1) 点 D 的坐标为(4,1)又+1 点 D 不在直线 l 上; (2)点 B 是直线 l 上的一点() +(1) 由m+n得 m1;n m+

19、n1+1 命题得证 【点评】本题考查平面向量基本定理和平面向量的坐标运算 第 14 页(共 17 页) 20已知且 a12 (1)求 a2:a3; (2)求an的通项公式; (3)设an的前 n 项和为 Sn,求Sn+1Sn的前 n 项和 【分析】 (1)令 n1,2,结合数列的递推式计算可得所求值; (2)讨论 n 为奇数和偶数,运用累加法和等比数列的求和公式,可得所求通项公式; (3)讨论 n 为奇数和偶数,运用分组求和,计算可得所求和 【解答】解: (1)由于, 可得, 由于, 所以当 n1 时,a1+2a21, 由于 a12, 解得, 当 n2 时,2a2+a35, 解得 a38; (

20、2)当 n 为奇数时, 当 n 为偶数时, 可得 n 为奇数时,an+1+2n+1an+212n, 即有 an+2an32n, 由 a3a132,a5a3323,anan232n 2, 累加可得 ana13(2+23+2n 2) 32n2, 即有 an2n(n 为奇数) , 当 n 为偶数时,an(1+2n)2n2n 1, 第 15 页(共 17 页) 综上可得 an; (3)an的前 n 项和为 Sn, 当 n 为偶数时 Sn(2+23+2n 1)+ (2+23+2n 1) , 当 n 为奇数时,SnSn1+an+2n, 当 n 为偶数时,Sn+1Snan+12n+1, Sn+1Sn的前 n

21、 项和a2+a3+an+1(2+23+2n 1)+(23+25+2n+1) 2+2n+1; 当 n 为奇数时,Sn+1Sn的前 n 项和2+2n+2n2+2n+1 综上可得,当 n 为奇数时,所求和为2+2n+1, 当 n 为偶数时,所求和为2+2n+1 【点评】本题考查数列的通项公式和求和公式,注意运用分类讨论思想方法,考查化简 运算能力和推理能力,属于难题 21如图所示,将一块直角三角形板 ABO 置于平面直角坐标系中,已知 ABBO1,AB BO,点 P是三角板内一点,现因三角板中阴影部分受到损坏,要把损坏部 分锯掉,可用经过点 P 的任一直线 MN 将三角形锯成AMN,设直线 MN 的

22、斜率为 k, 问: (1)求直线 MN 的方程; (2)若OMP 的面积为 SOMP,求 f(k)SOMP的表达式; (3)若 S 为AMN 的面积,问是否存在实数 m,使得关于 S 的不等式 S2m(12S) 有解,若存在,求 m 的取值范围;若不存在,说明理由 第 16 页(共 17 页) 【分析】 (1)先利用点斜式求直线方程, (2)联立直线方程求出直线交点 M 点坐标,再 用 SOPM, (3)有解问题最值法,先分离变量 m,S,再利用二次函数性质求 函数最小值 【解答】解: (1)依题意有直线 MN 的方程为:y (2)ABOB,ABOB1 直线 OA 方程为:yx 直线 AB 方程为:x1 由得 M(,) k或 k1 又由得 N(1,) 即 由弦长公式可得 OM 点 P 到直线 OM 的距离为 d () (3)易得 SAMN 设 t4(1k)+ () 由“对勾”函数性质可得 4 第 17 页(共 17 页) 又 S2m(12S)且 m,S m 【点评】本题考查直线的一般方程与直线的性质,并且考查了函数的最值与有解问题, 是一道知识交汇较好,综合性较强的题