1、已知 A（1，4） 、B（3，2） ，如果点 H 是线段 AB 的两个三等分点中距离 A 较 近的那个三等分点，则点 H 的坐标是 9 （3 分）直线 yk（x+3）2 与直线 yx+1 的交点在第一象限，则斜率 k 的取值范 围是 10 （3 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD 1若点 E 为边 CD 上的动点，当取到最小值时，DE 的长为 二、选择题二、选择题 11 （3 分）无穷等比数列 9、3、1，、，各项的和为（ ） A B C27 D 12 （3 分）在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为ABC 的重心，则（ ） A+ B+
2、C+ D+ 第 2 页（共 16 页） 13 （3 分）已知直角坐标系 xOy 平面上的直线+1 经过第一、第二和第四象限，则 a， b 满足（ ） Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0，b0 Da0，b0 14 （3 分）已知 ， ， 是平面向量， 是单位向量若非零向量 与 的夹角为，向量 满足4 +30，则| |的最小值是（ ） A1 B+1 C2 D2 三、解答题三、解答题 15设an是首项为 1，公比为 q（q0）的等比数列，前 n 项和为 Sn，求值 16已知向量 （，1） ， （0，1） （1） （ +k ）（ k ） ，求实数 k 的值； （2）向量 2k +7 与向量 +k 的夹
3、角大于 90，求实数 k 的取值范围 17已知直线 l 的方程为 3x+4y120，分别求满足下列条件的直线 l的一般式方程 （1）过点（1，2）且与 l 的夹角为 45； （2）l为 l 绕原点逆时针旋转 90后得到的直线 18设 P1P2P2018是半径为 l 的圆 O 内接正 2018 边形，M 是圆上的动点 （1）求|+|的取值范围； （2）求证： 2+2+2 为定值，并求出该定值 19已知射线 OA：ykx（k0，x0） ，OB：ykx（x0） ，动点 P（x，y）在AOx 第 3 页（共 16 页） 的内部，PMOA，PNOB，垂足分别为 M、N，四边形 OMPN 的面积恰为 k
4、（1）求点 M 的坐标（用点 P 的横坐标 x、点 P 的纵坐标 y 及 k 表示） ； （2）当 k 为定值时，求动点 P 的纵坐标 y 关于横坐标 x 的函数 yf（x）的解析式 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年上海市杨浦区高二（上）期中数学试卷学年上海市杨浦区高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）求值： 【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可 【解答】解： 故答案为： 【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力 2 （3 分）已知向量 （k，1）与 （2，k+1）平行，则实数 k 2
5、或 1 【分析】根据即可得出 k （k+1）20，解出 k 即可 【解答】解：与平行； k （k+1）20； 解得 k2 或 1 故答案为：2 或 1 【点评】考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系 3 （3 分）已知点 M（0b）与点 N（，1）连成直线的倾斜角为 120，则 b 2 【分析】由题意可得 ktan120，解得即可 【解答】解：ktan120， 解得 b2， 故答案为：2 【点评】本题考查了斜率公式，以及倾斜角和斜率的关系，属于基础题 4 （3 分）已知| |1，| |2，向量 与 的夹角为 60，则| + | 【分析】由题意可得 1，再根据| + |，计算求得结果 第 5 页
6、（共 16 页） 【解答】解：由题意可得 | | |cos60121， | + |， 故答案为： 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题 5 （3 分）直线 l1：xy+10 与直线 l2：xy+50 之间的距离是 2 【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出 【解答】解：直线 l1：xy+10 与直线 l2：xy+50 之间的距离2 故答案为：2 【点评】本题考查了平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6 （3 分）已知 （2，1） ， （3，4） ，则 在 的方向上的投影为 【分析】根据投影的几何意义求出即可 【解答】解：由题意得：
7、在 的方向上的投影为：， 故答案为： 【点评】本题考查了向量的投影，考查向量的坐标运算，是一道基础题 7 （3 分）过点 A（1，6）且与直线垂直的直线的点法向式方程为 7（x1） +5（y6）0 【分析】根据向量垂直的条件得点法向式直线方程 【解答】解：与直线垂直的直线的法向量为（7，5） ， 则点法向式直线方程为 7（x1）+5（y6）0 故答案为：7（x1）+5（y6）0 【点评】本题考查了直线点法向式方程，属于基础题 8 （3 分）已知 A（1，4） 、B（3，2） ，如果点 H 是线段 AB 的两个三等分点中距离 A 较 近的那个三等分点，则点 H 的坐标是 第 6 页（共 16 页
8、） 【分析】可设 H（x，y） ，根据条件及定比分点公式可得出，这样即可得 出点 H 的坐标 【解答】解：设 H（x，y） ； 点 H 是线段 AB 的两个三等分点中距离 A 较近的那个三等分点； 根据定比分点公式得：； ； H（） 故答案为： 【点评】考查三等分点的定义，以及线段的定比分点公式 9 （3 分）直线 yk（x+3）2 与直线 yx+1 的交点在第一象限，则斜率 k 的取值范 围是 （，1） 【分析】联立方程求出两直线的交点坐标，根据交点在第一象限这一条件来确定 k 的取 值范围即可 【解答】解：联立，解之可得交点（，） ， 由题意可得， 解之可得k1，故 k 的取值范围是（，1
9、） 第 7 页（共 16 页） 故答案为： （，1） 【点评】本题考查两直线的交点问题，涉及二元一次方程组和不等式的解法，属中档题 10 （3 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD 1若点 E 为边 CD 上的动点，当取到最小值时，DE 的长为 【分析】设 DEx，由已知结合余弦定理可求ABDBDA30，而 （） （） ，展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质可求 【解答】解：设 DEx， BAD120，ABAD1， ABD 中，由余弦定理可得， BD2AB2+AD22ABADcos1201+13， ， ABD 中，ABDBDA30， ABBC，
10、ADCD， （） （） 11cos60+1+0+1xcos150+0+x2 ，此时 DEx， 故答案为： 【点评】本题以向量的基本运算为载体，主要考查了向量的数量积的定义的应用及二次 函数的最值的求解，属于知识的简单综合 第 8 页（共 16 页） 二、选择题二、选择题 11 （3 分）无穷等比数列 9、3、1，、，各项的和为（ ） A B C27 D 【分析】求出等比数列的前 n 项和，然后求解极限即可 【解答】解：等比数列 9、3、1，、，可得公比为， 前 n 项和为： 无穷等比数列 9、3、1，、，各项的和为： 故选：B 【点评】本题考查数列求和以及数列的极限的运算是基本知识的考查 12
11、 （3 分）在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为ABC 的重心，则（ ） A+ B+ C+ D+ 【分析】根据重心的性质以及平行四边形法则可得 【解答】解：因为 E 为ABC 的重心，所以（+）+， 故选：A 【点评】本题考查了重心的性质以及向量的平行四边形法则属基础题 13 （3 分）已知直角坐标系 xOy 平面上的直线+1 经过第一、第二和第四象限，则 a， b 满足（ ） Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0，b0 Da0，b0 【分析】根据题意画出图形，结合图形知 a0 且 b0 【解答】解：坐标系 xOy 平面上的直线+1 经过第一、第二和第四象限，如图所示； 第 9 页（
12、共 16 页） 则 a0，b0 故选：A 【点评】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题 14 （3 分）已知 ， ， 是平面向量， 是单位向量若非零向量 与 的夹角为，向量 满足4 +30，则| |的最小值是（ ） A1 B+1 C2 D2 【分析】把等式4 +30 变形，可得得，即（） （） ，设，则 的终点在以（2，0）为圆心，以 1 为半径的圆周上，再 由已知得到 的终点在不含端点 O 的两条射线 y（x0）上，画出图形，数形 结合得答案 【解答】解：由4 +30，得， （）（） ， 如图，不妨设， 则 的终点在以（2，0）为圆心，以 1 为半径的圆周上， 又非零向量 与 的夹角为，则
13、 的终点在不含端点 O 的两条射线 y（x0） 上 不妨以 y为例，则| |的最小值是（2，0）到直线的距离减 1 即 故选：A 第 10 页（共 16 页） 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思 想方法，属难题 三、解答题三、解答题 15设an是首项为 1，公比为 q（q0）的等比数列，前 n 项和为 Sn，求值 【分析】当公比 q 满足 0q1 时，Sn，求出的值，然后求解极限，当公 比 q1 时，Snn，求出的值当公比 q1 时，求出的值综合然后求解极 限的值即可 【解答】解：当公比 q 满足 0q1 时， Sn1+q+q2+qn 1 ，于是，1
14、当公比 q1 时，Sn1+1+1n，于是 因此1 当公比 q1 时，Sn1+q+q2+qn 1 第 11 页（共 16 页） 于是 因此 综合以上讨论得到 【点评】本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免 丢解 16已知向量 （，1） ， （0，1） （1） （ +k ）（ k ） ，求实数 k 的值； （2）向量 2k +7 与向量 +k 的夹角大于 90，求实数 k 的取值范围 【 分 析 】（ 1 ） 可 求 出， 根 据即 可 得 出 ，从而求出 k 的值； （2） 根据向量2k +7 与向量 +k 的夹角大于90即可得出， 进行数量积的运算即可求出 k 的
15、取值范围 【解答】解： （1）； ； 4k20； k2； （2）向量 2k +7 与向量 +k 的夹角大于 90； 2k2+15k+70； 解得； 实数 k 的取值范围为 【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式 第 12 页（共 16 页） 17已知直线 l 的方程为 3x+4y120，分别求满足下列条件的直线 l的一般式方程 （1）过点（1，2）且与 l 的夹角为 45； （2）l为 l 绕原点逆时针旋转 90后得到的直线 【分析】 （1）求出直线 l 的斜率，设所求直线的斜率为 k，利用两条直线所成的角求出 k 的值，再写出所求的直线方程； （2）根据直线 3x+4y1
16、20 与坐标轴的交点求出旋转后的直线与坐标轴的交点坐标， 即可写出所求的直线方程 【解答】解： （1）直线 l 的方程为 3x+4y120，则 l 的斜率为， 设所求直线的斜率为 k，则tn451， 1， 解得 k7 或 k， k7 时，直线方程为 y27（x1） ，化为一般式方程是 7x+y90； k时，直线方程为 y2（x1） ，化为一般式方程是 x7y+130； 综上知，所求的直线方程为 7x+y90 或 x7y+130； （2）直线 3x+4y120 与坐标轴的交点坐标为（4，0）和（0，3） ， 则旋转后的直线与坐标轴的交点坐标为（3，0）和（0，4） ， 所求的直线方程为+1，即为
17、 4x3y+120 【点评】本题考查了直线方程与应用问题，也考查了两条直线所成的角以及直线旋转问 题，是中档题 18设 P1P2P2018是半径为 l 的圆 O 内接正 2018 边形，M 是圆上的动点 （1）求|+|的取值范围； （2）求证： 2+2+2 为定值，并求出该定值 第 13 页（共 16 页） 【分析】 （1）推导出|+| |，由此能求出|+|的取值范围 （2）推导出+ ，从而 2+2+2（ ） 2+（ ）2+（）2（+）2 （）+2018 2，由此能证明2+2+2 为定值， 并能求出该定值 【解答】解： （1）P1P2P2018是半径为 l 的圆 O 内接正 2018 边形，M
18、 是圆上的动点 |+| | |， |+|的取值范围是0，2 证明： （2）把 ，这 2018 个向量都旋转后， +不变， 和向量旋转弧度后也不变， + ， 2+2+2 （）2+（）2+（）2 第 14 页（共 16 页） （+）2 （）+2018 2 20182 （+）+2018 20182+2018 4036 【点评】本题考查向量和的模的取值范围的求法，考查向量的平方和为定值的证明，考 查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 19已知射线 OA：ykx（k0，x0） ，OB：ykx（x0） ，动点 P（x，y）在AOx 的内部，PMOA，PNOB，垂足分别为
19、 M、N，四边形 OMPN 的面积恰为 k （1）求点 M 的坐标（用点 P 的横坐标 x、点 P 的纵坐标 y 及 k 表示） ； （2）当 k 为定值时，求动点 P 的纵坐标 y 关于横坐标 x 的函数 yf（x）的解析式 【分析】 （1）设 M（xM，yM） ，则，解的即可 （2）先要仔细分析题目所给的条件，设出点 M、N 的坐标，将四边形分解成两个三角形： 三角形 OMP、三角形 ONP 分别表示出面积，然后求和即可找到 x、y 之间的关系式，进 而即可获得问题的解答 第 15 页（共 16 页） 【解答】 解：（1） 设 M （xM， yM） ， 则， 解得 xM， yM， 故 M
20、的坐标为（，） ， （2）OM （） ，点 P 到直线 OA 的距离为， 根据点 P 的位置可知 PM， 因此 SOMPOMPM， 同理，把 k 替换为k 可知 N（，） ， ON （） ，PN， 因此 SONPONPN， 四边形 OMPN 的面积 SSOMP+SONP+ （x2y2） ， 因此（x2y2）k， 解得 y， 注定义域这里不作要求， 由 x0，0ykx，0yx 可得： 当 0k1 时，x（，） ， 当 k1 时，x（，+） ， 当 k1 时，x（，k） 第 16 页（共 16 页） 【点评】本题考查的是函数解析式的求解问题在解答的过程当中充分体现了图形分割 的思想、分类讨论的思想以及问题转化的思想值得同学们体会和反思