1、已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线，则“， 构成直二 面角”是“m 的 条件（填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要”或“既不 充分也不必要” ） 6 （4 分）若直线 x2y+50 与直线 2x+my60 互相垂直，则实数 m 7 （5 分）复数 i1 ！10+i2！9+i10！1 的虚部是 8 （5 分）已知经停某站的高铁列车有 100 个车次，随机从中选取了 40 个车次进行统计， 统计结果为：10 个车次的正点率为 0.97，20 个车次的正点率为 0.98，10 个车次的正点率 为0.99， 则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为 （精确到0
2、.001） 9（5 分） 设 A， B 是实数集 R 的两个子集， 对于 xR， 定义： m， n， 若对任意 xR，m+n1，则 A，B，R 满足的关系式为 10 （5 分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱 柱） 高为 4， 体积为 16， 则这个球的表面积是 （参考公式： 球的表面积 S4R2） 11 （5 分）6 月 12 日，上海市发布了上海市生活垃圾分类投放指南 ，将人们生活中产生 的大部分垃圾分为七大类某幢楼前有四个垃圾桶，分别标有“可回收物” 、 “有害垃圾” 、 “湿垃圾” 、 “干垃圾” ，小明同学要将鸡骨头（湿垃圾） 、贝壳（干垃圾） 、
3、指甲油（有害 垃圾） 、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中，若每种垃圾投放到每个桶中都是等可 能的，那么随机事件“4 种垃圾中至少有 2 种投入正确的桶中”的概率是 12 （5 分）对于无理数 x，用x表示与 x 最接近的整数，如3，2，设 第 2 页（共 18 页） nN*， 对于区间 （） 的无理数 x， 定义， 我们知道， 若 mN， nN* （mn）和 rN*（rn） ，则有以下两个恒等式成立：nmnn m；C n+1rnr+nr 1，那么对于正整数 n 和两个无理数 m（0，n） ，r（1，n） ，以下两个等式依然成立的 序号是 nmnn m；C n+1rnr+nr 1 二、选择题
4、（本大题共二、选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知双曲线的一个焦点为 F（0，2） ，一条渐近线 的斜率为，则该双曲线的方程为（ ） A B C D 14 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为（ ） A B C D 15 （5 分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理 在 A 层班级，生物在 B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的 课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（ ） 第一节 第二节 第三节
5、 第四节 地理 B 层 2 班 化学 A 层 3 班 地理 A 层 1 班 化学 A 层 4 班 生物 A 层 1 班 化学 B 层 2 班 生物 B 层 2 班 历史 B 层 1 班 物理 A 层 1 班 生物 A 层 3 班 物理 A 层 2 班 生物 A 层 4 班 物理 B 层 2 班 生物 B 层 1 班 物理 B 层 1 班 物理 A 层 4 班 政治 1 班 物理 A 层 3 班 政治 2 班 政治 3 班 A8 种 B10 种 C12 种 D14 种 16 （5 分）已知两个复数 z1、z2的实部和虚部都是正整数，关于代数式有以下 判断：最大值为 2；无最大值；最小值为；无最小
6、值，其中正确判断的序 号是（ ） 第 3 页（共 18 页） A B C D 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 题，共题，共 76 分）分） 17 （14 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ADEF平面 ABCD，四边形 ADEF 为正方 形，四边形 ABCD 为梯形，且 ADBC，BAD90，ABAD1，BC3 （）求证：AFCD； （）求直线 BF 与平面 CDE 所成角的正弦值； （）线段 BD 上是否存在点 M，使得直线 CE平面 AFM？若存在，求的值；若不 存在，请说明理由 18 （14 分）已知正整数 n2，f（x）（x+3）nanxn+an1xn 1+a
7、1x+a0 （1）若 f（x）的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大 992，求 n 的值； （2）若 n2019，且 ak是 an，an1，a ，a0中的最大值，求 k 的值 19 （14 分）设 zC （1）若 z，且 z 是实系数一元二次方程 x2+bx+c0 的一根，求 b 和 c 的值； （2）若是纯虚数，已知 zz0时，|z|取得最大值，求 z0； （3）肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题，已知两人能正确解答该题的概率分 别是 0.8 和 0.9，求该题能被正确解答的概率 20 （16 分）已知以椭圆 E：l（ab0）的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰 好是面积为 4 的正
8、方形 （1）求椭圆 E 的方程； （2）若（x，y）是椭圆 E 上的动点，求 2x+y 的取值范围； （3）直线 l：ykx+m（km0）与椭圆 E 交于异于椭圆顶点的 A，B 两点，O 为坐标原 点，直线 AO 与椭圆 E 的另一个交点为 C 点，直线 l 和直线 AO 的斜率之积为 1，直线 BC 与 x 轴交于点 M，若直线 BC，AM 的斜率分别为 k1，k2，试判断 k1+2k2是否为定值， 若是，求出该定值；若不是，说明理由 第 4 页（共 18 页） 21 （18 分）对于集合 Aa1，a2，an，Bb1，b2，bn，nN*，mN*，定 义 A+Bx+y|xA，yB集合 A 中的
9、元素个数记为|A|规定：若集合 A 满足|A+A| ，则称集合 A 具有性质 T （1）已知集合 A1，3，5，7，B，写出|A+A|，|B+B|的值； （2）已知集合 A）2， （）3， （）n，其中 n3，证明：A 具有性质 T； （3）已知 nm2019，且集合 A，B 均有性质 T，求|A+B|的最小值 第 5 页（共 18 页） 2018-2019 学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，
10、第 712 题每题题每题 5 分）分） 1 （4 分）已知全集 U1，0，1，2，3，集合 A0，1，2） ，B1，0，1，则（UA） B 1 【分析】根据集合的基本运算即可求UA 和结果； 【解答】解：全集 U1，0，1，2，3，集合 A0，1，2） ，B1，0，1， 则UA1，3 （UA）B1 故答案为1 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2 （4 分）化简| 【分析】直接利用乘积的模等于模的乘积求解 【解答】解：| 故答案为： 【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题 3 （4 分）从集合1，1，2，3随机取一个为 m，从集合2，1，1，2随机取一个为 n
11、，则方程1 可以表示 8 个不同的双曲线 【分析】方程1 表示双曲线，得 mn0，从而求出方程1 表示双曲 线个数即可 【解答】解：从集合1，1，2，3随机取一个为 m，从集合2，1，1，2随机 取一个为 n， 方程1，mn0， 第 6 页（共 18 页） 方程1 表示双曲线的个数 M32+128， 故答案为：8 【点评】本题考查考查双曲线的简单性质的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程 思想，是基础题 4 （4 分）在（）6的展开式中，第 4 项的二项式系数是 20 （用数字作答） 【分析】第四项的二项式系数为 C 20 【解答】解：第四项的二项式系数为 C 20 故答案为：20 【点评】
12、本题考查了二项式定理，属基础题 5 （4 分）已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线，则“， 构成直二 面角”是“m 的 必要不充分 条件（填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要”或 “既不充分也不必要” ） 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【解答】解：已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线， 则“， 构成直二面角”不能推出“m； 若“m，m 为平面 内的一条直线，则“，能推出“， 构成直二面角； 由充要条件定义可知：， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线，则“， 构成直二面角”是“m 的：必要不充分条件； 故答案为：必
13、要不充分 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是 解决本题的关键 6 （4 分）若直线 x2y+50 与直线 2x+my60 互相垂直，则实数 m 1 【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为1，列出方程求出 m 的值 【解答】解：直线 x2y+50 的斜率为 直线 2x+my60 的斜率为 两直线垂直 第 7 页（共 18 页） 解得 m1 故答案为：1 【点评】本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为1 7 （5 分）复数 i1 ！10+i2！9+i10！1 的虚部是 10 【分析】 根据 i41 知， 要求复数 i
14、1 ！10+i2！9+i10！1 的虚部， 只需求出 i1！10+i2！ 9+i3 ！8 的虚部 【解答】解：i41，故 i4 ！7+i5！6+i10！1 均为实数， 要求复数 i1 ！10+i2！9+i10！1 的虚部， 只需求出 i1！10+i2！9+i3！8 的虚部 i1 ！10+i2！9+i3！810i+9i2+8i617+10i 复数 i1 ！10+i2！9+i10！1 的虚部是 10 故答案为：10 【点评】本题考查复数幂的运算，考查了虚数单位 i 的性质，属基础题 8 （5 分）已知经停某站的高铁列车有 100 个车次，随机从中选取了 40 个车次进行统计， 统计结果为：10 个
15、车次的正点率为 0.97，20 个车次的正点率为 0.98，10 个车次的正点率 为 0.99，则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为 0.007 （精确到 0.001） 【分析】根据题意计算加权平均数和标准差即可 【解答】解：经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97， 有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99， 所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率为 （100.97+200.98+100.99）0.98； 经停该站的所有高铁列车正点率的标准差为 s0.010.007070.007 故答案为：0.007 【点评】本题
16、考查了加权平均数与标准差的计算问题，是基础题 9（5 分） 设 A， B 是实数集 R 的两个子集， 对于 xR， 定义： m， n， 若对任意 xR，m+n1，则 A，B，R 满足的关系式为 ARB；或 BRA； 第 8 页（共 18 页） 【分析】对任意 xR，m+n1，则 m，n 的值一个为 0，另一个为 1，可得：xA 时，必 有 xB，或 xB 时，必有 xA，即可得出 A，B 的关系 【解答】解：对任意 xR，m+n1，则 m，n 的值一个为 0，另一个为 1， 可得：xA 时，必有 xB，或 xB 时，必有 xA， 即可得出 A，B，R 满足的关系式为：ARB；或 BRA； 故答
17、案为：ARB；或 BRA； 【点评】本题考查集合的补集，属于基础题 10 （5 分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱 柱） 高为 4， 体积为 16， 则这个球的表面积是 24 （参考公式： 球的表面积 S4R2） 【分析】先求出正四棱柱的底面边长，再求其对角线的长，就是外接球的直径，然后求 出球的表面积 【解答】解：各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16， 它的底面边长是：2，所以它的体对角线的长是：， 球的直径是：， 所以这个球的表面积是： 故答案为：24 【点评】本题考查正四棱柱的外接球的表面积考查计算能力，是基础题 11 （5 分）6
18、月 12 日，上海市发布了上海市生活垃圾分类投放指南 ，将人们生活中产生 的大部分垃圾分为七大类某幢楼前有四个垃圾桶，分别标有“可回收物” 、 “有害垃圾” 、 “湿垃圾” 、 “干垃圾” ，小明同学要将鸡骨头（湿垃圾） 、贝壳（干垃圾） 、指甲油（有害 垃圾） 、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中，若每种垃圾投放到每个桶中都是等可 能的，那么随机事件“4 种垃圾中至少有 2 种投入正确的桶中”的概率是 【分析】所有的基本事件个数为 n44256，设事件 A 表示“4 种垃圾中至少有 2 种投 入正确的桶中” ，则事件 A 包含的基本事件个数为：n（A）3254，代入概率公 式即可 【解答】
19、解：依题意，设事件 A 表示“4 种垃圾中至少有 2 种投入正确的桶中” ， 则事件 A 包含的基本事件个数为：n（A）32+167， 又因为所有的基本事件个数为 n44256， 第 9 页（共 18 页） 所以 P（A）， 故答案为： 【点评】本题考查了分类加法原理，分步乘法原理，古典概型的概率公式，属于基础题 12 （5 分）对于无理数 x，用x表示与 x 最接近的整数，如3，2，设 nN*， 对于区间 （） 的无理数 x， 定义， 我们知道， 若 mN， nN* （mn）和 rN*（rn） ，则有以下两个恒等式成立：nmnn m；C n+1rnr+nr 1，那么对于正整数 n 和两个无理
20、数 m（0，n） ，r（1，n） ，以下两个等式依然成立的 序号是 nmnn m；C n+1rnr+nr 1 【分析】利用定义理解公式，将、中的等式进行转化，最终可得等式成 立 【解答】解：当 m（0，n） ，r（1，n）的无理数时，根据， 可知， 因为m+nmn，所以nmnn m，故成立； 当 r（1，n）的无理数时，根据， 可知 Cn+1rCn+1 r， nrn r， nr 1 n r1 n r1， 所以 Cn+1rnr+nr 1，故成立 故答案为： 【点评】本题为定义的新题型，能理解本题所表达的意思是本题的关键，属中档题 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5
21、 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知双曲线的一个焦点为 F（0，2） ，一条渐近线 的斜率为，则该双曲线的方程为（ ） A B C D 【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的渐近线方程为 yx，结合题 第 10 页（共 18 页） 意可得，又由双曲线的焦点坐标可得 a2+b24，联立两个式子分析可得 a23， b21，代入双曲线的方程即可得答案 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为， 其焦点在 y 轴上，双曲线的渐近线方程为 yx， 若双曲线的一条渐近线的斜率为，则， 其一个焦点为 F（0，2） ，则有 a2+b24， 解可得：a23，b21； 双曲线的标准方程为：x
22、21； 故选：C 【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线焦点的位置 14 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1， AA1， A（1，0，0） ，D1（0，0，） ，D（0，0，0） ，
23、 B1（1，1，） ， （1，0，） ，（1，1，） ， 设异面直线 AD1与 DB1所成角为 ， 则 cos， 异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 故选：C 第 11 页（共 18 页） 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 15 （5 分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理 在 A 层班级，生物在 B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的 课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（ ） 第一节 第二节 第三节 第四
24、节 地理 B 层 2 班 化学 A 层 3 班 地理 A 层 1 班 化学 A 层 4 班 生物 A 层 1 班 化学 B 层 2 班 生物 B 层 2 班 历史 B 层 1 班 物理 A 层 1 班 生物 A 层 3 班 物理 A 层 2 班 生物 A 层 4 班 物理 B 层 2 班 生物 B 层 1 班 物理 B 层 1 班 物理 A 层 4 班 政治 1 班 物理 A 层 3 班 政治 2 班 政治 3 班 A8 种 B10 种 C12 种 D14 种 【分析】根据分类计数原理即可求出 【解答】解：由于生物在 B 层，只有第 2，3 节有，故分 2 两类， 若生物安排第 2 节，其他任
25、意排即可，故有 A336 种， 若生物安排第 3 节，则政治有 2 种方法，其他任意排，故有 C21A224 根据分类计数原理可得 6+410 种， 故选：B 【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题 16 （5 分）已知两个复数 z1、z2的实部和虚部都是正整数，关于代数式有以下 第 12 页（共 18 页） 判断：最大值为 2；无最大值；最小值为；无最小值，其中正确判断的序 号是（ ） A B C D 【分析】根据复数的性质：，做到这 里就很难再进行下去了，所以考虑将问题转化为向量来解决 【解答】解：设 z1，z2，z1+z2在复平面对应的点分别为 A，B，C， 则 ， 因为
26、 z1、z2的实部和虚部都是正整数，所以0，） ， 2，cos0，所以，但是等号取不到，所 以无最小值； 对任意正整数 M，令 z11+i，z2M+Mi，则M，所以无最 大值 故选：C 【点评】复数和向量有密不可分的关系，相比复数而言，课本上有许多向量的知识与方 法，所以更加容易解决问题 三、三、解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 76 分）分） 17 （14 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ADEF平面 ABCD，四边形 ADEF 为正方 形，四边形 ABCD 为梯形，且 ADBC，BAD90，ABAD1，BC3 （）求证：AFCD； （）求直线 BF 与平面 C
27、DE 所成角的正弦值； （）线段 BD 上是否存在点 M，使得直线 CE平面 AFM？若存在，求的值；若不 存在，请说明理由 第 13 页（共 18 页） 【分析】 （）利用两面垂直的性质定理易证； （）取 BC 的三等分点 G，H，把 BF 平移至 EG，作 GNCD 于 N，得GEN 即为所 求； （）连接 FH，易证 EC平面 AFH，连 AH 交 BD 于 M 即可 【解答】解： （）证明：四边形 ADEF 为正方形， AFAD， 又平面 ADEF平面 ABCD， AF平面 ABCD， AFCD； （） 取 BC 的三等分点 G，H 如图， 连接 EG，可由 EFAD，ADBC，得 E
28、FBG， 且 EFADBG1， 四边形 BGEF 为平行四边形， GEBF， DEAF， DE平面 ABCD， 平面 EDC平面 ABCD， 作 GNCD 于 N， 则 GN平面 EDC， 连接 EN， 第 14 页（共 18 页） 则GEN 为 GE 与平面 EDC 所成的角， 在 RtCGD 中，求得 GN， 又 GEBF， sinGEN， 故直线 BF 与平面 CDE 所成角的正弦值为：； （）连接 FH， 易证四边形 EFHC 为平行四边形， ECFH， EC平面 AFH， 连接 AH 交 BD 于 M， 则 CE平面 AFM， 此时， 【点评】此题考查了线面垂直，面面垂直，线面所成角
29、，线面平行等，难度适中 18 （14 分）已知正整数 n2，f（x）（x+3）nanxn+an1xn 1+a 1x+a0 （1）若 f（x）的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大 992，求 n 的值； （2）若 n2019，且 ak是 an，an1，a ，a0中的最大值，求 k 的值 【分析】 （1）各项系数之和为：4n，各项二项式系数之和为：2n，再根据已知列方程解 得； （2）根据题意列式可解得 【解答】解： （1）各项系数之和为：4n，各项二项式系数之和为：2n， 4n2n992，解得 n5 （2）n2019 时，则，解得 504k505 k504 或 k505 【点评】本题考查了
30、二项式定理，属中档题 19 （14 分）设 zC 第 15 页（共 18 页） （1）若 z，且 z 是实系数一元二次方程 x2+bx+c0 的一根，求 b 和 c 的值； （2）若是纯虚数，已知 zz0时，|z|取得最大值，求 z0； （3）肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题，已知两人能正确解答该题的概率分 别是 0.8 和 0.9，求该题能被正确解答的概率 【分析】 （1） （2）是对复数性质的考察， （1）和韦达定理有关， （2）要求|z+2i|，这在 复平面中表示两个复数所对应的点的距离，所以要数形结合，考察复平面上两点的距离， （3）则是一道概率的问题 【解答】解： （1）z1
31、i， 1+i， 因为 z2+bz+c0，所以+b +c0，即 z 和 是一元二次方程 x2+bx+c0 的两根， 所以 b（z+ ）2，cz 2 （2）， 因为是纯虚数， 所以+0z （ 4） + （z4） 0z 2（z+ ）0 令 zx+yi，则 z x2+y2，z+ 2x，所以 x2+y24x0，即（x2）2+y222 在复平面中，z 点在以 2 为圆心，半径为 2 的圆中，|z+2i|表示 z 到点2i 的距离， 所以当|z+2i|取最大值时，z02 与 2+2i 共线且方向相同 所以 z0221+i，所以 z03+i （3）肖同学和谢同学都没能解答该题的概率分别为 0.2 和 0.1，
32、所以 P（该题没能被正确 解答）0.20.10.02，所以 P（该题能被正确解答）10.020.98 【点评】该题综合性很强，需要掌握良好的复数的性质和数形结合功底复数中共轭运 算具有良好的性质，是解决很多复数问题的不二之选 20 （16 分）已知以椭圆 E：l（ab0）的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰 好是面积为 4 的正方形 （1）求椭圆 E 的方程； （2）若（x，y）是椭圆 E 上的动点，求 2x+y 的取值范围； （3）直线 l：ykx+m（km0）与椭圆 E 交于异于椭圆顶点的 A，B 两点，O 为坐标原 点，直线 AO 与椭圆 E 的另一个交点为 C 点，直线 l 和直线 AO
33、的斜率之积为 1，直线 BC 与 x 轴交于点 M，若直线 BC，AM 的斜率分别为 k1，k2，试判断 k1+2k2是否为定值， 第 16 页（共 18 页） 若是，求出该定值；若不是，说明理由 【分析】 （1）根据题意可得，解得 a24，b22，即可求出椭圆的方程； （2）利用椭圆的参数方程，由三角函数知识求得取值范围即可； （3）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， （x1y10，x2y20） ，则 C（x1，y1） ，根据韦达定 理和斜率公式，即可求出 k1+2k20 【解答】解： （1）因为椭圆 E：l（ab0）的焦点和短轴端点为顶点的四边 形恰好是面积为 4 的正方形， 所
34、以，解得 a24，b22， 所以椭圆方程为 （2）由（1）得椭圆的参数方程为： ， （ 是参数，且 0，2） ， 因为（x，y）是椭圆 E 上的动点， 所以 2x+y4cos+sin（+） ， （其中 sin，cos） ， sin（+）1，1， 2x+y （3）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， （x1y10，x2y20） ， 则 C（x1，y1） ， 所以， 联立，消 y 可得 （1+2k2）x2+4kmx+2m240， 第 17 页（共 18 页） ， ， 直线 BC 的方程为：y+y1， 令 y0，由 y10，可得 x3x1， M（3x1，0） ，k2， ， k1+2k20 【
35、点评】本题考查直线与椭圆，运算量较大，容易出错，难度属于中档题 21 （18 分）对于集合 Aa1，a2，an，Bb1，b2，bn，nN*，mN*，定 义 A+Bx+y|xA，yB集合 A 中的元素个数记为|A|规定：若集合 A 满足|A+A| ，则称集合 A 具有性质 T （1）已知集合 A1，3，5，7，B，写出|A+A|，|B+B|的值； （2）已知集合 A）2， （）3， （）n，其中 n3，证明：A 具有性质 T； （3）已知 nm2019，且集合 A，B 均有性质 T，求|A+B|的最小值 【分析】 （1）根据定义分别计算出集合 A+A，B+B 即可得到结论 （2）根据等比数列的通
36、项公式，利用反证法进行证明即可 （3）集合 A 具有性质 T，等价于任意两个元素之和均不相同，结合 A，B 元素性质进行 求解 【解答】解： （1）A+A2，4，6，8，10，12，14，则|A+A|7； B+B，1，3，2，4，则|B+B|10 （2）要证 A 具有性质 T，只需证明，若 n1n2n3n4，则 a+aa+a； 假设上式结论不成立，即若 n1n2n3n4，则 a+aa+a； 第 18 页（共 18 页） 即+， 即+1，（）+ （1，（+1）； 因为上式的右边为 3 的倍数，而上式的左边为 2 的倍数，所以上式不成立 故假设不成立，原命题成立 （3）由题意，集合 A 具有性质 T，等价于任意两个元素之和均不相同 如，对于任意的 abcd，有 a+db+c， 等价于 dcba，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同 令 A*xy|xA，yA，xy， 所以 A 具有性质 T|A+A|，|A*| 因为集合 A，B 均有性质 T，且 nm， 所以|A+B|n2|A*B*|n2，当且仅当 AB 时等号成立 所以|A+B|的最小值为 【点评】本题主要考查集合新定义的应用，结合定义利用反证法是解决本题的关键综 合性较强，难度较大