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2018-2019学年上海市复旦附中高二(下)期末数学试卷(含详细解答)

1、已知 , 表示两个不同的平面,m 为平面 内的一条直线,则“, 构成直二 面角”是“m 的 条件(填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要”或“既不 充分也不必要” ) 6 (4 分)若直线 x2y+50 与直线 2x+my60 互相垂直,则实数 m 7 (5 分)复数 i1 !10+i2!9+i10!1 的虚部是 8 (5 分)已知经停某站的高铁列车有 100 个车次,随机从中选取了 40 个车次进行统计, 统计结果为:10 个车次的正点率为 0.97,20 个车次的正点率为 0.98,10 个车次的正点率 为0.99, 则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为 (精确到0

2、.001) 9(5 分) 设 A, B 是实数集 R 的两个子集, 对于 xR, 定义: m, n, 若对任意 xR,m+n1,则 A,B,R 满足的关系式为 10 (5 分)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(底面为正方形,侧棱与底面垂直的棱 柱) 高为 4, 体积为 16, 则这个球的表面积是 (参考公式: 球的表面积 S4R2) 11 (5 分)6 月 12 日,上海市发布了上海市生活垃圾分类投放指南 ,将人们生活中产生 的大部分垃圾分为七大类某幢楼前有四个垃圾桶,分别标有“可回收物” 、 “有害垃圾” 、 “湿垃圾” 、 “干垃圾” ,小明同学要将鸡骨头(湿垃圾) 、贝壳(干垃圾) 、

3、指甲油(有害 垃圾) 、报纸(可回收物)全部投入到这四个桶中,若每种垃圾投放到每个桶中都是等可 能的,那么随机事件“4 种垃圾中至少有 2 种投入正确的桶中”的概率是 12 (5 分)对于无理数 x,用x表示与 x 最接近的整数,如3,2,设 第 2 页(共 18 页) nN*, 对于区间 () 的无理数 x, 定义, 我们知道, 若 mN, nN* (mn)和 rN*(rn) ,则有以下两个恒等式成立:nmnn m;C n+1rnr+nr 1,那么对于正整数 n 和两个无理数 m(0,n) ,r(1,n) ,以下两个等式依然成立的 序号是 nmnn m;C n+1rnr+nr 1 二、选择题

4、(本大题共二、选择题(本大题共 4 题,每题题,每题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)已知双曲线的一个焦点为 F(0,2) ,一条渐近线 的斜率为,则该双曲线的方程为( ) A B C D 14 (5 分)在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,AA1,则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为( ) A B C D 15 (5 分)某校实行选科走班制度,张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科,且物理 在 A 层班级,生物在 B 层班级,该校周一上午课程安排如表所示,张毅选择三个科目的 课各上一节,另外一节上自习,则他不同的选课方法有( ) 第一节 第二节 第三节

5、 第四节 地理 B 层 2 班 化学 A 层 3 班 地理 A 层 1 班 化学 A 层 4 班 生物 A 层 1 班 化学 B 层 2 班 生物 B 层 2 班 历史 B 层 1 班 物理 A 层 1 班 生物 A 层 3 班 物理 A 层 2 班 生物 A 层 4 班 物理 B 层 2 班 生物 B 层 1 班 物理 B 层 1 班 物理 A 层 4 班 政治 1 班 物理 A 层 3 班 政治 2 班 政治 3 班 A8 种 B10 种 C12 种 D14 种 16 (5 分)已知两个复数 z1、z2的实部和虚部都是正整数,关于代数式有以下 判断:最大值为 2;无最大值;最小值为;无最小

6、值,其中正确判断的序 号是( ) 第 3 页(共 18 页) A B C D 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 题,共题,共 76 分)分) 17 (14 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,平面 ADEF平面 ABCD,四边形 ADEF 为正方 形,四边形 ABCD 为梯形,且 ADBC,BAD90,ABAD1,BC3 ()求证:AFCD; ()求直线 BF 与平面 CDE 所成角的正弦值; ()线段 BD 上是否存在点 M,使得直线 CE平面 AFM?若存在,求的值;若不 存在,请说明理由 18 (14 分)已知正整数 n2,f(x)(x+3)nanxn+an1xn 1+a

7、1x+a0 (1)若 f(x)的展开式中,各项系数之和比二项式系数之和大 992,求 n 的值; (2)若 n2019,且 ak是 an,an1,a ,a0中的最大值,求 k 的值 19 (14 分)设 zC (1)若 z,且 z 是实系数一元二次方程 x2+bx+c0 的一根,求 b 和 c 的值; (2)若是纯虚数,已知 zz0时,|z|取得最大值,求 z0; (3)肖同学和谢同学同时独立地解答第(2)小题,已知两人能正确解答该题的概率分 别是 0.8 和 0.9,求该题能被正确解答的概率 20 (16 分)已知以椭圆 E:l(ab0)的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰 好是面积为 4 的正

8、方形 (1)求椭圆 E 的方程; (2)若(x,y)是椭圆 E 上的动点,求 2x+y 的取值范围; (3)直线 l:ykx+m(km0)与椭圆 E 交于异于椭圆顶点的 A,B 两点,O 为坐标原 点,直线 AO 与椭圆 E 的另一个交点为 C 点,直线 l 和直线 AO 的斜率之积为 1,直线 BC 与 x 轴交于点 M,若直线 BC,AM 的斜率分别为 k1,k2,试判断 k1+2k2是否为定值, 若是,求出该定值;若不是,说明理由 第 4 页(共 18 页) 21 (18 分)对于集合 Aa1,a2,an,Bb1,b2,bn,nN*,mN*,定 义 A+Bx+y|xA,yB集合 A 中的

9、元素个数记为|A|规定:若集合 A 满足|A+A| ,则称集合 A 具有性质 T (1)已知集合 A1,3,5,7,B,写出|A+A|,|B+B|的值; (2)已知集合 A)2, ()3, ()n,其中 n3,证明:A 具有性质 T; (3)已知 nm2019,且集合 A,B 均有性质 T,求|A+B|的最小值 第 5 页(共 18 页) 2018-2019 学年上海市复旦附中高二(下)期末数学试卷学年上海市复旦附中高二(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题(本大题共填空题(本大题共 12 题,满分题,满分 54 分,第分,第 16 题每题题每题 4 分,第分,

10、第 712 题每题题每题 5 分)分) 1 (4 分)已知全集 U1,0,1,2,3,集合 A0,1,2) ,B1,0,1,则(UA) B 1 【分析】根据集合的基本运算即可求UA 和结果; 【解答】解:全集 U1,0,1,2,3,集合 A0,1,2) ,B1,0,1, 则UA1,3 (UA)B1 故答案为1 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础 2 (4 分)化简| 【分析】直接利用乘积的模等于模的乘积求解 【解答】解:| 故答案为: 【点评】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题 3 (4 分)从集合1,1,2,3随机取一个为 m,从集合2,1,1,2随机取一个为 n

11、,则方程1 可以表示 8 个不同的双曲线 【分析】方程1 表示双曲线,得 mn0,从而求出方程1 表示双曲 线个数即可 【解答】解:从集合1,1,2,3随机取一个为 m,从集合2,1,1,2随机 取一个为 n, 方程1,mn0, 第 6 页(共 18 页) 方程1 表示双曲线的个数 M32+128, 故答案为:8 【点评】本题考查考查双曲线的简单性质的应用,考查运算求解能力,考查函数与方程 思想,是基础题 4 (4 分)在()6的展开式中,第 4 项的二项式系数是 20 (用数字作答) 【分析】第四项的二项式系数为 C 20 【解答】解:第四项的二项式系数为 C 20 故答案为:20 【点评】

12、本题考查了二项式定理,属基础题 5 (4 分)已知 , 表示两个不同的平面,m 为平面 内的一条直线,则“, 构成直二 面角”是“m 的 必要不充分 条件(填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要”或 “既不充分也不必要” ) 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【解答】解:已知 , 表示两个不同的平面,m 为平面 内的一条直线, 则“, 构成直二面角”不能推出“m; 若“m,m 为平面 内的一条直线,则“,能推出“, 构成直二面角; 由充要条件定义可知:, 表示两个不同的平面,m 为平面 内的一条直线,则“, 构成直二面角”是“m 的:必要不充分条件; 故答案为:必

13、要不充分 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据充分条件和必要条件的定义是 解决本题的关键 6 (4 分)若直线 x2y+50 与直线 2x+my60 互相垂直,则实数 m 1 【分析】求出两条直线的斜率;利用两直线垂直斜率之积为1,列出方程求出 m 的值 【解答】解:直线 x2y+50 的斜率为 直线 2x+my60 的斜率为 两直线垂直 第 7 页(共 18 页) 解得 m1 故答案为:1 【点评】本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为1 7 (5 分)复数 i1 !10+i2!9+i10!1 的虚部是 10 【分析】 根据 i41 知, 要求复数 i

14、1 !10+i2!9+i10!1 的虚部, 只需求出 i1!10+i2! 9+i3 !8 的虚部 【解答】解:i41,故 i4 !7+i5!6+i10!1 均为实数, 要求复数 i1 !10+i2!9+i10!1 的虚部, 只需求出 i1!10+i2!9+i3!8 的虚部 i1 !10+i2!9+i3!810i+9i2+8i617+10i 复数 i1 !10+i2!9+i10!1 的虚部是 10 故答案为:10 【点评】本题考查复数幂的运算,考查了虚数单位 i 的性质,属基础题 8 (5 分)已知经停某站的高铁列车有 100 个车次,随机从中选取了 40 个车次进行统计, 统计结果为:10 个

15、车次的正点率为 0.97,20 个车次的正点率为 0.98,10 个车次的正点率 为 0.99,则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为 0.007 (精确到 0.001) 【分析】根据题意计算加权平均数和标准差即可 【解答】解:经统计,在经停某站的高铁列车中,有 10 个车次的正点率为 0.97, 有 20 个车次的正点率为 0.98,有 10 个车次的正点率为 0.99, 所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率为 (100.97+200.98+100.99)0.98; 经停该站的所有高铁列车正点率的标准差为 s0.010.007070.007 故答案为:0.007 【点评】本题

16、考查了加权平均数与标准差的计算问题,是基础题 9(5 分) 设 A, B 是实数集 R 的两个子集, 对于 xR, 定义: m, n, 若对任意 xR,m+n1,则 A,B,R 满足的关系式为 ARB;或 BRA; 第 8 页(共 18 页) 【分析】对任意 xR,m+n1,则 m,n 的值一个为 0,另一个为 1,可得:xA 时,必 有 xB,或 xB 时,必有 xA,即可得出 A,B 的关系 【解答】解:对任意 xR,m+n1,则 m,n 的值一个为 0,另一个为 1, 可得:xA 时,必有 xB,或 xB 时,必有 xA, 即可得出 A,B,R 满足的关系式为:ARB;或 BRA; 故答

17、案为:ARB;或 BRA; 【点评】本题考查集合的补集,属于基础题 10 (5 分)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(底面为正方形,侧棱与底面垂直的棱 柱) 高为 4, 体积为 16, 则这个球的表面积是 24 (参考公式: 球的表面积 S4R2) 【分析】先求出正四棱柱的底面边长,再求其对角线的长,就是外接球的直径,然后求 出球的表面积 【解答】解:各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16, 它的底面边长是:2,所以它的体对角线的长是:, 球的直径是:, 所以这个球的表面积是: 故答案为:24 【点评】本题考查正四棱柱的外接球的表面积考查计算能力,是基础题 11 (5 分)6

18、月 12 日,上海市发布了上海市生活垃圾分类投放指南 ,将人们生活中产生 的大部分垃圾分为七大类某幢楼前有四个垃圾桶,分别标有“可回收物” 、 “有害垃圾” 、 “湿垃圾” 、 “干垃圾” ,小明同学要将鸡骨头(湿垃圾) 、贝壳(干垃圾) 、指甲油(有害 垃圾) 、报纸(可回收物)全部投入到这四个桶中,若每种垃圾投放到每个桶中都是等可 能的,那么随机事件“4 种垃圾中至少有 2 种投入正确的桶中”的概率是 【分析】所有的基本事件个数为 n44256,设事件 A 表示“4 种垃圾中至少有 2 种投 入正确的桶中” ,则事件 A 包含的基本事件个数为:n(A)3254,代入概率公 式即可 【解答】

19、解:依题意,设事件 A 表示“4 种垃圾中至少有 2 种投入正确的桶中” , 则事件 A 包含的基本事件个数为:n(A)32+167, 又因为所有的基本事件个数为 n44256, 第 9 页(共 18 页) 所以 P(A), 故答案为: 【点评】本题考查了分类加法原理,分步乘法原理,古典概型的概率公式,属于基础题 12 (5 分)对于无理数 x,用x表示与 x 最接近的整数,如3,2,设 nN*, 对于区间 () 的无理数 x, 定义, 我们知道, 若 mN, nN* (mn)和 rN*(rn) ,则有以下两个恒等式成立:nmnn m;C n+1rnr+nr 1,那么对于正整数 n 和两个无理

20、数 m(0,n) ,r(1,n) ,以下两个等式依然成立的 序号是 nmnn m;C n+1rnr+nr 1 【分析】利用定义理解公式,将、中的等式进行转化,最终可得等式成 立 【解答】解:当 m(0,n) ,r(1,n)的无理数时,根据, 可知, 因为m+nmn,所以nmnn m,故成立; 当 r(1,n)的无理数时,根据, 可知 Cn+1rCn+1 r, nrn r, nr 1 n r1 n r1, 所以 Cn+1rnr+nr 1,故成立 故答案为: 【点评】本题为定义的新题型,能理解本题所表达的意思是本题的关键,属中档题 二、选择题(本大题共二、选择题(本大题共 4 题,每题题,每题 5

21、 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)已知双曲线的一个焦点为 F(0,2) ,一条渐近线 的斜率为,则该双曲线的方程为( ) A B C D 【分析】根据题意,由双曲线的方程分析可得双曲线的渐近线方程为 yx,结合题 第 10 页(共 18 页) 意可得,又由双曲线的焦点坐标可得 a2+b24,联立两个式子分析可得 a23, b21,代入双曲线的方程即可得答案 【解答】解:根据题意,双曲线的方程为, 其焦点在 y 轴上,双曲线的渐近线方程为 yx, 若双曲线的一条渐近线的斜率为,则, 其一个焦点为 F(0,2) ,则有 a2+b24, 解可得:a23,b21; 双曲线的标准方程为:x

22、21; 故选:C 【点评】本题考查双曲线的几何性质,注意双曲线焦点的位置 14 (5 分)在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,AA1,则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为( ) A B C D 【分析】以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1为 z 轴,建立空间直角坐标系,利 用向量法能求出异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值 【解答】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1为 z 轴,建立空间直角坐标系, 在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC1, AA1, A(1,0,0) ,D1(0,0,) ,D(0,0,0) ,

23、 B1(1,1,) , (1,0,) ,(1,1,) , 设异面直线 AD1与 DB1所成角为 , 则 cos, 异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 故选:C 第 11 页(共 18 页) 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题 15 (5 分)某校实行选科走班制度,张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科,且物理 在 A 层班级,生物在 B 层班级,该校周一上午课程安排如表所示,张毅选择三个科目的 课各上一节,另外一节上自习,则他不同的选课方法有( ) 第一节 第二节 第三节 第四

24、节 地理 B 层 2 班 化学 A 层 3 班 地理 A 层 1 班 化学 A 层 4 班 生物 A 层 1 班 化学 B 层 2 班 生物 B 层 2 班 历史 B 层 1 班 物理 A 层 1 班 生物 A 层 3 班 物理 A 层 2 班 生物 A 层 4 班 物理 B 层 2 班 生物 B 层 1 班 物理 B 层 1 班 物理 A 层 4 班 政治 1 班 物理 A 层 3 班 政治 2 班 政治 3 班 A8 种 B10 种 C12 种 D14 种 【分析】根据分类计数原理即可求出 【解答】解:由于生物在 B 层,只有第 2,3 节有,故分 2 两类, 若生物安排第 2 节,其他任

25、意排即可,故有 A336 种, 若生物安排第 3 节,则政治有 2 种方法,其他任意排,故有 C21A224 根据分类计数原理可得 6+410 种, 故选:B 【点评】本题考查了分类计数原理,关键是分类,属于基础题 16 (5 分)已知两个复数 z1、z2的实部和虚部都是正整数,关于代数式有以下 第 12 页(共 18 页) 判断:最大值为 2;无最大值;最小值为;无最小值,其中正确判断的序 号是( ) A B C D 【分析】根据复数的性质:,做到这 里就很难再进行下去了,所以考虑将问题转化为向量来解决 【解答】解:设 z1,z2,z1+z2在复平面对应的点分别为 A,B,C, 则 , 因为

26、 z1、z2的实部和虚部都是正整数,所以0,) , 2,cos0,所以,但是等号取不到,所 以无最小值; 对任意正整数 M,令 z11+i,z2M+Mi,则M,所以无最 大值 故选:C 【点评】复数和向量有密不可分的关系,相比复数而言,课本上有许多向量的知识与方 法,所以更加容易解决问题 三、三、解答题(本大题共解答题(本大题共 5 题,共题,共 76 分)分) 17 (14 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,平面 ADEF平面 ABCD,四边形 ADEF 为正方 形,四边形 ABCD 为梯形,且 ADBC,BAD90,ABAD1,BC3 ()求证:AFCD; ()求直线 BF 与平面 C

27、DE 所成角的正弦值; ()线段 BD 上是否存在点 M,使得直线 CE平面 AFM?若存在,求的值;若不 存在,请说明理由 第 13 页(共 18 页) 【分析】 ()利用两面垂直的性质定理易证; ()取 BC 的三等分点 G,H,把 BF 平移至 EG,作 GNCD 于 N,得GEN 即为所 求; ()连接 FH,易证 EC平面 AFH,连 AH 交 BD 于 M 即可 【解答】解: ()证明:四边形 ADEF 为正方形, AFAD, 又平面 ADEF平面 ABCD, AF平面 ABCD, AFCD; () 取 BC 的三等分点 G,H 如图, 连接 EG,可由 EFAD,ADBC,得 E

28、FBG, 且 EFADBG1, 四边形 BGEF 为平行四边形, GEBF, DEAF, DE平面 ABCD, 平面 EDC平面 ABCD, 作 GNCD 于 N, 则 GN平面 EDC, 连接 EN, 第 14 页(共 18 页) 则GEN 为 GE 与平面 EDC 所成的角, 在 RtCGD 中,求得 GN, 又 GEBF, sinGEN, 故直线 BF 与平面 CDE 所成角的正弦值为:; ()连接 FH, 易证四边形 EFHC 为平行四边形, ECFH, EC平面 AFH, 连接 AH 交 BD 于 M, 则 CE平面 AFM, 此时, 【点评】此题考查了线面垂直,面面垂直,线面所成角

29、,线面平行等,难度适中 18 (14 分)已知正整数 n2,f(x)(x+3)nanxn+an1xn 1+a 1x+a0 (1)若 f(x)的展开式中,各项系数之和比二项式系数之和大 992,求 n 的值; (2)若 n2019,且 ak是 an,an1,a ,a0中的最大值,求 k 的值 【分析】 (1)各项系数之和为:4n,各项二项式系数之和为:2n,再根据已知列方程解 得; (2)根据题意列式可解得 【解答】解: (1)各项系数之和为:4n,各项二项式系数之和为:2n, 4n2n992,解得 n5 (2)n2019 时,则,解得 504k505 k504 或 k505 【点评】本题考查了

30、二项式定理,属中档题 19 (14 分)设 zC 第 15 页(共 18 页) (1)若 z,且 z 是实系数一元二次方程 x2+bx+c0 的一根,求 b 和 c 的值; (2)若是纯虚数,已知 zz0时,|z|取得最大值,求 z0; (3)肖同学和谢同学同时独立地解答第(2)小题,已知两人能正确解答该题的概率分 别是 0.8 和 0.9,求该题能被正确解答的概率 【分析】 (1) (2)是对复数性质的考察, (1)和韦达定理有关, (2)要求|z+2i|,这在 复平面中表示两个复数所对应的点的距离,所以要数形结合,考察复平面上两点的距离, (3)则是一道概率的问题 【解答】解: (1)z1

31、i, 1+i, 因为 z2+bz+c0,所以+b +c0,即 z 和 是一元二次方程 x2+bx+c0 的两根, 所以 b(z+ )2,cz 2 (2), 因为是纯虚数, 所以+0z ( 4) + (z4) 0z 2(z+ )0 令 zx+yi,则 z x2+y2,z+ 2x,所以 x2+y24x0,即(x2)2+y222 在复平面中,z 点在以 2 为圆心,半径为 2 的圆中,|z+2i|表示 z 到点2i 的距离, 所以当|z+2i|取最大值时,z02 与 2+2i 共线且方向相同 所以 z0221+i,所以 z03+i (3)肖同学和谢同学都没能解答该题的概率分别为 0.2 和 0.1,

32、所以 P(该题没能被正确 解答)0.20.10.02,所以 P(该题能被正确解答)10.020.98 【点评】该题综合性很强,需要掌握良好的复数的性质和数形结合功底复数中共轭运 算具有良好的性质,是解决很多复数问题的不二之选 20 (16 分)已知以椭圆 E:l(ab0)的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰 好是面积为 4 的正方形 (1)求椭圆 E 的方程; (2)若(x,y)是椭圆 E 上的动点,求 2x+y 的取值范围; (3)直线 l:ykx+m(km0)与椭圆 E 交于异于椭圆顶点的 A,B 两点,O 为坐标原 点,直线 AO 与椭圆 E 的另一个交点为 C 点,直线 l 和直线 AO

33、的斜率之积为 1,直线 BC 与 x 轴交于点 M,若直线 BC,AM 的斜率分别为 k1,k2,试判断 k1+2k2是否为定值, 第 16 页(共 18 页) 若是,求出该定值;若不是,说明理由 【分析】 (1)根据题意可得,解得 a24,b22,即可求出椭圆的方程; (2)利用椭圆的参数方程,由三角函数知识求得取值范围即可; (3)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , (x1y10,x2y20) ,则 C(x1,y1) ,根据韦达定 理和斜率公式,即可求出 k1+2k20 【解答】解: (1)因为椭圆 E:l(ab0)的焦点和短轴端点为顶点的四边 形恰好是面积为 4 的正方形, 所

34、以,解得 a24,b22, 所以椭圆方程为 (2)由(1)得椭圆的参数方程为: , ( 是参数,且 0,2) , 因为(x,y)是椭圆 E 上的动点, 所以 2x+y4cos+sin(+) , (其中 sin,cos) , sin(+)1,1, 2x+y (3)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , (x1y10,x2y20) , 则 C(x1,y1) , 所以, 联立,消 y 可得 (1+2k2)x2+4kmx+2m240, 第 17 页(共 18 页) , , 直线 BC 的方程为:y+y1, 令 y0,由 y10,可得 x3x1, M(3x1,0) ,k2, , k1+2k20 【

35、点评】本题考查直线与椭圆,运算量较大,容易出错,难度属于中档题 21 (18 分)对于集合 Aa1,a2,an,Bb1,b2,bn,nN*,mN*,定 义 A+Bx+y|xA,yB集合 A 中的元素个数记为|A|规定:若集合 A 满足|A+A| ,则称集合 A 具有性质 T (1)已知集合 A1,3,5,7,B,写出|A+A|,|B+B|的值; (2)已知集合 A)2, ()3, ()n,其中 n3,证明:A 具有性质 T; (3)已知 nm2019,且集合 A,B 均有性质 T,求|A+B|的最小值 【分析】 (1)根据定义分别计算出集合 A+A,B+B 即可得到结论 (2)根据等比数列的通

36、项公式,利用反证法进行证明即可 (3)集合 A 具有性质 T,等价于任意两个元素之和均不相同,结合 A,B 元素性质进行 求解 【解答】解: (1)A+A2,4,6,8,10,12,14,则|A+A|7; B+B,1,3,2,4,则|B+B|10 (2)要证 A 具有性质 T,只需证明,若 n1n2n3n4,则 a+aa+a; 假设上式结论不成立,即若 n1n2n3n4,则 a+aa+a; 第 18 页(共 18 页) 即+, 即+1,()+ (1,(+1); 因为上式的右边为 3 的倍数,而上式的左边为 2 的倍数,所以上式不成立 故假设不成立,原命题成立 (3)由题意,集合 A 具有性质 T,等价于任意两个元素之和均不相同 如,对于任意的 abcd,有 a+db+c, 等价于 dcba,即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同 令 A*xy|xA,yA,xy, 所以 A 具有性质 T|A+A|,|A*| 因为集合 A,B 均有性质 T,且 nm, 所以|A+B|n2|A*B*|n2,当且仅当 AB 时等号成立 所以|A+B|的最小值为 【点评】本题主要考查集合新定义的应用,结合定义利用反证法是解决本题的关键综 合性较强,难度较大