1、吉林省长春市普通高中 2020 届高三质量监测（三）（三模） 理科数学试题 一选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 2 |4AxxZ,B=x|-4x2,则 AB= A.x|-2x2 B.x|-4x2 . 2, 1,0,1,2C . 2, 1,0,1D 2.已知复数 z=(a+i)(1-2i)(aR)的实部为 3,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的虚部为 A.-1 B.-i C.1 D.i 3.已知向量a=(1,-2),b=(3,-3),c=(1,t),若向量a与向量bc共线,则实数 t= A.5 B.-5 C
2、.1 D.-1 4.已知函数( )cos3sin 22 xx f x 的图象为 C,为了得到关于原点对称的图象,只要把 C 上所有的点 A.向左平移 3 个单位 B.向左平移 2 3 个单位 C.向右平移 3 个单位 D.向右平移 2 3 个单位 5.函数 3 ( ) xx x f x ee 的图象大致为 6.在 5 2 1 ()x x 的展开式中,一定含有 A.常数项 B.x 项 1 .Cx 项 3 .Dx项 7.已知直线 m,n 和平面, , , 有如下四个命题: 若 m,m/,则 ; 若 m,m/n,n,则 ; 若 n,n,m,则 m; 若 m,mn,则 n/. 其中真命题的个数是 A.
3、1 B.2 C.3 D.4 8.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一,风雨桥由桥塔亭组成,其塔俯视图通常是正方形正六边形和正八边 形.右下图是风雨桥中塔的俯视图该塔共 5 层,若 0112233400 0.5 ,8 .B BB BB BB BmA Bm这五层正六边形 的周长总和为 A.35m B.45m C.210m D.270m 9.已知圆 E 的圆心在 y轴上,且与圆 C: 22 20xyx的公共弦所在直线的方程为30,xy则圆 E 的方程 为 22 .(3)2Axy 22 .(3)2Bxy 22 .(3)3Cxy 22 .(3)3Dxy 10.某项针对我国义务教育数学课程标准的研究中,列出各个
4、学段每个主题所包含的条目数(如下表),下右 图是将统计表的条目数转化为百分比,按各学段绘制的等高条形图,由图表分析得出以下四个结论,其中错误的是 A.除了“综合与实践”外,其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加,尤其“图形与几何”在第三学段增加 较多,约是第二学段的 3.5 倍 B.所有主题中,三个学段的总和“图形与几何”条目数最多,占 50%,综合与实践最少,约占 4% C.第一二学段“数与代数”条目数最多,第三学段“图形与几何”条目数最多. D.“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长,而其百分比却一直在减少.“图形与几何”条目数,百分比都随 学段的增长而增长. 11.已知数列 n
5、a的各项均为正数,其前 n 项和 n S满足 2* 42,() nnn SaanN,设 1 ( 1), n nnn ba a Tn为数 列 n b的前 n 项和,则 20 T A.110 B.220 C.440 D.880 12.设椭圆的左右焦点为 12 ,F F焦距为2c,过点 1 F的直线与椭圆C交于点P,Q,若 2 | 2 ,PFc且 11 4 | 3 PFQF, 则椭圆 C 的离心率为 1 . 2 A 3 . 4 B 5 . 7 C 2 . 3 D 二填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.一名信息员维护甲乙两公司的5G网络,一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护的
6、概率分别为0.4和0.3, 则至少有一个公司不需要维护的概率为_. 14.等差数列 n a中, 1 1,a 公差 d1,2,且 3915 15,aaa则实数 的最大值为_. 15.若 12 ,x x是函数 2 ( )74f xxxlnx的两个极值点,则 1 2 x x _； 12 ()()f xf x_.(本题第一空 2 分,第 二空 3 分) 16.现有一批大小不同的球体原材料,某工厂要加工出一个四棱锥零件,要求零件底面 ABCD 为正方形,AB=2, 侧面PAD 为等边三角形,线段 BC 的中点为 E,若 PE=1.则所需球体原材料的最小体积为_. 三解答题:共 70 分,解答应写出文字说
7、明证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作 答第 2223 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分 17.(12 分) 笔墨纸砚是中国独有的文书工具,即“文房四宝”.笔墨纸砚之名,起源于南北朝时期,其中的“纸”指的是 宣纸,宣纸“始于唐代,产于泾县”,而唐代泾县隶属于宣州府管辖,故因地而得名“宣纸”,宣纸按质量等级,可分为正牌 和副牌(优等品和合格品),某公司年产宣纸10000刀(每刀100张),公司按照某种质量标准值 x给宣纸确定质量等级, 如下表所示: x (48,52 (44,48(52,56 (0,44(56,100 质量等级 正牌 副牌 废品
8、 公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀(100 张)进行检验,得到频率分布直方图如图所示,已知每张正牌纸的 利润是 10 元，副牌纸的利润是5 元，废品亏损10 元. (1)估计该公司生产宣纸的年利润(单位:万元); (II)该公司预备购买一种售价为 100 万元的机器改进生产工艺,这种机器的使用寿命是一年,只能提高宣纸的质 量,不影响产量,这种机器生产的宣纸的质量标准值 x 的频率,如下表所示: 其中x为改进工艺前质量标准值 x 的平均值,改进工艺后,每张正牌和副牌宣纸的利润都下降 2 元,请判断该公 司是否应该购买这种机器,并说明理由. 18.(12 分) 在ABC 中,角 A,B,C 所对
9、的边分别为 a,b,c,且 a=4ccosB. (1)求证:sinBcosC=3sinCcosB; (II)求 B-C 的最大值. 19.(12 分) 四棱锥P-ABCD中,ABCD为直角梯形,BC/AD,ADDC,BC=CD=1,AD=2,PA=PD,E 为PC中点,平面PAD平 面 ABCD，F 为 AD 上一点,PA/平面 BEF. (1)求证:平面 BEF平面 PAD; (II)若 PC 与底面 ABCD 所成的角为 60 .求二面角 E-BF-A 的余弦值. 20.(12 分) 已知点 A(0,1),点 B 在 y 轴负半轴上,以 AB 为边做菱形 ABCD,且菱形 ABCD 对角线
10、的交点在 x 轴上,设点 D 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程; (II)过点 M(m,0),其中 1m4,作曲线 E 的切线,设切点为 N,求AMN 面积的取值范围. 21.(12 分) 已知函数 1 ( )ln ,( )(0) x f xmxg xx x . (1)讨论函数 F(x)=f(x)-g(x)在(0,+)上的单调性; (II)是否存在正实数 m,使 y=f(x)与 y=g(x)的图象有唯一一条公切线,若存在,求出 m的值,若不存在,请说明理由. (二)选考题:共 10 分,请考生在 22-23 题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分. 22.选修 4-4 坐标
11、系与参数方程(10 分) 以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2 2 12 (0,) 23sin ,直线 1 的参数方程为 2 5 2 5 5 3 5 xt yt (t 为参数). (1)求曲线 C 的参数方程与直线 l 的普通方程; (II)设点 P 为曲线 C 上的动点,点 M 和点 N 为直线 l 上的点,且满足PMN 为等边三角形,求PMN 边长的取 值范围. 23.选修 4-5 不等式选讲(10 分) 已知函数 2 , , 3f xmxmg xxR. (1)当 xR 时,有 f(x)g(x),求实数 m 的取值范围; (II)若不等式 f(x)0 的解集为1,3,正数 a,b 满足 ab-2a-b=3m-1,求 a+b 的最小值.