1、辽宁省大连市辽宁省大连市 2020 届高三下学期第一次模拟考试届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）试题数学（理）试题 第 I 卷 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) (1)设集合 A=x|-20, 11 1 ab ,则 a+b 的最小值为() 1 ( ) 4 A 1 ( ) 2 B (C)2 (D)4 (11)已知 a,b 是两条直线, 是三个平面,则下列命题正确的是() (A)若 a/,b/,a/b,则 / (B)若 ,a,则 a/ (C)若 ,=a,则 a (D)若 /,a/,则 a/ (12)易经是中国传统
2、文化中的精髓,下图是易经后天八卦图(含乾坤巽震坎离艮兑八卦),每一卦由 三根线组成(表示一根阳线,表示一根阴线),从八卦中任取两卦,记事件 A=“两卦的六根线中恰有两 根阳线”,B=“有一卦恰有一根阳线”,则 P(A|B)=() 1 ( ) 5 A 1 ( ) 6 B 1 ( ) 7 C 3 () 14 D 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答，第 22 题第 23 题为 选考题,考生根据要求做答 二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) (13)已知 x,y 满足约束条件 0
3、, 0, 2 xy x y 则 z=x+y 的最大值为_. (14)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 y=x,则该双曲线的离心率为_. (15)定义在(1,+)上的函数 f(x)满足下列两个条件:(1)对任意的 x(1,+)恒有 f(2x)=2f(x)成立;(2)当 x(1,2 时,f(x)=2-x.则 f(6)的值是|_. (16)如图,在正方体 1111 ABCDABC D中,点 O 为线段 BD 的中点设点 P 在线段 1 CC上二面角 1 ABDP 的平面角为 ,用图中字母表示角 为_，sin 的最小值是_. 三解答题:(本大题共 6 小题,共
4、 70 分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤) (17)(本小题满分 12 分) 设函数 2 ( )2sin cos2cos () 4 f xxxx . (1)求 f(x)的单调递增区间; (II)在锐角ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若0,3,1 2 B fac ,求 b. (18)(本小题满分 12 分) 某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况,从高一高二年级学生中分别随机抽取 100 人,由调查结果 得到如下的频率分布直方图: (1)写出频率分布直方图(高一)中a的值;记高一高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为 22 12 ,ss,试比较 22 12
5、,ss的大小(只要求写出结论); (II)估计在高一高二学生中各随机抽取 1 人,恰有一人的锻炼时间大于 20 分钟的概率; (III)由频率分布直方图可以认为,高二学生锻炼时间 Z 服从正态分布 2 ( ,),N .其中 近似为样本平均数 2 , x近似为样本方差,且每名学生锻炼时间相互独立,设 X 表示从高二学生中随机抽取 10 人,其锻炼时间位于 (14.55,38.45)的人数,求 X 的数学期望. 注:同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得 2 142.7511.95s 若 ZN(, 2), 则()0.6826Pz,(22 )0.9544Pz (19)(木小题满分 12 分) 如图
6、,三棱柱 111 ABCABC中,侧面 11 BBCC为菱形,A 在侧面 11 BBCC上的投影恰为 1 BC的中点 O,E 为 AB 的中点. (I)证明:/ /OE平面 11 ACC A； (II)若 11 2 60 ,cos, 4 CBBACC 在线段 11 C A上是否存在点 F(F 不与( 11 ,C A重合)使得直线 EF 与平 面 11 ACC A成角的正弦值为 3 . 7 .若存在,求出 1 11 C F C A 的值;若不存在,说明理由. (20)(本小题满分 12 分) 已知过点 3 (1,) 2 P的曲线 C 的方程为 2222 (1)(1)2xyxya. (I)求曲线
7、C 的标准方程: (II)已知点 F(1,0),A 为直线 x=4 上任意一点,过 F 作 AF 的垂线交曲线 C 于点 B,D. (i)证明:OA 平分线段 BD(其中 O 为坐标原点); (ii)求 | | BD AF 最大值. (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 2 ( )2sin2f xxxxa. (I)当 a=0 时,求 f(x)零点处的切线方程; (II)若 f(x)有两个零点 1212 ,(),x x xx求证: 2 21 1 (2 )xx a. 请考生在 22,23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选 题目对应的标
8、号涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,0),B(1,0),动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为-4.记 M 的轨迹为 曲线 C.以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 1 的极坐标方程为 2 cos3 sin110. (I)求 C 和 l 的直角坐标方程: 则 f(6)的值是_. (23)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 2, 3f xmxmg xxR，. (I)当 xR 时,有 f(x)g(x),求实数 m 的取值范围. (II)若不等式 f(x)0 的解集为1,3,正数 a,b 满足 ab-2a-b=3m-1,求 a+b 的最小值.