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2019-2020学年北京市大兴区高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、设 ab,则一定成立的是( ) Aa2b2 B C Da+b2b 2 (5 分)若数列an满足 an+1ann,a12,则 a4( ) A6 B7 C8 D9 3 (5 分)若 a0,b0,且 a+b1,则 ab 的最大值为( ) A B C D 4 (5 分)若数列an满足 an,则an的前 n 项和为( ) A B C D 5 (5 分)设 x,a,b 是任意实数,则“xa2+b2”是“x2ab”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6 (5 分)已知地球运行的轨道是焦距为 2c,离心率为 e 的椭圆,且太阳在这个椭圆的一个 焦点上,则地

2、球到太阳的最小距离为( ) Acec B2ce2c Cc D2c 7 (5 分)若椭圆+1(ab0)的右焦点 F(c,0)关于直线 yx 的对称点在 此椭圆上,则该椭圆的离心率为( ) A B C D 8 (5 分)若 a,b 是函数 f(x)x2+mx+n(m0,n0)的两个不同的零点,且 a,b, 1 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 m+n( ) A B1 C D 二、填空题共二、填空题共 6 小题,每题小题,每题 5 分,共分,共 30 分分 9 (5 分)不等式 x21 的解集为 10 (5 分)命题“aR,a20”的否定是 第 2 页(共 14 页) 1

3、1 (5 分)椭圆 x2+4y216 上点的纵坐标的取值范围是 12 (5 分)已知数列an的前 n 项和 Snn2+tn,且 a31,则 t 13 (5 分)若不等式 x2+1mx 对 x(0,+)恒成立,则实数 m 的取值范围是 14 (5 分)定义“等积数列” :如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的乘积都等 于同一个不为零的常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做等积数列的公积, 已知数列an是 a12,公积为6 的等积数列,则 a3 ;数列an的前 n 项和 Sn 三、解答题共三、解答题共 6 小题,共小题,共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出

4、文字说明、证明过程或演算步骤 15 (13 分)已知 ab0,求证: 已知 x1,当 x 取什么值时,x+的值最小?最小值是多少? 16 (13 分)设an是等差数列,a18,且 a2+8,a3+6,a4+4 成等比数列 ()求an的通项公式: ()求an的前 n 项和 Sn的最小值; ()若bn是等差数列,bn与an的公差不相等,且 b5a5,问:an和bn中除第 5 项外,还有序号相同且数值相等的项吗?(直接写出结论即可) 17 (13 分)已知函数 f(x)x2+(2a)x2a,aR ()当 a0 时,求 f(x)0 的解集; ()求使 f(x)0 的 x 的取值范围; ()写出“函数

5、f(x)在 x(1,2)上的图象在 x 轴上方”的一个充分条件 (直接写 出结论即可) 18 (13 分)已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F1(1,0) ,F2(1,0) ,且椭圆 C 经过点(1, ) (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)当 m 取何值时,直线 yx+m 与椭圆 C:有两个公共点;只有一个公共点;没有公 共点? 19 (14 分)设an是等比数列,a11,a3a2 (1)求an的通项公式: (2)求 a2+a4+a6+a2n2+a2n; 第 3 页(共 14 页) (3)在 an和 an+1之间插入 n 个数,其中 n1,2,3,使这 n+2 个数成等差数列记 插入的 n

6、个数的和为 Sn,求 Sn的最大值 20 (14 分)已知椭圆 C:+1(ab0)经过点 A(0,1) ,离心率为,过原 点 O 的直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 P,Q ()求椭圆 C 的长半轴长; ()求|PQ|的最大值; ()若直线 AP,AQ 分别与 x 轴交于点 E,F,求证:AEO 的面积与AFO 的面积 的乘积为定值 第 4 页(共 14 页) 2019-2020 学年北京市大兴区高二(上)期中数学试学年北京市大兴区高二(上)期中数学试卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题列出

7、的四个选项中,选出符合题目分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的要求的 1 (5 分)设 ab,则一定成立的是( ) Aa2b2 B C Da+b2b 【分析】通过取特殊值,即可判断出 ABC 的正误,利用基本不等式的性质即可判断出 D 的正误 【解答】解:ab A取 a1,b2,可知:a2b2,因此不正确 B取 a1,b2,可知:,不存在,因此不正确 C取 a1,b2,可知:,因此不正确 Da+b2b,正确 故选:D 【点评】本题考查了不等式的基本性质、特殊值法法,考查了推理能力与计算能力,属 于基础题 2 (5 分)若数列an满足 an+1ann,a12,则 a4( ) A6 B

8、7 C8 D9 【分析】利用数列的递推关系式,逐步求解即可 【解答】解:数列an满足 an+1ann,a12, 所以 a23, a33+25, a45+38, 故选:C 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用,数列项的求法,是基本知识的考查 3 (5 分)若 a0,b0,且 a+b1,则 ab 的最大值为( ) A B C D 第 5 页(共 14 页) 【分析】利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解:a0,b0,且 a+b1, ab()2, 当且仅当 ab时取等号 所以 ab 的最大值是 故选:B 【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键 4 (5 分)若数列an满足 an,则an的前

9、 n 项和为( ) A B C D 【分析】求得 an,由数列的裂项相消求和,计算可得所求和 【解答】解:an, 则an的前 n 项和为 1+1 故选:C 【点评】本题考查数列的裂项相消求和,化简运算能力,属于基础题 5 (5 分)设 x,a,b 是任意实数,则“xa2+b2”是“x2ab”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【解答】解:设 x,a,b 是任意实数, 由重要不等式可得 a2+b22ab 恒成立,当且仅当 ab 时取等号, 则“xa2+b2”能推出“x2ab” ; “x2a

10、b”不能推出“xa2+b2” 则“xa2+b2”是“x2ab”的充分不必要条件; 故选:A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据充分条件和必要条件的定义是 解决本题的关键 6 (5 分)已知地球运行的轨道是焦距为 2c,离心率为 e 的椭圆,且太阳在这个椭圆的一个 第 6 页(共 14 页) 焦点上,则地球到太阳的最小距离为( ) Acec B2ce2c Cc D2c 【分析】根据地球到太阳的最大距离是 a+c,最小距离是 ac,即可求得结论 【解答】解:地球运行的轨道是焦距为 2c,离心率为 e 的椭圆, 椭圆的长半轴长为, 则地球到太阳的最小距离为:(2c) 故选:C 【点评

11、】本题考查椭圆的性质,考查学生的计算能力,属于中档题 7 (5 分)若椭圆+1(ab0)的右焦点 F(c,0)关于直线 yx 的对称点在 此椭圆上,则该椭圆的离心率为( ) A B C D 【分析】利用直线斜率以及对称点的性质,求出 Q 到两焦点的距离,再利用椭圆的性质 可求出 b 与 c 之间的关系,然后求解离心率即可 【解答】解:根据椭圆定义运用数形结合思想求解,设椭圆的另一个焦点为 F1(c,0) , 如图连接 Q1F,QF, 设 QF 与直线 yx 交于点 M,由题意知 M 为线段 QF 的中点, F1QOM,又OMFQ, F1QQF,|F1Q|2|OM|, 在 RtMOF 中,tan

12、MOF,|OF|c, 可得|OM|,|MF|, 故|QF|2|MF|,|QF1|2|OM|, 由椭圆定义得|QF|+|QF1|+2a,得 bc, ac, 故 e 故选:D 第 7 页(共 14 页) 【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用,考查对称知识以及计算能力,是中档题 8 (5 分)若 a,b 是函数 f(x)x2+mx+n(m0,n0)的两个不同的零点,且 a,b, 1 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 m+n( ) A B1 C D 【分析】根据 a,b 是函数 f(x)的两个不同的零点,和方程根与系数的关系,利用判别 式0,等差与等比数列的定义,求出

13、a,b,进而得到 m,n 的值,即可得出 m+n 的 值 【解答】解:a,b 是函数 f(x)x2+mx+n(m0,n0)的两个不同的零点, a+bm,abn,且m24n0; 不妨设 ab0, 由于 a,b,1 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列, 1,b,a 或 a,b,1 成等差数列,a,1,b 或 b,1,a 成等比数列, a12b,ab(1)2, 解得 a2,b(a1 舍去) , m,n1, 满足0, 则 m+n 故选:A 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系 数的关系,也考查了推理能力与计算能力,是综合性题目 二、填空题共

14、二、填空题共 6 小题,每题小题,每题 5 分,共分,共 30 分分 9 (5 分)不等式 x21 的解集为 x|1x1 【分析】由不等式 x21,通过因式分解可得(x+1) (x1)0,即可求得解集 【解答】解:由不等式 x21,化为(x+1) (x1)0,解得1x1 第 8 页(共 14 页) 不等式 x21 的解集为x|1x1 故答案为:x|1x1 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,属于基础题 10 (5 分)命题“aR,a20”的否定是 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论 【解答】解:根据全称命题的否定是特称命题得:命题“aR,a20”的否定是: 故答案为: 【点评

15、】本题主要考查含有量词的命题的否定,要求熟练掌握全称命题的否定是特称命 题,特称命题的否定是全称命题 11 (5 分)椭圆 x2+4y216 上点的纵坐标的取值范围是 2,2 【分析】化简方程为椭圆的标准方程,然后写出结果即可 【解答】解:椭圆 x2+4y216 的标准方程为:, 可得 y2,2 故答案为:2,2 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,是基本知识的考查,基础题 12 (5 分)已知数列an的前 n 项和 Snn2+tn,且 a31,则 t 4 【分析】根据题意,分析可得 a3S3S2(9+3t)(4+2t)5+t1,计算可得 t 的 值,即可得答案 【解答】解:根据题意,数列a

16、n的前 n 项和 Snn2+tn, 则 a3S3S2(9+3t)(4+2t)5+t1, 解可得:t4; 故答案为:4 【点评】本题考查数列的前 n 项公式和与通项的公式关系,属于基础题 13 (5 分)若不等式 x2+1mx 对 x(0,+)恒成立,则实数 m 的取值范围是 (, 2) 【分析】由题意,对 x(0,+)恒成立,由双勾函数的性质即可得解 第 9 页(共 14 页) 【解答】解:不等式 x2+1mx 对 x(0,+)恒成立, 对 x(0,+)恒成立, 设,由双勾函数的性质可知,f(x)minf(1)2, m2 故答案为: (,2) 【点评】本题考查不等式的恒成立问题,考查双勾函数的

17、性质,考查转化思想及函数思 想,属于基础题 14 (5 分)定义“等积数列” :如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的乘积都等 于同一个不为零的常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做等积数列的公积, 已知数列an是 a12,公积为6 的等积数列,则 a3 2 ;数列an的前 n 项和 Sn 【分析】由等积数列的定义,可得 a12,a23,a32,a43,即为周期为 2 的数列,即可得到数列前 n 项和以及第三项 【解答】解:数列an是等积数列且 a12,公积为6, 可得 a23,a32,a43, 则前 n 项和 Sn2+(3)+2+(3)+ n2k,有 k 个 2,k 个3,S

18、n2k3kk; n2k+1,有(k+1)个 2,k 个3,Sn2(k+1)3kk+2 Sn 故答案为:2, 【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查数列的求和,注意运用周期性,考查运算 能力,属于基础题 三、解答题共三、解答题共 6 小题,共小题,共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 (13 分)已知 ab0,求证: 第 10 页(共 14 页) 已知 x1,当 x 取什么值时,x+的值最小?最小值是多少? 【分析】作差法证明即可; 利用基本不等式判断即可 【解答】解:证明:ab0, 故; 当 x1 时,x+10,yx+x+1+1,

19、当且仅当 x+13,即 x2 时,取等号, 故当 x2 时,x+值最小,最小为 5 【点评】考查了作差法和基本不等式法的应用,基础题 16 (13 分)设an是等差数列,a18,且 a2+8,a3+6,a4+4 成等比数列 ()求an的通项公式: ()求an的前 n 项和 Sn的最小值; ()若bn是等差数列,bn与an的公差不相等,且 b5a5,问:an和bn中除第 5 项外,还有序号相同且数值相等的项吗?(直接写出结论即可) 【分析】 ()an是公差设为 d 的等差数列,运用等比数列的中项性质和等差数列的通 项公式,解方程可得公差 d,进而得到所求通项公式; ()运用等差数列的求和公式和二

20、次函数的最值求法,注意结合数列的定义域,可得 所求最小值; ()运用等差数列的通项公式,以及方程思想,即可判断 【解答】解: ()an是公差设为 d 的等差数列,a18,且 a2+8,a3+6,a4+4 成等 比数列, 可得(a3+6)2(a2+8) (a4+4) , 即有(8+2d+6)2(8+d+8) (8+3d+4) ,解得 d2, 则 an8+2(n1)2n10; ()an的前 n 项和 Snn(8+2n10)n(n9)(n)2, 由于 n 为自然数,可得 n4 或 5 时,Sn取得最小值20; ()不再存在序号相同且数值相等的项 【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质

21、,考查方程思想和运算能 第 11 页(共 14 页) 力,以及推理能力,属于基础题 17 (13 分)已知函数 f(x)x2+(2a)x2a,aR ()当 a0 时,求 f(x)0 的解集; ()求使 f(x)0 的 x 的取值范围; ()写出“函数 f(x)在 x(1,2)上的图象在 x 轴上方”的一个充分条件 (直接写 出结论即可) 【分析】 ()当 a0 时,f(x)x2+2x,所以不等式 f(x)0,即为 x2+2x0,结合 二次函数图象即可得出不等式的解集 ()分三种情况当 a2 时,当 a2 时,当 a2 时来解不等式 ()只要所举的条件能推出“函数 f(x)在 x(1,2)上的图

22、象在 x 轴上方” ,即可 【解答】解: ()当 a0 时,f(x)x2+2x, 所以不等式 f(x)0,即为 x2+2x0, 所以不等式的解集为x|2x0, f(x)0 的 x 的取值范围2x0 ()不等式 f(x)0,即为 x2+(2a)x2a0 (x+2) (xa)0, 当 a2 时,不等式的解集为x|x2,xR, 当 a2 时,不等式的解集为x|x2 或 xa, 当 a2 时,不等式的解集为x|x2,xa, ()当 a2 时,函数 f(x)在 x(1,2)上的图象在 x 轴上方 【点评】本题考查二次函数的图象和性质,属于中档题 18 (13 分)已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F1(1

23、,0) ,F2(1,0) ,且椭圆 C 经过点(1, ) (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)当 m 取何值时,直线 yx+m 与椭圆 C:有两个公共点;只有一个公共点;没有公 共点? 【分析】 (1)设出椭圆 C 的标准方程,利用交点坐标和椭圆 C 经过点(1,) ,列出方 程组,即可解出 a,b 的值,从而得出椭圆 C 的标准方程; (2)联立椭圆方程与直线 yx+m,利用的值即可求出直线 yx+m 与椭圆 C:有两个 第 12 页(共 14 页) 公共点、只有一个公共点、没有公共点时 m 的值 【解答】解: (1)设椭圆 C 的标准方程为+1, (ab0) , 由题意可得:,解得, 椭

24、圆 C 的标准方程为:1; (2)联立,消去 y 得:7x2+8mx+4m2120, 则64m247(4m212)33648m2, 当0,即时,方程有两个不同的实数根,直线 yx+m 与椭圆 C 有两个公共点, 当0,即 m时,方程有两个相等的实数根,直线 yx+m 与椭圆 C 只有 一个公共点, 当0,即 m或 m时,方程无实数根,直线 yx+m 与椭圆 C 没有公 共点 【点评】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,是中档题 19 (14 分)设an是等比数列,a11,a3a2 (1)求an的通项公式: (2)求 a2+a4+a6+a2n2+a2n; (3)在 an和 an+1之间插入 n

25、个数,其中 n1,2,3,使这 n+2 个数成等差数列记 插入的 n 个数的和为 Sn,求 Sn的最大值 【分析】 (1)设an是公比为 q 的等比数列,由等比数列的通项公式可得公比,进而得 到所求通项公式; (2)由等比数列的求和公式,计算可得所求和; (3)求得 an+an+1()n 1+( )n ()n 1,运用等差数列的求和公式,结合 数列的单调性,可得所求和的最大值 第 13 页(共 14 页) 【解答】解: (1)设an是公比为 q 的等比数列,a11,a3a2, 可得 q, 则 an()n 1; (2)a2+a4+a6+a2n2+a2n+()2n 3+( )2n 1 (1()n)

26、 ; (3)an()n 1, an+an+1()n 1+( )n ()n 1, 依题意得 Snn ()n 1, Sn+1Sn(n+1) ()nn ()n 1 (3n) ()n 1, S1S2,S2S3,S3S4S5 Sn的最大值为 S3S44 【点评】本题考查等比数列的公比的求法,考查等差数列的前 n 项和的最大值的求法, 是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列、等差数列的性质的合理运用 20 (14 分)已知椭圆 C:+1(ab0)经过点 A(0,1) ,离心率为,过原 点 O 的直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 P,Q ()求椭圆 C 的长半轴长; ()求|PQ|的最大值; ()若

27、直线 AP,AQ 分别与 x 轴交于点 E,F,求证:AEO 的面积与AFO 的面积 的乘积为定值 【分析】 ()由离心率及过的点 A 和 a2b2+c2,可得 a,b 的值,即是椭圆方程求出; ()由题意得过原点的直线与椭圆交点弦中长轴最大,即可得出最大值; ()由题意设直线 PQ,代入椭圆得参数的关系,得 P,Q 的坐标关于原点对称,可求 出直线 AP,AQ 与 x 轴的交点坐标,得两个三角形的面积用坐标表示,进而得出面积之 第 14 页(共 14 页) 积为定值 【解答】解: ()由题意:b1,e,1,a23b23,所以椭圆 的长半轴; ()由()得椭圆 C 的方程:+y21,过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 有两个不同 的交点 P,Q 则知,|PQ|为长轴时最大即为|PQ|2a2; ()显然直线 l 的斜率存在,设 ykx,P(m,km)则 Q(m,km)代入椭圆中得: +(km) 21,m231(km)2,所以直线 AP:y x+1,令 y0,x 所以 E(,0) ,同理求出 F(,0) , 所以 SAEOSAFO|OA|2|OE|OF|1 |为定值; 所以:AEO 的面积与AFO 的面积的乘积为定值 【点评】考查直线与椭圆的综合,属于中档题