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2019-2020学年北京市民大附中高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、在各项均为正数的等比数列an中,a12 且 a2,a4+2,a5成等差数列,记 Sn是 数列an的前 n 项和,则 S5( ) A32 B62 C27 D81 8 (5 分)已知直线 l1:mxy+2m0 与直线 l2:x+my20 的交点为 Q,椭圆 1 的焦点为 F1,F2,则|QF1|+|QF2|的取值范围是( ) A4,+) B4,6 C2,+) D2,6 二、填空题: (本大题共二、填空题: (本大题共 6 小题每小题小题每小题 5 分,共分,共 30 分)分) 9 (5 分)双曲线y21 的渐近线方程为 10 (5 分)椭圆的焦点在 x 轴上,则实数 m 的取值范围是 第 2 页(

2、共 15 页) 11 (5 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S70,S80,则 n 时,Sn取得 最小值 12 (5 分)已知抛物线 y24x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 B(3,2) ,则 |PB|+|PF|的最小值为 13 (5 分)若 x0,y0,且1,则 x+3y 的最小值为 14 (5 分)设双曲线1(a0,b0)的两个焦点分别是 F1、F2,以线段 F1F2 为直径的圆交双曲线于 A、B、C、D 四点,若 A、B、C、D、F1、F2恰为正六边形的六 个顶点,则双曲线的离心率等于 三、解答题: (本大题共三、解答题: (本大题共 6 小题,共小题,共

3、 80 分分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15 (13 分)已知等差数列an中,a42,a810 ()求数列an的通项公式; ()求数列an的前 n 项和公式 Sn 16 (13 分)共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市 民使用,据市场分析,每辆单车的营运累计利润 y(单位:元)与营运天数 x(xN*)满 足函数关系式 y+60x800 (1)要使营运累计利润高于 800 元,求营运天数的取值范围; (2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运利润的值最大? 17 (14 分)已知点 F1、F2是椭圆1

4、的焦点,P 是椭圆上一点,直线 l:yx+m ()求PF1F2的周长; ()若直线 l 与椭圆相切,求 m 的值; ()当 m1 时,直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,求弦长|AB| 18 (13 分)已知数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn2an1, (nN*) ()求证:数列an为等比数列; ()若数列bn满足 bn(2n+1)an,求数列bn的前 n 项和 Tn 19 (14 分)已知椭圆1(ab0)过点(0,1) ,且椭圆的离心率 e ()求椭圆的标淮方程; 第 3 页(共 15 页) ()直线 l 过点 A(1,0)且与椭圆相交于 C、D 两点,椭圆的右顶点为 B,试判断 CB

5、D 是否能为直角若能为直角,求出直线 l 的方程,若不行,请说明理由 20 (13 分)已知数列an满足 an+an+1+an+2r(r0) ()若 r0,a11,a22,求 a3,a4,a2019及 Sn; ()数列an的前三项是等差数列,公差为 d,则有 a2 ,若数列bn满足 bn an,对于任意的正整数 n,均有 bnbn+1,求 d 的范围 第 4 页(共 15 页) 2019-2020 学年北京市民大附中高二(上)期中数学试卷学年北京市民大附中高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 8 小题每小题小题每小题 5 分,共

6、分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合分在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项)题目要求的一项) 1 (5 分)已知数列an的通项公式为 ann2+2n,则 a10( ) A100 B110 C120 D130 【分析】在数列an的通项公式中,令 n10,可得 a10的值 【解答】解:数列an的通项公式为 ann2+2n,则 a10102+210120, 故选:C 【点评】本题主要考查数列的函数特性,求函数的值,属于基础题 2 (5 分)双曲线1 的焦点坐标为( ) A (0)和(0,) B (,0)和(,0) C (0,)和(0,) D (,0)和(,0) 【分析】求

7、得双曲线的 a,b,c,可得双曲线的焦点坐标 【解答】解:双曲线1 的 a,b2,c, 可得双曲线的焦点为(,0) , (,0) 故选:B 【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要是焦点的坐标,考查方程思想和运算能力, 属于基础题 3 (5 分)抛物线 y22x 的准线方程是( ) Ay By Cx Dx 【分析】根据抛物线的方程可得 2p2,算出,结合抛物线的基本概念即可算出此 抛物线的准线方程 【解答】解:抛物线的方程为 y22x, 2p2,得, 第 5 页(共 15 页) 可得抛物线的焦点为 F(,0) ,准线方程为 x 故选:D 【点评】本题给出抛物线的标准方程,求抛物线的准线方程着重

8、考查了抛物线的标准 方程与简单几何性质等知识,属于基础题 4 (5 分)已知不等式 x2+bx+c0 的解集是1,2,则 b+c 的值为( ) A1 B1 C2 D2 【分析】根据不等式的解集得出对应方程的实数根,由根与系数的关系求出 b 和 c 的值, 再计算 b+c 【解答】解:不等式 x2+bx+c0 的解集是1,2, 所以方程 x2+bx+c0 的实数根为 1 和 2, 所以,b3,c2; 所以 b+c3+21 故选:A 【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与对应方程解的问题,是基础题 5 (5 分)若 a,b 为正实数,且 a+b2,则 ab 的最大值为( ) A B1 C2 D2

9、 【分析】由 a,b 为正实数,则 a+b2,得出结论 【解答】解:a,b 为正实数,且 a+b2,当且仅当 ab1 成立, 所以 ab1, 故选:B 【点评】考查基本不等式的应用,基础题 6 (5 分)下列结论正确的是( ) A若 acbc,则 ab B若 a2b2,则 ab C若 ab,c0,则 a+cb+c D若,则 ab 【分析】A当 c0 时,由 acbc,得 ab,故 A 不正确B若 a2b2,则 ab,或 ab,故 B 不正确 C若 ab,c0,则 a+cb+cD由不等式的基本性质即可判断 【解答】解:,a,bR+,即 ab 故选:D 第 6 页(共 15 页) 【点评】掌握不等

10、式的基本性质是正确判断的关键 7 (5 分)在各项均为正数的等比数列an中,a12 且 a2,a4+2,a5成等差数列,记 Sn是 数列an的前 n 项和,则 S5( ) A32 B62 C27 D81 【分析】 利用等差数列的性质及等比数列的通项公式求出公比, 然后代入等比数列的前 n 项和公式得答案 【解答】解:设各项均为正数的等比数列an的公比为 q,又 a12, 则 a22q,a4+22q3+2,a52q4, a2,a4+2,a5成等差数列, 4q3+42q+2q4, 2(q3+1)q(q3+1) , 由 q0,解得 q2, 故选:B 【点评】本题考查等比数列前 n 项和,考查了等差数

11、列性质的应用,是基础的计算题 8 (5 分)已知直线 l1:mxy+2m0 与直线 l2:x+my20 的交点为 Q,椭圆 1 的焦点为 F1,F2,则|QF1|+|QF2|的取值范围是( ) A4,+) B4,6 C2,+) D2,6 【分析】根据题意,由直线的方程分析可得直线 l1恒过点(2,0) ,直线 l2恒过点(2, 0) , 且直线 l1与直线 l2相互垂直, Q 为两直线的交点, 进而分析可得 Q 的轨迹, 设 Q (m, n) ,求出椭圆的焦点坐标,分析可得用 m 表示|QF1|2和|QF1|2的值,据此分析可得答案 【解答】解:由条件可知 l1恒过点 M(2,0) ,l2恒过

12、点 N(2,0) ,且 l1,l2垂直,所 以点 Q 在以 O 为圆心,MN 为直径的圆上运动, 设 Q(m,n) ,则 m2+n24, 根据椭圆方程可知焦点坐标分别为 F1(,0) ,F2(,0) , 则当 Q 与 F1和 F2共线时,|QF1|+|QF2|最短为|F1F2|2, 又因为|QF1|2(m+)2+n29+2m,|QF2|2(m)2+n292m, 而|QF1|+|QF2|6,当仅当 m0,n2 时成立, 第 7 页(共 15 页) 故|QF1|+|QF2|的取值范围是2,6, 故选:D 【点评】本题考查椭圆的几何性质,涉及轨迹方程的计算,分析出点 Q 的轨迹是关键, 属于中档题

13、二、填空题: (本大题共二、填空题: (本大题共 6 小题每小题小题每小题 5 分,共分,共 30 分)分) 9 (5 分)双曲线y21 的渐近线方程为 y 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定 双曲线的渐近线方程 【解答】解:双曲线的 a2,b1,焦点在 x 轴上 而双曲线的渐近线方程为 y 双曲线的渐近线方程为 y 故答案为:y 【点评】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方 程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想 10 (5 分)椭圆的焦点在 x 轴上,则实数 m 的取值范围是 (2,3) 【分析】利用椭圆的标准方程

14、,结合焦点所在的轴,列出不等式求解即可 【解答】解:椭圆的焦点在 x 轴上,m13m0, 解得:2m3, 故答案为: (2,3) 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,是基本知识的考查,是基础题 11 (5 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S70,S80,则 n 4 时,Sn取得最 小值 【分析】由等差数列的性质,得 a40,a50,再得出结论 【解答】解:等差数列an的前 n 项和为 Sn,由 S77a40,得 a40, 第 8 页(共 15 页) ,故 a50, 所以前 4 项和最小, 故答案为:4 【点评】考查等差数列前 n 项和为 Sn及其性质,基础题 12 (5 分)已

15、知抛物线 y24x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 B(3,2) ,则 |PB|+|PF|的最小值为 4 【分析】 过B作BA准线, 交准线于点A, 则|PB|+|PF|的最小值为|AB|, 由此能求出|PB|+|PF| 的最小值 【解答】解:抛物线 y24x 的焦点是 F,焦点 F(1,0) ,准线方程 x1, 如图,过 B 作 BA准线,交准线于点 A, |PB|+|PF|的最小值为|AB|, B(3,2) , |PB|+|PF|的最小值 (|PB|+|PF|)min|AB|1+34 故答案为:4 【点评】本题考查两线段和的最小值的求法,考查抛物线、直线方程等基础知识,考查

16、 推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题 13 (5 分)若 x0,y0,且1,则 x+3y 的最小值为 16 【分析】利用基本不等式的性质和“乘 1 法”即可得出 第 9 页(共 15 页) 【解答】解:x,y0,且, x+3y10+10+616, 当且仅当 x+3y1, 即y 取等号 因此 x+3y 的最小值为 16 故答案为 16 【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键 14 (5 分)设双曲线1(a0,b0)的两个焦点分别是 F1、F2,以线段 F1F2 为直径的圆交双曲线于 A、B、C、D 四点,若 A、B、C、D、F1、F2恰为正六边形的六

17、个顶点,则双曲线的离心率等于 +1 【分析】由题意可得正六边形的边长为 c,由双曲线的定义可得|BF1|BF2|2a,即c c2a,运用双曲线的离心率公式,即可得到所求值 【解答】解:A、B、C、D、F1、F2恰为正六边形的六个顶点,|F1F2|2c, 可得正六边形的边长为 c,|BF1|c, 由双曲线的定义可得|BF1|BF2|2a, 即cc2a,即有 e+1 故答案为:+1 【点评】本题考查双曲线的定义和性质,圆与内接正六边形的关系,考查化简运算能力, 属于中档题 三、解答题: (本大题共三、解答题: (本大题共 6 小题,共小题,共 80 分分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤解答

18、应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 第 10 页(共 15 页) 15 (13 分)已知等差数列an中,a42,a810 ()求数列an的通项公式; ()求数列an的前 n 项和公式 Sn 【分析】 ()由等差数列通项公式列出方程组,求出 a14,d2,由此能求出数列 an的通项公式 2n6 ()由 a14,d2,能求出数列an的前 n 项和公式 【解答】解: ()等差数列an中,a42,a810 , 解得 a14,d2, an4+(n1)22n6 数列an的通项公式为 an2n6 ()a14,d2, 数列an的前 n 项和公式: Sn4n+n25n 【点评】本题考查等差数列的通项公式、前

19、 n 项和公式的求法,考查等差数列的性质等 基础知识,考查运算求解能力,是基础题 16 (13 分)共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市 民使用,据市场分析,每辆单车的营运累计利润 y(单位:元)与营运天数 x(xN*)满 足函数关系式 y+60x800 (1)要使营运累计利润高于 800 元,求营运天数的取值范围; (2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运利润的值最大? 【分析】 (1)令 y800,解出 x 的范围; (2)利用基本不等式求出的最大值及对应的 x 的值即可得出结论 【解答】解: (1)令 yx2+60x800800, 解得 40x80

20、, 营运天数的取值范围是 40 天到 80 天之间 第 11 页(共 15 页) (2)x+602+6020 当且仅当x即 x40 时取等号 每辆单车营运 40 天时,才能使每天的平均营运利润的值最大 【点评】本题考查了函数模型的选择应用,属于中档题 17 (14 分)已知点 F1、F2是椭圆1 的焦点,P 是椭圆上一点,直线 l:yx+m ()求PF1F2的周长; ()若直线 l 与椭圆相切,求 m 的值; ()当 m1 时,直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,求弦长|AB| 【分析】 (1)根据题意可知PF1F2周长|PF1|+|PF2|+|F1F2|2a+2c; (2)利用直线与椭圆相

21、切,联立直线与椭圆方程,则0,求得 m 的值; (3)联立直线与椭圆方程,利用根与系数关系,表示出|AB|即可 【解答】解: (1)由题的 a2,b,则 c因为 P 在椭圆上, 所以|PF1|+|PF2|2a4,|F1F2|2c2, 所以PF1F2周长为 4+2; (2)联立,整理得 3x2+4mx+2m240,则16m212(2m24)0, 解得 m; (3)当 m1 时,l 方程为:yx+1,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立,整理得 3x2+4x20, 则 x1+x2,x1x2, 所以|AB|x1x2| 【点评】本题考查椭圆的定义,直线与椭圆相切、相交等知识点,属于中档题

22、 18 (13 分)已知数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn2an1, (nN*) ()求证:数列an为等比数列; ()若数列bn满足 bn(2n+1)an,求数列bn的前 n 项和 Tn 第 12 页(共 15 页) 【分析】 ()an2Sn1(nN*) ,推导出 a11,anan1,由此能证明an是首项 为 1,公比为1 的等比数列 ()由,得 bn(2n+1)an(2n+1) (1)n 1,由此利用错位相减法 能求出bn的前 n 项和 【解答】证明: ()数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 an2Sn1(nN*) , 当 n1 时,a12S112a11,解得 a11, 当 n2 时

23、,由 an2Sn1,得 an12Sn11, ,得:anan12an,整理,得 anan1, an是首项为 1,公比为1 的等比数列 解: ()an是首项为 1,公比为1 的等比数列, , bn(2n+1)an(2n+1) (1)n 1, bn的前 n 项和: Tn3 (1)0+5 (1)+7 (1)2+(2n+1) (1)n 1, Tn3 (1)+5 (1)2+7 (1)3+(2n+1) (1)n, ,得:2Tn3+2(1)+(1)2+(1)3+(1)n 1(2n+1) (1) n 3+2(2n1) (1)n (2n+2) (1)n 1+2, Tn(n+1) (1)n 1+11(n+1) (1

24、)n 【点评】本题考查等比数列的证明,考查数列的前 n 项和的求法,是中档题,解题时要 认真审题,注意错位相减法的合理运用 19 (14 分)已知椭圆1(ab0)过点(0,1) ,且椭圆的离心率 e ()求椭圆的标淮方程; ()直线 l 过点 A(1,0)且与椭圆相交于 C、D 两点,椭圆的右顶点为 B,试判断 CBD 是否能为直角若能为直角,求出直线 l 的方程,若不行,请说明理由 【分析】 ()可得 b1,a2b2即可得椭圆的标淮方程 第 13 页(共 15 页) ()当直线 l 垂直 x 轴时,易得 C(1,) ,D(1,) ,由0 即可判定 当直线 l 不垂直 x 轴时,可设直线 yk

25、(x1)代入椭圆方程,消去 y 可得: (1+4k2) x28k2x+4k240,设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) , 可得(x12,y1) ,(x22,y2) ,当(x12) (x22)+y1y20,k0不 符合题意,即可判定故CBD 不能为直角 【解答】解: ()椭圆1(ab0)过点(0,1) ,b1, 椭圆的离心率 e, ,a2b2 椭圆的标淮方程为:; ()当直线 l 垂直 x 轴时,易得 C(1,) ,D(1,) 椭圆的右顶点为 B(2,0) ,) , 0,CBD 是不为直角 当直线 l 不垂直 x 轴时,可设直线 yk(x1)代入椭圆方程,消去 y 可得: (1+4k2)

26、x28k2x+4k240 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) , 则有 x1+x2,x1x2, 又 B(2,0) (x12,y1) ,(x22,y2) , 若CBD 是否能为直角, 则(x12) (x22)+y1y2(1+k2)x1x2(k2+2) ) (x1+x2)+k2+4 第 14 页(共 15 页) (k2+2) +k2+40, 解得(1+k2) (4k24)(k2+2) 8k2+(k2+4) (1+4k2)0, k0不符合题意 故CBD 不能为直角 【点评】本题考查了椭圆性质,考查了直线与椭圆的置关系、运算能力,属于中档题 20 (13 分)已知数列an满足 an+an+1+a

27、n+2r(r0) ()若 r0,a11,a22,求 a3,a4,a2019及 Sn; ()数列an的前三项是等差数列,公差为 d,则有 a2 ,若数列bn满足 bn an,对于任意的正整数 n,均有 bnbn+1,求 d 的范围 【分析】 (1)当 r0 时,利用 an+an+1+an+20 可以直接求出 a3,a4的值,发现数列an 是以 3 为周期的周期数列,即可求出 a2019及 Sn; (2)利用数列an的前三项是等差数列,可以得出 2a2a1+a3,再利用已知条件求出 a2 的值,依次用 a2表示出 a1与 a3代入数列bn求解即可; 【解答】解: (1)当 r0 时,an+an+1+an+20; a1+a2+a30,a2+a3+a40, a33,a41; 数列an是以 3 为周期的周期数列; a2019a33; ,kN; (2)数列an的前三项是等差数列, 2a2a1+a3; a1+a2+a3r; ,; , 第 15 页(共 15 页) , ; 对于任意的正整数 n,均有 bnbn+1; ,即; r0, 故答案为: 【点评】本题考查了等差数列等比数列的通项公式求和公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题