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2019-2020学年上海市闵行区高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、双曲线1 上一点 P 到点(5,0)的距离为 15,则点 P 到点(5,0) 的距离为 9 (3 分)以下关于圆锥曲线的命题中: 双曲线1 与椭圆 x2+1 有相同的焦点; 设 A、B 是两个定点,k 为非零常数,若|k,则动点 P 的轨迹为双曲线的一 支; 设点 A、P 分别是定圆 C 上一个定点和动点,O 为坐标原点,若(+) , 则动点 Q 的轨迹为圆; 中真命题是 (写出所有真命题的序号) 10 (3 分)已知数列an的通项公式为 an(nN*) ,前 n 项和 第 2 页(共 15 页) 为 Sn,则Sn 11 (3 分)若关于 x 的方程kx2 有解,则实数 k 的取值范围是 12

2、 (3 分)如图,已知直角MON 的斜边 MN 的长为 12,点 P 是斜边上的中线 OD 与椭圆 +1 的交点,O 为坐标原点,当MON 绕着点 O 旋转时,的取值范围 为 二、选择题二、选择题 13 (3 分)过点 M(2,a)和 N(a,4)的直线的斜率为 1,则实数 a 的值为( ) A1 B2 C1 或 4 D1 或 2 14 (3 分)已知圆 C1: (x+2)2+(y2)21,圆 C2: (x2)2+(y5)216,则圆 C1 与圆 C2的位置关系是( ) A相离 B相交 C内切 D外切 15 (3 分)若 x,y 满足线性约束条件,则 z2x+y 的最小值是( ) A0 B1

3、C2 D1 16 (3 分)若实数 x,y 满足方程 x2+y28,则|x+y2|+|x+y+6|+|6xy|的最大值为( ) A12 B14 C18 D24 三、解答题三、解答题 17已知直线 l1:2x+y20 和 l2:mxy+10 (1)当 l1l2时,求 m 的值; (2)当 l1与 l2的夹角为时,求 m 的值 18已知向量 3 , 2 + ,其中 , 是互相垂直的单位向量 (1)求向量 在向量 方向上的投影; 第 3 页(共 15 页) (2)设向量 , + ,若 ,求实数 的值 19已知三点 M(3,1) 、N(0,2) 、T(3,5)都在圆 C 上 (1)求圆 C 的标准方程

4、; (2)若经过点 P(2,0)的直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4,求直线 l 的方程 20已知双曲线 C:1(a0,b0)与双曲线1 的渐近线相同,且 经过点(2,3) (1)求双曲线 C 的方程; (2)已知直线 xy+m0(m0)与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中 点在圆 x2+y210 上,求实数 m 的值; (3)在(2)的条件下,若双曲线 C 的右顶点为 A2,求A2AB 的面积 21在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C:+1(a3) (1)过椭圆 C 的左焦点,作垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 M、N 两点,若|MN|9,求 实数 a 的值;

5、(2)已知点 T(1,0) ,a6,A、B 是椭圆 C 上的动点,0,求的取值 范围; (3)若直线 1:+1 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,求证:对任意大于 3 的实数 a, 以线段 PQ 为直径的圆恒过定点,并求该定点的坐标 第 4 页(共 15 页) 2019-2020 学年上海市闵行区高二(上)期末数学试卷学年上海市闵行区高二(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 (3 分)椭圆+1 的短轴长为 6 【分析】利用椭圆的标准方程,直接求解即可 【解答】解:椭圆+1 的短轴长 2b6 故答案为:6 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,是基本知

6、识的考查,基础题 2 (3 分)已知向量 (1,2) , (x,4) ,若 ,则 x 2 【分析】由已知向量 (1,2) , (x,4) , ,根据两个向量平行的充要条 件,可以构造一个关于 x 的方程,解方程得到答案 【解答】解:向量 (1,2) , (x,4) , 又 , 1(4)2x0 解得 x2 故答案为:2 【点评】本题考查的知识点是平面向量与共线向量,其中根据两个向量平行的充要条件, 构造关于 x 的方程,是解答本题的关键 3 (3 分)若直线 l 过点 A(2,3)且平行于向量 (6,5) ,则直线 l 的点方向式方程 是 【分析】利用直线 l 的点方向式方程即可得出 【解答】解

7、:由已知可得:直线 l 的点方向式方程是 故答案为: 【点评】本题考查了直线的点方向式方程,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 第 5 页(共 15 页) 4 (3 分)已知平面向量 , 的夹角为,| |1,| |2,则 【分析】直接代入公式求解即可 【解答】解:因为平面向量 , 的夹角为,| |1,| |2, | | |cos12, 故答案为: 【点评】本题考查向量的数量积的应用,考查向量的表示以及计算,考查计算能力 5 (3 分)若线性方程组的增广矩阵为,则 x+y 2 【分析】线性方程组的增广矩阵为,即方程组,即 可得出 x+y 【解答】解:线性方程组的增广矩阵为, 即方程组,两个方程

8、相加可得:3x+3y6, 则 x+y2 故答案为:2 【点评】本题考查了线性方程组的增广矩阵及其解法,考查了推理能力与计算能力,属 于基础题 6 (3 分)若直线 l 的倾斜角的范围为,) ,则 l 的斜率的取值范围是 1,) 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出 【解答】解:直线 l 的倾斜角 ,) , 则 l 的斜率 tan1,) 故答案为:1,) 【点评】本题考查了直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性,考查了推理能力与 计算能力,属于基础题 7 (3 分) 参数方程(R) 所表示的曲线与 y 轴的交点坐标是 (0, 3) 【分析】根据题意,将曲线的参数方程变形

9、普通方程,据此分析可得答案 第 6 页(共 15 页) 【解答】解:根据题意,曲线的参数方程,变形可得 x2+4y1, 即 yx2+3,为二次函数,与 y 轴的交点坐标为(0,3) ; 故答案为: (0,3) 【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化,注意求出参数方程对应的普通方程,属 于基础题 8 (3 分)双曲线1 上一点 P 到点(5,0)的距离为 15,则点 P 到点(5,0) 的距离为 23 或 7 【分析】根据双曲线的标准方程,写出实轴的长和焦点的坐标,根据双曲线的定义,得 到两个关于要求的线段的长的式子,得到结果 【解答】解:双曲线1, 2a8, (5,0) (5,0)是两个焦点

10、, 点 P 在双曲线上, |PF1|PF2|8, 点 P 到点(5,0)的距离为 15, 则点 P 到点(5,0)是 15+823 或 1587 故答案为 23 或 7 【点评】本题考查双曲线的定义,是一个基础题,解题的关键是注意有两种情况,因为 这里是差的绝对值是一个定值,不要忽略绝对值 9 (3 分)以下关于圆锥曲线的命题中: 双曲线1 与椭圆 x2+1 有相同的焦点; 设 A、B 是两个定点,k 为非零常数,若|k,则动点 P 的轨迹为双曲线的一 支; 设点 A、P 分别是定圆 C 上一个定点和动点,O 为坐标原点,若(+) , 则动点 Q 的轨迹为圆; 中真命题是 (写出所有真命题的序

11、号) 第 7 页(共 15 页) 【分析】根据双曲线和椭圆的几何性质即可得解;根据双曲线的定义即可得解; 根据平面向量的加法法则,可知点 Q 为弦 AP 的中点,再判定点 Q 的轨迹即可 【解答】解:在双曲线中,c2a2+b225+934,在椭圆中,c2a2b235134, 且焦点均在 y 轴上,所以正确; 由双曲线的定义知,只有当 k|AB|时,动点 P 的轨迹才为双曲线的一支,即错误; 若(+) ,则点 Q 为弦 AP 的中点,由垂径定理可知,OQAQ,所以动 点 Q 的轨迹是圆,即正确; 所以真命题为, 故答案为: 【点评】本题考查的是命题真假的判断,涵盖的知识点有圆锥曲线的定义与几何性

12、质、 平面向量运算,考查了学生综合运用知识的能力,属于基础题 10 (3 分)已知数列an的通项公式为 an(nN*) ,前 n 项和 为 Sn,则Sn 【分析】分别求得当 1n2019 时,n2020 时,前 n 项和 Sn,再由数列极限公式,可 得所求值 【解答】解:当 1n2019 时,Sn1+11+11+11; n2020 时,Sn1+()n 20192+ , 可得Sn2+2+, 故答案为: 【点评】本题考查等比数列的求和公式,以及数列的极限的求法,考查化简运算能力, 属于基础题 11 (3 分)若关于 x 的方程kx2 有解,则实数 k 的取值范围是 ,1) (1, 【分析】由题意画

13、出图形,由于双曲线的对称性,只需求出斜率大于 0 的情况,同理可 第 8 页(共 15 页) 得斜率小于 0 的范围,求出相切时的 k 值及与渐近线平行的斜率,介于之间的即可 【解答】解:方程转化为 y0,1,整理可得:x2y21,渐近线方程为:y x,g(x)kx2,可得 g(x)恒过(0,2) ,如图所示, 方程有解即是两个函数有交点,由双曲线的对称性只需要求出 k0 的情况,同理可得 k 0 的情况 k0 时,则可得:kx2,两边平方整理可得: (k21)x24kx+50,k1, 有解, 则16k220(k21)0,k1,可得:k25, 所以可得 k,同理可得 k0,时 k,1) , 综

14、上所述 k 的取值范围为,1)(1, 故答案为:,1)(1, 【点评】考查方程的解与函数的交点的互化,属于中档题 12 (3 分)如图,已知直角MON 的斜边 MN 的长为 12,点 P 是斜边上的中线 OD 与椭圆 +1 的交点,O 为坐标原点,当MON 绕着点 O 旋转时,的取值范围为 35,27 【分析】求得椭圆的 a,b,由题意可得|OP|的最小值为 3,最大值为 5,运用直角三角形 的斜边的中线等于斜边的一半,可得|OD|,进而得到|PD|的范围,再由向量的加减运算和 第 9 页(共 15 页) 数量积的性质,可得所求范围 【解答】解:椭圆+1 的 a5,b3, 由椭圆的性质可得 P

15、 为长轴的端点时|OP|取得最大值 5,P 为短轴的端点时|OP|取得最小 值 3, 由直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半,可得|OD|MN|6, 所以|PD|OD|OP|1,3, 从而(+) (+) 2+ (+)+|2|2 35,27 故答案为:35,27 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查直角三角形的性质和向量的加减和数量积的 运算,考查化简运算能力,属于中档题 二、选择题二、选择题 13 (3 分)过点 M(2,a)和 N(a,4)的直线的斜率为 1,则实数 a 的值为( ) A1 B2 C1 或 4 D1 或 2 【分析】利用直线的斜率公式可得,解方程求得 a 的值 【解答】解:

16、由于过点 M(2,a)和 N(a,4)的直线的斜率为 1, a1 故选:A 【点评】本题考查直线的斜率公式的应用,是一道基础题 14 (3 分)已知圆 C1: (x+2)2+(y2)21,圆 C2: (x2)2+(y5)216,则圆 C1 与圆 C2的位置关系是( ) A相离 B相交 C内切 D外切 【分析】先根据圆的标准方程得到分别得到两圆的圆心坐标及两圆的半径,然后利用圆 心之间的距离 d 与两个半径相加、相减比较大小即可得出圆与圆的位置关系 【解答】解:由圆 C1: (x+2)2+(y2)21 与圆 C2: (x2)2+(y5)216 得: 圆 C1:圆心坐标为(2,2) ,半径 r1;

17、圆 C2:圆心坐标为(2,5) ,半径 R4 第 10 页(共 15 页) 两个圆心之间的距离 d5,而 dR+r,所以两圆的位置关系是 外切 故选:D 【点评】考查学生会根据 d 与 R+r 及 Rr 的关系判断两个圆的位置关系,会利用两点 间的距离公式进行求值 15 (3 分)若 x,y 满足线性约束条件,则 z2x+y 的最小值是( ) A0 B1 C2 D1 【分析】先根据约束条件画出平面区域,然后平移直线 y2x,当过点(1,0)时,直 线在 y 轴上的截距最大,从而求出所求 【解答】解:x,y 满足约束条件的平面区域如下图所示: 平移直线 y2x,由图易得,当 x0,y1 时,即经

18、过 A 时, 目标函数 z2x+y 的最小值为:1 故选:B 【点评】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题 16 (3 分)若实数 x,y 满足方程 x2+y28,则|x+y2|+|x+y+6|+|6xy|的最大值为( ) A12 B14 C18 D24 【分析】令 x+yt,则2,可得4t4化简|x+y2|+|x+y+6|+|6xy|t 2|+|t+6|+|t6|t2|+t+6+6t12+|t+2|,即可得出 第 11 页(共 15 页) 【解答】解:令 x+yt,则2,4t4 |x+y2|+|x+y+6|+|6xy|t2|+|t+6|+|t6|t2|+t+6+6

19、t12+|t+2|12+4+2 18t4 时取等号 其最大值为 18 故选:C 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、绝对值不等式的解法、点到直线的距离公式, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题 三、解答题三、解答题 17已知直线 l1:2x+y20 和 l2:mxy+10 (1)当 l1l2时,求 m 的值; (2)当 l1与 l2的夹角为时,求 m 的值 【分析】 (1)直接利用线线平行的充要条件的应用求出结果 (2)直接利用夹角公式的应用求出结果 【解答】解: (1)直线 l1:2x+y20 和 l2:mxy+10 所以2m0,解得:m2 (2)由于 l1:2x+y20 的斜率 k12

20、,l2:mxy+10 的斜率 k2m 所以1,解得 m3 或 【点评】本题考查的知识要点:线线平行的充要条件的应用,夹角公式的应用,主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 18已知向量 3 , 2 + ,其中 , 是互相垂直的单位向量 (1)求向量 在向量 方向上的投影; (2)设向量 , + ,若 ,求实数 的值 【分析】 (1)运用向量投影的概念可解决此问题; (2)运用向量垂直的充要条件可解决 此问题 【解答】解:根据题意得, 5, (1)向量 在 方向上的投影为; 第 12 页(共 15 页) (2) 0, 2+(1) 20, 10+5(1)50, 0 【点评】本题

21、考查平面向量数量积的性质及运算的简单应用 19已知三点 M(3,1) 、N(0,2) 、T(3,5)都在圆 C 上 (1)求圆 C 的标准方程; (2)若经过点 P(2,0)的直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4,求直线 l 的方程 【分析】 (1)设出圆的一般方程,把已知点的坐标代入,求解方程组得 D,E,F 的值, 可得圆的一般方程,进一步化为标准方程; (2)当直线 l 的斜率不存在时,直线方程为 x2,满足题意;当直线 l 的斜率存在时, 设直线方程为 yk(x2) ,即 kxy2k0,由点到直线的距离公式结合垂径定理列式 求得 k,则答案可求 【解答】解: (1)设圆 C 的方程为

22、 x2+y2+Dx+Ey+F0 则,解得 D6,E4,F4 圆 C 的方程为 x2+y26x+4y+40, 化为标准方程: (x3)2+(y+2)29; (2) 当直线 l的斜率不存在时, 直线方程为 x2, 满足直线 l被圆C 所截得的弦长为 4; 当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 yk(x2) ,即 kxy2k0 由,解得 k 直线方程为 3x+4y60 若经过点 P (2, 0) 的直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4, 直线 l 的方程为 x2 或 3x+4y 60 【点评】本题考查圆的方程的求法,考查直线与圆位置关系的应用,考查计算能力,是 中档题 20已知双曲线 C:1(a

23、0,b0)与双曲线1 的渐近线相同,且 第 13 页(共 15 页) 经过点(2,3) (1)求双曲线 C 的方程; (2)已知直线 xy+m0(m0)与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中 点在圆 x2+y210 上,求实数 m 的值; (3)在(2)的条件下,若双曲线 C 的右顶点为 A2,求A2AB 的面积 【分析】 (1)由题意设双曲线 C:(0) ,把已知点的坐标代入求得 , 则双曲线方程可求; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立直线方程与双曲线方程,利用根与系数的关系结 合中点坐标公式求得 AB 的中点坐标,代入圆的方程即可求得 m 值; (3

24、)双曲线 C 的右顶点为 A2(1,0) ,当 m2 时,利用弦长公式求得弦长,再由点到 直线的距离公式求得 A2到 AB 的距离,代入三角形面积公式得答案 【解答】 解:(1) 由题意设双曲线 C: (0) , 双曲线 C 过点(2,3) , C:,即; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立,得 2x22mx(m2+3)0 x1+x2m,则 AB 的中点坐标为() , 代入圆 x2+y210,得,解得 m2(m0) ; (3)双曲线 C 的右顶点为 A2(1,0) , 第 14 页(共 15 页) 当 m2 时,方程化为 2x24x70 x1+x22, A2到 AB 的距

25、离 d,|AB|, 【点评】本题考查双曲线方程的求法,考查直线与圆、直线与双曲线位置关系的应用, 考查计算能力,是中档题 21在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C:+1(a3) (1)过椭圆 C 的左焦点,作垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 M、N 两点,若|MN|9,求 实数 a 的值; (2)已知点 T(1,0) ,a6,A、B 是椭圆 C 上的动点,0,求的取值 范围; (3)若直线 1:+1 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,求证:对任意大于 3 的实数 a, 以线段 PQ 为直径的圆恒过定点,并求该定点的坐标 【分析】 (1)由椭圆的方程可得左焦点坐标,再由 MN 的长可得纵坐标

26、,即椭圆过(3, ) ,代入椭圆的方程求出 a 的值; (2)a6 代入椭圆可得椭圆的标准形式,设 A 的坐标,中的用向量 表示,再由题意可得关于 A 的坐标的关系,由 A 的坐标的范围求出数量积的取值 范围; (3)将直线 l 与椭圆联立求出两根之和及两根之积,进而求出 PQ 的中点的坐标,及弦 长 PQ,求出以线段 PQ 为直径的圆的方程,整理出关于 a 的二次三项式恒为 0,可得 a 的所有系数都为 0,可得 x,y 的值,即圆恒过的定点坐标 【解答】解: (1)由题意可得:c2a2(a29)9,即左焦点为: (3,0) ,若|MN| 9,所以|y|,将 x3,|y|代入椭圆可得:+1,

27、又 a3 解得:a 6; (2)a6 时,椭圆的方程为:+1,设 A(x,y) ,6x6, 第 15 页(共 15 页) |2,由题意可得:|2(x1)2+y2 (x1)2+27(1)x22x+28(x4)2+24,由6x6, 所以24,49 (3)联立直线 l 与椭圆的方程可得:ay2(a29)y0,解得 y10,y2,设 P(a,0) ,Q(3,) ,所以 PQ 的中点为: (,) , |PQ|2(a+3)2+()2, 所以以线段 PQ 为直径的圆的方程为:(x) 2+ (y ) 2 (a+3) 2+ ( ) 2, 整理可得:x2(a3)x+()2+y2y+()2()2+() 2, 即 x2(a3)x+y2y3a0, 整理可得:(x+y+3)a2+(x2+3x+y)a+9y0, 对于任意的 a3,关于 a 的二次三项式(x+y+3)a2+(x2+3x+y)a+9y 恒为 0, 所以二次项,一次项和常数项的系数均为 0,即(x+y+3)x2+3x+y9y0, 所以 x3,y0, 即定点坐标为(3,0) 【点评】考查直线与椭圆的综合,属于中难题