1、在（12x）6的展开式中，x2的系数为（ ） A60 B60 C240 D240 4 （5 分）将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分配方案共 有（ ） A12 种 B24 种 C36 种 D48 种 5 （5 分）某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 描述一次试验成功的次数，则 P（0）等于（ ） A0 B C D 6 （5 分）在复平面内，复数 6+5i，2+3i 对应的点分别为 A，B若 C 为线段 AB 的中点， 则点 C 对应的复数是（ ） A4+8i B8+2i C2+4i D4+i 7 （5 分）将序号分别为 1，2，3，4，5 的
2、5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张如果 分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是（ ） A24 B96 C144 D210 8 （5 分）在（x+a）5（其中 a0）的展开式中，x2的系数与 x3的系数相同，则 a 的值为 （ ） A2 B1 C1 D2 9 （5 分）由 0、1、2、3、4 五个数字任取三个数字，组成能被 3 整除的没有重复数字的三 位数，共有（ ）个 A14 B16 C18 D20 10 （5 分）设 a，b，c，则（ ） Abac Babc Cbac Dabc 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分，共分，共
3、 20 分）分） 第 2 页（共 16 页） 11 （5 分）计算： 12 （5 分）若（+）n的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则 展开式中常数项为 13 （5 分）随机变量 X 的分布列如下：若，则 DX 的值是 X 1 0 1 P a c 14 （5 分）如图是函数 yf（x）的导函数 yf（x）的图象，给出下列命题： 2 是函数 yf（x）的极值点； 1 是函数 yf（x）的最小值点； yf（x）在 x0 处切线的斜率小于零； yf（x）在区间（2，2）上单调递增 则正确命题的序号是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分）分）
4、 15已知函数 f（x）x33ax1 在 x1 处取得极值 （1）求实数 a 的值； （2）当 x2，1时，求函数 f（x）的最小值 16某外语学校的一个社团中有 7 名同学，其中 2 人只会法语，2 人只会英语，3 人既会法 语又会英语，现选派 3 人到法国的学校交流访问 （1）在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率； （2）在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数 的分布列与期望 17已知甲同学每投篮一次，投进的概率均为 （1）求甲同学投篮 4 次，恰有 3 次投进的概率； （2） 甲同学玩一个投篮游戏， 其规则如下： 最多投篮 6 次， 连续 2 次不中则游戏终止 设 甲同学在一次游
5、戏中投篮的次数为 X，求 X 的分布列 第 3 页（共 16 页） 18已知函数 （）若 f（x）在区间（，2）上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围； （）若 a0，x01，设直线 yg（x）为函数 f（x）的图象在 xx0处的切线，求证： f（x）g（x） 19已知函数 f（x）（aR） （1）若 a4，求曲线 f（x）在点（e，f（e） ）处的切线方程； （2）求 f（x）的极值； （3）若函数 f（x）的图象与函数 g（x）1 的图象在区间（0，e2上有公共点，求实数 a 的取值范围 20 （14 分）已知函数 f（x）的图象在a，b上连续不断，定义：f1（x）minf（t）|at
6、x（xa，b） ，f2（x）maxf（t）|atx（xa，b） 其中，minf（x）|xD表 示函数 f（x）在 D 上的最小值，maxf（x）|xD表示函数 f（x）在 D 上的最大值若存 在最小正整数 k，使得 f2（x）f1（x）k（xa）对任意的 xa，b成立，则称函数 f （x）为a，b上的“k 阶收缩函数” （1）若 f（x）cosx，x0，试写出 f1（x） ，f2（x）的表达式； （2）已知函数 f（x）x2，x1，4，试判断 f（x）是否为1，4上的“k 阶收缩函 数” ，如果是，求出对应的 k；如果不是，请说明理由； （3）已知 b0，函数 f（x）x3+3x2是0，b上的
7、 2 阶收缩函数，求 b 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年北京八中高二（下）期中数学试卷学年北京八中高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分）分） 1 （5 分）1i 的虚部为（ ） Ai Bi C1 D1 【分析】直接利用复数的虚部的定义即可解题 【解答】解：由复数的虚部的定义可知，1i 的虚部为1， 故选：D 【点评】本题主要考查了数的虚部的定义，是基础题 2 （5 分）设函数 f（x）sinxcosx，则 f（x）等于（ ） Asinx
8、cosx Bcosxsinx Csinx+cosx Dcosxsinx 【分析】进行基本初等函数的求导即可 【解答】解：f（x）sinxcosx， f（x）cosx+sinx 故选：C 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题 3 （5 分）在（12x）6的展开式中，x2的系数为（ ） A60 B60 C240 D240 【分析】根据二项式定理中的通项公式求出结果 【解答】 解： T， r0， 1， 2， ， 6 令 r2， 可得： T x2的系数为 60 故选：A 【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题 4 （5 分）将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所
9、中学至少 1 名教师，则不同的分配方案共 有（ ） A12 种 B24 种 C36 种 D48 种 【分析】由题意知将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，只有一种 分法 1，1，2，从 4 个人中选 2 个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列， 第 5 页（共 16 页） 得到结果 【解答】解：将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师， 只有一种结果 1，1，2， 首先从 4 个人中选 2 个作为一个元素， 使它与其他两个元素在一起进行排列， 共有 C42A3336 种结果， 故选：C 【点评】本题考查分步计数原理，首先分组，再进行排列
10、，注意 4 个元素在三个位置这 样排列，共有一种人数的分法，若由 5 个人在三个位置排列，每一个位置最少一个，同 学们考虑该有几种结果 5 （5 分）某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 描述一次试验成功的次数，则 P（0）等于（ ） A0 B C D 【分析】本题考查的知识点是等可能事件的概率，由该项试验的结果只有成功和失败两 种可能，故实验成功和实验失败为对立事件，即 P（1）+P（0）1，又由试验的 成功率是失败率的 2 倍，故 P（1）2P（0） ，解方程组即可得到 P（0）的值 【解答】解：由题意知， “0”表示试验失败， “1”表示试验成功 则 P（1）2P（0） 又 P
11、（1）+P（0）1， P（0） 故选：C 【点评】如果 AB 为不可能事件（AB） ，那么称事件 A 与事件 B 互斥，其含义是： 事件 A 与事件 B 在任何一次试验中不会同时发生互斥事件的概念公式：P（A+B）P （A）+P（B） ，若同时 AB 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 对立，其含义是：事 件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且只有一件发生对事件的概率公式：P（A+B）P （A）+P（B）1 6 （5 分）在复平面内，复数 6+5i，2+3i 对应的点分别为 A，B若 C 为线段 AB 的中点， 则点 C 对应的复数是（ ） A4+8i B8+2i C2+4i D4+i
12、第 6 页（共 16 页） 【分析】根据两个复数对应的点的坐标分别为 A（6，5） ，B（2，3） ，确定中点坐标为 C（2，4）得到答案 【解答】解：两个复数对应的点的坐标分别为 A（6，5） ，B（2，3） ，则其中点的坐标 为 C（2，4） ， 故其对应的复数为 2+4i 故选：C 【点评】本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式求解此类问题要能够灵活准确的 对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化 7 （5 分）将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张如果 分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是（ ） A24 B96 C144 D2
13、10 【分析】求出 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券 连号的组数，然后分给 4 人排列即可 【解答】解：5 张参观券全部分给 4 人，分给同一人的 2 张参观券连号， 方法数为：1 和 2，2 和 3，3 和 4，4 和 5，四种连号，其它号码各为一组，分给 4 人， 共有 4A4496 种 故选：B 【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查 分析问题解决问题的能力 8 （5 分）在（x+a）5（其中 a0）的展开式中，x2的系数与 x3的系数相同，则 a 的值为 （ ） A2 B1 C1 D2 【分析】通过二项
14、式定理，写出（x+a）5（其中 a0）的展开式中通项 Tk+1x5 kak， 利用 x2的系数与 x3的系数相同可得到关于 a 的方程，进而计算可得结论 【解答】解：在（x+a）5（其中 a0）的展开式中，通项 Tk+1x5 kak， x2的系数与 x3的系数相同， a3a2， 又a0， a1， 第 7 页（共 16 页） 故选：C 【点评】本题考查二项式系数的性质，注意区分系数与二项式系数这两个概念，注意解 题方法的积累，属于中档题 9 （5 分）由 0、1、2、3、4 五个数字任取三个数字，组成能被 3 整除的没有重复数字的三 位数，共有（ ）个 A14 B16 C18 D20 【分析】根
15、据题意，分析取出的数字有 4 种情况：0、1、2；0、2、4；1、2、3；2、3、 4；据此分 4 种情况讨论，求出每种情况的三位数数目，由加法原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，能被 3 整除的三位数，即各位数字之和被 3 整除， 则取出的数字有 4 种情况：0、1、2；0、2、4；1、2、3；2、3、4； 若取出的数字为 0、1、2 或 0、2、4，此时可以组成 2A21A22个三位数， 若取出的数字为 1、2、3 或 2、3、4，此时可以组成 2A33个三位数， 则可以组成能被 3 整除的三位数有：2A21A22+2A338+2620， 故选：D 【点评】本题考查排列组合的应用，涉及
16、分类计数原理的应用，属于基础题 10 （5 分）设 a，b，c，则（ ） Abac Babc Cbac Dabc 【分析】 可构造函数， 可求导， 根据导数符号即可判断出 f （x） 在 上单调递减，并且可知 af（2） ，bf（3） ，cf（5） ，从而可得出 a，b，c 的大小关系 【解答】解：设， 时，f（x）0， f（x）在上是减函数， f（2）f（3）f（5） ， abc 故选：D 【点评】本题考查了通过构造函数解决问题的方法，根据导数符号判断函数的单调性的 方法，基本初等函数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题
17、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 第 8 页（共 16 页） 11 （5 分）计算： 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解： 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 12 （5 分）若（+）n的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则 展开式中常数项为 135 【分析】根据各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64，求得 n 的值，再利用展 开式的通项公式求出常数项 【解答】解： （+）n的展开式中，令 x1，可得各项系数的和为 4n， 各项二项式系数的和为 2n， 各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为
18、64，n6， 展开式的展开式的通项公式为： Tr+13r 令 3r0，求得 r2， 可得展开式中的常数项等于32135 故答案为：135 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数 和常用的方法是赋值法，属于基础题 13 （5 分）随机变量 X 的分布列如下：若，则 DX 的值是 X 1 0 1 P a c 【分析】由分布列的性质和期望列出关于 a 和 c 的方程组，解出 a 和 c，再利用方差公式 求方差即可 第 9 页（共 16 页） 【解答】解：由题意：，解得： 所以 DX 故答案为： 【点评】本题考查分布列的性质、期望和方差的计算，考查基础知识和基本运
19、算 14 （5 分）如图是函数 yf（x）的导函数 yf（x）的图象，给出下列命题： 2 是函数 yf（x）的极值点； 1 是函数 yf（x）的最小值点； yf（x）在 x0 处切线的斜率小于零； yf（x）在区间（2，2）上单调递增 则正确命题的序号是 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点， 以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率 【解答】解：根据导函数图象可知当 x（，2）时，f（x）0，在 x（2，+ ）时，f（x）0 则函数 yf（x）在（，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增， 故 yf（x）在区间（2，2）上单调递增正
20、确，即正确 而在 x2 处左侧单调递减，右侧单调递增，则2 是函数 yf（x）的极小值点，故 正确 函数 yf（x）在（，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增 当 x2 处函数取最小值，1 不是函数 yf（x）的最小值点，故不正确； 函数 yf（x）在 x0 处的导数大于 0 yf（x）在 x0 处切线的斜率大于零，故不正确 故答案为： 【点评】本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值、 和切线的斜率等有关知识，属于基础题 第 10 页（共 16 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分）分） 15已知函数 f（x）x33ax1
21、 在 x1 处取得极值 （1）求实数 a 的值； （2）当 x2，1时，求函数 f（x）的最小值 【分析】 （1）f（x）在 x1 处取得极值，则 f（1）0 可求出 a 的值； （2）求出函数在2，1上的单调区间，从而得出函数的最小值； 【解答】解： （1）f（x）3x23a， 又函数 f（x）在 x1 处取得极值，则 f（1）33a0； 即 a1，此时 f（x）在（，1）上单调递增，在（1，1）上单调递减，在（1， +）上单调递增； 所以当 a1 时满足条件； 所以 a1； （2）由（1）可知 f（x）在2，1上单调递增，1，1单调递减； 所以 当 x2，1时，函数 f（x）的最小值是 f
22、（2） ，f（1）中的较小者； f（2）3，f（1）3； 故函数 f（x）的最小值为3 【点评】本题考查极值，函数最值，属于基础题 16某外语学校的一个社团中有 7 名同学，其中 2 人只会法语，2 人只会英语，3 人既会法 语又会英语，现选派 3 人到法国的学校交流访问 （1）在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率； （2）在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数 的分布列与期望 【分析】 （1）直接利用古典概型的概率计算方法求解即可 （2） 的取值为 0、1、2、3，求出对应的概率，得到分布列然后求解期望 【解答】解： （1）事件 A“选派的三人中恰有 2 人会法语的概率为； （5 分
23、） （2） 的取值为 0、1、2、3，则， 第 11 页（共 16 页） ，； 分布列为： 0 1 2 3 P （13 分） 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的应用，期望的求法，考查计算能力 17已知甲同学每投篮一次，投进的概率均为 （1）求甲同学投篮 4 次，恰有 3 次投进的概率； （2） 甲同学玩一个投篮游戏， 其规则如下： 最多投篮 6 次， 连续 2 次不中则游戏终止 设 甲同学在一次游戏中投篮的次数为 X，求 X 的分布列 【分析】 （1）正确理解题意： “甲同学投篮 4 次，恰有 3 次投”即从 4 次中选出三次 C43， 再结合概率的知识解决问题即可 （2）根据题意可得本
24、题主要考查相互独立事件的概率与分布列，写出 X 的可能取值，进 而利用相互独立事件的概率进行求解 【解答】解： （1）设“甲投篮 4 次，恰有 3 次投进”为事件 A， 则 （2）依题意，X 的可能取值为 2，3，4，5，6 ； ； ； “X5”表示投篮 5 次后终止投篮，即“最后两次投篮未进，第三次投中，第一次与第 二次至少有一次投中” 所以； 所以，所求 X 的分布列为： 第 12 页（共 16 页） X 2 3 4 5 6 P 【点评】解决此类问题的关键是将比较复杂的事件按照要求分解为比较简单的多个彼此 互斥的事件，然后再根据公式进行计算 18已知函数 （）若 f（x）在区间（，2）上为
25、单调递增函数，求实数 a 的取值范围； （）若 a0，x01，设直线 yg（x）为函数 f（x）的图象在 xx0处的切线，求证： f（x）g（x） 【分析】 （）求出函数的导函数，通过 f（x）0 对 x（， 2）恒成立，推出 1a2，即可求出 a 的范围 （）利用 a0，化简 f（x）通过函数 f（x）在 xx0处的切线方程为 yg（x） f（x0） （xx0）+f（x0） 讨论当 xx0时，f（x）g（x） ；当 xx0时，利用分析法证明 f（x）g（x） ；构造函 数h （x） f （x） g （x） f （x） f （x0）（xx0） f （x0） ， 求出h （x） ， 构造新函数，
26、xR，利用公式的导数求解函数的最值，然 后推出结论 【解答】 （本题满分 13 分） 解： （）由已知函数， 由已知 f（x）0 对 x（，2）恒成立， 故，x1a 对 x（，2）恒成立，得 1a2， a1 为所求（4 分） （）证明：a0，则 f（x） 函数 f（x）在 xx0处的切线方程为 yg（x）f（x0） （xx0）+f（x0） 当 xx0时，f（x）g（x） ； 当 xx0时，要证 f（x）g（x） ； 即证 f（x）g（x）0 （6 分） 第 13 页（共 16 页） 令 h（x）f（x）g（x）f（x）f（x0） （xx0）f（x0） h（x）f（x）f（x0） 设，xR 则，
27、x01，（x）0 （x）在 R 上单调递减，而 （x0）0（10 分） 当 xx0时，（x）0，当 xx0时，（x）0 即当 xx0时，h（x）0，当 xx0时 h（x）0 h（x）在区间（，x0）上为增函数，在区间（x0，+）上为减函数 xx0时，h（x）h（x0）0，即有 f（x）g（x） 综上，f（x）g（x）（13 分） 【点评】本题考查函数的导数的应用，构造法以及新函数的导数的综合应用，函数恒成 立问题的转化方法，考查分析问题解决问题的能力 19已知函数 f（x）（aR） （1）若 a4，求曲线 f（x）在点（e，f（e） ）处的切线方程； （2）求 f（x）的极值； （3）若函数
28、f（x）的图象与函数 g（x）1 的图象在区间（0，e2上有公共点，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）先求导数，然后求出切线斜率和切点坐标，代入点斜式即可； （2）求导数并令导数为零，判断零点与定义域的关系，结合导数的符号确定极值点； （3）问题可转化为 g（x）lnx+a1 在区间（0，e2上有零点，然后研究函数 g（x）的 单调性、极值情况解决问题 【解答】解： （1）由已知得 f（x）， （x0） ，故切线方程为：， 即： （2）由已知得（x0） 令 f（x）0 得 xe1 a，且函数 y1alnx 是减函数 第 14 页（共 16 页） 所以 0xe1 a 时，f（x）0；xe1
29、 a 时，f（x）0 故 xe1 a 是原函数的极大值点，极大值为 f（e1 a）ea1 （3）由已知得在（0，e2上有实数根 即 g（x）lnxx+a 在区间（0，e2上有零点 所以 x（0，1）时，g（x）0，g（x）递增；x（1，e2）时，g（x）0，g（x） 递减所以 g（1）是函数 g（x）在（0，e2上的最大值 显然 x0 时，lnx，即 x0 时，lnxx+a 所以要使 g（x）lnxx+a 在区间（0，e2上有零点 只需 g（1）a10，即 a1 故当 a1 时，函数 f（x）的图象与函数 g（x）1 的图象在区间（0，e2上有公共点 【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数研
30、究函数的单调性、极值以及函数的零点 问题同时考查学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养属于较 难的题目 20 （14 分）已知函数 f（x）的图象在a，b上连续不断，定义：f1（x）minf（t）|at x（xa，b） ，f2（x）maxf（t）|atx（xa，b） 其中，minf（x）|xD表 示函数 f（x）在 D 上的最小值，maxf（x）|xD表示函数 f（x）在 D 上的最大值若存 在最小正整数 k，使得 f2（x）f1（x）k（xa）对任意的 xa，b成立，则称函数 f （x）为a，b上的“k 阶收缩函数” （1）若 f（x）cosx，x0，试写出 f1（x） ，f
31、2（x）的表达式； （2）已知函数 f（x）x2，x1，4，试判断 f（x）是否为1，4上的“k 阶收缩函 数” ，如果是，求出对应的 k；如果不是，请说明理由； （3）已知 b0，函数 f（x）x3+3x2是0，b上的 2 阶收缩函数，求 b 的取值范围 【分析】 （1）根据 f（x）cosx 的最大值为 1，可得 f1（x） 、f2（x）的解析式 （2）根据函数 f（x）x2在 x1，4上的值域，先写出 f1（x） 、f2（x）的解析式，再 由 f2（x）f1（x）k（xa）求出 k 的范围得到答案 （3）先对函数 f（x）进行求导判断函数的单调性，进而写出 f1（x） 、f2（x）的解析
32、式， 然后再由 f2（x）f1（x）k（xa）求出 k 的范围得到答案 【解答】解： （）由题意可得：f1（x）cosx，x0，f2（x）1，x0， 第 15 页（共 16 页） （）， 当 x1，0时，1x2k（x+1） ，k1x，k2； 当 x（0，1）时，1k（x+1） ，k1； 当 x1，4时，x2k（x+1） ， 综上所述， 即存在 k4，使得 f（x）是1，4上的 4 阶收缩函数 （）f（x）3x2+6x3x（x2） ，令 f（x）0 得 x0 或 x2 函数 f（x）的变化情况如下： 令 f（x）0，解得 x0 或 3 （）b2 时，f（x）在0，b上单调递增， 因此，f2（x）
33、f（x）x3+3x2，f1（x）f（0）0 因为 f（x）x3+3x2是0，b上的 2 阶收缩函数， 所以，f2（x）f1（x）2（x0）对 x0，b恒成立； 存在 x0，b，使得 f2（x）f1（x）（x0）成立 即：x3+3x22x 对 x0，b恒成立， 由x3+3x22x，解得：0x1 或 x2， 要使x3+3x22x 对 x0，b恒成立，需且只需 0b1 即：存在 x0，b，使得 x（x23x+1）0 成立 由 x（x23x+1）0 得：x0 或， 第 16 页（共 16 页） 所以，需且只需 综合可得： （）当 b2 时，显然有，由于 f（x）在0，2上单调递增， 根据定义可得：， 可得， 此时，f2（x）f1（x）2（x0）不成立 综合）可得： 注：在）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用只是因为简单 而已 【点评】本题主要考查学生的对新问题的接受、分析和解决的能力要求学生要有很扎 实的基本功才能作对这类问题