1、如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PAa， PBPDa，则它的 5 个面中，互相垂直的面有 对 7 （3 分）如图由一个边长为 2 的正方形及四个正三角形构成，将 4 个正三角形沿着其与正 方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为 8 （3 分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如 图） ，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为 第 2 页（共 20 页） 9 （3 分）四面体的 6 条棱所对应的 6 个二面角中，钝二面角最多有 个 10 （3 分）在平面中ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分ABC
2、面积所成的比， 将这个结论类比到空间：在三棱锥 ABCD 中，平面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 交于 E，则类比的结论为 二、选择题：二、选择题： 11 （3 分）当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了 （ ） A三点确定一平面 B不共线三点确定一平面 C两条相交直线确定一平面 D两条平行直线确定一平面 12 （3 分）正方体被平面所截得的图形不可能是（ ） A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形 13 （3 分）如图正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，线段 B1D1上有两个动点 E、F，且 EF，则下列结论中错误的是（ ） AACB
3、E 第 3 页（共 20 页） BEF平面 ABCD C三棱锥 ABEF 的体积为定值 DAEF 的面积与BEF 的面积相等 14 （3 分）由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何 体体积的最小值是（ ） （每个方格边长为 1） A5 B6 C7 D8 三、解答题：三、解答题： 15 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 BC， A1D1的中点 求证： 空间四边形 B1EDF 是菱形 16 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，（如图） E 是棱 C1D1的中点， F 是侧面 AA1D1D 的中心 （1）求三棱锥 A1D1EF 的
4、体积； （2）求异面直线 A1E 与 AB 的夹角； （3）求 EF 与底面 A1B1C1D1所成的角的大小 （结果用反三角函数表示） 第 4 页（共 20 页） 17如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA12AB，N 是 CC1的中点，M 是线段 AB1上的 动点，且 AMAB1 （1）若，求证：MNAA1； （2）求二面角 B1ABN 的余弦值； （3）若直线 N 与平面 ABN 所成角的大小为 ，求 sin 的最大值 18平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到 球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四 面体
5、ABCD 中棱 AB，AC，AD 两两垂直，那么称四面体 ABCD 为直角四面体请类比直 角三角形中的性质给出 2 个直角四面体中的性质， 并给出证明 （请在结论 13 中选择 1 个，结论 4，5 中选择 1 个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不 得分，其中 h 表示斜边上的高，r，R 分别表示内切圆与外接圆的半径） 直角三角形 ABC 直角四面体 ABCD 条件 ABAC ABAC，ABAD，ACAD 结论 1 AB2+AC2BC2 第 5 页（共 20 页） 结论 2 sin2B+sin2C1 结论 3 结论 4 结论 5 （2R） 2 （AB2+BC2+CA2） 第
6、 6 页（共 20 页） 2018-2019 学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期中数学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期中数 学试卷学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：一、填空题： 1 （3 分） 设 a， b 是平面 M 外两条直线，且 aM， 那么 ab 是 bM 的 充分不必要 条 件 【分析】判断由 ab 能否得到 bM，再判断由 bM 能否得到 ab 即可 【解答】解：证明充分性：若 ab，结合 aM，且 b 在平面 M 外，可得 bM，是充分 条件； 证明必要性：若 bM，结合 aM，且 a，b 是平面 M 外，则 a，b 可以平行，也可以相 交
7、或者异面，所以不是必要条件 故 ab 是 bM 的“充分不必要” 故答案为：充分不必要 【点评】本题考查空间线面平行，线线平行之间的关系，充分条件和必要条件，属于简 单题 2（3 分） 已知直线 a， b 及平面 ， 下列命题中： ； ； ；正确命题的序号为 （注：把你认为 正确的序号都填上） 【分析】对于四个选项一一进行判断，不成立可列举反例验证说明 【解答】解：对于若 b，ab，则 a 或 a； 对于，ab，b 则 a 也可与 平行； 对于a 时，不成立； 对于，根据两条平行线中有一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故正确 故答案为 【点评】本题的考点是平面的基本性质及推论，主要考查线、
8、面的位置关系，注意掌握 反例排除 3 （3 分）地球北纬 45圈上有 A，B 两地分别在东经 80和 170处，若地球半径为 R， 第 7 页（共 20 页） 则 A，B 两地的球面距离为 R 【分析】由于甲、乙两地在同一纬度圈上， 计算经度差，求出甲、乙两地对应的 AB 弦长， 以及球心角，然后求出球面距离 【解答】 解： 地球表面上从 A 地 （北纬 45， 东经 80） 到 B 地 （北纬 45， 西经 170） ， A，B 两地都在北纬 45上，对应的纬圆半径是，经度差是 90 ABR，得球心角是 A，B 两地的球面距离是 故答案为： 【点评】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能
9、力，是基础题 4 （3 分）如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单 位立方体的棱切球的体积是 【分析】由题意画出图形，求得球的半径，再计算体积得答案 【解答】解：球和立方体的每条棱都相切，则球的直径为立方体的面对角线长度， 单位立方体的棱切球的半径为， 则球的体积为 故答案为： 【点评】本题考查空间想象能力，球的体积计算，是基础题 5 （3 分） 若三棱锥 SABC 的所有的顶点都在球 O 的球面上 SA平面 ABC SAAB2， 第 8 页（共 20 页） AC4，BAC，则球 O 的表面积为 20 【分析】由余弦定理求出 BC2，利用正弦定理得ABC90从而
10、ABC 截球 O 所得的圆 O的半径 rAC2， 进而能求出球 O 的半径 R， 由此能求出球 O 的表面积 【解答】解：如图，三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SA平面 ABCSAAB2，AC4，BAC， BC2， AC2BC2+AB2，ABC90 ABC 截球 O 所得的圆 O的半径 rAC2， 球 O 的半径 R， 球 O 的表面积 S4R220 故答案为：20 【点评】本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能 力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、 数形结合思想，是中档题 6 （3 分）如图所示，四棱
11、锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PAa， PBPDa，则它的 5 个面中，互相垂直的面有 5 对 【分析】先找出直线平面的垂线，然后一一列举出互相垂直的平面即可 【解答】解：底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PAa，PBPDa，可得 PA 底面 ABCD PA平面 PAB，PA平面 PAD，可得：面 PAB面 ABCD，面 PAD面 ABCD，AB面 第 9 页（共 20 页） PAD， 可得：面 PAB面 PAD， BC面 PAB，可得：面 PAB面 PBC， CD面 PAD，可得：面 PAD面 PCD； 故答案为：5 【点评】本题考查平面与平面垂
12、直的判定，考查棱锥的结构，是基础题 7 （3 分）如图由一个边长为 2 的正方形及四个正三角形构成，将 4 个正三角形沿着其与正 方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为 【分析】由已知中正四棱锥的展开图为一个边长为 2 的正方形及四个正三角形，我们可 以分别计算出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可求出折起后形成的四棱锥 的体积 【解答】解：由已知中由一个边长为 2 的正方形及四个正三角形构成 故该棱锥的底面面积 S224 侧高为正三角形的高 则棱锥的高 h 故折起后形成的四棱锥的体积 V 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是棱棱的体积，其中根据已知条件，计算出棱锥的底面面积， 及结合
13、正四棱锥中（其中 h 为棱锥的高，H 为棱锥的侧高，a 为底面的棱 长）求出棱锥的高，是解答本题的关键 8 （3 分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如 图） ，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为 2+ 第 10 页（共 20 页） 【分析】求出直观图中，DC，BC，S梯形ABCD，然后利与用平面图形与直观图形面积的比 是，求出平面图形的面积 【解答】解：DCABsin 45，BCABsin 45+AD+1， S梯形ABCD（AD+BC）DC（2+）+， SS梯形ABCD2+ 故答案为：2+ 【点评】本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面
14、积的比例关系的应用，考查计算 能力 9 （3 分）四面体的 6 条棱所对应的 6 个二面角中，钝二面角最多有 3 个 【分析】通过定性分析，对四面体取特殊情况可以得到钝二面角的个数 【解答】解：将三棱锥的顶点，向下压到与底重合，侧面的 3 个二面角都是 180， 将这个顶点稍稍提高一点点，离开底面， 此时 3 个侧面的二面角都是钝角 故答案为：3 【点评】本题考查利用极限思想，通过定性分析来解决问题，属于简单题 10 （3 分）在平面中ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分ABC 面积所成的比， 将这个结论类比到空间：在三棱锥 ABCD 中，平面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 交
15、于 E，则类比的结论为 【分析】三角形的内角平分线定理类比到空间三棱锥，根据面积类比体积，长度类比面 第 11 页（共 20 页） 积，从而得到 【解答】解：在平面中ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分ABC 面积所成的比 ， 将这个结论类比到空间：在三棱锥 ABCD 中，平面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 交于 E， 则类比的结论为根据面积类比体积，长度类比面积可得：， 故答案为： 【点评】本题考查了类比推理，将平面中的性质类比到空间 二、选择题：二、选择题： 11 （3 分）当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了 （ ） A三点确定一平面 B不
16、共线三点确定一平面 C两条相交直线确定一平面 D两条平行直线确定一平面 【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定，此时自行车与地面的三 个接触点不在同一条线上 【解答】解：自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上， 所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定 故选：B 【点评】本题考查不同线的三个点确定一个平面，属于简单题 12 （3 分）正方体被平面所截得的图形不可能是（ ） A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形 【分析】平面与正方体相交与不同的位置，可以出现不同的几何图形，不可能出现正五 边形 第 12 页（共 20 页） 【解答】解：如图所
17、示，平面与正方体相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形， 正六边形，不可能出现正五边形， 故选：C 【点评】本题考查了截一个几何体，明确几何体的特征，是解好本题的关键本题属基 础题 13 （3 分）如图正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，线段 B1D1上有两个动点 E、F，且 EF，则下列结论中错误的是（ ） AACBE BEF平面 ABCD C三棱锥 ABEF 的体积为定值 DAEF 的面积与BEF 的面积相等 【分析】连结 BD，则 AC平面 BB1D1D，BDB1D1，点 A、B 到直线 B1D1的距离不相 等，由此能求出结果 【解答】解：连结 BD，则 AC平面 BB1D
18、1D，BDB1D1， ACBE，EF平面 ABCD，三棱锥 ABEF 的体积为定值， 从而 A，B，C 正确 点 A、B 到直线 B1D1的距离不相等， AEF 的面积与BEF 的面积不相等， 故 D 错误 故选：D 第 13 页（共 20 页） 【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力 的培养 14 （3 分）由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何 体体积的最小值是（ ） （每个方格边长为 1） A5 B6 C7 D8 【分析】通过主视图和左视图分析出原几何体的形状，可以得到原几何体的体积 【解答】解：通过主视图和左视图分析出
19、原几何体的形状如图所示，可知最少共有 7 个 单位立方体 则几何体的体积最小值为 7 故选：C 【点评】本题考查由三视图还原几何体，空间想象能力，属于基础题 三、解答题：三、解答题： 15 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 BC， A1D1的中点 求证： 空间四边形 B1EDF 是菱形 第 14 页（共 20 页） 【分析】由题意画出图形，取 AD 中点 G，连接 FG，BG，可证四边形 B1BGF 为平行四 边形，得 BGB1F，再由 ABCDA1B1C1D1为正方体，且 E，G 分别为 BC，AD 的中点， 可得 BEDG 为平行四边形，得 BGDE，BGDE，从而
20、得到 B1FDE，且 B1FDE， 进一步得到四边形 B1EDF 为平行四边形，再由B1BEB1A1F，可得 B1EB1F，得到 四边形 B1EDF 是菱形； 【解答】 证明：取 AD 中点 G，连接 FG，BG，可得 B1BFG，B1BFG， 四边形 B1BGF 为平行四边形，则 BGB1F， 由 ABCDA1B1C1D1为正方体，且 E，G 分别为 BC，AD 的中点， 可得 BEDG 为平行四边形，BGDE，BGDE， 则 B1FDE，且 B1FDE， 四边形 B1EDF 为平行四边形，由B1BEB1A1F，可得 B1EB1F， 四边形 B1EDF 是菱形； 【点评】本题考查正方体内线段
21、之间的关系，空间四边形的证明，属于简单题 16 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，（如图） E 是棱 C1D1的中点， F 是侧面 AA1D1D 的中心 （1）求三棱锥 A1D1EF 的体积； （2）求异面直线 A1E 与 AB 的夹角； 第 15 页（共 20 页） （3）求 EF 与底面 A1B1C1D1所成的角的大小 （结果用反三角函数表示） 【分析】 （1）对三棱锥 A1D1EF 换底，换成以 F 为顶点，A1D1E 为底的三棱锥，求 出底面A1D1E 的面积和对应的高，得到所求的体积； （2）找到异面直线 A1E 与 AB 所成的角，在EA1B1内由余弦定理求出；
22、（3）找出直线 EF 与底面 A1B1C1D1所成的角，再计算大小 【解答】解： （1）由题意知，h （21）1； （2）A1B1AB，EA1B1或其补角即为异面直线 A1E 与 AB 所成角， 在EA1B1，A1EEB1，A1B12， cosEA1B1， 异面直线 A1E 与 AB 所成角为 arccos； （3）取 A1D1中点 M，联结 MF， MFA1A 且 A1A平面 A1B1C1D1，MF平面 A1B1C1D1， FEM 即为 EF 与底面 A1B1C1D1所成的角， MFAA11，ME 第 16 页（共 20 页） tanFEM， EF 与底面 A1B1C1D1所成的角的大小为
23、arctan 【点评】本题考查三棱锥等体积转化，求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，属 于中档题 17如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA12AB，N 是 CC1的中点，M 是线段 AB1上的 动点，且 AMAB1 （1）若，求证：MNAA1； （2）求二面角 B1ABN 的余弦值； （3）若直线 N 与平面 ABN 所成角的大小为 ，求 sin 的最大值 【分析】 （1）取 AA1中点 D，通过线线垂直证明 AA1平面 MND，从而得到 MNAA1； （2）取 AB 中点 E，A1B1中点 F，联结 EN、EF、FN，则FEN 即为二面角 B1ABN 的平面角，再利用余弦定理求出
24、其余弦值 （3）利用等体积法，求出 M 到平面 ABN 的距离及 MN 的长度，从而表示出 sin 关于 的函数，求出最大值 【解答】解： （1）取 AA1中点 D，联结 MD 和 ND， ，M 为 AB1中点，又 D 为 AA1中点，MDB1A1， B1A1AA1，MDAA1， 同理 NDAA1，AA1平面 MND，MNAA1； 第 17 页（共 20 页） （2）取 AB 中点 E，A1B1中点 F，联结 EN、EF、FN， 则 ENAB，EFAB，FEN 即为二面角 B1ABN 的平面角， 设 AB2a（a0） ，则 EF4a，ENFNa， cosFEN， 即二面角 B1ABN 的余弦值
25、为； （3）设 AB2a（a0） ，M 到平面 ABN 的距离为 d， 则 SABM2a4a4a2， SABN2aaa2； 由等体积法，V三棱锥NABMV三棱锥MABN，即SABMaSABMd， 可得 da， 而MN 2a， sin ， 当且仅当，即 时，等号成立， 即 sin 的最大值为 第 18 页（共 20 页） 【点评】本题考查通过线面垂直证明线线垂直，二面角的求法，以及线面角的正弦值的 表示，属于中档题 18平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到 球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四 面体 ABCD 中棱
26、AB，AC，AD 两两垂直，那么称四面体 ABCD 为直角四面体请类比直 角三角形中的性质给出 2 个直角四面体中的性质， 并给出证明 （请在结论 13 中选择 1 个，结论 4，5 中选择 1 个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不 得分，其中 h 表示斜边上的高，r，R 分别表示内切圆与外接圆的半径） 直角三角形 ABC 直角四面体 ABCD 条件 ABAC ABAC，ABAD，ACAD 结论 1 AB2+AC2BC2 结论 2 sin2B+sin2C1 结论 3 结论 4 结论 5 （2R） 2 （AB2+BC2+CA2） 【分析】在得到结论时，直角三角形中的长度类比成
27、直角四面体的面积，角度类比成二 面角，等面积类比成等体积，外接圆类比成外接球 结论 1：分别表示、，然后证明 结论 2：在DAE 中利用等面积法，表示出高 d，然后分别表示 sin2、sin2、sin2，再 证明 sin2+sin2+sin21 结论 3：利用结论 2 中得到的 d 的表达式，再表示出，再证明 结论 4：内切球的球心与四个顶点相连接，把三棱锥分成四个小的三棱锥，利用 VDABC VOABC+VOABD+VOACD+VOBCD进行证明 结论 5：将直角四面体 ABCD 补形成为以 AB、AC、AD 为长、宽、高的长方体，再进行 证明 【解答】解：记ABC、ABD、ACD、BCD
28、的面积依次为 S1、S2、S3、S， 第 19 页（共 20 页） 平面 BCD 与 AB、AC、AD 所成角依次为 、， 点 A 到平面 BCD 的距离为 d， r， R 分别表示内切球与外接球的半径， 内切球的球心为 O， 直角三角形 ABC 直角四面体 ABCD 条件 ABAC ABAC，ABAD，ACAD 结论 1 AB2+AC2BC2 结论 2 sin2B+sin2C1 sin2+sin2+sin21 结论 3 结论 4 结论 5 （2R） 2 （AB2+BC2+CA2） （2R）2AB2+AC2+BC2 证明：设 ABa、ACb、ADc， 过 A 作 AEBC，垂足为 E，联结 D
29、E，过 A 作 AHDE，垂足为 H， 易证：DEBC，AH平面 BCD，则 dAH， 结论1： ， 在 RtABC 中，AEDE， ； 结论 2：dAH， sin同理，sin，sin ， 第 20 页（共 20 页） sin2+sin2+sin21； 结论 3：d， 又， 结论 4：VDABCVOABC+VOABD+VOACD+VOBCD， + 从而，即 ； 结论 5：将直角四面体 ABCD 补形成为以 AB、AC、AD 为长、宽、高的长方体， 则长方体的体对角线即为直角四面体 ABCD 的外接球的直径， 即 （2R） 2AB2+BC2+CA2 【点评】本题考查平面图形向立体图形的推广，涉及到侧面积的表示，线面角的表示， 几何体的体积分割法求内切球半径，补齐几何体求外接球半径等，属于难题