1、已知数列an的通项公式为 an（kN*） ，则数列an的前 2n 项和 S2n 10（3 分） 如图， 在矩形 OABC 中， 点 E、 F 分别在线段 AB、 BC 的中点， 若+ （，R） ，则 + 第 2 页（共 18 页） 11 （3 分）古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都 要写成若干个单位分数和的形式例如+，可以这样来理解：假定有两个面包， 要平均分给 5 个人，每人不够，每人余，再将这分成 5 份，每人得，这样每 人分得+形如（n5，7，9，11，）的分数的分解：+，+， +，按此规律， （n3，nN*） 12 （3 分）已知向量 、 、 共面， 是
2、单位向量，若向量 满足8 +150，向量 与 的夹角为，则|的最小值为 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 13 （3 分）已知直线 l1与 l2的斜率存在，且分别为 k1、k2，则“k1k2”是“l1l2” （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不是充分也不是必要条件 14 （3 分）数列an中，an（nN*） ，则（ ） A0 B0 或 2 C2 D不存在 15 （3 分）在用数学归纳法证明等式 1+
3、2+3+2n2n2+n（nN*）的第（ii）步中，假设 nk 时原等式成立，那么在 nk+1 时需要证明的等式为（ ） A1+2+3+2k+2（k+1）2k2+k+2（k+1）2+（k+1） B1+2+3+2k+2（k+1）2（k+1）2+（k+1） C1+2+3+2k+2k+1+2（k+1）2k2+k+2（k+1）2+（k+1） D1+2+3+2k+2k+1+2（k+1）2（k+1）2+（k+1） 16 （3 分）已知圆 O 的方程为 x2+y2r2，点 P（a，b） （ab0）是圆 O 内一点，设以 P 为 中点的弦所在的直线为 m，方程为 ax+byr2的直线为 n，则（ ） Amn，且
4、 n 与圆 O 相交 Bmn，且 n 与圆 O 相离 Cmn，且 n 与圆 O 相交 Dmn，且 n 与圆 O 相离 第 3 页（共 18 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 52 分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （8 分）已知向量 3 ， 2 + ，其中 ， 是互相垂直的单位向量 （1）求向量 在向量 方向上的投影； （2）设向量 ， + ，若 ，求实数 的值 18 （10 分）已知直线 l1：mx+2ym+1，l2：xyn （1）若直线 l1与 l2重合，求实数 m，n 的值； （2）若直线
5、l1与圆 x2+y21 相切，求实数 m 的值 19 （10 分）已知数列an是等差数列，数列bn是等比数列，且 b1a12，记数列an的 前 n 项和为 Sn，数列bn的前 n 项和为 Tn （1）若 S315，an56，求 n； （2）若数列an的公差 d2，b2a3，求数列bn的公比 q 及 Tn 20 （10 分）如图 1，点 A 为半径为 2 千米的圆形海岛的最东端，点 B 为最北端，在点 A 的 正东 4 千米 C 处停泊着一艘缉私艇， 某刻， 发现在 B 处有一小船正以速度 （千米/小时） 向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为 3v（千米/小时） （1）为了在最短的时间内拦截小船检
6、査，缉私艇应向什么方向行驶？（精确到 1） （2）海岛上有一快艇要为缉私艇送去给养，问选择海岛边缘的哪一点 M 出发才能行程 最短？（如图 2 建立坐标系，用坐标表示点 M 的位置） 21 （14 分）若数列an满足：对任意 nN*，都有2，则称an为“紧密”数列 （1）设某个数列为“紧密”数列，其前 5 项依次为 1、x、，求 x 的取值范 围 第 4 页（共 18 页） （2）若数列bn的前项和 Sn（n2+3n） （nN*） ，判断bn是否为“紧密”数列，并 说明理由 （3）设cn是公比为 q 的等比数列，前 n 项和为 Tn，且cn与Tn均为“紧密”数列， 求实数 q 的取值范围 第
7、5 页（共 18 页） 2018-2019 学年上海市长宁区高二（上）期末数学试卷学年上海市长宁区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.答案填在答题纸相应位置答案填在答题纸相应位置.） 1 （3 分）已知数列an是等差数列，若 a12，a35，则 a7 11 【分析】利用等差数列通项公式列方程求出公差，由此能求出 a7 【解答】解：数列an是等差数列，a12，a35， d， a7a1+6d2+611 故答案为：11 【点评】本题考查等差数列的第 7 项的求法，考查等差
8、数列的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 2 （3 分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则 a+b 2 【分析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解代入线性方程 组即可得到 a、b 的值，最终可得出结果 【解答】解：由题意，可知： 此增广矩阵对应的线性方程组为：， 将解代入上面方程组，可得： a+b2 故答案为：2 【点评】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求 参数本题属基础题 3 （3 分）无穷等比数列an的首项为 2，公比为，则an的各项的和为 3 【分析】an的各项的和，即可得出 【解答】解：an的各项的和为：3 第 6 页（共
9、18 页） 故答案为：3 【点评】本题考查了等比数列的前 n 项和的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 4 （3 分）三阶行列式中，元素 1 的代数余子式的值为 4 【分析】利用代数余子式的定义、行列式的展开法则直接求解 【解答】解：三阶行列式中， 元素 1 的代数余子式的值为： （1）1+10（4）4 故答案为：4 【点评】本题考查代数余子式的求法，考查代数余子式、行列式展开法则等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 5 （3 分）若点 A（1，1） 、B（2，0）在直线 l：ykx 的两侧，则实数 k 取值范围为 （0， 1） 【分析】根据点与直线的位置关系，转化为不等式关系进
10、行求解即可 【解答】解：点 A（1，1） 、B（2，0）在直线 l：ykx 即 kxy0 的两侧， （k1） （2k0）0， 即 k（k1）0，得 0k1， 即实数 k 的取值范围是（0，1） ， 故答案为： （0，1） 【点评】本题主要考查点与直线的位置关系，根据两侧转化为不等式小于 0 是解决本题 的关键 6 （3 分）执行如图所示的程序框图，若输入 a1，则输出 a 的值为 15 第 7 页（共 18 页） 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a
11、1 执行循环体，a3 不满足条件 a10，执行循环体，a7 不满足条件 a10，执行循环体，a15 此时，满足条件 a10，退出循环，输出 a 的值为 15 故答案为：15 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 7 （3 分）若向量 与 的夹角为 120，且| |1，| |1，则| 【分析】由向量的数量积运算得： | | |cos120， 由向量模的运算得：所以|，得解 【解答】解：由向量 与 的夹角为 120，且| |1，| |1， 则 | | |cos120， 所以|， 故答案为： 【点评】本题考查了向量的数量积运算及模的运算
12、，属简单题 第 8 页（共 18 页） 8 （3 分）若直线 l 的一个方向向量是 （1，） ，则直线 l 的倾斜角是 【分析】设直线 l 的倾斜角为 ，0，） ，则 tan，即可得出 【解答】解：设直线 l 的倾斜角为 ，0，） ，则 tan， 故答案为： 【点评】本题考查了直线方向向量、倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 9 （3 分）已知数列an的通项公式为 an（kN*） ，则数列an的前 2n 项和 S2n n2+2n+12 【分析】对 n 分类讨论，利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得 出 【解答】解：数列an的通项公式为 an（kN*
13、） ， 数列an的前 2n 项和 S2n1+3+（2n1）+（2+22+23+2n） +n2+2n+12 故答案为：n2+2n+12 【点评】本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题 10（3 分） 如图， 在矩形 OABC 中， 点 E、 F 分别在线段 AB、 BC 的中点， 若+ （，R） ，则 + 【分析】由平面向量的线性运算得：+，+，即 （）+（+），即（）+（+），又， 第 9 页（共 18 页） 又，不共线，由平面向量基本定理得：列方程组得：，即， 得解 【解答】解：由平面向量的线性运算得：+，+， 即 （）+
14、（+）， 所以：（）+（+）， 又， 又，不共线， 由平面向量基本定理得： ， 即， 故答案为： 【点评】本题考查了由平面向量的线性运算及平面向量基本定理，属中档题 11 （3 分）古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都 要写成若干个单位分数和的形式例如+，可以这样来理解：假定有两个面包， 要平均分给 5 个人，每人不够，每人余，再将这分成 5 份，每人得，这样每 人分得+形如（n5，7，9，11，）的分数的分解：+，+， +，按此规律， （n3，nN*） 【分析】由前面有限项规律可归纳推理出：，得解 【解答】 解： 由+， +， +， 可推理出：， 故答案为： 【
15、点评】本题考查了归纳推理能力及分式的运算，属简单题 第 10 页（共 18 页） 12 （3 分）已知向量 、 、 共面， 是单位向量，若向量 满足8 +150，向量 与 的夹角为，则|的最小值为 1 【分析】设 （1，0） ， （x，y） ，由8 +150 得 x2+y28x+150， 即（x4）2+y21，即点 M 的轨迹是以 C（4，0）为圆心 1 为半径的圆，设 ，则 不妨设点 N 的轨迹为 yx， 则| |的最小值为圆心 C（4，0）到直线 yx 的距离减去半径 1 【解答】解：设 （1，0） ， （x，y） ， 由8 +150 得 x2+y28x+150，即（x4）2+y21， 即
16、点 M 的轨迹是以 C（4，0）为圆心 1 为半径的圆， 与 的夹角为，设 ，则不妨设点 N 的轨迹为 yx， 则| |的最小值为圆心 C（4，0）到直线 yx 的距离减去半径 1， 即| |min1211， 故答案为：1 【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属难题 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 13 （3 分）已知直线 l1与 l2的斜率存在，且分别为 k1、k2，则“k1k2”是“l1l2” （ ） 第
17、11 页（共 18 页） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不是充分也不是必要条件 【分析】根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】解：两直线 l1与 l2对应的斜率分别为 k1与 k2， 直线斜率垂直，此时若 k1k2，则 l1l2成立 若 l1l2成立，则不重合的两直线 k1k2， “k1k2”是“l1l2”的充要条件 故选：C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本 题的关键，注意本题的前提条件是两直线不重合，且斜率垂直 14 （3 分）数列an中，an（nN*） ，则（ ） A0 B0 或 2 C2
18、D不存在 【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可 【解答】解：因为数列an中，an（nN*） ， 则2 故选：C 【点评】本题考查数列极限的运算法则，注意数列通项公式与极限的含义，考查计算能 力 15 （3 分）在用数学归纳法证明等式 1+2+3+2n2n2+n（nN*）的第（ii）步中，假设 nk 时原等式成立，那么在 nk+1 时需要证明的等式为（ ） A1+2+3+2k+2（k+1）2k2+k+2（k+1）2+（k+1） B1+2+3+2k+2（k+1）2（k+1）2+（k+1） C1+2+3+2k+2k+1+2（k+1）2k2+k+2（k+1）2+（k+1） D1+2+3+2k+
19、2k+1+2（k+1）2（k+1）2+（k+1） 第 12 页（共 18 页） 【分析】 由数学归纳法可知 nk 时， 1+2+3+2k2k2+k， 到 nk+1 时， 左端为 1+2+3+ +2k+2k+1+2（k+1） ，从而可得答案 【解答】解：用数学归纳法证明等式 1+2+3+2n2n2+n 时， 当 n1 左边所得的项是 1+2； 假设 nk 时，命题成立，1+2+3+2k2k2+k， 则当 nk+1 时，左端为 1+2+3+2k+2k+1+2（k+1） ， 从“kk+1”需增添的项是 2k+1+2（k+1） ， 1+2+3+2k+2k+1+2（k+1）2（k+1）2+（k+1） 故
20、选：D 【点评】本题考查数学归纳法，着重考查理解与观察能力，考查推理证明的能力，属于 中档题 16 （3 分）已知圆 O 的方程为 x2+y2r2，点 P（a，b） （ab0）是圆 O 内一点，设以 P 为 中点的弦所在的直线为 m，方程为 ax+byr2的直线为 n，则（ ） Amn，且 n 与圆 O 相交 Bmn，且 n 与圆 O 相离 Cmn，且 n 与圆 O 相交 Dmn，且 n 与圆 O 相离 【分析】先计算出直线 OP 的斜率，由 OPm，可得出直线 m 的斜率，再由点斜式可得 出直线 m 的方程，由点 P 在圆 O 内得出 a2+b2r2，据此可判断直线 m、n 是平行关系， 再
21、利用点到直线的距离可计算出圆心 O 到直线 n 的距离，并与 r 作大小比较，即可得出 直线 n 与圆 O 的位置关系 【解答】解：直线 OP 的斜率为，由垂径定理可知，mOP，所以，直线 m 的方程为 ，即 ax+bya2+b2， 由于点 P 是圆 O 内一点，则 a2+b2r2，所以，mn， 圆心 O 到直线 n 的距离为，因此，直线 n 与圆 O 相离， 故选：B 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解决本题的关键在于求出相应的直线方程，考 查计算能力与推理能力，属于中等题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 52 分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）
22、分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （8 分）已知向量 3 ， 2 + ，其中 ， 是互相垂直的单位向量 第 13 页（共 18 页） （1）求向量 在向量 方向上的投影； （2）设向量 ， + ，若 ，求实数 的值 【分析】 （1）运用向量投影的概念可解决此问题； （2）运用向量垂直的充要条件可解决 此问题 【解答】解：根据题意得， 5， （1）向量 在 方向上的投影为； （2） 0， 2+（1） 20， 10+5（1）50， 0 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算的简单应用 18 （10 分）已知直线 l1：mx+2ym+1，l2：xyn （1）若直线 l1与 l2
23、重合，求实数 m，n 的值； （2）若直线 l1与圆 x2+y21 相切，求实数 m 的值 【分析】（1） 根据题意， 将直线 l2的方程变形为2x+2y2n， 进而分析可得， 解可得 m、n 的值，即可得答案； （2）若直线 l1与圆 x2+y21 相切，必有1，解可得 m 的值，即可得答案 【解答】解： （1）根据题意，直线 l1：mx+2ym+1，l2：xyn，即2x+2y2n， 若直线 l1与 l2重合，必有， 解可得 m2，n； （2）若直线 l1与圆 x2+y21 相切，必有1， 解可得：m 【点评】本题考查直线与圆的方程，涉及直线的一般式方程，属于基础题 19 （10 分）已知数
24、列an是等差数列，数列bn是等比数列，且 b1a12，记数列an的 第 14 页（共 18 页） 前 n 项和为 Sn，数列bn的前 n 项和为 Tn （1）若 S315，an56，求 n； （2）若数列an的公差 d2，b2a3，求数列bn的公比 q 及 Tn 【分析】 （1）根据题意，分析可得 S3a1+a2+a33a215，则 a25，进而可得 da2 a1523，又由 an56，结合等差数列的通项公式计算可得答案； （2）根据题意，分析可得 b2a3a1+2d6，进而可得公比 q，由等比数列的前 n 项和 公式计算可得答案 【解答】解： （1）根据题意，等差数列an中， 若 S315，
25、则 S3a1+a2+a33a215，则 a25， 则 da2a1523， 又由 an56，则有 ana1+（n1）d3n156， 解可得：n19； （2）根据题意，b2a3a1+2d6， 则 q3， 则 Tn3n1 【点评】本题考查等差数列、等比数列的通项公式以及前 n 项和公式的计算，属于基础 题 20 （10 分）如图 1，点 A 为半径为 2 千米的圆形海岛的最东端，点 B 为最北端，在点 A 的 正东 4 千米 C 处停泊着一艘缉私艇， 某刻， 发现在 B 处有一小船正以速度 （千米/小时） 向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为 3v（千米/小时） （1）为了在最短的时间内拦截小船检査，
26、缉私艇应向什么方向行驶？（精确到 1） （2）海岛上有一快艇要为缉私艇送去给养，问选择海岛边缘的哪一点 M 出发才能行程 最短？（如图 2 建立坐标系，用坐标表示点 M 的位置） 第 15 页（共 18 页） 【分析】 （1）根据题意，分析可得当缉私艇与小船在 OB 的延长线上相遇时，时间最短， 设经过 t 小时，缉私艇在 OB 的延长线上拦截小船，则有 CD3vt，ODvt+2，OC6， 结合勾股定理可得（3vt）2（vt+2）2+36，解可得 vt 的值，进而分析可得 tanDCO 的 值，据此分析可得答案； （2）根据题意，结合直线与圆的位置关系分析可得答案 【解答】解： （1）根据题意
27、，为了在最短的时间内拦截小船检査，缉私艇应该在 OB 的 延长线上与小船相遇， 设经过 t 小时，缉私艇在 OB 的延长线上拦截小船， 此时 CD3vt，ODvt+2，OC6， 则有（3vt）2（vt+2）2+36， 解可得：vt或2（舍） ， 此时 CD，OD， 则有 tanDCO，则DCO36.8， 故缉私艇应向南偏东 36.8的方向行驶， （2）当 OM 与 CD 垂直时，行程最短，如图 第 16 页（共 18 页） 【点评】本题考查解三角形的实际应用以及直线与圆的位置关系，属于基础题 21 （14 分）若数列an满足：对任意 nN*，都有2，则称an为“紧密”数列 （1）设某个数列为“
28、紧密”数列，其前 5 项依次为 1、x、，求 x 的取值范 围 （2）若数列bn的前项和 Sn（n2+3n） （nN*） ，判断bn是否为“紧密”数列，并 说明理由 （3）设cn是公比为 q 的等比数列，前 n 项和为 Tn，且cn与Tn均为“紧密”数列， 求实数 q 的取值范围 【分析】 （1）由题意得2，2，解得 x 范围； （2）由 Sn（n2+3n） （nN*） ，n2 时，anSnSn1，n1 时，a1S11，对于上 式也成立可得 ann+1+，运用不等式的性质，即可得出结 论； （3）由cn是公比为 q 的等比数列，得 q，由cn为“紧密”数列可得 q 的范围； 再讨论 q1，q1
29、，1q2，由等比数列的求和公式和新定义，即可得到所求公比 q 的范围 第 17 页（共 18 页） 【解答】解： （1）由题意得：2，2， 解得x； （2）由 Sn（n2+3n） （nN*） ， n2 时，anSnSn1（n2+3n）（n1）2+3（n1）n+， n1 时，a1S11，对于上式也成立 因此 ann+ 1+ 因为对任意 nN*，0，即 11+， 2（nN*） ， 即数列an是“紧密数列” ； （3）由cn是公比为 q 的等比数列，得 q， cn是“紧密数列” ，2， 当 q1 时，TnnC1，1+， 11+2， q1 时，数列Tn为“紧密数列” ，故 q1 满足题意 当 q1 时
30、，Tn， 则， 数列Tn为“紧密数列” ， 第 18 页（共 18 页） 2，对任意 nN*恒成立 （）当q1 时，（1qn）1qn+12（1qn） ， 即，对任意 nN*恒成立 0qnq1，02q11，q21， qn（2q1）q1，qn（q2）q（q2）（）1， 当q1 时，对任意 nN*恒成立 （）当 1q2 时，（qn1）qn+112（qn1） ， 即，对任意 nN*恒成立 qnq1，2q11，1q20 ，解得 q1， 又 1q2，此时 q 不存在 综上所述，q 的取值范围是，1 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、不等式的性质、分类讨论方法、 新定义，考查了推理能力与计算能力，属于难题