1、已知椭圆，M 与两直线 ykx，ykx（k0）有不同的 交点，这四个点与 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则 m 10 （5 分）已知A：x2+y2+2x150，过点 B（1，0）的动直线 l（与 x 轴不重合）交A 于 C、D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 P，则点 P 的轨迹方程为 11 （5 分）已知等差数列an的公差 d0，且 a2是 a1与 a4的等比中项记，若 对任意 nN*，都有，则 d 的取值范围是 12 （5 分）若 aR，直线 l1：x+ay3a0 与 l2：axy4a0 交于点 P，点 P 的轨迹 C 与 x、y 轴分别相交于 A、B 两点，O 为
2、坐标原点（A、B 异于原点 O） ，则满足|PB|PA| |OA|OB|的位于第一象限内的点 P 坐标为 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分，每题有且只有一个正确答案）分，每题有且只有一个正确答案） 13 （5 分）用数学归纳法证明 1+n（nN*，n1）时，第一步应验证不 等式（ ） 第 2 页（共 17 页） A B C D 14 （5 分）在三角形 ABC 中，点 P 在直线 AB 上，且，则可 用表示为（ ） A B C D 15 （5 分）如果实数 x、y 满足 3x2+4y212，那么 3x+2y 的最大值是（ ） A
3、 B C D48 16 （5 分）已知曲线，则下列正确的是（ ） A曲线关于 y 轴对称 B曲线与 x 轴相交 Cx 取值范围是（，0）（0，+） Dy 无限趋近于零时，x 也无限趋近零 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤）的步骤） 17 （14 分）已知双曲线的两个焦点与椭圆的两个焦点相同，且的一条渐近 线为，求的标准方程 18 （14 分）已知 （1）求 的单位向量； （2）若与的夹角为锐角，求实数 的取值范围 19 （15 分）某日，在我某海警基地码头
4、 O 处，发现北偏东 60方向的海面上有一艘可疑 船只位于 A 处，在测定可疑船的行驶方向后，基地指挥部命令海警巡逻艇从 O 处即刻出 发，以可疑船速度的 2 倍航速前去拦截，已知 O 和 A 相距 60 海里 （1）若可疑船只以 40 海里/小时的速度朝正北方向逃跑，则我海警巡逻船最少要用多少 小时可以截获可疑船只（精确到 0.01 小时）？ （2） 若巡逻艇和可疑船在追逃过程中均未改变航向和航速， 在点 P 处恰好截获可疑船只， 第 3 页（共 17 页） 在如图所示的平面直角坐标系中，求点 P 的轨迹方程 20 （15 分）对于数列an、bn，设 （1）若 a12，a24，且 S（n）3
5、2n+14n4，求 b1，b2； （2）若，求数列bn的通项公式； （3）若，存在正整数 i、j、k、（ijk） ，使 aj，10ai，ak成等差数列， 求 ， 的值 21 （18 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，点 B（0， b） ，过点 B 且与 BF2垂直的直线交 x 轴负半轴于点 D， （1）求证：； （2）若过 B、D、F2三点的圆与直线 l：x+y0 相交于 E、F 两点，且，求 的方程； （3）若 a2，过 F2且不与坐标轴垂直的直线与交于 P、旦两点，点 M 是点 P 关于 x 轴的对称点，在 x 轴上是否存在一个定点 N，使得 M、Q、N 三点共线？若存在，求出点
6、 N 的坐标；若不存在，请说明理由 第 4 页（共 17 页） 2018-2019 学年上海市闵行区高二（上）期末数学试卷学年上海市闵行区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题（本大题共有（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 1 （4 分）计算： 2 【分析】直接利用数列极限的运算法则，求解即可 【解答】解：2 故答案为：2 【点评】本题考查数列极限的运算法则的应用，是基本知识的考查 2 （4 分）已知向量，且，则实数 m 4 【分析】根据即可得出 26（3
7、） m0，解出 m 即可 【解答】解：； 12+3m0； m4 故答案为：4 【点评】考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系 3 （4 分）若线性方程组的增广矩阵为，则 1 【分析】本题可根据增广矩阵的定义将增广矩阵中的数字还原到线性方程组中去解出 x、 y 的值，然后利用二阶行列式的求法即可得出结果 【解答】解：由题意，可根据增广矩阵的定义，得到： ，解得： 12（3）（1）1 故答案为：1 【点评】本题主要考查增广矩阵的定义将增广矩阵中的数字还原到线性方程组中去解出 x、y 的值及二阶行列式的求法本题属基础题 第 5 页（共 17 页） 4 （4 分）在等差数列an中，若 a1+a89
8、，a43，则 a5 6 【分析】直接根据等差数列的性质 a1+a8a4+a5，即可求出 【解答】解：在等差数列an中，a1+a89，a43， a1+a89a4+a5， 解得 a56， 故答案为：6 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 5 （4 分）若关于 x、y 的二元一次方程组有无穷多解，则 10 【分析】由题意知直线 x12y2 与 5x+6y1 重合，列方程求出 的值 【解答】解：关于 x、y 的二元一次方程组有无穷多解， 则直线 x12y2 与 5x+6y1 重合，则， 解得 10 故答案为：10 【点评】本题考查了两直线的位置关系应用
9、问题，是基础题 6 （4 分）若 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为 【分析】作出可行域，由目标函数变型得 y2x+z，根据可行域找出最优解即可 【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图所示： 第 6 页（共 17 页） 由目标函数 z2x+y 得 y2x+z， 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 B 时，截距最大，即 z 最大 解方程组得 x1，y，即 B（1，） z 的最大值为 21+ 故答案为： 【点评】本题考查了简单的线性规划，作出可行域寻找最优解是解题关键，属于中档题 7 （5 分）点 M（1，0）到双曲线的渐近线的距离为 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线
10、的距离公式求解即可 【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：3x+y0， 点 M（1，0）到双曲线的渐近线的距离是： 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题 8 （5 分）正方形 ABCD 的边长为，则 2 【分析】由+，+代入化简求解即可 【解答】解：（+） （+） （+） （+） +2 故答案为：2 【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力 第 7 页（共 17 页） 9 （5 分）已知椭圆，M 与两直线 ykx，ykx（k0）有不同的 交点，这四个点与 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则 m 3+2 【分
11、析】由题意可得 ykx，ykx（k0）的夹角为 60，不妨令 k0，则 k， 再令在第一象限的交点为 P，求出点 P 的坐标可得m3，解得即可 【解答】解：四个点与 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， ykx，ykx（k0）的夹角为 60 不妨令 k0，则 k，再令在第一象限的交点为 P， 由，解得 x2， y23x2， |OP|2， m3， 解得 m3+2或 m32（舍去） ， 故 m3+2， 故答案为：3+2 【点评】本题考查了椭圆的简单性质和直线和椭圆的位置关系，考查了运算求解能力和 转化能力，属于中档题 10 （5 分）已知A：x2+y2+2x150，过点 B（1，0）的动直线 l
12、（与 x 轴不重合）交A 于 C、 D 两点， 过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 P， 则点 P 的轨迹方程为 【分析】由题意画出图形，利用平面几何知识可得|PA|+|PB|4，再由椭圆定义得点 P 的 轨迹方程 【解答】解：|AD|AC|，PBAC，故PBDACDADC，|PB|PD|， 故|PA|+|PB|PA|+|PD|AD| 又圆 A 的标准方程为（x+1）2+y216，从而|AD|4， |PA|+|PB|4， 第 8 页（共 17 页） 由题设得 A（1，0） ，B（1，0） ，|AB|2， 由椭圆的定义可得点 P 的轨迹方程为 故答案为： 【点评】本题考查曲线方程的求法，考
13、查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力， 属中档题 11 （5 分）已知等差数列an的公差 d0，且 a2是 a1与 a4的等比中项记，若 对任意 nN*，都有，则 d 的取值范围是 ，+） 【分析】由等比数列中项性质和等差数列的通项公式，可得首项和公差的关系，可得 2nd，由等比数列的求和公式和不等式的性质，解 d 的不等式可得所求范围 【解答】解：等差数列an的公差 d0，且 a2是 a1与 a4的等比中项， 可得 a22a1a4，即（a1+d）2a1（a1+3d） ， 即为 a1d， （d0） ， 可得 annd，2nd， 对任意 nN*，都有， 即为（+） （1）3 恒成立， 由（1
14、）， 可得 3，又 d0，即有 d 第 9 页（共 17 页） 则 d 的取值范围为，+） 故答案为：，+） 【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质、求和公式的运用，考查 数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题 12 （5 分）若 aR，直线 l1：x+ay3a0 与 l2：axy4a0 交于点 P，点 P 的轨迹 C 与 x、y 轴分别相交于 A、B 两点，O 为坐标原点（A、B 异于原点 O） ，则满足|PB|PA| |OA|OB|的位于第一象限内的点 P 坐标为 （4，3） 【分析】分别求出直线 l1与直线 l2所过的定点 M、N，并由两直线
15、的方程得出两直线垂 直，由 PMPN，求出点 P 的轨迹方程，可求出点 A、B 的坐标，由 AB 为点 P 轨迹圆的 一条直径得出APB 为直角，于是得出勾股定理|PA|2+|PB|2|AB|225，结合题干中的条 件得出|PA|和|PB|的值， 再利用两点间的距离公式以及点 P 的轨迹方程可求出点 P 的坐标 【解答】解：将直线 l1的方程变形得 x+a（y3）0，由，得，所以，直 线 l1过定点 M（0，3） ， 同理可知，直线 l2过定点 N（4，0） ，且 l1l2，设点 P 的坐标为（x，y） ，则 MPNP， ，化简得 ， 易求得点 P 的轨迹交 x 轴于点 A（4，0） ，交 y
16、 轴于点 B（0，3） ，易知，AB 为点 P 的轨 迹圆的一条直径， 由于|PB|PA|OA|OB|431， 由于 AB 是点 P 轨迹圆的一条直径，则APB90，由勾股定理可得|PB|2+|PA|2|AB|2 25， 联立得，解得， 由于点 P 在第一象限，则 x0，y0，由两点间的距离公式得|PA|2（x4）2+y29， 联立得，解得 因此，点 P 的坐标为（4，3） 第 10 页（共 17 页） 故答案为： （4，3） 【点评】本题考查轨迹方程，解决本题的关键在于找出直线所过的定点以及垂直条件， 考查计算能力，属于难题 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分
17、 20 分，每题分，每题 5 分，每题有且只有一个正确答案）分，每题有且只有一个正确答案） 13 （5 分）用数学归纳法证明 1+n（nN*，n1）时，第一步应验证不 等式（ ） A B C D 【分析】直接利用数学归纳法写出 n2 时左边的表达式即可 【解答】解：用数学归纳法证明（nN+，n1）时，第一步应 验证不等式为：； 故选：B 【点评】在数学归纳法中，第一步是论证 n1 时结论是否成立，此时一定要分析不等式 左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误 14 （5 分）在三角形 ABC 中，点 P 在直线 AB 上，且，则可 用表示为（ ） A B C D 【分析】根据即可得出
18、，从而求出，并且 ，从而可得出 【解答】解：，且； ； 故选：D 【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算 15 （5 分）如果实数 x、y 满足 3x2+4y212，那么 3x+2y 的最大值是（ ） 第 11 页（共 17 页） A B C D48 【分析】根据题意，设 x2cos，ysin，则有 3x+2y4cos+2sin，进而利用 两角和与差的三角函数，由三角函数的性质分析可得答案 【解答】解：根据题意，实数 x，y 满足 3x2+4y212，即， 设 x2cos，ysin， 则 3x+2y6cos+2sin4sin（+） ， 又由44sin（+）4， 则 3x+2y 的最
19、大值 4； 故选：A 【点评】本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示 x、y椭圆的简单性质 的应用，考查转化思想以及计算能力 16 （5 分）已知曲线，则下列正确的是（ ） A曲线关于 y 轴对称 B曲线与 x 轴相交 Cx 取值范围是（，0）（0，+） Dy 无限趋近于零时，x 也无限趋近零 【分析】根据曲线的方程，分别判断即可 【解答】解：当 yy 时，+1，即为+1，故曲线关于 x 轴 对称， 因为 y0，故曲线与 x 轴不相交， 由1，即 x，则 y1 且 y0，故 x 取值范围是（，1） （1，0）（0，1）（1，+） 当 y 无限趋近于零时，x 也无限趋近零， 故选：D
20、【点评】本题考查了曲线方程的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题 第 12 页（共 17 页） 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤）的步骤） 17 （14 分）已知双曲线的两个焦点与椭圆的两个焦点相同，且的一条渐近 线为，求的标准方程 【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，然 后求解双曲线方程 【解答】解：双曲线的两个焦点与椭圆的两个焦点相同，可得 c6， 的一条渐近线为，设双曲线方程：，可得：3+36，解得 9 所
21、以双曲线方程为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以 及计算能力 18 （14 分）已知 （1）求 的单位向量； （2）若与的夹角为锐角，求实数 的取值范围 【分析】 （1）由单位向量的概念得：，运算可得解； （2）由 ， 的夹角为锐角，则两向量数量积大于 0 且不共线，则由与的 夹角为锐角，则，计算可得解 【解答】解： （1）由单位向量的概念得： （，）或（） 故答案为： （，）或（） （2）由已知有： 第 13 页（共 17 页） （） ， （，1） ， 由与的夹角为锐角， 则， 即， 即实数 的取值范围为： （2，0）（0，2） ， 故答案为：
22、（2，0）（0，2） 【点评】本题考查了两个向量的夹角公式及数量积运算，属易错题 19 （15 分）某日，在我某海警基地码头 O 处，发现北偏东 60方向的海面上有一艘可疑 船只位于 A 处，在测定可疑船的行驶方向后，基地指挥部命令海警巡逻艇从 O 处即刻出 发，以可疑船速度的 2 倍航速前去拦截，已知 O 和 A 相距 60 海里 （1）若可疑船只以 40 海里/小时的速度朝正北方向逃跑，则我海警巡逻船最少要用多少 小时可以截获可疑船只（精确到 0.01 小时）？ （2） 若巡逻艇和可疑船在追逃过程中均未改变航向和航速， 在点 P 处恰好截获可疑船只， 在如图所示的平面直角坐标系中，求点 P
23、 的轨迹方程 【分析】 （1）设所需时间为 t 小时，于是得出 OP80t，AP40t，OA60， 并得出OAP 120， 在AOP 中， 由余弦定理 OP2OA2+AP22OAAPcosOAP， 可求出 t 的值； （2）先求出点 A 的坐标，并设点 P 的坐标为（x，y） ，结合已知条件得出 OP2AP，利 用两点间的距离公式并化简可得出点 P 的轨迹方程 【解答】解： （1）设所需时间为 t 小时，则 OP80t，AP40t，OA60， 在OAP 中，OAP18060120， 由余弦定理可得 OP2OA2+AP22OAAPcosOAP， 即，化简得 4t22t30， 第 14 页（共 1
24、7 页） 由于 t0，解得小时； （2）设点 A 的坐标为（x0，y0） ，则，y060sin3030， 所以，点 A 的坐标为 由题意知，OP2AP，设点 P 的坐标为（x，y） ， 由两点间的距离公式可得， 化简得， 因此，点 P 的轨迹方程为 【点评】本题考查解三角形与轨迹方程，解决本题的关键在于找出合适的三角形，根据 题中条件选择合适的定理求解，另外在求轨迹方程时，将一些几何元素代数化，考查计 算能力，属于中等题 20 （15 分）对于数列an、bn，设 （1）若 a12，a24，且 S（n）32n+14n4，求 b1，b2； （2）若，求数列bn的通项公式； （3）若，存在正整数 i
25、、j、k、（ijk） ，使 aj，10ai，ak成等差数列， 求 ， 的值 【分析】 （1）将 n 分别带成 1，2 可得； （2）将 an3n代入，等式两边同除以 3n+1，构造数列，运用前 n 项和与通向的关 系可得 （3）利用等差中项的性质及基本不等式，由 的范围可得 【解答】解： （1）令 n1 得，s11284a1b12b1 b12 令 n2 得，s2241212a1b2+a2b12b2+42 b22 （2）等式 两边同除以 3n+1得 + 第 15 页（共 17 页） 令 则 c2+c2+cn c1+c2+cn1 的 cn，又因为 bn2n1； （3）因为 aj，10ai，ak成等
26、差数列 所以 20aiaj+ak ， 为正整数 aj，ak为正整数 即 20 10 i，j，k 为正整数且 ijk， 2i（j+k）3 102 3 ， 1 【点评】本题主要考查了数列的通项公式，前 n 项和公式，等差中项等知识，计算 bn时 用到了构造数列，属于难题 21 （18 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，点 B（0， b） ，过点 B 且与 BF2垂直的直线交 x 轴负半轴于点 D， （1）求证：； 第 16 页（共 17 页） （2）若过 B、D、F2三点的圆与直线 l：x+y0 相交于 E、F 两点，且，求 的方程； （3）若 a2，过 F2且不与坐标轴垂直的直线与交于
27、 P、旦两点，点 M 是点 P 关于 x 轴的对称点，在 x 轴上是否存在一个定点 N，使得 M、Q、N 三点共线？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）设 D（x0，0） （x00） ，利用，得 b23c2，结合隐含条件证得 结论； （2）求出点 D 的坐标，利用BDF2是直角三角形，得到其外接圆圆心为 F1（c，0） ， 半径为 2c，然后利用垂径定理求解 c，得到 a，b，则椭圆方程可求； （3）直线 l 过 F2且不与坐标轴垂直，设直线 l 的方程为：yk（x1） ，k0与椭圆 联立，设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，结合韦达定理，求解直线 QM
28、的方向向量，求解直 线 QM 的方程，求解直线 QM 与 x 轴交于定点（4，0）得结论 【解答】 （1）证明：设 D（x0，0） （x00） ，由 F2（c，0） ，B（0，b） ， 得（c，b） ，（x0，b） ， ，得， 故（，0） ， 又（2c，0） ，故由，得， b23c23（a2b2） ，则 4b23a2， ； （2）解：由（1）知，bc，故 a2c，此时，点 D 的坐标为（3c，0） ， 又BDF2是直角三角形，故其外接圆圆心为 F1（c，0） ，半径为 2c， 圆心 F1（c，0）到直线 x+y0 的距离 d |EF|，解得 c，b，a2， 所求椭圆的方程为； 第 17 页（共 17 页） （3）如 a2，则，椭圆方程为 得 F2（1，0） ，直线 l 过 F2且不与坐标轴垂直， 故可设直线 l 的方程为：yk（x1） ，k0 由，得（3+4k2）x28k2x+4k2120， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 则有， 由题意，M（x1，y1） ，故直线 QM 的方向向量为， 直线 QM 的方程为， 令 y0，得 x+x1 4 即直线 QM 与 x 轴交于定点（4，0） 存在点 N（4，0） ，使得 M、Q、N 三点共线 【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的方程的求法，三点共线，考查分析问 题解决问题的能力，是中档题