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2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、若方程表示椭圆,则 k 的取值范围是 7 (4 分) 已知直线 ax+by+c0 与圆: x2+y21 相交于 A、 B 两点, 且, 则 8(4 分) 已知 F1, F2分别是椭圆的两焦点, 点 P 是该椭圆上一动点, 则 的取值范围为 9(4 分) 若圆 x2+y2R2(R0) 和曲线恰有六个公共点, 则 R 的值是 10 (4 分)已知 2a+bab0(a0,b0) ,当 ab 取得最小值时,曲线上 的点到直线的距离的取值范围为 二、选择题(每题二、选择题(每题 4 分,满分分,满分 16 分)分) 11 (4 分)关于 x,y 的二元一次方程组,其中行列式 Dx为( ) A B C D

2、 12 (4 分)使复数 z 为实数的充分而不必要条件为( ) Az2为实数 Bz+ 为实数 Cz D|z|z 13 (4 分)下列动点 M 的轨迹不在某一直线上的是( ) A动点 M 到直线 4x+3y50 和 4x+3y+100 的距离和为 3 第 2 页(共 15 页) B动点 M 到直线(1,0)和(1,0)的距离和为 2 C动点 M 到直线(0,2)和(0,2)的距离差为 4 D动点 M 到点(2,3)和到 2xy10 的距离相等 14 (4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知两圆 C1:x2+y212 和 C2:x2+y214,又点 A 坐标为(3,1) ,M、N 是 C1上的

3、动点,Q 为 C2上的动点,则四边形 AMQN 能构成矩 形的个数为( ) A0 个 B2 个 C4 个 D无数个 三、解答题(满分三、解答题(满分 42 分)分) 15 (9 分)已知复数(i 是虚数单位) (1)复数 z 是实数,求实数 m 的值; (2)复数 z 是虚数,求实数 m 的取值范围; (3)复数 z 是纯虚数,求实数 m 的值 16 (9 分)直线 ykx+1 与双曲线 3x2y21 的左支交于点 A,与右支交于点 B (1)求实数 k 的取值范围; (2)若以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点,求 k 的取值 17 (12 分)已知 F1、F2为双曲线:的左、右焦点,点 P

4、 在双曲线上,点 Q 在圆 C:x2+(y3)24 上 (1)若|PF1|+|PF2|8,求点 P 的坐标; (2)若直线 l 与双曲线及圆 C 都恰好只有一个公共点,求直线 l 的方程 18 (12 分)已知椭圆:+1(ab0)的右焦点为 F(1,0) ,M 点的坐标为(0, b) ,O 为坐标原点,OMF 是等腰直角三角形 (1)求椭圆的方程; (2)设经过点 C(0,2)作直线 AB 交椭圆于 A、B 两点,求AOB 面积的最大值; (3)是否存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使点 F 为PQM 的垂心(垂心:三角形三边 高线的交点)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理

5、由 第 3 页(共 15 页) 2018-2019 学年上海市浦东新区华师大二附中高二(上)期末数学年上海市浦东新区华师大二附中高二(上)期末数 学试卷学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题(每题一、填空题(每题 4 分,满分分,满分 40 分)分) 1 (4 分)在平面解析几何中,直线的倾斜角 的取值范围为 0,) 【分析】直接写出直线的倾斜角 的取值范围即可 【解答】解:直线的倾斜角 的取值范围为0,) 故答案为:0,) 【点评】本题考查了直线的倾斜角的范围,是基础题 2 (4 分)抛物线 y2x2的准线方程为 y 【分析】先将抛物线的方程化为标准方程,再由 x22py

6、的准线方程 y,计算即可 得到所求方程 【解答】解:抛物线 y2x2即为 x2y, 由 x22py 的准线方程 y, 由 x2y,可得 p, 可得所求准线方程为 y 故答案为:y 【点评】本题考查抛物线的准线方程的求法,注意将方程化为标准方程,考查运算能力, 属于基础题 3 (4 分)若复数 z 满足 z(1+2i) (34i) , (i 是虚数单位) ,则 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z,再由复数模的公式计算得答案 【解答】解:z(1+2i) (34i)11+2i 则 故答案为: 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题 第 4 页(共 15 页

7、) 4 (4 分)若, (i 是虚数单位) ,则 a2+b2 1 【分析】 本题根据二阶行列式的定义将此行列式化简整理, 然后根据虚数的概念可算出 a, b 的值,答案即出 【解答】解:化简行列式如下: (ai) (1+i)1 (b2i)a+aii+1b+2i(a+1b)+(a+1)i, 0 (a+1b)+(a+1)i0, 可得,方程组: , 解得 a1,b0, a2+b21, 故答案为 1 【点评】本题主要考查二阶行列式的定义计算和虚数的概念,不是太难,属基础题 5 (4 分)设点(x,y)位于线性的约束条件所表示的区域,则目标函数 z 2x+y 的最大值和最小值的比值 【分析】作出不等式组

8、对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值与最小值, 然后求解比值 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) 由 z2x+y 得 y2x+z, 平移直线 y2x+z, 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 B 时,直线 y2x+z 的截距最大, 此时 z 最大 由,解得 B(,) , 代入目标函数 z2x+y 得 z2+ 即目标函数 z2x+y 的最大值为, 第 5 页(共 15 页) 由,解得 C(,) 函数的最小值:, 目标函数 z2x+y 的最大值和最小值的比值: 故答案为: 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数 学思想是解

9、决此类问题的基本方法 6 ( 4分 ) 若 方 程表 示 椭 圆 , 则k的 取 值 范 围 是 【分析】由题意列出不等式组,解不等式可求 k 的范围 【解答】解:方程表示椭圆, k1 且 k1, 故答案为: 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程的应用,椭圆的简单性质的应用,属于基础试 题 7 (4 分) 已知直线 ax+by+c0 与圆: x2+y21 相交于 A、 B 两点, 且, 则 第 6 页(共 15 页) 【分析】直线与圆有两个交点,知道弦长、半径,不难确定AOB 的大小,即可求得 的值 【解答】解:依题意可知角AOB 的一半的正弦值, 即 sin 所以:AOB120 则 11co

10、s120 故答案为: 【点评】初看题目,会被直线方程所困惑,然而看到题目后面,发现本题容易解答本 题考查平面向量数量积的运算,直线与圆的位置关系是基础题 8(4 分) 已知 F1, F2分别是椭圆的两焦点, 点 P 是该椭圆上一动点, 则 的取值范围为 2,1 【分析】求得椭圆的焦点坐标,利用向量的坐标运算,求得(3x28) , 由2x2,即可求得答案 【解答】解:由椭圆,焦点知 F1(,0) ,F2(,0) ,设 P(x,y) , 2x2, 则(x,y) (x,y)x2+y23(3x28) , 2x2, 0x24,故2,1, 故答案为:2,1 第 7 页(共 15 页) 【点评】本题考查椭圆

11、的简单几何性质,向量的坐标运算,一元二次函数的最值,考查 计算能力,属于中档题 9 (4 分) 若圆 x2+y2R2(R0) 和曲线恰有六个公共点, 则 R 的值是 3 【分析】可作出圆 x2+y2R2(R0)和曲线恰有六个公共点,根据图形判 断即可 【解答】解:圆 x2+y2R2(R0)和曲线恰有六个公共点,如图所示,此 时 R3 故答案为 3 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决 问题的能力,属于中档题 10 (4 分)已知 2a+bab0(a0,b0) ,当 ab 取得最小值时,曲线上 的点到直线的距离的取值范围为 (0, 【分析】利用基本不等式可

12、得 b2a4再对 x,y 分类讨论,画出图形,利用直线与曲 线相切的性质即可得出 【解答】解:2a+bab0(a0,b0) , ab2a+b2,化为(2)0, 2, 解得 ab8 当且仅当 b2a4 时取等号 曲线为1 第 8 页(共 15 页) 画出图形:由图形可知:直线 yx 分别是曲线1,曲线+1 的渐 近线因此点到直线 yx 的距离 d0 设直线 yx+m 与曲线+1(x0,y0)相切 联立化为, 令8m216(m24)0,解得 m2 切线为 y 两平行线 y,yx 的距离 d 曲线上的点到直线的距离取值范围是(0, 故答案为(0, 【点评】本题考查了基本不等式、直线与曲线相切的性质、

13、两点间的距离公式、分类讨 论思想方法等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题 二、选择题(每题二、选择题(每题 4 分,满分分,满分 16 分)分) 11 (4 分)关于 x,y 的二元一次方程组,其中行列式 Dx为( ) A B C D 【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解 【解答】解 x,y 的二元一次方程组,系数行列式: 第 9 页(共 15 页) Dx 故选:C 【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注 意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用 12 (4 分)使复数 z 为实数的充分而不必要条件为( ) Az2为实数

14、 Bz+ 为实数 Cz D|z|z 【分析】 一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为 0, 根据这个充要条件对各个先项 加以判别,发现 A、B 都没有充分性,而 C 是充分必要条件,由此不难得出正确的选项 【解答】解:设复数 za+bi(i 是虚数单位) ,则 复数 z 为实数的充分必要条件为 b0 由此可看出:对于 A,z2为实数,可能 zi 是纯虚数,没有充分性,故不符合题意; 对于 B,同样若 z 是纯虚数,则 z+ 0 为实数,没有充分性,故不符合题意; 对于 C,若 za+bi, abi,z 等价于 b0,故是充分必要条件,故不符合题意; 对于 D,若|z|z0,说明 z 是实数,

15、反之若 z 是负实数,则|z|z 不成立,符合题意 故选:D 【点评】本题考查了复数的分类,共轭复数和充分必要条件的判断,属于基础题熟练 掌握书本中的复数有关概念,是解决本题的关键 13 (4 分)下列动点 M 的轨迹不在某一直线上的是( ) A动点 M 到直线 4x+3y50 和 4x+3y+100 的距离和为 3 B动点 M 到直线(1,0)和(1,0)的距离和为 2 C动点 M 到直线(0,2)和(0,2)的距离差为 4 D动点 M 到点(2,3)和到 2xy10 的距离相等 【分析】利用平行线之间的距离,判断选项 A 的正误;利用两点间距离个数判断 B 的正 误;轨迹方程判断 C,D

16、的正误; 【解答】解:直线 4x+3y50 和 4x+3y+100 之间的距离为:3,所以动 点 M 到直线 4x+3y50 和 4x+3y+100 的距离和为 3,动点的轨迹是平行线之间的区 域满足题意 动点 M 到直线(1,0)和(1,0)的距离和为 2,是两点之间的线段,轨迹在一条直 第 10 页(共 15 页) 线上,所以 B 不正确; 动点 M 到直线(0,2)和(0,2)的距离差为 4,是两条射线,在一条直线上,所以 C 不正确; 动点 M 到点(2,3)和到 2xy10 的距离相等,动点 M 的轨迹是经过(2,3)与直 线垂直的直线,所以 D 不正确; 故选:A 【点评】本题考查

17、轨迹方程的求法,考查分析问题解决问题的能力 14 (4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知两圆 C1:x2+y212 和 C2:x2+y214,又点 A 坐标为(3,1) ,M、N 是 C1上的动点,Q 为 C2上的动点,则四边形 AMQN 能构成矩 形的个数为( ) A0 个 B2 个 C4 个 D无数个 【分析】根据题意画出图形,结合图形得出满足条件的四边形 AMQN 能构成矩形的个数 为无数个 【解答】解: 法一:如图所示,任取圆 C2上一点 Q, 以 AQ 为直径画圆, 交圆 C1与 M、N 两点, 若 MNAQ,即可得出四边形 AMQN 是矩形, 由 Q 的任意性知,四边形 AM

18、QN 能构成无数个矩形 法二:取 MN 中点 B(x,y) ,联结 OB, OB2+BN2r212,在 RtMAN 中,BNAB, OB2+AB212x2+y2+(x3)2+(y+1)212,即 x2+y23x+y1 点 B 的轨迹方程为 x2+y23x+y1,设点 Q(x0,y0) , B 为 AQ 中点,B(,) ,带入 B 点的轨迹方程,得 x02+y0214, x2+y214 上的每个点都符合题意, 故选:D 【点评】本题考查了两圆的位置关系应用问题,是难题 三、解答题(满分三、解答题(满分 42 分)分) 第 11 页(共 15 页) 15 (9 分)已知复数(i 是虚数单位) (1

19、)复数 z 是实数,求实数 m 的值; (2)复数 z 是虚数,求实数 m 的取值范围; (3)复数 z 是纯虚数,求实数 m 的值 【分析】 (1)根据复数是实数得到虚部为零 (2)复数是虚数,则虚部不为零 (3)复数是纯虚数,则实部为零虚部不为零 【解答】解: (1)若复数 z 是实数,则,得, 即 m5; (2)复数 z 是虚数,则,即, 即 m5 且 m3; (3)复数 z 是纯虚数,则,得, 即 m3,或2 【点评】本题主要考查复数的有关概念,根据条件转化为相应的表达式关系是解决本题 的关键 16 (9 分)直线 ykx+1 与双曲线 3x2y21 的左支交于点 A,与右支交于点 B

20、 (1)求实数 k 的取值范围; (2)若以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点,求 k 的取值 【分析】 (1)由直线 ykx+1 与双曲线 3x2y21,得(3k2)x22kx20,利用 A, B 在双曲线的左右两支上,根据韦达定理即可得不等式,解出即可; (2)把存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点转化为 kOAkOB1,即 x1x2+y1y20,整理后代入根与系数关系求解实数 k 的值 【解答】解: (1)由直线 ykx+1 与双曲线 3x2y21,得(3k2)x22kx20, 因为 AB 在双曲线的左右两支上,所以 3k20,0, 解得k; 第 12 页(共 15 页

21、) (2)假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点,设 A(x1,y1) ,B(x2, y2) , 则 kOAkOB1,即 x1x2+y1y20, x1x2+(kx1+1) (kx2+1)0, 即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+10, (k2+1) +k0, 整理得 k21,符合条件, k1 【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程 的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方法,训练了利用直线斜率的关 系判断两直线的垂直关系,是中档题 17 (12 分)已知 F1、F2为双曲线:的左、右焦点,点 P 在双曲线上,点 Q 在圆

22、 C:x2+(y3)24 上 (1)若|PF1|+|PF2|8,求点 P 的坐标; (2)若直线 l 与双曲线及圆 C 都恰好只有一个公共点,求直线 l 的方程 【分析】 (1)设|PF1|m,|PF2|n,运用双曲线的两个定义,解方程即可得到所求 P 的 坐标; (2) 分别讨论直线的斜率不存在和直线和渐近线平行、 直线和圆、 双曲线都相切的情况, 解方程即可得到所求直线方程 【解答】解: (1)设|PF1|m,|PF2|n,可得 m+n8,|mn|4, 若 P 在第一象限,可得 mn4, 解得 m6,n2, 由双曲线的第二定义可得, 解得 xP,yP, 由对称性可得点 P 的坐标为 ; (

23、2)直线 l 与双曲线及圆 C 都恰好只有一个公共点, 第 13 页(共 15 页) 若直线 l 的斜率不存在,即有直线方程为 x2; 由双曲线的渐近线方程可得 yx, 直线 l 与渐近线平行,可设 l:yx+m, 由直线 l 与圆相切,可得2,解得 m3, 可得直线 l 的方程为 yx+3或 yx+3; 当直线 l 与双曲线和圆都相切,设直线方程为 ykx+t, 可得2, 由双曲线方程和直线方程联立,可得(14k2)x28ktx4t240, 可得64k2t2+16(1+t2) (14k2)0, 化为 1+t24k2, 由解得 k,t, 即直线 l 的方程为 yx+, 综上可得直线 l 共有

24、8 条,为 x2;yx+3或 yx+3; yx+ 【点评】本题考查直线和双曲线、直线和圆的位置关系,考查化简运算能力、方程思想, 属于中档题 18 (12 分)已知椭圆:+1(ab0)的右焦点为 F(1,0) ,M 点的坐标为(0, b) ,O 为坐标原点,OMF 是等腰直角三角形 (1)求椭圆的方程; (2)设经过点 C(0,2)作直线 AB 交椭圆于 A、B 两点,求AOB 面积的最大值; (3)是否存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使点 F 为PQM 的垂心(垂心:三角形三边 高线的交点)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)由OMF 是等腰直角三角形

25、,可得 b1,a,b,从而可得椭 圆方程; 第 14 页(共 15 页) (2)设过点 C(0,2)的直线 AB 的方程为 ykx+2,A、B 的横坐标分别为 xA,xB,求 出|xAxB|的最大值,即可求得AOB 面积2|xAxB|xAxB|的最大值; (3)假设存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,且使点 F 为PQM 的垂心,设直线 l 的方程 为 yx+m,代入椭圆方程,利用韦达定理结合,即可求得结论 【解答】解: (1)由OMF 是等腰直角三角形,得 b1,ab,故椭圆方程为 ; (2)设过点 C(0,2)的直线 AB 的方程为 ykx+2,A、B 的横坐标分别为 xA,xB, 将线

26、 AB 的方程为 ykx+2 代入椭圆方程,消元可得(1+2k2)x2+8kx+60,16k2 240,k2 xA+xB,xAxB |xAxB| 令 k2t,则 t,|xAxB| 令 ut,则 u0,|xAxB|42(当且仅当 u2 时取 等号) 又AOB 面积2|xAxB|xAxB|,AOB 面积的最大值为; (3)假设存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,且使点 F 为PQM 的垂心, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 因为 M(0,1) ,F(1,0) ,所以 kPQ1 于是设直线 l 的方程为 yx+m,代入椭圆方程,消元可得 3x2+4mx+2m220 由0,得 m23,且 x1+x2,x1x2 由题意应有,所以 x1(x21)+y2(y11)0, 所以 2x1x2+(x1+x2) (m1)+m2m0 整理得 2(m1)+m2m0 第 15 页(共 15 页) 解得 m或 m1 经检验,当 m1 时,PQM 不存在,故舍去 当 m时,所求直线 l 存在,且直线 l 的方程为 yx 【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计 算,考查韦达定理的运用,属于中档题