1、如图为中国古籍尚书中记载的“洛书” ，关于其传说被列为国家级非物质文 化遗产依据此数阵所示的行列式的元素 2 的代数余子式的值为 5 （4 分）在平面直角坐标系中，以点为直径的圆的方程可以化为 x2+y2+Dx+Ey+F0 的形式，则 D+E+F 6 （4 分）平面直角坐标系 xOy 中，点 A（4，2） ，动点 P 满足，则动点 P 的轨 迹方程是 7 （5 分）某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是 第 2 页（共 19 页） 8 （5 分）已知数列的通项公式为， 则 9 （5 分）已知数轴上分别对应实数 m、n（mn）的两个点 E、F 的距离用行列式可以表 示为，类比于此，平面上
2、三个成逆时针顺序的点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C （x3，y3）形成的三角形面积用行列式可表示为 S 10 （5 分）等比数列an前 n 项和 Sn，首项为 10，公比为 2，则方程|xS3|+|y+a3|10 所表 示的图形的面积为 11 （5 分）平面上线段|GH|4，如果三角形 GPH 上的顶点 P 永远保持，那 么随着 P 的运动，三角形 GPH 面积的最大值等于 12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 O 是坐标原点，点 A（2，1） ，B（0，2） ，点 P 在圆（x1）2+y21 上运动，若，则 2x+y 的最小值为 二、选择题（本大题满分二、选择题（本
3、大题满分 20 分分.本大题共有本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个 结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得 5 分，否则一律分，否则一律 得零分）得零分） 13 （5 分）已知过定点（4，5）的直线 m 的一个法向量是，则直线 m 的点方 向式方程可以为（ ） A3（x4）2（y5） B C3（x4）2（y5）0 D 第 3 页（共 19 页） 14 （5 分）用数学归纳法证明：，在第二 步证明当 nk+1 成立时，通常要将 12+22+32+
4、k2+（k+1）2最终变形为（ ） A B C D 15 （5 分）列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的 _条件（ ） A充分不必要 B必要不充分 C充要 D非充分非必要 16 （5 分）已知，由抛物线 yx2、x 轴以及直线 x1 所围成的曲边区域的面积为 S如图 可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算 S所谓“分之弥细，所失弥少” ， 这就是高中课本中的数列极限的思想由此可以求出 S 的值为（ ） A B C D 三、解答三、解答题（本大题满分题（本大题满分 76 分分.本大题共有本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤）题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 17
5、 （14 分） 用行列式讨论关于 x、 y 的二元一次方程解的情况并求解 18（14 分） 已知向量的夹角为 120， 且， 设 （1）试用 t 来表示的值； （2）若 与 的夹角为钝角，试求实数 t 的取值范围 第 4 页（共 19 页） 19 （14 分）定义“矩阵”的种运算，该运算的意义为 点（x，y）在矩阵变换下成点（ax+cy，bx+dy） ，设矩阵 （1）已知点 P 在矩阵 A 的变换后得到的点 Q 的坐标为（3，1） ，试求点 P 的坐标； （2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵 A 变换后得到的点仍在该直线上？若 存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由 20
6、（16 分）已知圆 C：x2+y24 与坐标轴的正半轴交于 A、B 两点 （1）求坐标原点到直线 AB 的距离； （2）圆 C 上有两个动点 S、T，使得，证明：点 O 到直线 ST 的距离为定值； （3）在圆 D：x2+y2r2上任取一点 U，在圆 C 上任取一点 V，保持，点 O 到 直线 UV 的距离为 d，求出 d 关于 r 的函数 df（r） ，并求出其值域 21 （18 分）平面直角坐标系 xOy 中，设 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，Pn（xn，yn） （n3， nN ） 是 圆C ：（ x a ） 2+y2 r2（ r 0 ） 上 的 点 ， 且 构成了一个公差
7、d 不为零的等差数列 an记 Sna2+a2+an （1）若 ar10，n3，P1（20，0）及 S31140，求点 P3的坐标； （2）若 ar，P1（0，0） ，对于给定的自然数 n 写出符合条件的点 P1、P2、Pn存在 的充要条件，并说明理由； （3）若 C： （xa）2+y2r2（a0） ，点 P1（a+r，0） ，对于给定的自然数 n，当公差 d 变化时，求 Sn的最小值 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年上海市嘉定区高二（上）期末数学试卷学年上海市嘉定区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 1
8、2 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分；第分；第 712 题每题题每题 5 分分. 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果） 1 （4 分）已知两点 A（1，2） 、B（3，6） ，则直线 AB 的倾斜角为 45 【分析】由两点求斜率公式求得 AB 的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线 AB 的倾斜角 【解答】解：A（1，2） 、B（3，6） ， ， 由斜率等于倾斜角的正切值可得，直线 AB 的倾斜角为 45 故答案为：45 【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题 2 （4 分）向量在上的投影为
9、 【分析】直接利用向量的数量积公式求解即可 【解答】解：向量在上的投影为， 故答案为： 【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，考查计算能力 3 （4 分）直线 x+y+10 与直线 2xy+10 的夹角的大小等于 arctan3 （用反三角函数 式表示） 【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得结果 【解答】解：直线 x+y+10 与直线 2xy+10 的斜率分别为1 和 2， 设直线 x+y+10 与直线 2xy+10 的夹角为 ，则 tan3， arctan3， 故答案为：arctan3 【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式，属于基础题 4 （4 分）如图为中国古籍尚
10、书中记载的“洛书” ，关于其传说被列为国家级非物质文 第 6 页（共 19 页） 化遗产依据此数阵所示的行列式的元素 2 的代数余子式的值为 6 【分析】由中国古籍尚书中记载的“洛书” ，得，依据此数阵所示的行列式， 能求出元素 2 的代数余子式的值 【解答】解：由中国古籍尚书中记载的“洛书” ，得： ， 依据此数阵所示的行列式的元素 2 的代数余子式的值为： （1）1+2（3642）6 故答案为：6 【点评】本题考查代数余子式的值的求法，考查“洛书” 、代数余子式等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 5 （4 分）在平面直角坐标系中，以点为直径的圆的方程可以化为 x2+y2+Dx+Ey+
11、F0 的形式，则 D+E+F 6+4 【分析】 先求出圆心坐标和半径， 可得圆的标准方程， 再把它化为一般方程， 求得 D+E+F 的值 【解答】解：以点为直径的圆的圆心为（0，） ， 半径为|， 故该圆的方程为 x2+，即 x2+y2（5+）y1+50 而已知圆的方程可以化为 x2+y2+Dx+Ey+F0 的形式，故 D0，E5，F 1+5， D+E+F6+4， 第 7 页（共 19 页） 故答案为：6+4 【点评】本题主要考查求圆的标准方程，把圆的标准方程化为一般方程，属于中档题 6 （4 分）平面直角坐标系 xOy 中，点 A（4，2） ，动点 P 满足，则动点 P 的轨 迹方程是 （x
12、2）2+（y+1）29 【分析】设动点 P（x，y） ，由点 A（4，2） ，动点 P 满足，得（x，y） （x4， y+2）4，由此能求出动点 P 的轨迹方程 【解答】解：设动点 P（x，y） ， 点 A（4，2） ，动点 P 满足， （x，y） （x4，y+2）4， 整理得：x24x+y2+2y4， 即动点 P 的轨迹方程为（x2）2+（y+1）29 故答案为： （x2）2+（y+1）29 【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查圆、直线方程、向量和数量积公式等基 础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题 7 （5 分）某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是 204
13、7 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a1， 第 8 页（共 19 页） a3 不满足判断框内的条件，执行循环体，a7 不满足判断框内的条件，执行循环体，a15 不满足判断框内的条件，执行循环体，a31 不满足判断框内的条件，执行循环体，a63 不满足判断框内的条件，执行循环体，a127 不满足判断框内的条件，执行循环体，a255 不满足判断框内的条件，执行循环体，a511 不满足判断框内的条件，执行循环体，a1023 不满足判断框内的条件，执行循环
14、体，a2047 此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出 a 的值为 2047 故答案为：2047 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 8 （5 分）已知数列的通项公式为， 则 5 【分析】把问题转化为求，分子分母同时除以 5n即可求解 【解答】解：要求，即求， 而 故答案为：5 【点评】本题考查数列的极限的求法，是基础的计算题 9 （5 分）已知数轴上分别对应实数 m、n（mn）的两个点 E、F 的距离用行列式可以表 示为，类比于此，平面上三个成逆时针顺序的点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C 第 9 页（共 19
15、页） （x3，y3）形成的三角形面积用行列式可表示为 S | 【分析】先阅读理解题意，再由类比推理可得解 【解答】解：由题意可类比得： 平面上三个成逆时针顺序的点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） 形成的三角形面积用行列式可表示为 S| | 故答案为：| | 【点评】本题考查了类比推理，属简单题 10 （5 分）等比数列an前 n 项和 Sn，首项为 10，公比为 2，则方程|xS3|+|y+a3|10 所表 示的图形的面积为 200 【分析】等比数列an前 n 项和 Sn，首项为 10，公比为 2，可得 a340，S370方程|x S3|+|y+a3|10 即|x70
16、|+|y+40|10，通过分类讨论画出图形即可得出 【解答】解：等比数列an前 n 项和 Sn，首项为 10，公比为 2， a3102240，S370 则方程|xS3|+|y+a3|10 即|x70|+|y+40|10， 分类讨论：x70，y40 时，化为：x+y40 x70，y40 时，化为：xy120 x70，y40 时，化为：xy100 x70，y40 时，化为：x+y20 画出图形： 所表示的图形正方形 ABCD 的面积200 故答案为：200 第 10 页（共 19 页） 【点评】本题考查了等比数列的通项公式、直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 11 （5
17、 分）平面上线段|GH|4，如果三角形 GPH 上的顶点 P 永远保持，那 么随着 P 的运动，三角形 GPH 面积的最大值等于 【分析】设 P（x，y） ，以 GH 中点为原点，GH 为 x 轴，GH 的垂直平分线为 y 轴，建立 平面直角坐标系，则 G（2，0） ，H（2，0） ，2，y0， 求出圆心和半径，由此能求出三角形 GPH 面积的最大值 【解答】解：设 P（x，y） ，以 GH 中点为原点，GH 为 x 轴，GH 的垂直平分线为 y 轴， 建立平面直角坐标系， 平面上线段|GH|4，三角形 GPH 上的顶点 P 永远保持， G（2，0） ，H（2，0） ，2，y0， 整理，得 x
18、2+y2+40，y0， 圆心坐标（，0） ，半径 r， 三角形 GPH 面积的最大值 S 故答案为： 【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，考查圆、两点间距离公式等基础知识， 考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题 12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 O 是坐标原点，点 A（2，1） ，B（0，2） ，点 P 第 11 页（共 19 页） 在圆（x1）2+y21 上运动，若，则 2x+y 的最小值为 d 【分析】首先利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，把圆的直角坐标方 程转换为参数方程，进一步利用平面向向量的坐标运算和三角函数关系式的变换求出参 数的范围，
19、最后利用正弦型函数的性质的应用求出结果 【解答】解：点 P 在圆（x1）2+y21 上运动， 转换为参数方程为：（ 为参数） ， 所以：， 由于：， （2，1）x（0，2）+y（1+cos，sin） ， 故：y， 2x1 则：2x+y1+， 1+2（） ， 设， 故：t+tcos1sin， tcos+sin1t， 所以：， 由于， 故：t0 第 12 页（共 19 页） 整理得：2x+y 的最小值为 1+201 故答案为：1 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，向量 的坐标运算的应用，三角函数关系式的恒等变变换和正弦型函数的性质的应用，主要考 查学生的运算能
20、力和转化能力，属于中档题 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 20 分分.本大题共有本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个 结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得 5 分，否则一律分，否则一律 得零分）得零分） 13 （5 分）已知过定点（4，5）的直线 m 的一个法向量是，则直线 m 的点方 向式方程可以为（ ） A3（x4）2（y5） B C3（x4）2（y5）0 D 【分析】先根据题意求出直线的一个方向向量，进而求出直线 l 的斜率
21、，又知直线过点 （4，5） ，即可得到答案 【解答】解：直线 m 的一个法向量是， 直线的一个方向向量为（3，2） ， 直线的斜率为： 又直线过点 A（4，5） ， 直线的点方向式方程为： 故选：D 【点评】本题主要考查了直线的方向向量与向量之间的数量积运算，以及直线的点方向 式方程，是基础题 14 （5 分）用数学归纳法证明：，在第二 步证明当 nk+1 成立时，通常要将 12+22+32+k2+（k+1）2最终变形为（ ） A B 第 13 页（共 19 页） C D 【分析】根据数学归纳的证明步骤和格式即可求出 【解答】解：用数学归纳法证明：， 在第二步证明当 nk+1 成立时，通常要将
22、 12+22+32+k2+（k+1）2最终变形为 ， 故选：D 【点评】本题考查数学归纳法，数学归纳法是证明一个与自然数集 N 相关的性质，其步 骤为：设 P（n）是关于自然数 n 的命题，若 1） （奠基） P（n）在 n1 时成立；2） （归 纳） 在 P（k） （k 为任意自然数）成立的假设下可以推出 P（k+1）成立，则 P（n）对一 切自然数 n 都成立 15 （5 分）列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的 _条件（ ） A充分不必要 B必要不充分 C充要 D非充分非必要 【分析】由二元一次方程组的解得唯一性及两向量平行的充要条件可得解 【解答】解：二元一次方程组存在唯一解充要
23、条件为a1b2a2b1， 向量与不平行， 即列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的充要条 件， 故选：C 【点评】本题考查了二元一次方程组的解及两向量平行的充要条件，属简单题 16 （5 分）已知，由抛物线 yx2、x 轴以及直线 x1 所围成的曲边区域的面积为 S如图 可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算 S所谓“分之弥细，所失弥少” ， 第 14 页（共 19 页） 这就是高中课本中的数列极限的思想由此可以求出 S 的值为（ ） A B C D 【分析】 由题意利用积分法求出由抛物线 yx2、 x 轴以及直线 x1 所围成的曲边区域的 面积 【解答】解：由题意，令 Sx2d
24、xx3（10）， 由抛物线 yx2、x 轴以及直线 x1 所围成的曲边区域的面积为 S 故选：B 【点评】本题考查了定积分的几何意义与应用问题，是基础题 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 76 分分.本大题共有本大题共有 5 题，解答下题，解答下列各题必须写出必要的步骤）列各题必须写出必要的步骤） 17 （14 分） 用行列式讨论关于 x、 y 的二元一次方程解的情况并求解 【分析】本题可对二元一次方程组对应的系数行列式进行分类讨论：当系数行列式 为零时，二元一次方程组无解；当系数行列式不为零时，二元一次方程组有唯一解，此 时可解出此唯一解 【解答】解：由题意，可知： 此二元一次方
25、程组对应的系数行列式为： 系数行列式0，即 m240，m2 当 m2 时，二元一次方程组即为：，此时二元一次方程组无解； 当 m2 时，二元一次方程组即为：，此时二元一次方程组无解； 系数行列式0，即 m240，m2 此时二元一次方程组有唯一解， 第 15 页（共 19 页） 此时唯一解为： 【点评】本题主要考查线性方程组的系数行列式的值与线性方程组解的关系，本题属基 础题 18（14 分） 已知向量的夹角为 120， 且， 设 （1）试用 t 来表示的值； （2）若 与 的夹角为钝角，试求实数 t 的取值范围 【分析】 （1）数量积表示两个向量的夹角得：（3 ） （t +2 ）3t 222+
26、 （6t）4t14， （2）由 与 的夹角为钝角，则4t140 且 ，求解即可 【解答】解： （1）由已知有：|cos12011，又 ， 则（3 ） （t +2 ）3t 222+（6t） 4t14， 故答案为：4t14， （2）由 与 的夹角为钝角，则4t140 且 ， 即 t且 t6， 故答案为： （，6） 【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角及向量数乘和线性运算，属简单题 19 （14 分）定义“矩阵”的种运算，该运算的意义为 点（x，y）在矩阵变换下成点（ax+cy，bx+dy） ，设矩阵 （1）已知点 P 在矩阵 A 的变换后得到的点 Q 的坐标为（3，1） ，试求点 P 的坐标
27、； （2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵 A 变换后得到的点仍在该直线上？若 第 16 页（共 19 页） 存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由 【分析】本题第（1）题可先设点 P 的坐标（x，y） ，然后根据题中的定义列出算式进行 矩阵计算，即可得到点 P 的坐标；第（2）题可假设这样的直线存在，设出直线方程，然 后根据定义算出直线方程的系数，即可得到不存在这样的直线 【解答】解： （1）由题意，可设点 P 的坐标（x，y） ，则有： （x，y） （3，1） ， 即： （x+3y，2xy）（3，1） ，解得： 点 P 的坐标为： （） （2）由题意，可假设这样的直线 l
28、 存在，且直线方程为 ax+by+c0 设直线 l 上任意一点 P（x，y）经矩阵 A 变换后得到的点为 P（x，y）仍在该直线 l 上 则有： （x，y） （x，y） ， 即： （x+3y，2xy）（x，y） ， 任意一点 P（x，y）在该直线 l 上， ax+by+c0 又点 P（x，y）仍在该直线 l 上， ax+by+c0 即：a（x+3y）+b（2xy）+c0 整理，得： （a+2b）x+（3ab）y+c0 ，解得： 不存在这样的直线 【点评】本题第（1）题主要考查对新定义的理解及矩阵的运算；第（2）题主要考查假 设存在进行反证本题属中档题 20 （16 分）已知圆 C：x2+y24
29、 与坐标轴的正半轴交于 A、B 两点 第 17 页（共 19 页） （1）求坐标原点到直线 AB 的距离； （2）圆 C 上有两个动点 S、T，使得，证明：点 O 到直线 ST 的距离为定值； （3）在圆 D：x2+y2r2上任取一点 U，在圆 C 上任取一点 V，保持，点 O 到 直线 UV 的距离为 d，求出 d 关于 r 的函数 df（r） ，并求出其值域 【分析】 （1）根据圆的方程和圆的性质即可求出， （2）根据圆的性质结合向量垂直可得SOT 为等腰直角三角形，即可证明， （3）利用面积法表示出 d2r，即可求出 d 关于 r 的函数 df（r） ，根据函数 的性质即可求出 【解答】
30、解： （1）圆 C：x2+y24 与坐标轴的正半轴交于 A、B 两点， AOB 为等腰直角三角形， 点 O 到直线 AB 的距离为， （2）证明：圆 C 上有两个动点 S、T，使得， ， SOT 为等腰直角三角形， 点 O 到直线 ST 的距离为，即点 O 到直线 ST 的距离为定值， （3）在圆 D：x2+y2r2上任取一点 U，在圆 C 上任取一点 V，保持， ， OUr，OV2， |UV|， d2r， d， df（r）， df（r）22（0，2） 【点评】本题考查了直线和圆的关系，向量的垂直，考查了运算能力和转化能力，属于 第 18 页（共 19 页） 中档题 21 （18 分）平面直角
31、坐标系 xOy 中，设 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，Pn（xn，yn） （n3， nN ） 是 圆C ：（ x a ） 2+y2 r2（ r 0 ） 上 的 点 ， 且 构成了一个公差 d 不为零的等差数列 an记 Sna2+a2+an （1）若 ar10，n3，P1（20，0）及 S31140，求点 P3的坐标； （2）若 ar，P1（0，0） ，对于给定的自然数 n 写出符合条件的点 P1、P2、Pn存在 的充要条件，并说明理由； （3）若 C： （xa）2+y2r2（a0） ，点 P1（a+r，0） ，对于给定的自然数 n，当公差 d 变化时，求 Sn的最小值 【分析】
32、（1）利用条件求出 a3的值，再联立圆的方程求出点 P3的坐标即可 （2）利用定义求出|OPk|2，求出|OPk|2的最大值，继而求出公差范围 （3）求出原点到曲线 C 上的最大距离和最小距离，再利用定义求出 an的通项以及 Sn的 表达式，利用公差 d 的范围，求出 Sn的最小值即可 【解答】 （1）由 a1|OP1|2400，由 S3（a1+a3）1140，得出 a3360， 联立方程：X2+Y2360， （X10）2+Y2100，求得 X18，Y6， P3的坐标为（18，6） （2）对于每个自然数 k，1kn，|OPk|2（k1）d，对于递增数列来说，最大值为 k n 时， （2r）24r2 |OPn|2（n1）d4r2 0d （3）由 a1|OP1|2（a+r）2，OPk的最大值为 a+r，最小值为|ar|，d0 an|OPn|2（a+r）2+（n1）d（ar）2，得到 0d n3，0 Snna2+在区间 0d递增， Sn的最小值为 n（a+r）2+n（a+r）2+（）n（a2+r2） 【点评】此题为等差数列和圆的方程以及不等式的综合题目，属于难度较大题目