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2018-2019学年上海市嘉定区高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、如图为中国古籍尚书中记载的“洛书” ,关于其传说被列为国家级非物质文 化遗产依据此数阵所示的行列式的元素 2 的代数余子式的值为 5 (4 分)在平面直角坐标系中,以点为直径的圆的方程可以化为 x2+y2+Dx+Ey+F0 的形式,则 D+E+F 6 (4 分)平面直角坐标系 xOy 中,点 A(4,2) ,动点 P 满足,则动点 P 的轨 迹方程是 7 (5 分)某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是 第 2 页(共 19 页) 8 (5 分)已知数列的通项公式为, 则 9 (5 分)已知数轴上分别对应实数 m、n(mn)的两个点 E、F 的距离用行列式可以表 示为,类比于此,平面上

2、三个成逆时针顺序的点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C (x3,y3)形成的三角形面积用行列式可表示为 S 10 (5 分)等比数列an前 n 项和 Sn,首项为 10,公比为 2,则方程|xS3|+|y+a3|10 所表 示的图形的面积为 11 (5 分)平面上线段|GH|4,如果三角形 GPH 上的顶点 P 永远保持,那 么随着 P 的运动,三角形 GPH 面积的最大值等于 12 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 O 是坐标原点,点 A(2,1) ,B(0,2) ,点 P 在圆(x1)2+y21 上运动,若,则 2x+y 的最小值为 二、选择题(本大题满分二、选择题(本

3、大题满分 20 分分.本大题共有本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,每题选对得结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,每题选对得 5 分,否则一律分,否则一律 得零分)得零分) 13 (5 分)已知过定点(4,5)的直线 m 的一个法向量是,则直线 m 的点方 向式方程可以为( ) A3(x4)2(y5) B C3(x4)2(y5)0 D 第 3 页(共 19 页) 14 (5 分)用数学归纳法证明:,在第二 步证明当 nk+1 成立时,通常要将 12+22+32+

4、k2+(k+1)2最终变形为( ) A B C D 15 (5 分)列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的 _条件( ) A充分不必要 B必要不充分 C充要 D非充分非必要 16 (5 分)已知,由抛物线 yx2、x 轴以及直线 x1 所围成的曲边区域的面积为 S如图 可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算 S所谓“分之弥细,所失弥少” , 这就是高中课本中的数列极限的思想由此可以求出 S 的值为( ) A B C D 三、解答三、解答题(本大题满分题(本大题满分 76 分分.本大题共有本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤)题,解答下列各题必须写出必要的步骤) 17

5、 (14 分) 用行列式讨论关于 x、 y 的二元一次方程解的情况并求解 18(14 分) 已知向量的夹角为 120, 且, 设 (1)试用 t 来表示的值; (2)若 与 的夹角为钝角,试求实数 t 的取值范围 第 4 页(共 19 页) 19 (14 分)定义“矩阵”的种运算,该运算的意义为 点(x,y)在矩阵变换下成点(ax+cy,bx+dy) ,设矩阵 (1)已知点 P 在矩阵 A 的变换后得到的点 Q 的坐标为(3,1) ,试求点 P 的坐标; (2)是否存在这样的直线:它上面的任一点经矩阵 A 变换后得到的点仍在该直线上?若 存在,试求出所有这样的直线;若不存在,则说明理由 20

6、(16 分)已知圆 C:x2+y24 与坐标轴的正半轴交于 A、B 两点 (1)求坐标原点到直线 AB 的距离; (2)圆 C 上有两个动点 S、T,使得,证明:点 O 到直线 ST 的距离为定值; (3)在圆 D:x2+y2r2上任取一点 U,在圆 C 上任取一点 V,保持,点 O 到 直线 UV 的距离为 d,求出 d 关于 r 的函数 df(r) ,并求出其值域 21 (18 分)平面直角坐标系 xOy 中,设 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,Pn(xn,yn) (n3, nN ) 是 圆C :( x a ) 2+y2 r2( r 0 ) 上 的 点 , 且 构成了一个公差

7、d 不为零的等差数列 an记 Sna2+a2+an (1)若 ar10,n3,P1(20,0)及 S31140,求点 P3的坐标; (2)若 ar,P1(0,0) ,对于给定的自然数 n 写出符合条件的点 P1、P2、Pn存在 的充要条件,并说明理由; (3)若 C: (xa)2+y2r2(a0) ,点 P1(a+r,0) ,对于给定的自然数 n,当公差 d 变化时,求 Sn的最小值 第 5 页(共 19 页) 2018-2019 学年上海市嘉定区高二(上)期末数学试卷学年上海市嘉定区高二(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共有一、填空题(本大题共有 1

8、2 题,满分题,满分 54 分,第分,第 16 题每题题每题 4 分;第分;第 712 题每题题每题 5 分分. 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果) 1 (4 分)已知两点 A(1,2) 、B(3,6) ,则直线 AB 的倾斜角为 45 【分析】由两点求斜率公式求得 AB 的斜率,再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线 AB 的倾斜角 【解答】解:A(1,2) 、B(3,6) , , 由斜率等于倾斜角的正切值可得,直线 AB 的倾斜角为 45 故答案为:45 【点评】本题考查直线的倾斜角,考查直线倾斜角与斜率的关系,是基础题 2 (4 分)向量在上的投影为

9、 【分析】直接利用向量的数量积公式求解即可 【解答】解:向量在上的投影为, 故答案为: 【点评】本题考查平面向量的数量积的应用,考查计算能力 3 (4 分)直线 x+y+10 与直线 2xy+10 的夹角的大小等于 arctan3 (用反三角函数 式表示) 【分析】先求出两条直线的斜率,再利用两条直线的夹角公式求得结果 【解答】解:直线 x+y+10 与直线 2xy+10 的斜率分别为1 和 2, 设直线 x+y+10 与直线 2xy+10 的夹角为 ,则 tan3, arctan3, 故答案为:arctan3 【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式,属于基础题 4 (4 分)如图为中国古籍尚

10、书中记载的“洛书” ,关于其传说被列为国家级非物质文 第 6 页(共 19 页) 化遗产依据此数阵所示的行列式的元素 2 的代数余子式的值为 6 【分析】由中国古籍尚书中记载的“洛书” ,得,依据此数阵所示的行列式, 能求出元素 2 的代数余子式的值 【解答】解:由中国古籍尚书中记载的“洛书” ,得: , 依据此数阵所示的行列式的元素 2 的代数余子式的值为: (1)1+2(3642)6 故答案为:6 【点评】本题考查代数余子式的值的求法,考查“洛书” 、代数余子式等基础知识,考查 运算求解能力,是基础题 5 (4 分)在平面直角坐标系中,以点为直径的圆的方程可以化为 x2+y2+Dx+Ey+

11、F0 的形式,则 D+E+F 6+4 【分析】 先求出圆心坐标和半径, 可得圆的标准方程, 再把它化为一般方程, 求得 D+E+F 的值 【解答】解:以点为直径的圆的圆心为(0,) , 半径为|, 故该圆的方程为 x2+,即 x2+y2(5+)y1+50 而已知圆的方程可以化为 x2+y2+Dx+Ey+F0 的形式,故 D0,E5,F 1+5, D+E+F6+4, 第 7 页(共 19 页) 故答案为:6+4 【点评】本题主要考查求圆的标准方程,把圆的标准方程化为一般方程,属于中档题 6 (4 分)平面直角坐标系 xOy 中,点 A(4,2) ,动点 P 满足,则动点 P 的轨 迹方程是 (x

12、2)2+(y+1)29 【分析】设动点 P(x,y) ,由点 A(4,2) ,动点 P 满足,得(x,y) (x4, y+2)4,由此能求出动点 P 的轨迹方程 【解答】解:设动点 P(x,y) , 点 A(4,2) ,动点 P 满足, (x,y) (x4,y+2)4, 整理得:x24x+y2+2y4, 即动点 P 的轨迹方程为(x2)2+(y+1)29 故答案为: (x2)2+(y+1)29 【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法,考查圆、直线方程、向量和数量积公式等基 础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题 7 (5 分)某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是 204

13、7 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的 值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案 【解答】解:模拟程序的运行,可得 a1, 第 8 页(共 19 页) a3 不满足判断框内的条件,执行循环体,a7 不满足判断框内的条件,执行循环体,a15 不满足判断框内的条件,执行循环体,a31 不满足判断框内的条件,执行循环体,a63 不满足判断框内的条件,执行循环体,a127 不满足判断框内的条件,执行循环体,a255 不满足判断框内的条件,执行循环体,a511 不满足判断框内的条件,执行循环体,a1023 不满足判断框内的条件,执行循环

14、体,a2047 此时,满足判断框内的条件,退出循环,输出 a 的值为 2047 故答案为:2047 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得 出正确的结论,是基础题 8 (5 分)已知数列的通项公式为, 则 5 【分析】把问题转化为求,分子分母同时除以 5n即可求解 【解答】解:要求,即求, 而 故答案为:5 【点评】本题考查数列的极限的求法,是基础的计算题 9 (5 分)已知数轴上分别对应实数 m、n(mn)的两个点 E、F 的距离用行列式可以表 示为,类比于此,平面上三个成逆时针顺序的点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C 第 9 页(共 19

15、页) (x3,y3)形成的三角形面积用行列式可表示为 S | 【分析】先阅读理解题意,再由类比推理可得解 【解答】解:由题意可类比得: 平面上三个成逆时针顺序的点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) 形成的三角形面积用行列式可表示为 S| | 故答案为:| | 【点评】本题考查了类比推理,属简单题 10 (5 分)等比数列an前 n 项和 Sn,首项为 10,公比为 2,则方程|xS3|+|y+a3|10 所表 示的图形的面积为 200 【分析】等比数列an前 n 项和 Sn,首项为 10,公比为 2,可得 a340,S370方程|x S3|+|y+a3|10 即|x70

16、|+|y+40|10,通过分类讨论画出图形即可得出 【解答】解:等比数列an前 n 项和 Sn,首项为 10,公比为 2, a3102240,S370 则方程|xS3|+|y+a3|10 即|x70|+|y+40|10, 分类讨论:x70,y40 时,化为:x+y40 x70,y40 时,化为:xy120 x70,y40 时,化为:xy100 x70,y40 时,化为:x+y20 画出图形: 所表示的图形正方形 ABCD 的面积200 故答案为:200 第 10 页(共 19 页) 【点评】本题考查了等比数列的通项公式、直线方程、分类讨论方法,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题 11 (5

17、 分)平面上线段|GH|4,如果三角形 GPH 上的顶点 P 永远保持,那 么随着 P 的运动,三角形 GPH 面积的最大值等于 【分析】设 P(x,y) ,以 GH 中点为原点,GH 为 x 轴,GH 的垂直平分线为 y 轴,建立 平面直角坐标系,则 G(2,0) ,H(2,0) ,2,y0, 求出圆心和半径,由此能求出三角形 GPH 面积的最大值 【解答】解:设 P(x,y) ,以 GH 中点为原点,GH 为 x 轴,GH 的垂直平分线为 y 轴, 建立平面直角坐标系, 平面上线段|GH|4,三角形 GPH 上的顶点 P 永远保持, G(2,0) ,H(2,0) ,2,y0, 整理,得 x

18、2+y2+40,y0, 圆心坐标(,0) ,半径 r, 三角形 GPH 面积的最大值 S 故答案为: 【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法,考查圆、两点间距离公式等基础知识, 考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题 12 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 O 是坐标原点,点 A(2,1) ,B(0,2) ,点 P 第 11 页(共 19 页) 在圆(x1)2+y21 上运动,若,则 2x+y 的最小值为 d 【分析】首先利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,把圆的直角坐标方 程转换为参数方程,进一步利用平面向向量的坐标运算和三角函数关系式的变换求出参 数的范围,

19、最后利用正弦型函数的性质的应用求出结果 【解答】解:点 P 在圆(x1)2+y21 上运动, 转换为参数方程为:( 为参数) , 所以:, 由于:, (2,1)x(0,2)+y(1+cos,sin) , 故:y, 2x1 则:2x+y1+, 1+2() , 设, 故:t+tcos1sin, tcos+sin1t, 所以:, 由于, 故:t0 第 12 页(共 19 页) 整理得:2x+y 的最小值为 1+201 故答案为:1 【点评】本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,向量 的坐标运算的应用,三角函数关系式的恒等变变换和正弦型函数的性质的应用,主要考 查学生的运算能

20、力和转化能力,属于中档题 二、选择题(本大题满分二、选择题(本大题满分 20 分分.本大题共有本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,每题选对得结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,每题选对得 5 分,否则一律分,否则一律 得零分)得零分) 13 (5 分)已知过定点(4,5)的直线 m 的一个法向量是,则直线 m 的点方 向式方程可以为( ) A3(x4)2(y5) B C3(x4)2(y5)0 D 【分析】先根据题意求出直线的一个方向向量,进而求出直线 l 的斜率

21、,又知直线过点 (4,5) ,即可得到答案 【解答】解:直线 m 的一个法向量是, 直线的一个方向向量为(3,2) , 直线的斜率为: 又直线过点 A(4,5) , 直线的点方向式方程为: 故选:D 【点评】本题主要考查了直线的方向向量与向量之间的数量积运算,以及直线的点方向 式方程,是基础题 14 (5 分)用数学归纳法证明:,在第二 步证明当 nk+1 成立时,通常要将 12+22+32+k2+(k+1)2最终变形为( ) A B 第 13 页(共 19 页) C D 【分析】根据数学归纳的证明步骤和格式即可求出 【解答】解:用数学归纳法证明:, 在第二步证明当 nk+1 成立时,通常要将

22、 12+22+32+k2+(k+1)2最终变形为 , 故选:D 【点评】本题考查数学归纳法,数学归纳法是证明一个与自然数集 N 相关的性质,其步 骤为:设 P(n)是关于自然数 n 的命题,若 1) (奠基) P(n)在 n1 时成立;2) (归 纳) 在 P(k) (k 为任意自然数)成立的假设下可以推出 P(k+1)成立,则 P(n)对一 切自然数 n 都成立 15 (5 分)列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的 _条件( ) A充分不必要 B必要不充分 C充要 D非充分非必要 【分析】由二元一次方程组的解得唯一性及两向量平行的充要条件可得解 【解答】解:二元一次方程组存在唯一解充要

23、条件为a1b2a2b1, 向量与不平行, 即列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的充要条 件, 故选:C 【点评】本题考查了二元一次方程组的解及两向量平行的充要条件,属简单题 16 (5 分)已知,由抛物线 yx2、x 轴以及直线 x1 所围成的曲边区域的面积为 S如图 可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算 S所谓“分之弥细,所失弥少” , 第 14 页(共 19 页) 这就是高中课本中的数列极限的思想由此可以求出 S 的值为( ) A B C D 【分析】 由题意利用积分法求出由抛物线 yx2、 x 轴以及直线 x1 所围成的曲边区域的 面积 【解答】解:由题意,令 Sx2d

24、xx3(10), 由抛物线 yx2、x 轴以及直线 x1 所围成的曲边区域的面积为 S 故选:B 【点评】本题考查了定积分的几何意义与应用问题,是基础题 三、解答题(本大题满分三、解答题(本大题满分 76 分分.本大题共有本大题共有 5 题,解答下题,解答下列各题必须写出必要的步骤)列各题必须写出必要的步骤) 17 (14 分) 用行列式讨论关于 x、 y 的二元一次方程解的情况并求解 【分析】本题可对二元一次方程组对应的系数行列式进行分类讨论:当系数行列式 为零时,二元一次方程组无解;当系数行列式不为零时,二元一次方程组有唯一解,此 时可解出此唯一解 【解答】解:由题意,可知: 此二元一次方

25、程组对应的系数行列式为: 系数行列式0,即 m240,m2 当 m2 时,二元一次方程组即为:,此时二元一次方程组无解; 当 m2 时,二元一次方程组即为:,此时二元一次方程组无解; 系数行列式0,即 m240,m2 此时二元一次方程组有唯一解, 第 15 页(共 19 页) 此时唯一解为: 【点评】本题主要考查线性方程组的系数行列式的值与线性方程组解的关系,本题属基 础题 18(14 分) 已知向量的夹角为 120, 且, 设 (1)试用 t 来表示的值; (2)若 与 的夹角为钝角,试求实数 t 的取值范围 【分析】 (1)数量积表示两个向量的夹角得:(3 ) (t +2 )3t 222+

26、 (6t)4t14, (2)由 与 的夹角为钝角,则4t140 且 ,求解即可 【解答】解: (1)由已知有:|cos12011,又 , 则(3 ) (t +2 )3t 222+(6t) 4t14, 故答案为:4t14, (2)由 与 的夹角为钝角,则4t140 且 , 即 t且 t6, 故答案为: (,6) 【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角及向量数乘和线性运算,属简单题 19 (14 分)定义“矩阵”的种运算,该运算的意义为 点(x,y)在矩阵变换下成点(ax+cy,bx+dy) ,设矩阵 (1)已知点 P 在矩阵 A 的变换后得到的点 Q 的坐标为(3,1) ,试求点 P 的坐标

27、; (2)是否存在这样的直线:它上面的任一点经矩阵 A 变换后得到的点仍在该直线上?若 第 16 页(共 19 页) 存在,试求出所有这样的直线;若不存在,则说明理由 【分析】本题第(1)题可先设点 P 的坐标(x,y) ,然后根据题中的定义列出算式进行 矩阵计算,即可得到点 P 的坐标;第(2)题可假设这样的直线存在,设出直线方程,然 后根据定义算出直线方程的系数,即可得到不存在这样的直线 【解答】解: (1)由题意,可设点 P 的坐标(x,y) ,则有: (x,y) (3,1) , 即: (x+3y,2xy)(3,1) ,解得: 点 P 的坐标为: () (2)由题意,可假设这样的直线 l

28、 存在,且直线方程为 ax+by+c0 设直线 l 上任意一点 P(x,y)经矩阵 A 变换后得到的点为 P(x,y)仍在该直线 l 上 则有: (x,y) (x,y) , 即: (x+3y,2xy)(x,y) , 任意一点 P(x,y)在该直线 l 上, ax+by+c0 又点 P(x,y)仍在该直线 l 上, ax+by+c0 即:a(x+3y)+b(2xy)+c0 整理,得: (a+2b)x+(3ab)y+c0 ,解得: 不存在这样的直线 【点评】本题第(1)题主要考查对新定义的理解及矩阵的运算;第(2)题主要考查假 设存在进行反证本题属中档题 20 (16 分)已知圆 C:x2+y24

29、 与坐标轴的正半轴交于 A、B 两点 第 17 页(共 19 页) (1)求坐标原点到直线 AB 的距离; (2)圆 C 上有两个动点 S、T,使得,证明:点 O 到直线 ST 的距离为定值; (3)在圆 D:x2+y2r2上任取一点 U,在圆 C 上任取一点 V,保持,点 O 到 直线 UV 的距离为 d,求出 d 关于 r 的函数 df(r) ,并求出其值域 【分析】 (1)根据圆的方程和圆的性质即可求出, (2)根据圆的性质结合向量垂直可得SOT 为等腰直角三角形,即可证明, (3)利用面积法表示出 d2r,即可求出 d 关于 r 的函数 df(r) ,根据函数 的性质即可求出 【解答】

30、解: (1)圆 C:x2+y24 与坐标轴的正半轴交于 A、B 两点, AOB 为等腰直角三角形, 点 O 到直线 AB 的距离为, (2)证明:圆 C 上有两个动点 S、T,使得, , SOT 为等腰直角三角形, 点 O 到直线 ST 的距离为,即点 O 到直线 ST 的距离为定值, (3)在圆 D:x2+y2r2上任取一点 U,在圆 C 上任取一点 V,保持, , OUr,OV2, |UV|, d2r, d, df(r), df(r)22(0,2) 【点评】本题考查了直线和圆的关系,向量的垂直,考查了运算能力和转化能力,属于 第 18 页(共 19 页) 中档题 21 (18 分)平面直角

31、坐标系 xOy 中,设 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,Pn(xn,yn) (n3, nN ) 是 圆C :( x a ) 2+y2 r2( r 0 ) 上 的 点 , 且 构成了一个公差 d 不为零的等差数列 an记 Sna2+a2+an (1)若 ar10,n3,P1(20,0)及 S31140,求点 P3的坐标; (2)若 ar,P1(0,0) ,对于给定的自然数 n 写出符合条件的点 P1、P2、Pn存在 的充要条件,并说明理由; (3)若 C: (xa)2+y2r2(a0) ,点 P1(a+r,0) ,对于给定的自然数 n,当公差 d 变化时,求 Sn的最小值 【分析】

32、(1)利用条件求出 a3的值,再联立圆的方程求出点 P3的坐标即可 (2)利用定义求出|OPk|2,求出|OPk|2的最大值,继而求出公差范围 (3)求出原点到曲线 C 上的最大距离和最小距离,再利用定义求出 an的通项以及 Sn的 表达式,利用公差 d 的范围,求出 Sn的最小值即可 【解答】 (1)由 a1|OP1|2400,由 S3(a1+a3)1140,得出 a3360, 联立方程:X2+Y2360, (X10)2+Y2100,求得 X18,Y6, P3的坐标为(18,6) (2)对于每个自然数 k,1kn,|OPk|2(k1)d,对于递增数列来说,最大值为 k n 时, (2r)24r2 |OPn|2(n1)d4r2 0d (3)由 a1|OP1|2(a+r)2,OPk的最大值为 a+r,最小值为|ar|,d0 an|OPn|2(a+r)2+(n1)d(ar)2,得到 0d n3,0 Snna2+在区间 0d递增, Sn的最小值为 n(a+r)2+n(a+r)2+()n(a2+r2) 【点评】此题为等差数列和圆的方程以及不等式的综合题目,属于难度较大题目