1、（精品资料）（精品资料）20202020 年中考数学压轴题突破年中考数学压轴题突破专题四专题四 几何最值的存在性几何最值的存在性 问题问题 类型一 【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】 【典例指引 1】 （2018 天津中考模拟）如图， 在平面直角坐标系中， 长方形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上点 B 的坐标为（8，4） ，将该长方形沿 OB 翻折，点 A 的对应点为点 D，OD 与 BC 交于点 E （I）证明：EO=EB； （）点 P 是直线 OB 上的任意一点，且 OPC 是等腰三角形，求满足条件的点 P 的坐标； （）点 M 是 OB 上任
2、意一点，点 N 是 OA 上任 意一点，若存在这样的点 M、N，使得 AM+MN 最小，请 直接写出这个最小值 【举一反三】 （2020 云南初三）如图，抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 B（1，0） ，C（2，3） ，抛物线与 y 轴的焦点 A，与 x 轴的另一个焦点为 D，点 M 为线段 AD 上的一动点，设点 M 的横坐标为 t （1）求抛物线的表达式； （2）过点 M 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 P，设线段 PM 的长为 1，当 t 为何值时，1 的长最大，并求最 大值； （先根据题目画图，再计算） （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时， PAD 的面积最大？并求最大值；
3、 （4）在（2）的条件下，是否存在点 P，使 PAD 为直角三角形？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，说 明理由 类型二 【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】 【典例指引 2】 （2020 重庆初三期末）如图，抛物线 2 yaxbx（0a）与双曲线 k y x 相交于点A、B，已知点A坐 标1,4，点B在第三象限内，且AOB的面积为 3（O为坐标原点）. （1）求实数a、b、k的值； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P使得POB为等腰三角形？若存在请求出所有的P点的坐标， 若不存在请说明理由. （3）在坐标系内有一个点M，恰使得MAMBMO，现要求在y轴上找出点Q使得
4、BQM的周长最 小，请求出M的坐标和BQM周长的最小值. 【举一反三】 （2019 重庆实验外国语学校初三）如图 1，已知抛物线 y 2 33 84 x x+3 与 x 轴交于 A 和 B 两点， （点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求出直线 BC 的解析式 （2） M 为线段 BC 上方抛物线上一动点， 过 M 作 x 轴的垂线交 BC 于 H， 过 M 作 MQBC 于 Q， 求出 MHQ 周长最大值并求出此时 M 的坐标；当 MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点 R，使|ARMR|最大，求出此 时 R 的坐标 （3）T 为线段 BC 上一动点，将 OCT 沿边 O
5、T 翻折得到 OCT，是否存在点 T 使 OCT 与 OBC 的重 叠部分为直角三角形，若存在请求出 BT 的长，若不存在，请说明理由 类型三 【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】 【典例指引 3】 （2019 甘肃中考真题） 如图， 已知二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A （1， 0） 、 B （3， 0） ，与 y 轴交于点 C （1）求二次函数的解析式； （2）若点 P 为抛物线上的一点，点 F 为对称轴上的一点，且以点 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边 形，求点 P 的坐标； （3）点 E 是二次函数第四象限图象上一点，过点 E 作 x 轴的
6、垂线，交直线 BC 于点 D，求四边形 AEBD 面 积的最大值及此时点 E 的坐标 【举一反三】 （2019 内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 2(0)yaxbxa与x轴交于 1,0A ） ，3 , 0B两点，与y轴交于点C，连接BC （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； （2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CDBD、，若DCBCBD，求点D的坐标； （3）已知1,1F，若,E x y是抛物线上一个动点（其中12x） ，连接CECFEF、，求CEF面 积的最大值及此时点E的坐标 （4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以,B C M N为顶
7、点的四边形是平行 四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由 【新题训练】 1如图，直线 y5x5交 x轴于点 A，交 y轴于点 C，过 A，C 两点的二次函数 yax24xc的图象交 x 轴于另一点 B. (1)求二次函数的表达式； (2)连接 BC，点 N是线段 BC上的动点，作 NDx 轴交二次函数的图象于点 D，求线段 ND 长度的最大值； (3)若点 H 为二次函数 yax24xc 图象的顶点，点 M(4，m)是该二次函数图象上一点，在 x轴，y轴上分 别找点 F，E，使四边形 HEFM 的周长最小，求出点 F、E 的坐标 2 （2019 江苏中考真题）
8、如图，已知等边 ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重 合） ，直线 l 是经过点 P 的一条直线，把 ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 B. （1）如图 1，当 PB=4 时，若点 B恰好在 AC 边上，则 AB的长度为_； （2）如图 2，当 PB=5 时，若直线 l/AC，则 BB的长度为 ； （3）如图 3，点 P 在 AB 边上运动过程中，若直线 l 始终垂直于 AC， ACB的面积是否变化？若变化，说 明理由；若不变化，求出面积； （4）当 PB=6 时，在直线 l 变化过程中，求 ACB面积的最大值. 3 （2019 湖南中考真题
9、）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边 AB4，BC6若不改变矩 形 ABCD 的形状和大小，当矩形顶点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D 始终在 y 轴的 正半轴上随之上下移动 (1)当OAD30 时，求点 C 的坐标； (2)设 AD 的中点为 M，连接 OM、MC，当四边形 OMCD 的面积为 21 2 时，求 OA 的长； (3)当点 A 移动到某一位置时， 点 C 到点 O 的距离有最大值， 请直接写出最大值， 并求此时 cosOAD 的值 4.（2018 江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y= 2 3 x+4 的图象与 x
10、 轴和 y 轴分别相交 于 A、B 两点动点 P 从点 A 出发，在线段 AO 上以每秒 3 个单位长度的速度向点 O 作匀速运动，到达点 O 停止运动，点 A 关于点 P 的对称点为点 Q，以线段 PQ 为边向上作正方形 PQMN设运动时间为 t 秒 （1）当 t= 1 3 秒时，点 Q 的坐标是 ； （2）在运动过程中，设正方形 PQMN 与 AOB 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数表达式； （3）若正方形 PQMN 对角线的交点为 T，请直接写出在运动过程中 OT+PT 的最小值 5.（2020 江苏初三期末）已知二次函数 2 23yxx 的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于
11、点C， 点P是直线AC上方的抛物线上的动点. (1)求直线AC的解析式. (2)当P是抛物线顶点时，求 APC面积. (3)在P点运动过程中，求APC 面积的最大值. 6 （2020 江苏初三期末）如图，抛物线 2 65yaxx交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点B的坐 标为5,0，直线5yx经过点B、C. （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，求BCP面积S的最大值并求出此时点P的坐标； （3）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC，当直线AM与直线BC的一个夹角等于ACB的 3 倍 时，请直接写出点M的坐标. 7.（2019 石家庄市第四十一中学初三）如图
12、，在平面直角坐标系中，抛物线 yx（xb）1 2与 y 轴相交于 A 点，与 x 轴相交于 B、C 两点，且点 C 在点 B 的右侧，设抛物线的顶点为 P （1）若点 B 与点 C 关于直线 x1 对称，求 b 的值； （2）若 OBOA，求 BCP 的面积； （3）当1x1 时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为 h，求出 h 与 b 的关系；若 h 有最大值或最 小值，直接写出这个最大值或最小值 8.（2020 江西初三期中）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（-3，0） ， 与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线
13、的对称轴与 x 轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在， 请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此 时 E 点的坐标 9 （2020 山东初三期末）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 C（0，1） ，顶点为 Q（2，3） ，点 D 在 x 轴正半轴上，且 OD=OC （1）求直线 CD 的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45 所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：
14、CEQCDO； （4）在（3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P 点和 F 点移动 过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 10 （2020 盘锦市双台子区第一中学初三月考）如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图像经过点 A（0，3)、B （1， 0） ， 其对称轴为直线 l： x=2， 过点 A 作 ACx 轴交抛物线于点 C， AOB 的平分线交线段 AC 于点 E， 点 P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为 m. （1）求抛物线的解析式； （2）若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上
15、，连结 PE、PO，当 m 为何值时，四边形 AOPE 面积最大，并求 出其最大值； （3）如图，F 是抛物线的对称轴 l 上的一点，在抛物线上是否存在点 P 使POF 成为以点 P 为直角顶点 的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 11（2020 四川初三） 如图， 一次函数 的图像与坐标轴交于A、 B两点， 点C的坐标为， 二次函数的图像经过 A、B、C 三点 （1）求二次函数的解析式 （2）如图 1，已知点在抛物线上，作射线 BD，点 Q 为线段 AB 上一点，过点 Q 作轴于点 M，作于点 N，过 Q 作 轴交抛物线于点 P，当 QM
16、与 QN 的积最大时，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，连接 AP，若点 E 为抛物线上一点，且满足，求点 E 的坐标 1 2 2 yx ( 1,0) 2 yaxbxc (1, )DnQMy QNBD/ /QPy APEABO 12 （2019 广东初三）如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于原点 O 和点 A（6，0） ，抛物线的顶 点为 B （1）求该抛物线的解析式和顶点 B 的坐标； （2）若动点 P 从原点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿线段 OB 运动，设点 P 运动的时间为 t（s） 问 当 t 为何值时，OPA 是直角三角形？ （3）若同时有一动点
17、 M 从点 A 出发，以 2 个长度单位的速度沿线段 AO 运动，当 P、M 其中一个点停止运 动时另一个点也随之停止运动设它们的运动时间为 t（s） ，连接 MP，当 t 为何值时，四边形 ABPM 的面 积最小？并求此最小值 13 （2019 山东初三期中）如图，已知抛物线经过两点 A（3，0） ，B（0，3） ，且其对称轴为直线 x1 （1）求此抛物线的解析式 （2）若点 Q 是对称轴上一动点，当 OQ+BQ 最小时，求点 Q 的坐标 3 3 （3）若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点（不包括点 A，点 B） ，求PAB 面积的最大值，并求出此时 点 P 的坐标 14.（20
18、19 四川中考真题）如图，抛物线 2 1 2 yxbxc 过点(3,2)A，且与直线 7 2 yx 交于 B、C 两点，点 B 的坐标为(4,)m （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点 D 作DEx轴交直线BC于点 E，点 P 为对称轴上 一动点，当线段DE的长度最大时，求PDPA的最小值； （3）设点 M 为抛物线的顶点，在 y 轴上是否存在点 Q，使45AQM ？若存在，求点 Q 的坐标；若不 存在，请说明理由 15.（2019 天津中考真题） 已知抛物线 2 yxbxc（bc，为常数，0b）经过点 ( 1,0)A ，点( ,0)M m 是x轴正半
19、轴上的动点 （）当2b时，求抛物线的顶点坐标； （）点( ,) D D b y在抛物线上，当AM AD，5m时，求b的值； （）点 1 (,) 2 Q Q by在抛物线上，当22AMQM的最小值为 33 2 4 时，求b的值 16.（2019 湖南中考真题）如图，抛物线 yax2+bx（a0）过点 E（8，0） ，矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上（点 A 在点 B 的左侧） ，点 C、D 在抛物线上，BAD 的平分线 AM 交 BC 于点 M，点 N 是 CD 的中点， 已知 OA2，且 OA：AD1：3. （1）求抛物线的解析式； （2）F、G 分别为 x 轴，y 轴上的动点，顺
20、次连接 M、N、G、F 构成四边形 MNGF，求四边形 MNGF 周长 的最小值； （3）在 x 轴下方且在抛物线上是否存在点 P，使 ODP 中 OD 边上的高为 6 10 5 ？若存在，求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由； （4）矩形 ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 K、L，且直线 KL 平 分矩形的面积时，求抛物线平移的距离. 17.（2019 辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+2（a0）与 x 轴交于 A，B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，抛物线经过点 D（2，3）和点 E（3，
21、2） ，点 P 是第一象限 抛物线上的一个动点 （1）求直线 DE 和抛物线的表达式； （2）在 y 轴上取点 F（0，1） ，连接 PF，PB，当四边形 OBPF 的面积是 7 时，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，当点 P 在抛物线对称轴的右侧时，直线 DE 上存在两点 M，N（点 M 在点 N 的上 方） ，且 MN2 2，动点 Q 从点 P 出发，沿 PMNA 的路线运动到终点 A，当点 Q 的运动路程最短 时，请直接写出此时点 N 的坐标 18. （2019 湖南中考真题） 已知抛物线 2 (0)yaxbxc a过点 (1,0)A，(3,0)B两点， 与 y 轴交于点 C，
22、 =3OC (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； (2)过点 A 作AMBC，垂足为 M，求证：四边形 ADBM 为正方形； (3)点 P 为抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求点 P 的坐标； (4)若点 Q 为线段 OC 上的一动点， 问： 1 2 AQQC是否存在最小值？若存在， 求岀这个最小值； 若不存在， 请说明理由 类型一 【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】 【典例指引 1】 （2018 天津中考模拟）如图， 在平面直角坐标系中， 长方形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上点 B 的坐标为（8，4） ，将该长
23、方形沿 OB 翻折，点 A 的对应点为点 D，OD 与 BC 交于点 E （I）证明：EO=EB； （）点 P 是直线 OB 上的任意一点，且OPC 是等腰三角形，求满足条件的点 P 的坐标； （）点 M 是 OB 上任意一点，点 N 是 OA 上任 意一点，若存在这样的点 M、N，使得 AM+MN 最小，请 直接写出这个最小值 【答案】（I）证明见解析； （）P 的坐标为（4，2）或（ 8 5 5 ，4 5 5 ）或 P（ 8 5 5 ， 4 5 5 ） 或（ 16 5 ， 8 5 ） ； （） 32 5 【解析】 分析： （）由折叠得到DOB=AOB，再由 BCOA 得到OBC=AOB，即
24、OBC=DOB，即可； （）设出点 P 坐标，分三种情况讨论计算即可； （）根据题意判断出过点 D 作 OA 的垂线交 OB 于 M，OA 于 N，求出 DN 即可 详解： （）将该长方形沿 OB 翻折，点 A 的对应点为点 D，OD 与 BC 交于点 E， DOB=AOB， BCOA， OBC=AOB， OBC=DOB， EO=EB； （）点 B 的坐标为（8，4） ， 直线 OB 解析式为 y= 1 2 x， 点 P 是直线 OB 上的任意一点， 设 P（a， 1 2 a） O（0，0） ，C（0，4） ， OC=4，PO2=a2+（ 1 2 a）2= 5 4 a2，PC2=a2+（4-
25、1 2 a）2 当OPC 是等腰三角形时，可分三种情况进行讨论： 如果 PO=PC，那么 PO2=PC2， 则 5 4 a2=a2+（4- 1 2 a）2，解得 a=4，即 P（4，2） ； 如果 PO=OC，那么 PO2=OC2， 则 5 4 a2=16，解得 a=85 5 ，即 P（ 8 5 5 ， 4 5 5 ）或 P（- 8 5 5 ，- 4 5 5 ） ； 如果 PC=OC 时，那么 PC2=OC2， 则 a2+（4- 1 2 a）2=16，解得 a=0（舍） ，或 a= 16 5 ，即 P（ 16 5 ， 8 5 ） ； 故满足条件的点 P 的坐标为（4，2）或（ 8 5 5 ，
26、4 5 5 ）或 P（- 8 5 5 ，- 4 5 5 ）或（16 5 ， 8 5 ） ； （）如图，过点 D 作 OA 的垂线交 OB 于 M，交 OA 于 N， 此时的 M，N 是 AM+MN 的最小值的位置，求出 DN 就是 AM+MN 的最小值 由（1）有，EO=EB， 长方形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 B 的坐标为（8，4） ， 设 OE=x，则 DE=8-x， 在 RtBDE 中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2， 16+（8-x）2=x2， x=5， BE=5， CE=3， DE=3，BE=5，BD=4， SBDE= 1 2
27、DE BD= 1 2 BE DG， DG= 12 = 5 DEBD BE ， 由题意有，GN=OC=4， DN=DG+GN= 12 5 +4= 32 5 即：AM+MN 的最小值为 32 5 点睛：此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，极值 的确定，进行分类讨论与方程思想是解本题的关键 【举一反三】 （2020 云南初三）如图，抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 B（1，0） ，C（2，3） ，抛物线与 y 轴的焦点 A，与 x 轴的另一个焦点为 D，点 M 为线段 AD 上的一动点，设点 M 的横坐标为 t （1）求抛物线的表达式； （2）过点
28、M 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 P，设线段 PM 的长为 1，当 t 为何值时，1 的长最大，并求最 大值； （先根据题目画图，再计算） （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，PAD 的面积最大？并求最大值； （4）在（2）的条件下，是否存在点 P，使PAD 为直角三角形？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，说 明理由 【答案】 (1)y=x2+2x+3； （2） 当 t= 3 2 时， l 有最大值， l 最大= 9 4 ； （3） t= 3 2 时， PAD 的面积的最大值为 27 8 ； （4）t=1 5 2 . 【解析】 试题分析： （1）利用待定系数法即可解决问题； （2
29、）易知直线 AD 解析式为 y=-x+3，设 M 点横坐标为 m，则 P（t，-t2+2t+3） ，M（t，-t+3） ，可得 l=-t2+2t+3- （-t+3）=-t2+3t=-（t- 3 2 ）2+ 9 4 ，利用二次函数的性质即可解决问题； （3）由 SPAD= 1 2 PM （xD-xA）= 3 2 PM，推出 PM 的值最大时，PAD 的面积最大； （4）如图设 AD 的中点为 K，设 P（t，-t2+2t+3） 由PAD 是直角三角形，推出 PK= 1 2 AD，可得（t- 3 2 ） 2+（-t2+2t+3-3 2 ）2= 1 4 18，解方程即可解决问题； 试题解析： （1）
30、把点 B（1，0） ，C（2，3）代入 y=ax2+bx+3， 则有 30 4233 ab ab ， 解得 1 2 a b ， 抛物线的解析式为 y=x2+2x+3 （2）在 y=x2+2x+3 中， 令 y=0 可得 0=x2+2x+3，解得 x=1 或 x=3， D（3，0） ，且 A（0，3） ， 直线 AD 解析式为 y=x+3， 设 M 点横坐标为 m，则 P（t，t2+2t+3） ，M（t，t+3） ， 0t3， 点 M 在第一象限内， l=t2+2t+3（t+3）=t2+3t=（t 3 2 ）2+ 9 4 ， 当 t= 3 2 时，l 有最大值，l 最大= 9 4 ； （3）SP
31、AD= 1 2 PM （xDxA）= 3 2 PM， PM 的值最大时，PAD 的面积中点，最大值= 3 2 9 4 = 27 8 t= 3 2 时，PAD 的面积的最大值为 27 8 （4）如图设 AD 的中点为 K，设 P（t，t2+2t+3） PAD 是直角三角形， PK= 1 2 AD， （t 3 2 ）2+（t2+2t+3 3 2 ）2= 1 4 18， 整理得 t（t3） （t2t1）=0， 解得 t=0 或 3 或1 2 5 ， 点 P 在第一象限， t=1+ 5 2 . 类型二 【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】 【典例指引 2】 （2020 重庆初三期末）
32、如图，抛物线 2 yaxbx（0a）与双曲线 k y x 相交于点A、B，已知点A坐 标1,4，点B在第三象限内，且AOB的面积为 3（O为坐标原点）. （1）求实数a、b、k的值； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P使得POB为等腰三角形？若存在请求出所有的P点的坐标， 若不存在请说明理由. （3）在坐标系内有一个点M，恰使得MAMBMO，现要求在y轴上找出点Q使得BQM的周长最 小，请求出M的坐标和BQM周长的最小值. 【答案】 （1） 1 3 a b ，4k ； （2）存在， 1 23 1.5, 2 P ， 2 23 1.5, 2 P ， 3 31 1.5, 2 2 P ， 4 31
33、 1.5, 2 2 P ， 5 1.5, 0.5P ； （3） 1 346170 2 【解析】 【分析】 （1）由点 A 在双曲线上，可得 k 的值，进而得出双曲线的解析式设 4 ,B m m (0m)，过 A 作 APx 轴于 P，BQy 轴于 Q，直线 BQ 和直线 AP 相交于点 M根据 AOBAMBAOPQOBOPMQ SSSSS 矩形 =3 解方程即可得出 k 的值，从而得出点 B 的坐标，把 A、B 的坐标代入抛物线的解析式即可得到结论； （2） 抛物线对称轴为1.5x，设1.5 ,Py，则可得出 2 PO； 2 OB； 2 PB然后分三种情况讨论即可； （3）设 M(x，y)由
34、MO=MA=MB，可求出 M 的坐标作 B 关于 y 轴的对称点 B连接 BM 交 y 轴于 Q此 时BQM 的周长最小用两点间的距离公式计算即可 【详解】 （1）由1,4A知：k=xy=1 4=4， 4 y x 设 4 ,B m m (0m) 过 A 作 APx 轴于 P，BQy 轴于 Q，直线 BQ 和直线 AP 相交于点 M，则 SAOP=SBOQ=2 AOBAMBAOPQOBOPMQ SSSSS 矩形 144 1410 2 AOPQOB mSS mm 24 2224m mm 2 2m m 令： 2 23m m ， 整理得： 2 2320mm， 解得： 1 1 2 m ， 2 2m m0
35、， m=-2， 故2, 2B 把 A、B 带入 2 yaxbx 242 4 ab ab 解出： 1 3 a b ， 2 3yxx （2） 22 3(1.5)2.25yxxx 抛物线 2 3yxx的对称轴为1.5x 设1.5,Py，则 22 9 4 POy， 2 8OB ， 2 2 1 2 4 PBy POB 为等腰三角形， 分三种情况讨论： 22 POOB，即 2 9 8 4 y，解得： 23 2 y ， 1 23 1.5, 2 P ， 2 23 1.5, 2 P ； 22 PBOB，即 21 28 4 y，解得： 31 2 2 y ， 3 31 1.5, 2 2 P ， 4 31 1.5,
36、2 2 P ； 22 PBOP，即 2 2 19 2 44 yy，解得：0.5y 5 1.5, 0.5P ； （3）设,M x y 1,4A，2, 2B ，0,0O， 222 MOxy， 22 2 14MAxy， 22 2 22MBxy MOMAMB， 22 22 22 22 14 22 xyxy xyxy 解得： 11 2 7 2 x y ， 11 7 , 2 2 M 作 B 关于 y 轴的对称点 B坐标为：(2，-2) 连接 BM 交 y 轴于 Q此时BQM 的周长最小 BQM CMQBQMB MQQBMB =MB+MB 2222 117117 2222 2222 1 346170 2 【
37、名师点睛】 本题是二次函数综合题 考查了用待定系数法求二次函数的解析式、 二次函数的性质、 轴对称-最值问题等 第 （1）问的关键是割补法；第（2）问的关键是分类讨论；第（3）问的关键是求出 M 的坐标 【举一反三】 （2019 重庆实验外国语学校初三）如图 1，已知抛物线 y 2 33 84 x x+3 与 x 轴交于 A 和 B 两点， （点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求出直线 BC 的解析式 （2） M 为线段 BC 上方抛物线上一动点， 过 M 作 x 轴的垂线交 BC 于 H， 过 M 作 MQBC 于 Q， 求出MHQ 周长最大值并求出此时 M 的坐标；
38、当MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点 R，使|ARMR|最大，求出此 时 R 的坐标 （3）T 为线段 BC 上一动点，将OCT 沿边 OT 翻折得到OCT，是否存在点 T 使OCT 与OBC 的重叠部 分为直角三角形，若存在请求出 BT 的长，若不存在，请说明理由 【答案】 （1）y 3 4 x+3； （2）R（1， 9 2 ） ； （3）BT2 或 BT 16 5 【解析】 【分析】 （1）由已知可求 A（2，0） ，B（4，0） ，C（0，3） ，即可求 BC 的解析式； （2）由已知可得QMHCBO，则有 QH 3 4 QM，MH 5 4 MQ，所以MHQ 周长3QM，则求MHQ 周
39、长的最大值，即为求 QM 的最大值；设 M（m， 2 33 3 84 mm） ，过点 M 与 BC 直线垂直的直线解析 式为 2 437 3 3812 yxmm，交点 22 972721 ,3 5025200100 Qmmmm ，可求出 2 3 =4 10 MQmm，当 m2 时，MQ 有最大值 6 5 ；函数的对称轴为 x1，作点 M 关于对称轴的对称点 M（0，3） ，连接 AM与对称轴交于点 R，此时|ARMR|ARMR|AM，|ARMR|的最大值为 AM；求 出 AM的直线解析式为 3 3 2 yx，则可求 9 1 2 R ，； （3）有两种情况：当 TCOC 时，GOTC；当 OTB
40、C 时，分别求解即可 【详解】 解： （1）令 y=0，即 2 33 30 84 xx，解得 12 2,4xx ， 点 A 在点 B 的左侧 A（2，0） ，B（4，0） ， 令 x=0 解得 y=3， C（0，3） ， 设 BC 所在直线的解析式为 y=kx+3， 将 B 点坐标代入解得 k= 3 4 BC 的解析式为 y- 3 4 x+3； （2）MQBC，M 作 x 轴， QMHCBO， tanQMHtanCBO 3 4 ， QH 3 4 QM，MH 5 4 MQ， MHQ 周长MQ+QH+MH 3 4 QM+QM+ 5 4 MQ3QM， 则求MHQ 周长的最大值，即为求 QM 的最大值
41、； 设 M（m， 2 33 3 84 mm） ， 过点 M 与 BC 直线垂直的直线解析式为 2 437 3 3812 yxmm， 直线 BC 与其垂线相交的交点 22 972721 ,3 5025200100 Qmmmm ， 2 3 =4 10 MQmm， 当 m2 时，MQ 有最大值 6 5 ， MHQ 周长的最大值为 18 5 ，此时 M（2，3） ， 函数的对称轴为 x1， 作点 M 关于对称轴的对称点 M（0，3） ， 连接 AM与对称轴交于点 R，此时|ARMR|ARMR|AM， |ARMR|的最大值为 AM； AM的直线解析式为 y 3 2 x+3， R（1， 9 2 ） ； （
42、3）当 TCOC 时，GOTC， OCTOTC， 3 412 = 55 OG ， 12 6 55 T ， BT2； 当 OTBC 时，过点 T 作 THx 轴， OT12 5 ， BOTBCO， 3 = 12 5 5 c O oBOT H s ， OH 36 25 ， 36 48 25 25 T ， BT 16 5 ； 综上所述：BT2 或 BT 16 5 【点睛】 本题是一道综合题，考查了二次函数一次函数和三角形相关的知识，能够充分调动所学知识是解题的关键. 类型三 【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】 【典例指引 3】 （2019 甘肃中考真题） 如图， 已知二次函数 yx
43、2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A （1， 0） 、 B （3， 0） ，与 y 轴交于点 C （1）求二次函数的解析式； （2）若点 P 为抛物线上的一点，点 F 为对称轴上的一点，且以点 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边 形，求点 P 的坐标； （3）点 E 是二次函数第四象限图象上一点，过点 E 作 x 轴的垂线，交直线 BC 于点 D，求四边形 AEBD 面 积的最大值及此时点 E 的坐标 【答案】 （1）yx24x+3； （2）点 P（4，3）或（0，3）或（2，1） ； （3）最大值为 9 4 ，E（ 3 2 ， 3 4 ） 【解析】 【分析】 （1）用交点式函数表达
44、式，即可求解； （2）分当 AB 为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可； （3）利用 S四边形AEBD 1 2 AB（yDyE） ，即可求解 【详解】 解： （1）用交点式函数表达式得：y（x1） （x3）x24x+3； 故二次函数表达式为：yx24x+3； （2）当 AB 为平行四边形一条边时，如图 1， 则 ABPE2， 则点 P 坐标为（4，3） ， 当点 P 在对称轴左侧时，即点 C 的位置，点 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形， 故：点 P（4，3）或（0，3） ； 当 AB 是四边形的对角线时，如图 2， AB 中点坐标为（2，0） 设点 P 的横坐标为 m
45、，点 F 的横坐标为 2，其中点坐标为： 2 2 m ， 即： 2 2 m 2，解得：m2， 故点 P（2，1） ； 故：点 P（4，3）或（0，3）或（2，1） ； （3）直线 BC 的表达式为：yx+3， 设点 E 坐标为（x，x24x+3） ，则点 D（x，x+3） ， S四边形AEBD 1 2 AB（yDyE）x+3x2+4x3x2+3x， 10，故四边形 AEBD 面积有最大值， 当 x 3 2 ，其最大值为 9 4 ，此时点 E（ 3 2 ， 3 4 ） 【点睛】 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代 数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 【举一反三】 （2019 内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 2(0)yaxbxa与x轴交于 1,0A ） ，3 , 0B两点，与y轴交于点C，连接BC （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； （2）点D为抛物线对称轴上