1、高考数学高考数学三角函数与平面向量三角函数与平面向量专项训练专项训练 一、单选题一、单选题 1已知 1,2a r ， 1,0b r ，则2ab rr （ ） A 5 B7 C5 D25 2若 3 sin 122 ，则 2 sin 2 3 （ ） A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 3已知平面向量 2,1 ,2,4ab rr ，则向量a r 与b r 的夹角的余弦值为（ ） A 3 5 B 4 5 C 3 5 - D 4 5 4若4sin3cos0，则 2 sin22cos（ ） A 48 25 B 56 25 C 8 5 D 4 3 5 5将函数 22 6 f xsinx 的图象向
2、左平移 6 个单位，再向上平移 1 个单位，得到 g x的图象若 12 9g xg x，且 1 x， 2 2 ,2x ，则 12 xx的最大值为（ ） A B2 C3 D4 6已知0 42 a ，且 5 sincos 5 ， 4 sin 45 则sin()（ ） A 3 10 10 B 15 5 C 15 5 D 3 10 10 7如图，已知ABC中，D为AB的中点， 1 3 AEAC uuu ruuu r，若 DEABBC uuu ruu u ruuu r ，则 （ ） A 5 6 B 1 6 C 1 6 D 5 6 8在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 cos
3、cos aB bA ，则ABC形状是（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 9如图，在ABC中， 1 cos 4 BAC，点D在线段BC上，且3BDDC， 15 2 AD ，则ABC的面积的 最大值为（ ） A3 2 B4 C15 D2 3 10在ABC中，角A BC， ，的对边分别为abc， ，已知2 5c ，且 2 sincossinsinaCBaA bB 5 sin 2 bC，点O满足 0OA OBOC uuvuu u vuuu v ， 3 cos 8 CAO，则ABC的 面积为（ ） A 55 3 B3 5 C5 2 D 55 二、填空题二、填空题 1
4、1sin613cos1063tan30 的值为_. 12函数 2 1 sinf xx 的最小正周期是_ 13如图所示，正八边形 12345678 AA A A A A A A的边长为2，若P为该正八边形上的动点，则 131 AAAP uuuu r uuu r 的取值范 围_. 14 将函数( )3cos(2) 1 3 f xx 的图象向左平移 3 个单位长度， 再向上平移 1 个单位长度， 得到函数( )g x 的图象，则函数( )g x具有性质_ （填入所有正确性质的序号） 最大值为3，图象关于直线 3 x 对称； 图象关于y轴对称； 最小正周期为； 图象关于点(,0) 4 对称； 在(0,
5、) 3 上单调递减 三、解答题三、解答题 15若向量 ( 3sin,0)(cos, sin)(0)mxnxx rr ，在函数 ( )()f xm mnt rrr 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为, 4 且当0,( ) 3 xf x 时的最大值为 1 （I）求函数 ( )f x的解析式； （II）求函数 ( )f x的单调递增区间 16在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 2sin, 3 2 B m u r ， cos,cos 2 B nB r ， 且m n u rr . （）求角B的大小； （）如果1a ， 3b ，求ABC的面积. 17 如图所示， 在ABC中，,A
6、,BC的对边分别为a， b， c，已知2 sincossin0,bABaB1a ，2c . （1）求b和sinC； （2）如图，设D为AC边上一点， 3 7 BD CD ，求ABD的面积. 参考答案参考答案 1C 【解析】 【分析】 求出向量2ab的坐标，然后利用向量模的坐标表示可求出2ab的值. 【详解】 22 1,21,03,4ab，因此， 22 2345ab. 故选：C. 【点睛】 本题考查向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 2A 【解析】 【分析】 根据条件和二倍角公式，先计算出cos2 6 的值，再将所要求的 2 sin 2sin2 362 ，根 据诱导公式进行化简，得到答
7、案. 【详解】 因为 3 sin 122 ， 所以 2 3 cos21 2 62 1 2 2 sin 2sin2 362 cos 2 6 cos2 6 1 2 . 故选：A. 【点睛】 本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题. 3B 【解析】 【分析】 由向量的模的坐标计算公式求出,ab，利用数量积的坐标表示求出a b ，再根据向量的夹角公式即可求出 【详解】 由2,1 ,2,4ab，得5,2 5ab.设向量a与b的夹角为，则 2 22 484 10552 5 cos 故选：B 【点睛】 本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用
8、，意在考查学生的数学 运算能力，属于基础题 4B 【解析】 【分析】 由4sin3cos0，求得 3 tan 4 ，再由 2 2 2tan2 sin22cos tan1 ，即可求出 【详解】 由4sin3cos0，求得 sin3 tan cos4 ， 而 2 2 222 2sincos2cos2tan2 sin22cos sincostan1 ， 所以 2 2 3 22 56 4 sin22cos 25 3 1 4 故选：B 【点睛】 本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于 基础题 5C 【解析】 【分析】 首先利用函数图象的平移变换
9、的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果 【详解】 解：函数 22 6 f xsinx 的图象向左平移 6 个单位，得到22 6 ysinx 的图象，再向上平移 1 个单 位，得到 221 6 g xsinx 的图象， 由于若 12 9g xg x，且 1 x， 2 2 ,2x ， 所以函数在 1 xx和 2 x时，函数 221 6 g xsinx 都取得最大值 所以 1 22 62 xkkZ ，解得 1 6 xk ， 由于且 1 x， 2 2 ,2x ，所以 1 7 6 x ，同理 2 11 6 x ，所以 711 3 66 故选：C 【点睛】 本题考查的知识要点：三角函
10、数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和 转换能力及思维能力，属于中等题 6D 【解析】 【分析】 首先根据 5 sincos 5 ，求得 10 sin 410 ，结合角的范围，利用平方关系，求得 3 10 cos 410 ，利用题的条件，求得 3 cos 45 ，之后将角进行配凑，使得 sinsin 44 a ，利用正弦的和角公式求得结果. 【详解】 因为 5 sincos 5 ，所以 10 sin 410 ， 因为 42 a ，所以 3 10 cos 410 . 因为0 4 ， 4 sin 45 ，所以 3 cos 45 ， 所以sinsin 44 a 10
11、33 1043 10 10510510 ， 故选 D. 【点睛】 该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解 题的过程中，注意时刻关注角的范围. 7C 【解析】 【分析】 利用向量的线性运算将DE用,AB AC表示，由此即可得到, 的值，从而可求的值. 【详解】 因为 11 23 DEDAAEBAAC 111111 236363 BABCBABABCABBC ， 所以 1 6 ， 1 3 .故 1 6 . 故选：C. 【点睛】 本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式 进行分析.
12、8D 【解析】 【分析】 由 cos cos aB bA ，利用正弦定理化简可得 sin2Asin2B，由此可得结论 【详解】 cos cos aB bA ， 由正弦定理可得 sincos sincos AB BA ， sinAcosAsinBcosB， sin2Asin2B， 2A2B或 2A+2B， AB或A+B 2 ， ABC的形状是等腰三角形或直角三角形 故选：D 【点睛】 本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题. 9C 【解析】 【分析】 设BAD，则0BAC，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由 1 sin 2 ABC SAB A
13、CBAC 15 421 3 sin ，根据三角函数的性质求出面积的最大值 【详解】 解：设BAD，则0BAC 3BDDC， 15 2 AD ， 3 4 ABDABC SS， 13 1 24 2 AB ADsinAB ACsin BAC， 8 3 ACsin，同理8ABsinBAC， 18 158 15151 23344 ABC SAB ACsin BACsin sinBACsincossin 15 421 ( 3 sin 其中 15 ) 15 tan， 0BAC，当2 2 时，sin(2)1 max ，()15 ABCmax S 故选：C 【点睛】 本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形
14、的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题 10D 【解析】 【分析】 运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解. 【详解】 由 5 2 sincossinsinsin 2 aCBaAbBbC， 可得 222 22 5 2 22 acb acabbc ac ，即 5 2 cb.又2 5c ，所以4b 因为 0OA OB OC ，所以点O为ABC的重心， 所以 3ABACAO ，所以 3ABAOAC ， 两边平方得 22 |9|6cosABAOAO ACCAO 2 |AC 因为 3 cos 8 CAO，所以 222 3 |9|6| 8 ABAOA
15、OACAC， 于是 2 9|AO9 40AO ，所以 4 3 AO ， AOC的面积为 114 sin4 223 AOACCAO 2 355 1 83 . 因为ABC的面积是AOC面积的3倍.故ABC的面积为55 【点睛】 本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题. 11 3 3 . 【解析】 【分析】 根据诱导公式，进行化简，从而得到答案. 【详解】 sin613cos1063tan30 sin253cos17tan30 sin73cos17tan30 =cos17cos17tan30 3 3 故答案为： 3 3 【点睛】 本题考查诱导
16、公式化简，特殊角三角函数值，属于简单题. 12 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的周期公式，即可求得函数的最小正周期 【详解】 因为 2 1 cos231 1 sin1cos2 222 x f xxx ， 所以函数的最小正周期为 2 2 T 故答案为： 【点睛】 本题主要考查二倍角公式的应用以及余弦型函数的周期公式的应用，属于基础题 132 2,86 2 【解析】 【分析】 由题意可知，当P与 8 A重合时， 131 AAAP最小，当P与 4 A重合时， 131 AAAP最大，求出即可. 【详解】 由题意，正八边形 12345678 AA A A A A A
17、 A的每一个内角均为135， 且边长 1218 2A AA A， 1317 2 22AAAA， 由正弦函数的单调性及值域可知，当P与 8 A重合时， 131 AAAP最小， 且最小值为 22 2 222 cos112.52 222 2 2 ； 当P与 4 A重合时， 131 63 2 2 2242 286 2 4 22 A AAP . 因此， 131 AAAP的取值范围是2 2,86 2 . 故答案为：2 2,86 2 . 【点睛】 本题考查平面向量数量积的运算以及数形结合思想的应用，解题的关键就是找出临界位置进行分析，考查计算能 力，属于中等题. 14 【解析】 将函数 3cos 21 3
18、f xx 的图象向左平移 3 个单位长度，得到 3cos 21 33 yx 3cos 213cos21xx 的图象向上平移1个单位长度，得到函数 3cos2g xx 的图象，对于函数 g x：它的最大值为3，由于当 3 x 时， 3 2 g x ，不是最值， 故 g x图象不关于直线 3 x 对称，故排除；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故正确； 它的最小周期为 2 2 ，故正确；当 4 x 时， 0g x ，故函数的图象关于点,0 4 对称，故正确； 在0, 3 上， 2 20, 3 xg x 不是单调函数，故排除，故答案为. 【方法点晴】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的
19、周期性及奇偶性，属于难题三角函数的图象与性质 是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及 其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实三角 函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式 较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦） 函数的性质求解 15 3 ( )3sin(2), 32 0,2, 333 3 f xxt xx 当时 55 222, 261212 5 ( ),()12 1
20、212 kxkkxk f xkkkZ 函数的单调递增区为分 【解析】 解： （I）由题意得( )()f xmmnt 2 mm n 2 3sin3sincos 333 cos2sin2 222 3 3sin(2)4 32 xxxt xxt xt 分 对称中心到对称轴的最小距离为 4 ( )f x 的最小正周期为T 2 ,1 2 6 分 3 ( )3sin(2), 32 0,2, 333 3 f xxt xx 当时 2,( ) 333 xxf x 即时取得最大值3 t )max (1,31,2 1 ( )3sin(2).8 32 x ftt f xx 分 （II）222, 232 kxkkZ 10
21、 分 55 222, 261212 5 ( ),()12 1212 kxkkxk f xkkkZ 函数的单调递增区为分 16 （） 2 3 ； （） 3 4 . 【解析】 【分析】 （）由m n 得出 0m n ，利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数关系可求得 tan3B ，结合B的范围可得出角B的值； （）利用余弦定理求出c的值，然后利用三角形的面积公式即可求出ABC的面积. 【详解】 （） mn ，2sincos3cossin3cos0 22 BB m nBBB. 化简得：tan 3B ，又0B， 2 3 B ； （）由余弦定理 222 2cosbacacB得， 2 22
22、1 312 2 cc ， 整理得 2 20cc ，解之得：1c， 1133 sin1 1 2224 ABC SacB . 【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算，涉及平面向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础 题. 17(1) 7b ， 21 7 ；(2) 3 4 . 【解析】 【分析】 （1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cosB的值，再利用余弦定理，求出b，根据正弦定理，求出sinC； （2）根据正弦定理得到sin1CBD，即 2 CBD ，根据勾股定理得到 3 2 BD ，根据三角形面积公式， 求出ABD的面积. 【详解】 （1）因为2 sincossin0bAB
23、aB， 所以在ABC中，由正弦定理 sinsinsin abc ABC ， 得2sinsincossinsin0BABAB， 因为sinsin0AB，所以2cos10B ， 所以 1 cos 2 B ， 又0B，所以 2 3 B ， 由余弦定理得， 222 2cosbacacB 1 142 1 2 2 7， 所以 7b ， 在ABC中，由正弦定理 sinsin cb CB ， 所以 sin sin cB C b 2 2sin 3 7 21 7 ； （2）在ABD中，由正弦定理得， sin sin BDC CDCBD ， 因为 3 7 BD CD ，所以 sin3 sin7 C CBD ， 因为 21 sin 7 C ，所以sin1CBD， 而0,CBD 所以 2 CBD ， 由 3 7 BD CD ，设3 ,BDt7CDt， 所以 222 ( 3 )1( 7 )tt，所以 1 2 t ， 所以 3 2 BD ， 因为ABDABCDBC 2 32 6 ， 所以 1 sin 2 ABD SABBDABD 131 2 222 3 4 . 【点睛】 本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.