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四川省达州市普通高中2020届高三第二次诊断性测试数学试题(理科)含答案

1、达州市普通高中达州市普通高中 2020 届第二次诊断性测试届第二次诊断性测试 数学试题数学试题(理科理科) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的

2、求的. 1.已知集合24Axx,1Bx x,则AB ( ) A.1,2 B.2,4 C.4, D.2,4 2.复数 2 1 i z i ,则z在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在公差不为零的等差数列 n a中, 1 1a , 5 a是 2 a, 14 a的等比中项,则 7 a ( ) A.13 B.49 C. 6 2 D. 7 21 4.函数 2 1 lnf xxx x 的图象大致是( ) A. B. C. D. 5. 10 1 1 x 的展开式中 3 x的系数是( ) A.252 B. 252 C. 210 D.210 6.已知双曲线的两

3、条渐近线的方程是20xy和20xy,则双曲线离心率是( ) A.6 B.2 C.6或 30 5 D.3或 6 2 7.已知8,2a ,则命题 2 000 0,10xxax 为假命题的概率( ) A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 8.已知 2 2log a a, 1 2 1 2 b b ,n1sicc,则实数a,b,c的大小关系是( ) A.bac B.abc C.cba D.acb 9.甲烷,化学式 4 CH,是最简单的有机物,在自然界分布很广,也是重要的化工原料.甲烷分子结构为正四 面体结构(正四面体是每个面都是正三角形的四面体) ,碳原子位于正四面体的中心,4 个氢原子分别位

4、于 正四面体的 4 个顶点.若相邻两个氢原子间距离为a, 则相邻的碳、 氢原子间的距离是 (不计原子大小)( ) A. 6 2 a B. 6 3 a C. 6 4 a D. 6 5 a 10.在ABC中,D,E分别为边AB,AC的中点,BE与CD交于点P, 设B Ea,CDb, 则AP ( ) A. 22 33 ab B. 44 33 ab C. 33 44 ab D. 55 44 ab 11.已知方程 2 2 3sinsin3200 2 x x 在区间0,内只有一个实根,则的取值范围 ( ) A. 1 7 , 3 3 B. 7 13 , 66 C. 4 10 , 33 D. 1 13 , 6

5、6 12.己知 a0,函数 f(x)=| 12.已知0a,函数 2 3 ,0 3 2,0 x x fx a xx x , 2 a g x x 和点 ,0P m f mm,将y轴左半平面 沿y轴翻折至与y轴右半平面垂直.若0,1n ,直线xn分别与曲线 yf x, yg x相交于点 A B,PAPB,PAB面积为 2,则实数a的取值范围为( ) A. 2 3 ,1 9 B. 2 3 0, 9 C.0,1 D. 3 0, 9 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13.设, x y满足约束条件 20 0 360 xy xy xy ,则z

6、xy的最小值是 . 14.函数 1 1 2 1 22 x x f x ,若1.2ft,则 f t . 15.等比数列 n a的前n项和为 n S,若 1 3n n Sm ,则实数m的值是 . 16.已知F是抛物线 2 :4C xy的焦点.O是坐标原点,A是C上一点,OFA外接圆B(B为圆心) 与C的准线相切,则过点B与C相切的直线的斜率 . 三、解答题:共三、解答题:共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,每个试题考生都题为必考题,每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题

7、为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.ABC的内角, ,A B C对边分别为, ,a b c,2coscos0acBbC. (1)求B; (2)若2,cB的角平分线1BD ,求ABC的面积 ABC S. 18.某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情,对单位的职工进行防疫知识培训,所有职工选择网络在 线培训和线下培训中的一种方案进行培训.随机抽取了 140 人的培训成绩, 统计发现样本中 40 个成绩来自线 下培训职工,其余来自在线培训的职工,并得到如下统计图表: 线下培训茎叶图在线培训直方图 线下培训茎叶图 在线培训直方图 (1)得分 90 分及以上为成绩优秀,完

8、成右边列联表,并判断是否有95%的把握认为成绩优秀与培训方式 有关? 优秀 非优秀 合计 线下培训 在线培训 合计 (2)成绩低于 60 分为不合格.在样本的不合格个体中随机再抽取 3 个,其中在线培训个数是,求分布 列与数学期望. 附: 2 2 n adbc K abcdacbd 2 0 P Kk 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 19.如图,在三棱锥PABC中,PA 平面ABC,2PAACCB,2 2AB ,D是BC中点,E 是PD中点,F是线段AB上一动点. (1)当F为AB中点时,求证:平面CEF 平面PAB; (2)当EF平面PAC时,

9、求二面角EFD C的余弦值. 20.已知动点P到两点 3,0, 3,0的距离之和为 4,点P在x轴上的射影是 C,2CQCP. (1)求动点Q的轨迹方程; (2)过点 3,0的直线交点P的轨迹于点,A B,交点Q的轨迹于点,M N,求 21 4 MNAB的最大 值. 21.函数 ln1cosf xxxax. (1)若0x为 f x的极值点,求实数a; (2)若 1f x 在1,0上恒成立,求实数a的范围. (二)选考题:共选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.选修 4-

10、4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线 1 3cos : 1sin xt C yt (t为参数) ,其中0,.在以O为极点,x轴正半轴 为极轴的极坐标系中,曲线 2: 4sinC. (1)求 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程; (2)若 1 C与 2 C相交于点,A B两点,点3,1P,求PA PB. 23.选修 4-5:不等式选讲 设 124f xxx . (1)解不等式 5f x ; (2)若, ,a b c均为正实数, f x最小值为m,a b cm ,求 111 111abc . 达州市普通高中达州市普通高中 2020 届第二次诊断性测试届第二次诊断性测试 理科数学参

11、考答案及评分参考理科数学参考答案及评分参考 评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解答与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评 分参考制定相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响 的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重 的错误,就不再得分. 3.解答右端所注分数,表示该生正确做到这一步应该得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题:一、选择题: 1.B 2.D 3.B 4.C 5.D 6.D 7.A 8.B 9.C 10

12、.A 11.D 12.B 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13.2,6 14.0.8 15. 1 3 16. 2 2 三、解答题:共三、解答题:共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解: (1)2coscos0acBbC, 在ABC中,由正弦定理得,2sinsincossincos0ACBBC, 2sincossincossincos0ABCBBC, 2sincossin0ABBC. A B C,2sincossin0ABA. A为三角形内角,sin0A, 12

13、cos 23 BB . (2)在ABC中,BD为角B的角平分线, 2 3 B , 3 ABD , 在ABD中,,2,1 3 AABDBBD ,由余弦定理可得3AD , 222 ABBDAD,ABD为直角三角形. 即BDAC,故ABC为等腰三角形,22 3ACAD, 11 1 2 33 22 ABC ASBDC . 18.解: (1)根据题意得列联表: 优秀 非优秀 合计 线下培训 5 35 40 在线培训 30 70 100 合计 35 105 140 2 1405 7030 3514 4.667 35 105 100 403 k . 4.6673.841有95%的把握认为培训方式与成绩优秀有

14、关. (2)在抽出的样本中,线下培训不合格 3 个,线上培训不合格 5 个,在这 8 个中抽取 3 个含在线培训个数 为.0,1,2,3 3 3 3 8 1 0 56 C P C , 21 35 3 8 15 1 56 C C P C , 12 35 3 8 3015 2 5628 C C P C , 3 5 3 8 105 3 5628 C P C . 的分布列为: 0 1 2 3 P 1 56 15 56 15 28 5 28 115301015 01231.875 565656568 E . 19.(1)证明: 222 ACBCAB, ABC为等腰直角三角形,当F为AB中点时,CFAB.

15、 PA 平面,ABC CF 平面,ABCPACF. PAABA且都在平面PAB中,CF平面PAB. CF 平面CEF,平面CEF 平面PAB. (2) 解: 过点C作z轴垂直于平面ABC, 建立如图的空间直角坐标系,0,0,0C,2,0,0A,0,2,0B, 2,0,2P,0,1,0D。 1 1,1 2 E . F在线段AB上,.0,1AFAB, 22 ,2 ,0F,0,1,0是平面PAC的法向量, 当EF平面PAC时,: 0,1,00EF解得 1 4 ,即 3 1 ,0 2 2 F . 1 0,0,1n 为平面CDF的法向量. 设 2 , ,nx y z为平面EFD的法向量 1 1,1 2

16、DE , 31 ,0 22 DF , 2 2 0 0 nDE nDF , 1 0 2 31 0 22 xyz xy ,不妨设1x , 1 3 1 2 x y z , 2 1 1,3, 2 n . 12 12 12 1 41 2 cos, 4141 1 4 n n n n nn . 二面角EFD C的余弦值为 41 41 . 20.解: (1)点P到两点 3,0 ,3,0的距离之和为 4, 点P的轨迹是以 3,0 ,3,0为焦点,长轴长为 4 的椭圆, 点P的轨迹方程是 2 2 1 4 x y. 设点Q坐标为, x y,因2CQCP所以点P的坐标为, 2 y x , 2 2 1 42 xy ,

17、化简得点Q的轨迹方程为 22 4xy. (2)若ABx轴,则12ABMN, 21 0 4 MNAB. 若直线AB不与x轴垂直, 设直线AB的方程为3ykxk, 即30kxyk, 则坐标原点到直线AB 的距离 2 1 3 k d k , 2 2 2 2 44 4 4 1 k MNd k . 设 1122 ,A x yB x y.将3ykxk代入 2 2 1 4 x y,并化简得, 2222 148 31240kxk xk. 2 12 2 8 3 14 k xx k , 2 12 2 124 1 4 k x x k . 2 22 12121 2 114ABkxxkxxx x 2 2 22 2 22

18、2 4 124 8 344 1 141414 k kk k kkk 2 2 42 2 2 2 2 1999 1 1 44511 45 2 45 k MNAB kk k k k k , 当且仅当 2 2 1 4k k 即 2 2 k 时,等号成立. 综上所述, 21 4 MNAB最大值为 1. 21.解: (1) cos x fxexa,令 00 f 即 1 sin00 0 1 a ,1a . 1 sin11 1 fxxx x , 当10x 时,设 1 sin1 1 g xfxx x , 2 1 cos0 1 gxx x ,故 fx为减函数, 00fxf , 当0x时, 1 1 1x ,sin0

19、x, 0fx 综上1a 时,0x为 f x的极值点成立,所以1a . (2)由(1)知 1 sin 1 fxxa x ,当10x 时, fx为减函数 01fxfa , 1a 时, 010fxfa , f x为增函数, 01f xf 1a 时, fx为减函数, 00 f ; 11 1sin10f aa 存在 0 1,0x 使 0 0fx, 0,0 xx, 00 f , f x递减, 0 01f xf,与 1f x 矛盾. 综上1a 时 1f x 恒成立. 所以,实数a的范围是,1. 22.解: (1) 1 tan3tan10 2 :Cxy ,或3 2 x ; 2 2 2 2:4Cxy (2)将

20、1 3cos : 1sin xt C yt 代入 2 2 2 2:4Cxy, 得 22 3cos1sin24tt, 2 6cos2sin60tt 设,A B两点对应的参数为 1 t, 2 t, 则 121 2 6PA PBtttt,6PA PB. 23.解: (1)1245xx 当1x时,1 245xx ,解得0x,01x ; 当12x时,1 245xx 解得2x,12x ; 当2x时,1 245xx ,解得 1010 ,2 33 xx, 综上不等式解集为 10 0, 3 . (2) 53 ,1 3,12 35,2 x x f xxx xx ,1m,即1a b c , 1111111 111 1114111 abc abcabc 11111119 111 41111114 bcacab aabbcc . 当 1 3 abc时取等号, 111 111abc 最小值为 9 4 .