1、2019 年安徽省滁州市定远县重点中学高考数学一模试卷年安徽省滁州市定远县重点中学高考数学一模试卷（文科）（文科） 一、选择题一、选择题（共（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1（5 分）已知复数 z 满足()23izi，则z （ ） A5 B5 C10 D10 2（5 分）若实数 x，y 满足条件 1 0 26 2 x y xy xy ，则2zxy的最大值为（ ） A10 B6 C4 D-2 3（5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab ，四点 1 )(4,2P， 2 2,0P， 3 4,3P ， 4 4,3P中恰有 三点在双曲线上，
2、则该双曲线的离心率为（ ） A 5 2 B 5 2 C 7 2 D 7 2 4（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A7 B9 C10 D11 5（5 分）九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图 如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ） A4 B(6)4 2 C(44 2) D2 6（5 分）某中学有高中生 3000 人，初中生 2000 人，男、女生所占的比例如图所示为了解学生的学习 情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取女生 21 人，则 从初中生中抽取的男生人数是（ ） A12 B15 C2
3、0 D21 7（5 分）已知 F 是椭圆 22 :1 95 xy C的左焦点，P 为 C 上一点， 4 1, 3 A ，则PAPF的最小值为 （ ） A 10 3 B 11 3 C4 D 13 3 8（5 分）如图为函数 yf x的图象，则该函数可能为（ ） A sin x y x B cosx y x C sin | x y x D |sin|x y x 9（5 分）下面几个命题中，假命题是（ ） A“若ab，则221 ab ”的否命题 B“0,()a ，函数 x ya在定义域内单调递增”的否定 C“ 是函数ysinx的一个周期”或“2 是函数2ysin x的一个周期” D“ 22 0xy”
4、是“0xy ”的必要条件 10（5 分）若 4 sin2 25 ，, 2 则tan 4 的值为（ ） A2 B 1 2 C2 D 1 2 11（5 分）ABC中，5AB ，10AC ，25AB AC，点 P 是ABC内（包括边界）的一动点， 且 32 () 55 APABACR，则AP的最大值是（ ） A 3 3 2 B37 C35 D41 12（5 分）在四面体 ABCD 中，1ABBCCDDA， 6 2 AC ，2BD ，则它的外接球的面 积S （ ） A4 B2 C 4 3 D 8 3 二、填空题二、填空题（共（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （
5、5 分）已知函数 2 11 ( )sinsin(0) 222 x f xx ，若 f x在区间(,2)内没有极值点，则 的取值范围是 14（5 分）已知 f x是 R 上的偶函数，且在0,)单调递增，若 34f af，则 a 的取值范围 为 15（5 分）已知 为锐角，且 2 5 cos 85 ，则tan 2 4 16 （5 分）已知抛物线 2 (:0)2C xpy p的焦点为 F，O 为坐标原点，点4, 2 p M ，1, 2 p N ， 射线 MO，NO 分别交抛物线 C 于异于点 O 的点 A，B，若 A，B，F 三点共线，则 p 的值为 三、解答题三、解答题（共（共 5 小题，共小题，
6、共 70 分）分） 17（12 分） 在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 222 acbac，且23bc （1）求角 A 的大小； （2）设函数 1 cos 2cos2f xxBx ，求函数 f x的最大值 18（12 分） 已知数列 n a的前 n 项和是 n S，且21(*) nn SanN （）求数列 n a的通项公式； （）令 2 log nn ba，求数列 2 ( 1)n n b前 2n 项的和 T 19（12 分） 某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查在使用华为手机的用户中，随机 抽取 100 名，按年龄（单位：岁）进行统计的频率分布直
7、方图如图： （1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数 的估计值（均精确到个位）； （2）在抽取的这 100 名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取 20 人参加华为手机宣传活动，再从这 20 人中年龄在30,35和45,50的人群里， 随机选取 2 人各赠送一部华为手机， 求这 2 名市民年龄 都在30,35内的概率 20（12 分） 如图，在四面体 ABCD 中，90ABCADC， 2 2 BCBDC （）求证：ADBD； （）若 AB 与平面 BCD 所成的角为60，点 E 是 AC 的中点，求二面角CBDE的大小 21（12 分） 已知函数
8、ln22 x m f xexax xm （）若0a ，且1f 是函数的一个极值，求函数 f x的最小值； （）若0a ，求证：1,0x ， 0f x 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 22（10 分） 已知函数 32f xaxx （1）若2a ，解不等式 3f x ； （2）若存在实数 a，使得不等式 14 2f xax 成立，求实数 a 的取值范围 2019 年安徽省滁州市定远县重点中学高考数学一模试卷年安徽省滁州市定远县重点中学高考数学一模试卷（文科）（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题（共（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60
9、 分）分） 1【分析】由题意推导出 3 213 i zi i ，由此能求出结果 【解答】解：23izi， 3 213 i zi i ， |10z 故选：C 【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数代数形式的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考 查函数与方程思想，是基础题 2 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，求出最优解，然后求解z的最大值即可 【解答】解：先根据实数 x，y 满足条件 1 0 26 2 x y xy xy 画出可行域如图， 做出基准线02xy， 由图知，当直线2zxy过点3,0A时， z最大值为：6 故选：B 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及
10、利用几何意义求最值，属于基础题 3【分析】先判断 3 4,3P ， 4 4,3P中在双曲线上，则 1 4,2P一定不在双曲线上，则 2 2,0P在双曲 线上，则可得2a ， 22 169 1 ab ，求出 b 和 c，再根据离心率公式计算即可 【解答】解：根据双曲线的性质可得 3 4,3P ， 4 4,3P中在双曲线上， 则 1 4,2P一定不在双曲线上，则 2 2,0P在双曲线上， 2a ， 22 169 1 ab ， 解得 2 3b ， 222 7cab， 7c ， 7 2 c e a ， 故选：C 【点评】本题考查了双曲线的简单性质和离心率，属于基础题 4 【分析】模拟程序的运行，依次写
11、出每次循环得到的 i，S 的值，当lg11S 时，满足条件，退出循环， 输出 i 的值为 9，从而得解 【解答】解：模拟程序的运行，可得： 1i ， 1 11 31 2 Sgg ，否； 3i ， 131 111lg51 355 Sggg ，否； i5， 151 1111 71 577 Sgggg 否； i7， 171 111lg91 799 Sggg 否； i9， 191 1111 111 91111 Sgggg ，是， 输出9i ， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序 的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理 5【分析
12、】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可 得答案 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱， 底面面积为： 1 2 11 2 ， 底面周长为：22222 2 ， 故棱柱的表面积2 12(22 2)64 2S ， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度 基础 6【分析】利用扇形图和分层抽样的性质能求出从初中生中抽取的男生人数 【解答】解：由扇形图得： 中学有高中生 3000 人，其中男生3000 30%900，女生3000 70%2100， 初中生 2000 人
13、，其中男生2000 60%1200，女生2000 40%800， 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本， 已知从高中生中抽取女生 21 人， 则 21 50002100 n ， 解得50n ， 从初中生中抽取的男生人数是： 1200 501 5000 故选：A 【点评】本题考查从初中生中抽取的男生人数的求法，考查扇形图和分层抽样的性质等基础知识，考查 运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 7【分析】椭圆 22 :1 95 xy C，可得3a ， 22 cab 设F为椭圆的右焦点，可得2|PFaPF，2,0F ，2,0F 根据|(|2)|22PAPFPAaPFaPFPAa
14、AF ，即可得出 【解答】解：椭圆 22 :1 95 xy C， 可得3a ， 22 2cab 设F为椭圆的右焦点， 则2|PFaPF，2,0F ，2,0F 222|(|)|PAPFPAaPFaPFPAaAF 2 2 413 =6(21) 33 ， 三点 P，A，F共线时取等号 故选：D 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系、数形结合方法，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题 8【分析】根据题意，由 f x的图象分析可得 f x为奇函数，进而依次分析选项，判定选项中函数的 奇偶性以及函数的符号，由排除法分析，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，由 f x的图象分
15、析可得 f x为奇函数， 进而依次分析选项： 对于 sin , x A y x ，有 sin()sin ()( ) () xx fxf x xx ，函数为偶函数，不符合题意； 对于 B， cosx y x ，有 cos()cos ()( ) xx fxf x xx ），函数为奇函数， 且0 2 x 时， 0f x ， 3 22 x时， 0f x ，符合题意， 对于 sin , | x c y x ，有 sin()sin ()( ) | xx fxf x xx ，函数为奇函数， 且0x时， 0f x ，2x时， 0f x ，不符合题意， 对于 D， |sin|x y x ，当0x 时， 0f x
16、 ，反之当0x 时， 0f x ，不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，注意函数的定义域、值域以及奇偶性与单调性的分析 9【分析】 A利用否命题的意义即可判断出； B利用指数函数的单调性即可得出； C利用正弦函数的单调性和“或命题”的意义即可判断出； D利用实数的性质和充分必要条件即可判断出 【解答】解： A“若ab，则221 ab ”的否命题是“若ab，则221 ab ”，是真命题； B“0,()a ，函数 x ya在定义域内单调递增”的否定为“0,()a ， 函数 x ya在定义域内不单调递增”，正确， 例如 1 2 a 时，函数 1 2 x y 在 R 上单调递
17、减； C“ 是函数sinyx的一个周期”不正确，“2 是函数sin2yx的一个周期”正确， 可知：“ 是函数sinyx的一个周期”或“2 是函数sin2yx的一个周期”正确 D“ 22 0xy”“0xy ”，反之不成立， 因此“ 22 0xy”是“0xy ”的充分不必要条件，因此不正确 综上可知：只有 D 是错误 故选：D 【点评】本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性、简易逻辑的有关知识，属于基础题 10【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系求得tan的值，再利用 两角和的正切公式化简要求的式子可得结果 【解答】解： 222 222 cossin1tan4
18、 sin2cos2 2cossin1tan5 ， tan3 又 , 2 ， tan3 ，则 tan11 tan 41tan2 ， 故选：D 【点评】本题主要考查应用诱导公式、两角和的正切公式化简三角函数式，属于基础题 11【分析】以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得 3(3)yx，当该直线与直线 BC 相交时，AP取得最大值 【解答】解：ABC中，5AB ，10AC ，25AP ， 5 10 cos25A，c 1 cos 2 A， 60A，90B ； 以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的坐标系，如图所示， 5AB
19、，10AC ，60BAC， 0,0A，5,0B，()5,5 3C， 设点 P 为, x y，05x，03y， 32 55 APABAC， 32 ( , )(5,0)(5,5 3)(32 , 2 3 ) 55 x y， 32 2 3 x y ， 3(3)yx， 直线 BC 的方程为5x ， 联立，得 5 2 3 x y ， 此时AP最大， 22 |5(2 3)37AP 故选：B 【点评】本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，是中档题 12【分析】先由勾股定理的逆定理得出90BADBCD，利用直角三角形的性质得知线段 BD 的 中点为外接球的球心，求出外接球的半径，利用球体
20、的表面积公式可得出答案 【解答】解：如下图所示， 1ABBCCDDA，2BD ， 由勾股定理可得 222222 ,ABADBD BCCDBD， 所以，90BADBCD， 设 BD 的中点为点 O， 则 12 00 22 OABOCDBD， 则点 O 为四面体 ABCD 的外接球球心，且该球的半径为 2 2 R ， 因此，四面体 ABCD 的表面积为 2 2 2 442 2 SR 故选：B 【点评】本题考查球体表面积的计算，考查勾股定理的应用，考查计算能力，属于中等题 二、填空题二、填空题（共（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13【分析】化函数 f x为正弦型
21、函数，根据 f x在区间(),2内没有极值点， 得出关于的不等式，从而求出的取值范围 【解答】解：函数 2 11 ( )sinsin 222 x f xx 111 (1cos)sin 222 xx 1 (sincos) 2 xx 2 sin,0 24 x f x在区间( ,2 ) ）内没有极值点， 222 2442 kk ， 或 3 222 2442 kk ，kZ； 解得 13 2 48 kk， 或 37 2, 48 kkkZ； 令0k ，可得 1 3 , 4 8 或 3 7 , 4 8 ； 又0， 的取值范围是 33 7 0, 84 8 故答案为： 37 0, 88 【点评】本题考查了三角恒
22、等变换与三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题 14【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可 【解答】解： f x是 R 上的偶函数，且在0,)单调递增， 不等式 34f af，等价为 34f af， 即34a， 即434a ， 得17a ， 即实数 a 的取值范围是17a ， 故答案为：17a 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题 的关键 15【分析】利用同角三角函数关系，诱导公式，二倍角的余弦公式，即可得到结论 【解答】解： 2 5 cos 85 ， 2 3 cos 22cos1 485 ， 3 sin 2sin2cos
23、 2 42445 ， 为锐角， 3 2 444 ， 4 cos 2 45 ， sin 2 34 tan 2 44 cos 2 4 ， 故答案为： 3 4 【点评】本题考查同角三角函数关系，诱导公式，二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中 档题 16【分析】由题意求出 OM、ON 所在直线方程，与抛物线方程联立，求出 A，B 的坐标，由向量共线列 式求得 p 的值 【解答】解：抛物线 2 :20C xpy p的焦点为0, 2 p F ， 点4, 2 p M ，1, 2 p N 则射线 MO 的方程为 8 p yx ， NO 的方程为 2 p yx ， 由 2 2 8 xpy p yx ，解
24、得点 23 , 432 pp A ； 由 2 2 2 xpy p yx ，解得 3 2, 2 p B p ； 23 16 , 432 ppp AF ， 3 2, 2 pp BFp ， 又 A，B，F 三点共线， 233 2 16 0 4232 ppppp p ， 解得2p ， p 的值为 2 故答案为：2 【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系应用问题，是中档题 三、解答题三、解答题（共（共 5 小题，共小题，共 70 分）分） 17（12 分） 【分析】 （1） 在ABC中利用余弦定理求得cosB的值， 可得 B 的值； 根据3bc， 由正弦定理可得 C 的值， 从而求
25、得ABC的值 （2）利用三角恒等变换化简 f x的解析式，再根据正弦函数的最大值求 f x得的最大值 【解答】 解：（1）在ABC中， 222 acbac， 222 1 cos 22 acb B ac ， 3 B 23bc，由正弦定理可得且2sin3sinBC， 2 sin 2 C ， 4 c ， 故 5 12 ABC （2） 222 acbac，且23bc， 由（1）得 1 cos 2cos2f xxBx ()1cos 2cos2 3 xx 13 1cos2sin2cos2 22 xxx 137 1cos2sin21sin 2 226 xxx . f x的最大值为 2 【点评】本题主要考查正
26、弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，正弦函数的最大值，属于中档题 18（12 分） 【分析】 （）由21(*) nn SanN，2n 时， 11 21 nn Sa ，相减可得： 1 2 nn aa ，利用等比数列 的通项公式即可得出 （） 2 log1 nn ban数列 2 ( 1)n n b前 2n 项的和 222222 1234212nn Tbbbbbb 122n bbb即可得出 【解答】 解：（）21(*) nn SanN，2n 时， 11 21 nn Sa ， 相减可得： 1 2 nn aa ， 1n 时 11 ,21aa，解得 1 1a 数列 n a是等比数列，公比为 2，首项为
27、1 1 2n n a （） 2 log1 nn ban 于是数列 n b是首项为 0，公差为 1 的等差数列 数列 2 ( 1)n n b前 2n 项的和 222222 1234212nn Tbbbbbb 122n bbb 0 1221n 2 (210) 2 nn 21nn 【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 19【分析】 （1）根据频率分布直方图计算平均数和中位数即可； （2）用分层抽样法抽取 4 人位于30,35年龄段内，2 人位于45,50年龄段内，用列举法求出基本事 件数，计算所求的概率值 【解答】 解：（1）
28、根据频率分布直方图，计算平均值为： 27.5 0.0132.5 0.0437.5 0.0742.5 0.0647.5 0.02538.539()x ； 由频率分布直方图知， 50.01 0.040.250.5，50.060.020.40.5， 所以中位数位于区间35,40年龄段中， 设中位数为 x，所以0.250.07350.5x， 解得39x ； （2）用分层抽样的方法，抽取的 20 人，应有 4 人位于30,35年龄段内， 记为 A、B、C、D，2 人位于45,50年龄段内，记为 e、f； 现从这 6 人中随机抽取 2 人，设基本事件空间为，则 中的基本事件为 AB、AC、AD、Ae、Af
29、、BC、BD、Be、Bf、 CD、Ce、Cf、De、Df、ef 共 15 种不同取法； 设 2 名市民年龄都在30,35为事件 A，则 A 中包含的基本事件为 AB、AC、AD、BC、BD、CD 共 6 种； 所以所求的概率为 62 ( ) 155 P A 【点评】本题考查了频率分布直方图以及列举法求古典概型的概率问题，是基础题 20（12 分） 【分析】 （）推导出BDBC，ABBC，从而BC 平面 ABD，BCAD，再由CDAD， 得AD 平面 BCD，由此能证明ADBD （）过点 B 作BzAB，则Bz 平面 ABC，以 B 为原点，建立空间直角坐标系 B-xyz，利 用向量法能求出二面
30、角CBDE的大小 【解答】 证明：（）由已知得 222 BCBDCD，BDBC， 又ABBC，BDABB， BC 平面 ABD，BCAD， 又CDAD，BCCDC，AD 平面 BCD， ADBD 解：（）由（）知，AB 与平面 BCD 所成的角为ABD，即60ABD， 设2BD ，则2BC ， 在Rt ADB中，4AB ， 由（）中，BC 平面 ABD，得平面ABC 平面 ABD， 在平面 ABD 内，过点 B 作BzAB，则Bz 平面 ABC， 以 B 为原点，建立空间直角坐标系Bxyz， 则0,0,0B，4,0,0A，0,2,0C，2,1,0E， 由cos601 D xBD，sin603
31、D zBD ， 解得()1,0, 3D， 2,1,0BE ，(1,0, 3)BD ， 设平面 BDE 的法向量为, ,x y z， 则 20 30 m BExy m BDxz ，取1z ， 解得(3,2 3,1) ， 又3,0AD 是平面 CBD 的一个法向量 设二面角ABDE的大小为，由图知为锐角， 则cos|cosm， |4 31 | 2| |42 3 m AD AD mAD 60，即二面角CBDE的大小为60 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 21（12 分） 【分析】 （
32、）求出函数的导数，根据函数的极值求出 m 的值，从而求出函数的单调性、最值问题； （）求出函数的导数，通过讨论函数的单调性求出函数的最小值，从而证明结论 【解答】 解：（I） 2 ln22 x m f xexaxaxm ，定义域为()2,， 1 ( )22 2 x m fxeaxa x ， 由题意知10f ，即 1 10 m e ， 解得：1m ， 所以 1 ln221 x f xexax x ， 1 1 ( )22 2 x fxeaxa x ， 又 1x ye 、 1 2 y x 、220yaxa a在()2,上单调递增， 可知 fx在()2,上单调递增， 又10f ，所以当2, 1x 时，
33、 0fx； 当1,()x 时， 0fx， 得 f x在2, 1上单调递减， f x在()1, 上单调递增， 所以函数 f x的最小值为111faa ； （II）若0a ，得( )ln(2) x m f xexm ， 1 ( ) 2 x m f x e x ， 由 fx在1,0上单调递增， 可知 f x在1,0上的单调性有如下三种情形： 当 f x在1,0上单调递增时， 可知 0fx，即10f ， 即 1 10 m e ，解得：1m ， 1 1 m fem ，令 1m g mem ， 则 1 10 m g me ， 所以 g m单调递增， 10g mg， 所以 10f xfg m； 当 f x在
34、1,0上单调递减时， 可知 0fx，即 00f ，即 1 0 2 m e ， 解得：ln2m ， 得 0ln2ln2ln20 mmm femee， 所以 00f xf； 当 f x在1,0上先减后增时，得 fx在1,0上先负后正， 所以 0 1,0x ， 0 0fx， 即 0 xm e ，取对数得 00 ln2xmx ， 可知 0 min00 ( )ln2 x f xf xexm 2 0 0 00 11 0 22 x x xx ， 所以 0f x ； 综上得：1,0x ， 0f x 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一 道综合题 选修选修 4
35、-5：不等式选讲：不等式选讲 22【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出取并集即可； （2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得 最大值，再令其大于等于 a，即可解出实数 a 的取值范围 【解答】 解：（1）2a 时： 3223f xxx， 可得 2 3 3223 x xx 或 2 2323 x xx ， 解得： 37 42 x； 故不等式的解集是 3 7 , 4 2 ； （2）不等式 14 2f xax 成立， 即3361xaxa ， 由绝对值不等式的性质可得： 3|36| |(3)(36)| |6xaxxaxa， 即有 f x的最小值为61aa ， 解得： 5 2 a 【点评】本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区 别，本题是一个存在问题，本题是一个易错题