1、2020 年高考数学一模试卷（理科）年高考数学一模试卷（理科） 一、选择题. 1已知集合 Ax|x26x+50，Bx|y ，AB（ ） A1，+） B1，3 C（3，5 D3，5 2若复数 z 满足 z（i1）2i（i 为虚数单位），则 z 为（ ） A1+i B1i C1+i D1i 3已知平面向量 （2，3）， （x，4），若 ，则 x（ ） A B1 C2 D3 4数据 5，7，7，8，10，11 的中位数和标准差分别为（ ） A中位数为 7，标准差为 2 B中位数为 7，标准差为 4 C中位数为 7.5，标准差为 4 D中位数为 7.5，标准差为 2 5设 m，n 是两条不同的直线，
2、是两个不同的平面，则 的一个充分不必要条件 是（ ） Am，m Bm，n，mn Cm，m Dmn，m，n 6已知 ， ， ，则（ ） Acab Bacb Cbac Dabc 7已知等比数列an中，若 a5+a78，则 a4（a6+2a8）+a3a11的值为（ ） A8 B16 C64 D128 8 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知 M （1， 2） ， N （1， 0） ， 动点 P 满足| | |， 则动点 P 的轨迹方程是（ ） Ay24x Bx24y Cy24x Dx24y 9函数 图象的大致形状是（ ） A B C D 10已知函数 f（x）2（|cosx|+cosx） sinx
3、给出下列四个命题： f（x）的最小正周期为 ； f（x）的图象关于直线 对称； f（x）在区间 ， 上单调递增； f（x）的值域为2，2 其中所有正确的编号是（ ） A B C D 11圆 C：x2+y210x+160 上有且仅有两点到双曲线 ， 的一条渐 近线的距离为 1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 12已知 f（x）是定义在（0+）上的增函数，且恒有 ff（x）lnx1，若x0，f（x） ax1，则 a 的最小值为（ ） A0 B C1 De 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上. 13某校期末考试后，随机抽取
4、 200 名高三学生某科的成绩，成绩全部在 50 分至 100 分之 间，将成绩按如下方式分成 5 组：50，60），60，70），70，80），80，90），90， 100）据此绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计该校高三学生该门学科成绩的 及格率约为 （60 分以上为及格），这 200 名学生中成绩在80，90）中的学生有 名 14若 对任意非零实数 x 恒成立，则曲线 yf（x）在点（1，f（1） 处的切线方程为 15莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的 是较小的两份之 和，则最小
5、一份的量为 16如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，BC4，E 为 AD 中点，则三棱锥 A1CDE 外接球的表面积为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ， （1）求角 C 的大小； （2）若 c3，求 a+b 的取值范围 18某学校开设了射击选修课，规定向 A、B 两个靶进行射击：先向 A 靶射击一次，命中得 1 分，没有命中得 0 分，向 B 靶连续射击两次，每命中一次得 2 分，没命中得 0 分；小 明同学经训练可知：向 A 靶射击，命中的概率为 ，向 B 靶射击，命中的概率为
6、 ，假设 小明同学每次射击的结果相互独立现对小明同学进行以上三次射击的考核 （）求小明同学恰好命中一次的概率； （）求小明同学获得总分 X 的分布列及数学期望 E（X） 19已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC120，ABAC2，AA1 ，E 是 BC 的中 点，F 是 A1E 上一点，且 A1F3FE （）证明：AF平面 A1BC； （）求二面角 BA1EB1余弦值的大小 20已知椭圆 C： 1（ab0）的焦距为 2，过点 ， （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为 F，定点 P（2，0），过点 F 且斜率不为零的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，以线段 AP 为直径
7、的圆与直线 x2 的另一个交点为 Q，证明：直线 BQ 恒过 一定点，并求出该定点的坐标 21已知函数 f（x）x（alnx），g（x）x2+ex （）讨论 f（x）在（1，+）上的单调性； （）设 h（x）f（x）g（x），若 f（x）的最大值为 0，求 a 的值； 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），直线 C2的方程为 ，以 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程； （2）若直线 C1与曲线 C2交于 P，Q 两点，求|OP| |OQ|的值 选修 4-5：不等式选讲 2
8、3已知函数 f（x）|xm|2x+2m|（m0） （）当 m1 时，求不等式 f（x）1 的解集； （）若xR，tR，使得 f（x）+|t1|t+1|，求实数 m 的取值范围 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1已知集合 Ax|x26x+50，Bx|y ，AB（ ） A1，+） B1，3 C（3，5 D3，5 【分析】分别求出集合 A、B，从而求出 AB 即可 解：集合 Ax|x26x+50x|1x5， Bx|y x|x3， AB3，5， 故选：D 2若复数 z 满足 z（i1）2i（i 为虚数单位），则
9、 z 为（ ） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：由 z（i1）2i，得 z 故选：B 3已知平面向量 （2，3）， （x，4），若 ，则 x（ ） A B1 C2 D3 【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，列方程求出 x 的值 解：向量 ， ， ， ， 若 ，则 （ ）0， 即 0， 所以（22+32）（2x+34）0， 解得 x 故选：A 4数据 5，7，7，8，10，11 的中位数和标准差分别为（ ） A中位数为 7，标准差为 2 B中位数为 7，标准差为 4 C中位数为 7.5，标准差为 4 D中位数为 7.
10、5，标准差为 2 【分析】分别计算这组数据的中位数、平均数和方差、标准差即可 解：数据 5，7，7，8，10，11 的中位数是 （7+8）7.5； 平均数是 （5+7+7+8+10+11）8， 方差是 s2 （3）2+（1）2+（1）2+02+22+324， 标准差是 s2 故选：D 5设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一个充分不必要条件 是（ ） Am，m Bm，n，mn Cm，m Dmn，m，n 【分析】根据充要性，找出它的充分不必要条件 解：由题意可知，可 m，m 以推出 ， 若 则推不出 m，m， 故选：C 6已知 ， ， ，则（ ） Acab Bacb Cbac
11、 Dabc 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解 解： log202010， （0，1）， 1， 所以 abc 故选：D 7已知等比数列an中，若 a5+a78，则 a4（a6+2a8）+a3a11的值为（ ） A8 B16 C64 D128 【分析】根据等比数列an中，等比中项的定义，化简求解本式即可 解：等比数列an中， a4（a6+2a8）+a3a11a4a6+2a4a8+a3a11 ， a5+a78， a4（a6+2a8）+a3a118264 故选：C 8 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知 M （1， 2） ， N （1， 0） ， 动点 P 满足| | |， 则动点 P
12、 的轨迹方程是（ ） Ay24x Bx24y Cy24x Dx24y 【分析】由轨迹方程的求法得：设动点 P（x，y），求出相关的向量利用向量的数量积以 及向量的模化简求解，可得动点 P 的轨迹 C 的方程 解：（1）设动点 P（x，y），M（1，2），N（1，0）， 则 （x1，2y）， （1x，y）， 动点 P 满足| | |， |x1| ， 所以 x2+2x+1x22x+1+y2，整理得：y24x， 故动点 P 的轨迹 C 的方程为：y24x 故选：A 9函数 图象的大致形状是（ ） A B C D 【分析】由函数的奇偶性可排除 BD，由 f（1）0，可排除 A，进而得出正确选项 解：由
13、 ，可得 ，且 函数的定义域为 R， 则函数 f（x）为偶函数，故可排除选项 B，D； 又 ，故可排除 A 故选：C 10已知函数 f（x）2（|cosx|+cosx） sinx 给出下列四个命题： f（x）的最小正周期为 ； f（x）的图象关于直线 对称； f（x）在区间 ， 上单调递增； f（x）的值域为2，2 其中所有正确的编号是（ ） A B C D 【分析】根据周期，对称轴，单调性的性质进行判断 解：f（+x）2（|cos（+x）|+cos（+x） sin（+x）2（|cosx|cosx） sinx f（x），则 f（x）的最小正周期不是 ，错，则排除 C 选项； f（ ）2（|co
14、s（ ）|+cos（ ） sin（ ）2（|sinx|+sinx） cosx f（x），f（x）的图象不关于直线 对称，错，排除 AD 选项 f （x） 在区间 ， 时， f （x） 2 （|cosx|+cosx） sinx4cosxsinx2sin2x， 在 ， 上单调 递增，对，排除 A 选项； 故选：B 11圆 C：x2+y210x+160 上有且仅有两点到双曲线 ， 的一条渐 近线的距离为 1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，写出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得 圆心到双曲线渐近线的距离大于且小于 4，由此列式
15、求解双曲线离心率的取值范围 解：圆 C：x2+y210y+160 可化为 x2+（y5）29， 圆 C：x2+y210y+160 上有且仅有两点到双曲线 ， 的一条渐 近线的距离为 1， 圆心到双曲线渐近线的距离大于 2 且小于 4， 由对称性不妨取双曲线 ， 的一条渐近线为y x， 即bxay0， 2 4，即 2 4， 解得： 即双曲线离心率的取值范围是（ ， ） 故选：A 12已知 f（x）是定义在（0+）上的增函数，且恒有 ff（x）lnx1，若x0，f（x） ax1，则 a 的最小值为（ ） A0 B C1 De 【分析】利用函数的单调性和已知条件求得 f（x）的解析式，同时运用分离常
16、数法求得 a 的最小值 解：f（x）是定义在（0+）上的增函数，恒有 ff（x）lnx1， 所以 f（x）lnx 为定值，设 f（x）lnxt，则 f（t）1， 所以 f（t）lnt+t，lnt+t1，t1 因为x0，f（x）ax1，即 lnx+1ax1， ， 令 ，则 ， 令 ，得 ， 令 ，得 ， 令 ，得 在 处取得最大值， ，ae 故选：D 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上. 13某校期末考试后，随机抽取 200 名高三学生某科的成绩，成绩全部在 50 分至 100 分之 间，将成绩按如下方式分成 5 组：50，60），60，70），70，8
17、0），80，90），90， 100）据此绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计该校高三学生该门学科成绩的 及格率约为 95% （60 分以上为及格），这 200 名学生中成绩在80，90）中的学生有 40 名 【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系即可解答 解：超过 60 分的频率为 10.005100.95， 则该校高三学生该门学科成绩的及格率约为 95%； 由频率分布直方图得成绩在80，90）中的频率为 1（0.005+0.025+0.045+0.005）10 0.2， 所以 200 名学生中成绩在80，90）中的学生有 2000.240 人 故两空分别填 95%，4
18、0 14若 对任意非零实数 x 恒成立，则曲线 yf（x）在点（1，f（1） 处的切线方程为 x+y20 【分析】先令原函数中的 ，得到 ，与原式联立解出 f（x），然 后再进一步求出切线方程即可 解： 联立，消去 f（ ）得 f（x） ，f（1）1，f（1）1 故切线方程为 y1（x1），即 x+y20 故答案为：x+y20 15莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的 是较小的两份之 和，则最小一份的量为 【分析】由题意设等差数列an的公差是 d0，首项是 a1，根据等差数列的前 n 项和公
19、 式、通项公式列出方程组，求出公差 d 和首项 a1，即可得到答案 解：设等差数列an的公差是 d0，首项是 a1， 由题意得， ， 则 ，解得 ， 所以 a1 ， 所以最小的一份为 ， 故答案为： 16如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，BC4，E 为 AD 中点，则三棱锥 A1CDE 外接球的表面积为 44 【分析】 先求出CDE 的外接圆半径， 并确定球心位置， 构造两个关于求半径 R 的等式， 求出 R 即可求得结论 解：由题可得：CDE 为直角三角形，其外接圆圆心是 CE 的中点，设为 G，且 r CG EC ； 因为 AA1面 CDE，所以过点 G 作 AA1
20、的平行线 GH，则球心 O 在 GH 上， 在AEG 中，AE2，EG EC ，AEC135； AG2AE2+EG22AE EG cos13514， R2（2OG）2+AG2（2OG）2+14 R2OG2+CG2OG2 ； 联立可得：R211； 故三棱锥 A1CDE 外接球的表面积为：4R244 故答案为：44 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ， （1）求角 C 的大小； （2）若 c3，求 a+b 的取值范围 【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得 a2+b2c2ab，根据余弦定理可求 cosC 的
21、 值，结合范围 C（0，），可求 C 的值 （2） 由余弦定理， 基本不等式可求 a+b6， 又根据两边之和大于第三边可得 a+bc3， 即可求解 a+b 的取值范围 解：（1）由 ， 则 ，可得：a 2+b2c2ab， 所以： ， 而 C（0，）， 故 （2）由 a2+b2c2ab，且 c3， 可得：（a+b）22ab9ab， 可得： ， 可得：（a+b）236， 所以 a+b6， 又 a+bc3， 所以 a+b 的取值范围是（3，6 18某学校开设了射击选修课，规定向 A、B 两个靶进行射击：先向 A 靶射击一次，命中得 1 分，没有命中得 0 分，向 B 靶连续射击两次，每命中一次得 2
22、 分，没命中得 0 分；小 明同学经训练可知：向 A 靶射击，命中的概率为 ，向 B 靶射击，命中的概率为 ，假设 小明同学每次射击的结果相互独立现对小明同学进行以上三次射击的考核 （）求小明同学恰好命中一次的概率； （）求小明同学获得总分 X 的分布列及数学期望 E（X） 【分析】（）记：“小明恰好命中一次”为事件 C，“小明射击 A 靶命中”为事件 D， “该射手第一次射击 B 靶命中”为事件 E，“该射手第二次射击 B 靶命中”为事件 F， 利用互斥事件的概率求解即可 （）X0，1，2，3，4，5，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可 解：（）记：“小明恰好命中一次”为事件 C，“小明
23、射击 A 靶命中”为事件 D，“该 射手第一次射击 B 靶命中”为事件 E，“该射手第二次射击 B 靶命中”为事件 F， 由题意可知 ， ， 由于 ， ， （）X0，1，2，3，4，5 ， ， ， ， ， ， X 0 1 2 3 4 5 P 19已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC120，ABAC2，AA1 ，E 是 BC 的中 点，F 是 A1E 上一点，且 A1F3FE （）证明：AF平面 A1BC； （）求二面角 BA1EB1余弦值的大小 【分析】（）求出 AE1，AA1AE，A1EAF，AEBC，AA1BC，BCAF，由此 证明 AF平面 A1BC （） AEBC，以 E 为坐标
24、原点，建立空间直角坐标系， 利用向量法求出二面角 BA1E B1余弦值 解： （）证明：连结 AE，AF，在ABC 中， ， 即 AE， 解得 AE1， 直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，AA1AE， RtA1AE 中，AA1 ，AE1， A1 E2，EF ， ，AFE 是直角，A1EAF， E 是 BC 中点，且ABC 是等腰三角形，AEBC， AA1BC，BCAF，BCA1EE，AF平面 A1BC （）解：AEBC，如图以 E 为坐标原点，建立空间直角坐标系， BE ， B （ ， 0， 0） ， A1（0， 1， ） ， E （0， 0， 0） ， B1（ ， ， ）
25、， （ ， ， ）， （0，1， ）， （ ， ， ）， 设面 BA1E 的法向量 （x，y，z），面 B1A1E 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 z1，得 （0， ，1）， ，取 z1，得 （1， ，1）， 设二面角 BA1EB1的平面角为 ， 则 cos 二面角 BA1EB1余弦值为 20已知椭圆 C： 1（ab0）的焦距为 2，过点 ， （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为 F，定点 P（2，0），过点 F 且斜率不为零的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，以线段 AP 为直径的圆与直线 x2 的另一个交点为 Q，证明：直线 BQ 恒过 一定点，并求出该定点的坐标
26、 【分析】（1）由题知 ，求出 a，b，然后求解椭圆 C 的方程 （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2）因为直线 l 的斜率不为零，令 l 的方程为：xmy+1 由 ， 利用韦达定理， 结合 AQPQ， 求出 BQ 的方程为： ， 然后求解直线 BQ 恒过定点，定点坐标 解：（1）由题知 解得 a22，b21， 所以椭圆 C 的方程为 （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2）因为直线 l 的斜率不为零，令 l 的方程为：xmy+1 由 得（m 2+2）y2+2my10， 则 ， ， 因为以 AP 为直径的圆与直线 x2 的另一个交点为 Q，所以 AQPQ，则 Q（2，y1） 则 ，故
27、 BQ 的方程为： ， 由椭圆的对称性，则定点必在 x 轴上，所以令 y0， 则 ， 而 ， ， ， 所以 ， 故直线 BQ 恒过定点，且定点为 ， 21已知函数 f（x）x（alnx），g（x）x2+ex （）讨论 f（x）在（1，+）上的单调性； （）设 h（x）f（x）g（x），若 f（x）的最大值为 0，求 a 的值； 【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解； （II）先对函数求导，结合导数可分析 h（x）的性质，然后结合导数与单调性的关系可 求最值，结合题意可求 解：（）因为 f（x）a1lnx， 所以 f（x）在（0，+）上单调递减且 f（ea1）0， 若
28、ea11，即 a1，则当 x1 时，f（x）0，所以 f（x）在（1，+）上单调递减； 若 ea11，即 a1，则当 1xea1时，f（x）0，所以 f（x）在（1，ea1）上单 调递增； 当 xea1时，f（x）0，所以 f（x）在（ea1，+）上单调递减 （）h（x）x（alnx）x2ex，h（x）a1lnx2x+ex是（0，+）上的减 函数， 当 x0 时 h（x）+，x+时 h（x）， 所以存在唯一正实数 x0满足 h（x0）0，即 （*）， 当 x（0，x0）时，h（x）0，h（x）是（0，x0）上的增函数； 当 x（x0，+）时，h（x）0，h（x）是（x0，+）上的减函数； 所以
29、 ， 将 （*） 式代入整理得 ， 由题设 h（x）max0 而 1+x00，所以 ，即 ， 所以x0lnx0，所以 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），直线 C2的方程为 ，以 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程； （2）若直线 C1与曲线 C2交于 P，Q 两点，求|OP| |OQ|的值 【分析】（1）首先把圆的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程，再把直 线方程转化为极坐标方程 （2）根据（1）所得到的结果，建立方程组求得结果 解：（1）曲线 C1的参数方程为 （ 为参数）
30、， 转化为普通方程： ， 即 ， 则 C1的极坐标方程为 ， 直线 C2的方程为 ， 直线 C2的极坐标方程 （2）设 P（1，1），Q（2，2）， 将 代入 ， 得：25+30， 1 23， |OP| |OQ|123 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xm|2x+2m|（m0） （）当 m1 时，求不等式 f（x）1 的解集； （）若xR，tR，使得 f（x）+|t1|t+1|，求实数 m 的取值范围 【分析】（）分段去绝对值解不等数组后在相并可得； （）f（x）+|t1|t+1|f（x）|t+1|t1|对任意 xR 恒成立，对实数 t 有解 再利用分段函数的单调性求得 f（x）的最大值，根据绝对值不等式的性质可得|t+1|t 1|的最大值，然后将问题转化为 f（x）的最大值（|t+1|t1|）的最大值可得 解：（）当 m1 时，|x1|2x+2|1 或 或 ， 解得2x ，所以原不等式的解集为2， （）f（x）+|t1|t+1|f（x）|t+1|t1|对任意 xR 恒成立，对实数 t 有解 f（x） ， ， ， ，根据分段函数的单调性可知：xm 时，f（x） 取得最大值 f（m）2m， |t+1|t1|（t+1）（t1）|2，2|t+1|t1|2，即|t+1|t1|的最大 值为 2 所以问题转化为 2m2，解得 0m1